1、 第 1 页（共 17 页） 2020 届全国各地最新模拟试题（理）分类汇编 12 圆锥曲线与方程 一选择题（共一选择题（共 40 小题）小题） 1 （2020广州一模）已知 1 F， 2 F是双曲线 2 2 2 :1(0) x Cya a 的两个焦点，过点 1 F且垂直 于x轴的直线与C相交于A，B两点，若|2AB ，则 2 ABF的内切圆的半径为( ) A 2 3 B 3 3 C 2 2 3 D 2 3 3 2 （2020龙岩一模） 已知O是坐标原点，F是双曲线 22 22 :1(340) xy Cab ab 的左焦点， 过F作斜率为(0)k k 的直线l与双曲线渐近线相交于点A，A在第一
2、象限且| |OAOF， 则k等于( ) A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 3 （2020龙岩一模）已知点F为椭圆 2 2 2 1(1) x ya a 的一个焦点，过点F作圆 22 1xy 的两条切线，若这两条切线互相垂直，则(a ) A2 B2 C3 4 （2020桥东区校级模拟）已知F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的一个焦点，设直线 1y 与双曲线E和两条渐近线的交点从左至右依次为A，B，C，D，若| 3|ADBC， 则F到渐近线的距离为( ) A2 2 B3 C15 D不能确定 5 （2020眉山模拟）如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD
3、是底面圆O的两 条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到它的准线距离等于( ) A 1 2 B1 C2 D4 第 2 页（共 17 页） 6 （2020眉山模拟）如图，圆锥底面半径为2，体积为 2 2 3 ，AB、CD是底面圆O的 两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以 E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于( ) A 1 2 B1 C 10 4 D 5 2 7 （2020宜昌模拟）已知双曲线 22 22 :1(0,(0) xy Cab ab
4、，O为坐标原点， 12 F F为其左、 右焦点，点G在C的渐近线上， 2 F GOG， 1 6 | |OGGF，则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A 2 2 yx B 3 2 yx Cyx D2yx 8 （2020垫江县校级模拟）已知点P为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 右支上一点，点 1 F， 2 F分别为双曲线的左右焦点，点I是 12 PFF的内心（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 121 2 2 2 IPFIPFIF F SSS成立，则双曲线的离心率取值范围是( ) A(1, 2) B 2,) C(1, 2 D( 2,) 9 （2020五华区校级模拟）已知点(3,4)A
5、是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上一点， 1 F， 2 F分别是双曲线C的左、右焦点，若以 12 F F为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为( ) A2 B2 C5 D5 10 （2020五华区校级模拟）设1a，则双曲线 22 2 1 4 xy aa 离心率的取值范围为( ) A5，) B6，) C 5,) D 6,) 11 （2020龙岩一模）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为F，上顶点为A，右顶 点为B，若AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为( ) A 2 2 B 3 2 C 31 2 D 51 2 第 3 页（共 17 页）
6、12 （2020内蒙古模拟）设 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，过点 1 F的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足 11 | 3|AFFB， 2 3 cos 5 AF B， 则A点位于( ) A第一象限 B第二象限 Cy轴上 D都有可能 13 （2020番禺区模拟）已知直线ya与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线交 于点P，双曲线C的左、右顶点分别为 1 A， 2 A，若 212 5 | 2 PAA A，则双曲线C的离心 率为( ) A2 B 10 3 C2 或 10 3 D 10 3 或2 14
7、 （2020开封模拟）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左，右焦点，点M在E 上， 2 MF与x轴垂直， 12 1 sin 3 MFF，则E的离心率为( ) A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 3 2 15 （2020内蒙古模拟） 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 长轴的两个顶点分别为A、B， 点C为 椭圆上不同于A、B的任一点，若将ABC的三个内角记作A、B、C，且满足 3 tan3 tantan0ABC，则椭圆的离心率为( ) A 3 3 B 1 3 C 6 3 D 2 3 16 （2020咸阳二模）双曲线 22 1 22 :1(
8、0,0) xy Cab ab 的一个焦点为(F c，0)(0)c ，且 双曲线 1 C的两条渐近线与圆 2 22 2:( ) 4 c Cxcy均相切，则双曲线 1 C的离心率为( ) A 2 3 3 B3 C 5 2 D5 17 （2020内蒙古模拟）已知 1 F， 2 F分别是双曲线 22 1 912 xy 的左、右焦点，点P为双曲 线上一点， 1 PF中点M在y轴上，则 2 1 | | PF PF 等于( ) A 5 2 B2 C 1 2 D 2 5 18 （2020德阳模拟）设 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0 xy Cab ab 的右焦点，O为坐标原点， 过 2 F的直线交双曲
9、线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若 第 4 页（共 17 页） 22 5 | 3 MFPF，且 2 60MF N，则双曲线C的离心率为( ) A 6 2 B2 3 C4 3 D 19 2 19 （2020邯郸模拟）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线与函数( )(1)f xln x 的图象相切，则该双曲线离心率为( ) A2 B3 C2 D5 20（2020番禺区模拟） 若抛物线 2 4yx的焦点为F， 抛物线的准线与x轴相交于一点K， P为抛物线上一点且 2 3 KFP ，则KFP的面积为( ) A8 3 B4 3 C2 3 D 4 3 3 或
10、2 3 第 5 页（共 17 页） 2020 届全国各地最新模拟试题（理）分类汇编 12 圆锥曲线与方程 一选择题（共一选择题（共 40 小题）小题） 1 （2020广州一模）已知 1 F， 2 F是双曲线 2 2 2 :1(0) x Cya a 的两个焦点，过点 1 F且垂直 于x轴的直线与C相交于A，B两点，若|2AB ，则 2 ABF的内切圆的半径为( ) A 2 3 B 3 3 C 2 2 3 D 2 3 3 【解答】 解： 由双曲线的方程可设左焦点 1( ,0)Fc， 由题意可得 2 2 2 b AB a ， 再由1b ， 可得2a ，所以双曲线的方程为： 2 2 1 2 x y，
11、所以 1( 3F ，0)， 2( 3 F，0)，所以 2 12 11 2 2 36 22 ABF SAB FF， 三角形 2 ABF的周长为 2211 (2)(2)424 22 26 2CABAFBFABaAFaBFaAB， 设内切圆的半径为r，所以三角形的面积 11 6 23 2 22 SC rrr， 所以3 26r ，解得： 3 3 r ， 故选：B 2 （2020龙岩一模） 已知O是坐标原点，F是双曲线 22 22 :1(340) xy Cab ab 的左焦点， 过F作斜率为(0)k k 的直线l与双曲线渐近线相交于点A，A在第一象限且| |OAOF， 则k等于( ) A 1 2 B 1
12、 3 C 1 4 D 1 5 【解答】 解： 由题意可得直线l的方程为：()yk xc与渐近线 b yx a 联立可得 ac xk bak ， bck y bak ， 因为OAOF，属于 222 xyc， 即 222 ()() ackbck c bakbak ， 由34ab，即 3 4 ba， 第 6 页（共 17 页） 所以整理可得 2 2 253 () 164 k k，0k ， 解得 1 3 k ， 故选：B 3 （2020龙岩一模）已知点F为椭圆 2 2 2 1(1) x ya a 的一个焦点，过点F作圆 22 1xy 的两条切线，若这两条切线互相垂直，则(a ) A2 B2 C3 【解
13、答】解：如图， 由题意椭圆 2 2 2 1(1) x ya a 的右焦点为F， 过点F作圆 22 1xy的切线， 若两条切线互相垂直， 可得2c， 则 2 2c， 222 3abc， 则3a 故选：C 4 （2020桥东区校级模拟）已知F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的一个焦点，设直线 1y 与双曲线E和两条渐近线的交点从左至右依次为A，B，C，D，若| 3|ADBC， 则F到渐近线的距离为( ) A2 2 B3 C15 D不能确定 【解答】解： 22 22 1 1 y xy ab 可得 2 1 A ab x b ， 2 1 D ab x b ， 1y b yx a
14、 可得 B a x b ， 1y b yx a 可得 C a x b ， 第 7 页（共 17 页） 所以 2 21 | ab AD b ， 2 | a BC b ，若| 3|ADBC， 所以 2 13b，所以 2 8b ， 焦点( ,0)F c，到渐近线 2 2b yxx aa ，即2 20xay的距离 2 2 2 2 c d c ， 故选：A 5 （2020眉山模拟）如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两 条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到它的准线距离等于( ) A 1 2 B1
15、 C2 D4 【解答】解：如图所示， 过点E作EGAB，垂足为F E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为2， 2 2 OFEF， 1OE 在平面CED内建立直角坐标系 设抛物线的方程为 2 2(0)ypx p， (1, 2)C， 第 8 页（共 17 页） 22p ，解得1p 该抛物线的焦点到其准线的距离为 1 故选：B 6 （2020眉山模拟）如图，圆锥底面半径为2，体积为 2 2 3 ，AB、CD是底面圆O的 两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以 E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离等于( ) A 1 2 B1 C 1
16、0 4 D 5 2 【解答】 解： 圆锥底面半径为2， 体积为 2 2 3 ， 所以圆柱的高为h， 2 12 2 ( 2) 33 h， 解得2h ，所以APPB， 如图所示， 过点E作EGAB，垂足为F E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为2， 2 2 OFEF， 1OE 第 9 页（共 17 页） 在平面CED内建立直角坐标系 设抛物线的方程为 2 2(0)ypx p， (1, 2)C， 22p ，解得1p 1 2 FP ， 该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离： 15 1 42 故选：D 7 （2020宜昌模拟）已知双曲线 22 22 :1(0,(0) xy Cab ab ，O为坐标原点
17、， 12 F F为其左、 右焦点，点G在C的渐近线上， 2 F GOG， 1 6 | |OGGF，则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A 2 2 yx B 3 2 yx Cyx D2yx 【解答】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为： b yx a ，焦点 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 设G在第一象限，坐标为 0 (x， 0) b x a ， 因为 2 F GOG，所以 2 0F G OG ，即 0 (xc， 00 ) ( b xx a ， 0) 0 b x a ， 整理可得： 2 2 00 2 (1)0 b xcx a ，解得： 2 0 a x c ，所以 2 (aG c ，)
18、ab c ， 因为 1 6 | |OGGF，可得 4222 22 22 6()() aa baab c cccc ， 第 10 页（共 17 页） 整理可得： 4224 20aa bb，可得 22 2ab，0a ，0b ，所以2ba 所以双曲线的渐近线的方程为：2 b yxx a ， 故选：D 8 （2020垫江县校级模拟）已知点P为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 右支上一点，点 1 F， 2 F分别为双曲线的左右焦点，点I是 12 PFF的内心（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 121 2 2 2 IPFIPFIF F SSS成立，则双曲线的离心率取值范围是( ) A(1,
19、 2) B 2,) C(1, 2 D( 2,) 【解答】解：设 12 PFF的内切圆半径为r，则 1 1 1 | 2 IOF SPFr， 2 2 1 | 2 IPF SPFr， 12 12 1 | 2 IF F SFFr， 有 121 2 2 2 IPFIPFIF F SSS成立， 1212 2 | 2 PFPFFF， 由双曲线的定义可知： 12 | 2PFPFa， 12 | 2FFc， 2 2 ac ，即2 c a ， 双曲线的离心率的范围是： 2,) 故选：B 9 （2020五华区校级模拟）已知点(3,4)A是双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 上一点， 1 F， 2
20、F分别是双曲线C的左、右焦点，若以 12 F F为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为( 第 11 页（共 17 页） ) A2 B2 C5 D5 【解答】解：由已知得 12 AFAF，所以 12 | 2| 10FFAO， 所以5c ， 又 2222 (35)4(35)42a， 所以5a ， 所以双曲线C的离心率 5 5 5 c e a ， 故选：C 10 （2020五华区校级模拟）设1a，则双曲线 22 2 1 4 xy aa 离心率的取值范围为( ) A5，) B6，) C 5,) D 6,) 【解答】解：由于1a， 所以 2 2 444 1 215 aa eaa aaa ， 所以双曲线
21、 22 2 1 4 xy aa 离心率的取值范围为 5,) 故选：C 11 （2020龙岩一模）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为F，上顶点为A，右顶 点为B，若AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为( ) A 2 2 B 3 2 C 31 2 D 51 2 【解答】解：在直角三角形AFB中，AOBF， 由射影定理可得 2 OAOF OB， 即 2 bac， 所以 22 acac， 整理可得 2 10ee ，解得 15 2 e ， 因为(0,1)e， 所以 15 2 e ， 故选：D 第 12 页（共 17 页） 12 （2020内蒙古模拟）设 1 F， 2 F分
22、别是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，过点 1 F的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足 11 | 3|AFFB， 2 3 cos 5 AF B， 则A点位于( ) A第一象限 B第二象限 Cy轴上 D都有可能 【解答】解：设 1 |BFk，则 1 | 3AFk由椭圆的定义可得： 2 | 23AFak， 2 | 2BFak， | 4ABk， 在 2 ABF中，由余弦定理可得： 222 22222 |2| |cosABAFBFAFBFAF B， 即 222 3 16(23 )(2)2(23 )(2) 5 kakakakak， 整理可得3ak， 所以 21
23、| 3|AFkAF， 2 | 5BFk， 12 F AF A，即 12 AFF为等腰直角三角形， 所以A在y轴上， 故选：C 13 （2020番禺区模拟）已知直线ya与双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线交 于点P，双曲线C的左、右顶点分别为 1 A， 2 A，若 212 5 | 2 PAA A，则双曲线C的离心 率为( ) A2 B 10 3 C2 或 10 3 D 10 3 或2 【解答】解：双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一条渐近线： b yx a ，则 2 (aP b ，)a， 第 13 页（共 17 页） 因为 212 5 |
24、 2 PAA A，所以 2 222 ()5 a aaa b ，可得 2 (1)4 a b ， 所以3 a b ，从而 2 2 10 1 3 b e a ， 双曲线的渐近线为： b yx a ， 则 2 ( a p b ，)a， 212 5 | 2 PAA A，所以 2 222 ()5 a aaa b ，可得 2 (1)4 a b ， 所以1 a b ，可得2e 则双曲线C的离心率为：2或 10 3 故选：D 14 （2020开封模拟）已知 1 F， 2 F是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左，右焦点，点M在E 上， 2 MF与x轴垂直， 12 1 sin 3 MFF，则E的
25、离心率为( ) A 1 3 B 1 2 C 2 2 D 3 2 【解答】解： 由题意可得右焦点 2( ,0) F c， 2 MF与x轴垂直， 所以 M xc，设M在x轴上方， 代入椭圆可得 2 M b y a ，即 2 ( ,) b M c a ， 由 12 1 sin 3 MFF， 则 12 1 tan 2 2 MFF， 在三角形 12 MF F中， 2 2 2 12 12 tan 22 b MFb a MFF FFcac ， 所以 2 1 22 2 b ac ，整理可得 22 220caca，即 2 220ee，(0,1)e，解得： 2 2 e ， 故选：C 15 （2020内蒙古模拟）
26、设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 长轴的两个顶点分别为A、B， 点C为 椭圆上不同于A、B的任一点，若将ABC的三个内角记作A、B、C，且满足 第 14 页（共 17 页） 3tan3tantan0ABC，则椭圆的离心率为( ) A 3 3 B 1 3 C 6 3 D 2 3 【 解 答 】 解 ： 因 为3tan3tantan0ABC可 得 3 s i n3 s i ns i n () c o sc o sc o s () ABAB ABAB ， 即 3 ( s i nc o ss i nc o s)s i n () c o sc o sc o s () ABBAAB ABAB
27、 ， 而 在 三 角 形 中 ，s i nc o sc o ss i ns i n ()0ABABAB， 所 以 上 式 可 得 3 c o s ()c o sc o s0ABAB 而cos()coscossinsinABABAB， 所以可得2coscos3sinsinABAB，即 2 tantan 3 AB ， 由题意可得(,0)Aa，( ,0)B a，设 0 (C x， 0) y， 可得 22 00 22 1 xy ab ，由双曲线的对称性设C在第一象限，如图所示： 在ACD中， 0 0 tan y A xa ， 在ABD中， 0 0 tan y B ax ， 所以 2 2 0 22 2
28、000 22222 0000 (1) tantan x b yyyb a AB xa axaxaxa ， 所以可得 2 2 2 3 b a ， 所以离心率 2 2 23 11 33 cb e aa 故选：A 16 （2020咸阳二模）双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 的一个焦点为(F c，0)(0)c ，且 双曲线 1 C的两条渐近线与圆 2 22 2:( ) 4 c Cxcy均相切，则双曲线 1 C的离心率为( ) 第 15 页（共 17 页） A 2 3 3 B3 C 5 2 D5 【解答】解：双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab ， 双曲线
29、的渐近线方程为 b yx a ，即0bxay， 圆 2 22 2:( ) 4 c Cxcy的圆心为( ,0)F c，半径为 1 2 c， 由双曲线C的渐近线与圆E相切，得 22 1 2 bc c ab ， 整理，得 1 2 bc，即 222 1 4 cac，可得 4 3 ca 双曲线C的离心率 2 3 3 c e a 故选：A 17 （2020内蒙古模拟）已知 1 F， 2 F分别是双曲线 22 1 912 xy 的左、右焦点，点P为双曲 线上一点， 1 PF中点M在y轴上，则 2 1 | | PF PF 等于( ) A 5 2 B2 C 1 2 D 2 5 【解答】解：由双曲线 22 1 9
30、12 xy 知，3a ，2 3b ，则21c 12 22 21FFc 1 PF中点M在y轴上， 212 PFFF， 12 | 26PFPFa， 222 1212 |84PFPFFF 1 | 10PF， 2 |4PF ， 2 1 |42 |105 PF PF 故选：D 第 16 页（共 17 页） 18 （2020德阳模拟）设 2 F是双曲线 22 22 :1(0,0 xy Cab ab 的右焦点，O为坐标原点， 过 2 F的直线交双曲线的右支于点P，N，直线PO交双曲线C于另一点M，若 22 5 | 3 MFPF，且 2 60MF N，则双曲线C的离心率为( ) A 6 2 B2 3 C4 3
31、 D 19 2 【解答】解：设双曲线的左焦点 1 F，由双曲线的对称性可得 21 MF PF为平行四边形，所以 12 | |MFPF， 1/ / MFPN， 12 60FPF 设 2 |PFm，则 2 5 | 3 MFm，所以 21 52 2| 33 aMFMFmmm，即3ma， 2 | 3PFa， 12 | 2| 235PFaPFaaa， 在 12 FPF中， 由余弦定理可得： 222 (2 )(3 )(5 )2 3 5 cos60caaa a， 整理可得： 22 419ca， 可得离心率 19 2 e ， 故选：D 19 （2020邯郸模拟）若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab
32、ab 的一条渐近线与函数( )(1)f xln x 的图象相切，则该双曲线离心率为( ) A2 B3 C2 D5 第 17 页（共 17 页） 【解答】解：因为双曲线的渐近线过原点，且方程为 b yx a 函数( )(1)f xln x图象也过原点，结合图形可知切点就是(0,0)， (0)1 b kf a ， 2e 故选：A 20（2020番禺区模拟） 若抛物线 2 4yx的焦点为F， 抛物线的准线与x轴相交于一点K， P为抛物线上一点且 2 3 KFP ，则KFP的面积为( ) A8 3 B4 3 C2 3 D 4 3 3 或2 3 【解答】解：如图，设2PFm，则(1, 3 )Pmm 2 ( 3 )4(1)mm，2m， PKF中，2KF ，4PF ，120PFK 0 113 sin120242 3 222 PKF SPF KF 故选：C
