1、1 江苏省南京市十校 2020 届高三下学期 5 月调研 数学试题 20205 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上 ） 1已知集合 A 2 20x xx，B1x x ，则 AB 2已知复数(2i)(1 i)za的实部为 0，其中 i 为虚数单位，a 为实数，则z 3如图，用茎叶图记录了甲、乙两组各 3 名同学在期末考试中的数学成绩， 则方差较小的那组同学成绩的方差为 4运行如图所示的伪代码，则输出的 S 的值为 5某兴趣小组有 2 名女生和 3 名男生，现从中任选 2 名学生去参加活动， 则至
2、多有一名男生的概率为 6设等比数列 n a的前 n 项和为 n S，若 510 2SS，则 515 105 4SS SS 7 函数( )f x为定义在 R 上的奇函数， 且满足( )(2)f xfx， 若( 1 ) 3f， 则( 1 )( 2 )ff ( 5 0 )f 8将函数( )2sin()sin() 63 f xxx 图象向左平移(0)个单位，所得图象对应的 函数恰为偶函数，则的最小值为 9双曲线 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F2且与 x 轴垂直的直线 与双曲线交于 A，B 两点，若 F1F2 3 2 AB，则双曲线的渐近线方程为 10如
3、图，五边形 ABCDE 由两部分组成，ABE 是以角 B 为直角的直角三角形，四边形 BCDE 为正方形，现将该图形以 AC 为轴旋转一周，构成一个新的几何体若形成的圆 锥和圆柱的侧面积相等，则圆锥和圆柱的体积之比为 11 在平行四边形 ABCD 中， AD2AB6， DAB60， 1 DEEC 2 ， 1 BFFC 2 若 2 FG2GE，则AG BD 12已知在锐角ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 a3bcosC，则 1 tanA 1 tanB 1 tanC 的最小值为 13已知圆 O： 22 4xy，点 A(2，2)，直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，点 E
4、在直线 l 上 且满足PQ2QE 若AE22AP248， 则弦PQ中点M的横坐标的取值范围为 14函数 32 ( )(32 ) (1) x f xxa xae的图象恰好经过三个象限，则实数 a 的取值范围 是 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤 ） 15 （本小题满分 14 分） 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 2 sinAsin(B) 3 ba （1）求角 B 的大小； （2）若 a2，c3，求 sin(AC)的值 16 （本小题满分 14 分） 如图， 在三棱柱 ABCA1B1
5、C1中， 侧面 BCC1B1是矩形， 平面 ACC1A1平面 BCC1B1， M 是棱 CC1上的一点 （1）求证：BCAM； （2）若 N 是 AB 的中点，且 CN平面 AB1M，求证：M 是棱 CC1中点 3 17 （本小题满分 14 分） 疫情期间， 某小区超市平面图如图所示， 由矩形 OABC 与扇形 OCD 组成， OA30 米， AB50 米，COD 6 ，经营者决定在 O 点处安装一个监控摄像头，摄像头的监控视角 EOF 3 ， 摄像头监控区域为图中阴影部分， 要求点 E 在弧 CD 上， 点 F 在线段 AB 上 设 FOC （1） 求该监控摄像头所能监控到的区域面积 S 关
6、于的函数关系式， 并求出 tan的取 值范围； （2）求监控区域面积 S 最大时，角的正切值 18 （本小题满分 16 分） 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab0)的左焦点为 F1，点 A，B 为椭圆的左、右顶点，点 P 是椭圆上一点，且直线 PF1的倾斜角为 4 ，PF12，已知椭圆的离心率为 2 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 M，N 为椭圆上异于 A，B 的两点，若直线 BN 的斜率等于直线 AM 斜率的 2 倍，求四边形 AMBN 面积的最大值 4 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 2 ( )f xaxbxc，(a，b，cR)，( ) x g xe （
7、1）若 ab1，c1，求函数 ( ) ( ) ( ) f x h x g x 在 x1 处的切线方程； （2） 若 a1， 且 x1 是函数( )( ) ( )m xf x g x的一个极值点， 确定( )m x的单调区间； （3）若 b2a，c2，且对任意 x0， ( ) 22 ( ) f x x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围 20 （本小题满分 16 分） 设数列 n a（任意项都不为零）的前 n 项和为 n S，首项为 1，对于任意 nN，满足 1 2 nn n aa S （1）数列 n a的通项公式； （2）是否存在 k，m，nN(kmn)，使得 k a， m a， n a成
8、等比数列，且16 k a， 4 m a， 5 2 n a成等差数列？若存在，试求 kmn 的值；若不存在，请说明理由； （3）设数列 n b， 1 21N 2N n n n ankk b qnkk ， ， (q0)，若由 n b的前 r 项依次构成 的数列是单调递增数列，求正整数 r 的最大值 第 II 卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤 A选修 42：矩阵与变换 求椭圆 C： 22 1 164 xy 在矩阵 A 1 0 4 1 0 2 对应的变换作用下所得曲线
9、 C的方程 B选修 44：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P(2， 4 )，圆心为直线 3 sin() 32 与极轴 的交点，求圆 C 的极坐标方程 6 C选修 45：不等式选讲 已知正数 a，b，c 满足 abc1，求(a2)(b2)(c2)的最小值 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图， 直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形， AA14， AB2， BAD60 ， E， M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点 （1）求异面直线 A1M 与 C1E 所成角的余弦值； （2）求二面角 AMA1N 的平面角的正弦值 7 23 （本小题满分 10 分） 已知数列 n a满足 123 123 23 2222 n nnnn n n n CCCC am ， nN， 其中 m 为常数， 2 4a （1）求 m， 1 a的值； （2）猜想数列 n a的通项公式，并证明 参考答案 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
