1、 第 1 页（共 21 页） 2020 年河南省高考数学（理科）模拟试卷（年河南省高考数学（理科）模拟试卷（2） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|x0，Bx|log2（3x2）2，则（ ） A = (0， 5 3- B = (0， 1 3- C = (1 3， + ) DAB（0，+） 2 （5 分）i 是虚数单位，x，y 是实数，x+i（2+i） （y+yi） ，则 x（ ） A3 B1 C 1 2 D1 3 3 （5 分）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有一点 P（ 3
2、，4） ，则 sin2（ ） A 24 25 B 7 25 C16 25 D8 5 4 （5 分） 空气质量指数 AQI 是反应空气质量状况的指数， AQI 越小， 表明空气质量越好 如 表： AQI 指数值 050 51100 101150 151200 201300 300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某城市 5 月 1 日5 月 20 日 AQI 指数变化的趋势，则下列说法正确的是（ ） A这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 200 B这 20 天中的重度污染及以上的天数占 1 10 C该城市 5 月前半个月的空气质量越来越好 D该城市 5
3、月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 5 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F 和准线为 l，过点 F 的直线交 l 于点 A，与抛 物线的一个交点为 B，且 = 2 ，则|AB|（ ） A3 B6 C9 D12 第 2 页（共 21 页） 6 （5 分）为计算 S1+23+32+43+52+992+1003设计了如图所示的程序框图，则在 和两个空白框中分别可以填入（ ） Ai101 和 NN+（i+1）3 Bi99 和 NN+（i+1）2 Ci99 和 NN+（i+1）2 Di101 和 NN+（i+1）3 7 （5 分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（ ）
4、Af（x）xlnx Bf（x）exe x Cf（x）sin2x Df（x）x3x 8 （5 分）在ABC 中，AB3，AC2，BAC60，点 D、E 分别在线段 AB、CD 上， 且 BD2AD，CE2ED，则 =（ ） A3 B6 C4 D9 9 （5 分）已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面 直线 AB1与 BC1所成角的正弦值为（ ） A1 2 B 10 5 C 15 5 D 6 3 10 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与 双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的
5、离心率为（ ） A2 B2 + 2 C2 D2 + 2 11（5分） 已知定义在R上的奇函数f （x） ， 其导函数f （x） ， 当x0时， 恒有 3 () + ()0， 则不等式 x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0 的解集为（ ） 第 3 页（共 21 页） Ax|3x1 B*| 1 1 3+ Cx|x3 或 x1 Dx|x1 或 1 3+ 12 （5 分）如图，正三棱锥 SABC 中，侧面 SAB 与底面 ABC 所成的二面角等于 ，动点 P 在侧面 SAB 内， PQ底面 ABC， 垂足为 Q， PQPSsin， 则动点 P 的轨迹为 （ ） A线段 B圆 C一段圆弧 D一段抛
6、物线 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分）若 a= 3 0 ，则(2 ) 6）展开式的常数项为 14 （3 分）六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置， 则不同的坐法有 种（用数字回答） 15 （3 分）已知函数 f（x）x24x4若 f（x）1 在区间（m1，2m）上恒成立则 实数 m 的取值范围是 16 （3 分）在ABC 中，角 A 的平分线交 BC 于 D，BD3，CD2，则ABC 面积的最 大值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 24 分）分） 17 （12 分）
7、 已知等差数列an满足 a22a1， a4+a59， Sn为等比数列bn的前 n 项和， 2Sn+1 Sn+2 （1）求an，bn的通项公式； （2）设 cn= 3 4，为奇数 1 2，为偶数 ，证明：c1+c2+c3+cn 13 6 18如图，已知平面 BCE平面 ABC，直线 DA平面 ABC，且 DAABAC （）求证：DA平面 EBC； （）若BAC= 2，DE平面 BCE，求二面角 ADCE 的余弦值 第 4 页（共 21 页） 19 （12 分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线 生产的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本，检测一项质量指标值
8、，若该项质量指 标值落在20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品 乙生产线样本的频数分布表 质量指标值 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40） 40，45 合计 频数 2 18 48 11 16 2 100 （1）根据乙生产线样本的频率分布表，在指标小于 25 的产品中任取 2 件，求两件都为 合格品的概率； （2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述表格提供的数据， 绘制两条生产线合格率的等高条形图（图 2） ； 完成下面的 22 列联表， 并判断是否有 97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质 量指标值与设备改造有关？若有 97.5
9、%的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线 较好？ 甲生产线 乙生产线 合计 第 5 页（共 21 页） 合格品 不合格品 合计 附： P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d 20已知函数() = 2 2 1 ，aR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2） ，求 f（x2）2f（x1）的最大值 21已知动圆 C 与圆1：( 2)2+ 2= 1外切，又与直线 l：
10、x1 相切设动圆 C 的圆 心的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）在 x 轴上求一点 P（不与原点重合） ，使得点 P 关于直线 = 1 2 的对称点在曲线 E 上 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 五解答
11、题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|+|x1| （1）若不等式 f（x）x+m 有解，求实数 m 的取值范围： （2）函数 f（x）的最小值为 n，若正实数 a，b，c 满足 a+b+cn，证明：4ab+bc+ac 8abc 第 6 页（共 21 页） 2020 年河南省高考数学（理科）模拟试卷（年河南省高考数学（理科）模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|x0，Bx|log2（3x2）2，则（ ） A = (0， 5 3-
12、 B = (0， 1 3- C = (1 3， + ) DAB（0，+） 【解答】解：集合 Ax|x0，Bx|log2（3x2）2， Bx|2 3 x2， 则 AB（0，+） ，AB（2 3，2） ， 故选：D 2 （5 分）i 是虚数单位，x，y 是实数，x+i（2+i） （y+yi） ，则 x（ ） A3 B1 C 1 2 D1 3 【解答】解： （2+i） （y+yi）y+3yi， 所以 3y1，xy= 1 3， 故选：D 3 （5 分）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有一点 P（ 3，4） ，则 sin2（ ） A 24 25 B 7 25 C16 25
13、D8 5 【解答】解：终边上点 P（3，4） ，sin= 4 5，cos = 3 5， sin2 = 2 = 2 4 5 ( 3 5) = 24 25 故选：A 4 （5 分） 空气质量指数 AQI 是反应空气质量状况的指数， AQI 越小， 表明空气质量越好 如 表： AQI 指数值 050 51100 101150 151200 201300 300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某城市 5 月 1 日5 月 20 日 AQI 指数变化的趋势，则下列说法正确的是（ ） 第 7 页（共 21 页） A这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 200 B这
14、 20 天中的重度污染及以上的天数占 1 10 C该城市 5 月前半个月的空气质量越来越好 D该城市 5 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【解答】解：A 选项中高于 200 的只有三天，错误； B 选项中重度污染及以上的天数占 3 20，错误； C 选项 4 号到 15 号空气污染越来越严重，错误； 对于 D 选项，总体来说，该市 10 月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D 正确 故选：D 5 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F 和准线为 l，过点 F 的直线交 l 于点 A，与抛 物线的一个交点为 B，且 = 2 ，则|AB|（ ） A3 B6 C9 D12 【解答】
15、解：抛物线 C：y24x 的焦点 F（1，0）和准线 l：x1， 设 A（1，a） ，B（m，n） ， = 2 ，可得|FA|：|AB|2：3，|FD|：|BC|2：3，|BC|3， m2，n242，n22，a42，AB=32+ (62)2=9， 故选：C 第 8 页（共 21 页） 6 （5 分）为计算 S1+23+32+43+52+992+1003设计了如图所示的程序框图，则在 和两个空白框中分别可以填入（ ） Ai101 和 NN+（i+1）3 Bi99 和 NN+（i+1）2 Ci99 和 NN+（i+1）2 Di101 和 NN+（i+1）3 【解答】解：程序框图为计算 S1+23+
16、32+43+52+992+1003，则终止程序运行的 i 值 为 101， 判断框处应为 i101，又知偶数列加的是立方和， 所以应填 NN+（i+1）3， 故选：D 7 （5 分）下列函数中，既是奇函数，又在（0，1）上是增函数的是（ ） Af（x）xlnx Bf（x）exe x Cf（x）sin2x Df（x）x3x 【解答】解：对于 A，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数； 第 9 页（共 21 页） 对于 B，f（x）f（x）奇函数，且 f（x）ex+e x0，即在（0，1）上是增函数； 对于 C，f（x）f（x） 奇函数，正弦函数 sin2x 周期为 ，易知在（0，1）上先增后 减；
17、 对于 D，f（x）f（x） 奇函数，易知 f（x）在（0，1）上先减后增； 故选：B 8 （5 分）在ABC 中，AB3，AC2，BAC60，点 D、E 分别在线段 AB、CD 上， 且 BD2AD，CE2ED，则 =（ ） A3 B6 C4 D9 【解答】解：如图，BD2AD，CE2ED，AB3，AC2，BAC60， = ( + ) = ( 2 3 + 1 3 ) = , 2 3 + 1 3 ( + )- = , 2 3 + 1 3 ( 1 3 + )- = ( 7 9 + 1 3 ) = 7 9 2 + 1 3 = 7 9 9 + 1 3 3 2 1 2 6 故选：B 9 （5 分）已知
18、直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面 直线 AB1与 BC1所成角的正弦值为（ ） A1 2 B 10 5 C 15 5 D 6 3 【解答】解：如图， ABC120，AB2，BCCC1BB11，B1BCB1BA90， 第 10 页（共 21 页） 1 1 = ( + 1 ) ( + 1 ) = 1 + 1 + 1 2 = 2 1 ( 1 2) + 1 2， 又|1 | = 5，|1 | = 2， 1 ，1 = 1 1 |1 |1 | = 2 10， 异面直线 AB1与 BC1所成角的正弦值为 15 5 故选：C 10 （5 分）已知双曲线： 2 2 2
19、2 = 1的左、右焦点分别为 F1，F2，以 F1F2为直径的圆与 双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，则双曲线的离心率为（ ） A2 B2 + 2 C2 D2 + 2 【解答】解：以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2c2， 联立双曲线的方程 b2x2a2y2a2b2， 可得 x2= 2(2+2) 2 ， 以 F1F2为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形， 可得 x2y2= 1 2c 2， 即有 c44a2c2+2a40， 由 e= ，可得 e 44e2+20， 解得 e22+2（22舍去） ， 则 e=2 + 2 第 11 页（共 21 页） 故选：D 11（
20、5分） 已知定义在R上的奇函数f （x） ， 其导函数f （x） ， 当x0时， 恒有 3 () + ()0， 则不等式 x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0 的解集为（ ） Ax|3x1 B*| 1 1 3+ Cx|x3 或 x1 Dx|x1 或 1 3+ 【解答】解：根据题意，不妨设 g（x）x3f（x） ， 则当 x0 时，() = 32,() + 3 ()- 0， 则 g（x）在（0，+）上单调递增， 又 g（x）x3f（x）为偶函数， 则 g（x）g（|x|） ， x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0x3f（x）（1+2x）3f（1+2x） ，即 g（x）g（1+2x）
21、， 可知 g（|x|）g（|1+2x|） ， 则|x|1+2x|，解得：x1 或 x 1 3， 所以不等式 x3f（x）（1+2x）3f（1+2x）0 的解集为：*| 1或 1 3+， 故选：D 12 （5 分）如图，正三棱锥 SABC 中，侧面 SAB 与底面 ABC 所成的二面角等于 ，动点 P 在侧面 SAB 内， PQ底面 ABC， 垂足为 Q， PQPSsin， 则动点 P 的轨迹为 （ ） A线段 B圆 C一段圆弧 D一段抛物线 【解答】解：如图：过点 P 作 AB 的垂线段 PR，连接 RQ，则 RQ 是 PR 在面 ABC 内的 射影，由三垂线定理得逆定理得，QRAB， PRQ
22、 为侧面 SAB 与底面 ABC 所成的二面角 ，直角三角形 PRQ 中，sin= ，又已 知 PQPSsin， sin= ， = ，PSPR，即点 P 到点 S 的距离等于点 P 到 AB 的距离， 第 12 页（共 21 页） 根据抛物线的定义，点 P 在以点 S 为焦点，以 AB 为准线的抛物线上 又点 P 在侧面 SAB 内，故点 P 的轨迹为一段抛物线， 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 3 分）分） 13 （3 分）若 a= 3 0 ，则(2 ) 6）展开式的常数项为 240 【解答】解：若 a= 3 0 =ex|0 3 =e
23、ln3e02，则(2 ) 6 = (2 2 ) 6， 它的展开式通项公式为 Tr+1= 6 （2）rx123r，令 123r0，求得 r4， 可得它的 展开式的常数项为6 416240， 故答案为：240 14 （3 分）六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置， 则不同的坐法有 135 种（用数字回答） 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 、在六位同学中任选 2 人，坐自己原来的位置，有 C6215 种情况， 、假设不坐自己位置的 4 人为 A、B、C、D， A 不坐自己的位置，有 3 种坐法， 假设 A 坐在了 B 的位置，B 有 3 种坐法， 剩下 C、
24、D，只有一种坐法， 则剩下 4 人不坐自己的位置，有 339 种情况， 故恰有两位同学坐自己原来的位置的坐法有 159135 种； 故答案为：135 15 （3 分）已知函数 f（x）x24x4若 f（x）1 在区间（m1，2m）上恒成立则 第 13 页（共 21 页） 实数 m 的取值范围是 0，1 3） 【解答】解：因为 f（x）x24x4， 所以 f（x）1x24x501x5， 即解集为（1，5） 因为 f（x）1 在区间（m1，2m）上恒成立， 所以（m1，2m）（1，5） ， 所以1m12m5，且两个等号不同时成立， 所以0 1 3， 故答案为：,0， 1 3) 16 （3 分）在A
25、BC 中，角 A 的平分线交 BC 于 D，BD3，CD2，则ABC 面积的最 大值为 15 【解答】解：如图，由角平分线可得： = ，即 3 = 2 ， 设 AB3x，AC2x，则 = 92+4225 122 = 13225 122 ， 则有 =1 (13 225 122 )2= 5 122 4+ 262 25， SABC= 1 2ABACsinA = 1 2 3 2 5 122 4+ 262 25 = 5 4 4+ 262 25 = 5 4( 2 13)2+ 144 15，当 x13 时，取得最大值 15 故答案为：15 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 24 分）分）
26、第 14 页（共 21 页） 17 （12 分） 已知等差数列an满足 a22a1， a4+a59， Sn为等比数列bn的前 n 项和， 2Sn+1 Sn+2 （1）求an，bn的通项公式； （2）设 cn= 3 4，为奇数 1 2，为偶数 ，证明：c1+c2+c3+cn 13 6 【解答】解： （1） （基本量法求等差等比通项）等差数列an的公差设为 d， a22a1，a4+a59，可得 a1+d2a1，2a1+7d9，解得 a1d1， 可得 ann； 由 2Sn+1Sn+2 得 2SnSn1+2，n2， 两式相减整理得 2bn+1bn，可得公比 q= 1 2， 由 2（b1+ 1 2b1）
27、b1+2，解得 b11， = 1 21； （2）证法 1： （应用放缩和错位相减求和证明不等式） cn= 3 4，为奇数 1 2，为偶数 = = 3 4 1 21 ，为奇数 1 2 ，为偶数 ， nc1+c2+c3+cn，Akc1+c3+c2k1，Bkc2+c4+c2k， Ak= 3 4（ 1 40 + 3 4 + + 2;1 41 ） ，1 4Ak= 3 4（ 1 4 + 3 42 + + 2;1 4 ） ， 两式相减整理得3 4Ak= 3 4（1+ 1 2 + 1 8 + + 1 223 21 4 ）= 3 4（1+ 1 2(1 1 41) 11 4 21 4 ） ， 可得= 5 3 (2
28、 + 5 3) 1 4 10 6 ， 又因为（2k）2（2k1） （2k+1） ，= 1 22 + 1 42 + + 1 (2)2 1 2 (1 1 1 3 + 1 3 1 5 + 1 21 1 2+1) 1 2 = 3 6 所以= 1 22 + 1 42 + + 1 (2)2 3 6， = + 10 6 + 3 6 = 13 6 证法 2： （应用放缩和裂项求和证明不等式） 令= ( + ) 1 41 ， 2;1 41 = +1 化简整理得：= ( 8 3 + 4 9) 1 41 ， = :1 1= 5 3 (2 + 5 3) 1 4 10 6 ， = 1 12 + 1 22 + 1 32
29、+ + 1 2 1 + 1 12 + 1 23 + 1 (1) = 2 1 2 ， 1 22 = 1 22 + 第 15 页（共 21 页） 1 42 + + 1 (2)2 1 2 1 4 1 2， 所以= 1 22 + 1 42 + + 1 (2)2 3 6， = + 10 6 + 3 6 = 13 6 18如图，已知平面 BCE平面 ABC，直线 DA平面 ABC，且 DAABAC （）求证：DA平面 EBC； （）若BAC= 2，DE平面 BCE，求二面角 ADCE 的余弦值 【解答】 （）证明：过点 E 作 EHBC 于点 H， 平面 BCE平面 ABC，又平面 BCE平面 ABCBC
30、，EH平面 BCE， EH平面 ABC， 又DA平面 ABC，ADEH， EH平面 BCE，DA平面 BCE， DA平面 EBC； （）DE平面 BEC，DEBDEC= 2， 又DBDC，DEDE，DEBDEC，则 BECE， 点 H 是 BC 的中点，连接 AH，则 AHBC， AH平面 EBC，则 DEAH，AHEH 四边形 DAHE 是矩形 以 A 为坐标原点，分别以 AC，AB，AD 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 DA2a，则 E（a，a，2a） ，C（2a，0，0） ，D（0，0，2a） ， 设平面 DEC 的一个法向量为 = (，)， = (，0)， = (2
31、，0， 2) 由 = + = 0 = 2 2 = 0 ，取 x1，得 = (1， 1，1)； 第 16 页（共 21 页） 又平面 DAC 的一个法向量为 = (0，1，0)， 设二面角 ADCE 的平面角为 ， 则|cos|cos ， |=| | | |= 3 3 ， 又二面角 ADCE 是钝角，则二面角 ADCE 的余弦值为 3 3 19 （12 分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线 生产的大量产品中各抽取了 100 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指 标值落在20，40）内的产品视为合格品，否则为不合格品 乙生产线样本的频数分布表 质量指
32、标值 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40） 40，45 合计 频数 2 18 48 11 16 2 100 （1）根据乙生产线样本的频率分布表，在指标小于 25 的产品中任取 2 件，求两件都为 合格品的概率； （2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述表格提供的数据， 绘制两条生产线合格率的等高条形图（图 2） ； 第 17 页（共 21 页） 完成下面的 22 列联表， 并判断是否有 97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质 量指标值与设备改造有关？若有 97.5%的把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线 较好？ 甲生产线 乙生产线
33、合计 合格品 不合格品 合计 附： P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，na+b+c+d 【解答】解： （1）由频率约等概率可得答案为：1817 2019 = 153 190， （2）条形图如下： 第 18 页（共 21 页） 根据题目所给的数据填写 22 列联表如下： 甲生产线 乙生产线 合计 合格品 86 96 182 不合格品 14 4 18 合计 100 100 200 2= 200(8649614)2 182181
34、00100 6.1055.024 所以有 97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关， 甲生产线的合格率 86 100，乙产线的合格率 96 100， 因此保留乙生产线较好 故答案为： （1）153 190， （2）有 97.5%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设 备改造有关，保留乙生产线较好， 20已知函数() = 2 2 1 ，aR （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1x2） ，求 f（x2）2f（x1）的最大值 【解答】解： （1）f（x）2x2a+ 1 = 222+1 ，x0， 令 y2x22ax+1， 当
35、4a280，即2 2时，y0，此时 f（x）在（0，+）上单调递增； 当 a 2时，2x22ax+10 有两个负根，此时 f（x）在（0，+）上单调递增； 第 19 页（共 21 页） 当 a2时，2x22ax+10 有两个正根，分别为 x1= 22 2 ，x2= +22 2 ， 此时 f（x）在（0，x1） ， （x2，+）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减 综上可得：a 2时，f（x）在（0，+）上单调递增， a2时，f（x）在（0，; 2;2 2 ） ， （: 2;2 2 ，+）上单调递增， 在（; 2;2 2 ，: 2;2 2 ）上单调递减 （2）由（1）可得 x1+x2a，x1x
36、2= 1 2，a2， 2ax1212+1，2ax2222+1， a2， 2 2 2 ， x1（0， 2 2 ） ，x2（ 2 2 ，+） ， f（x2）2f（x1）= 222ax2+lnx22（122ax1+lnx1） = 22+212+lnx22lnx1+1 = 22+2( 1 22) 2 +lnx2+2ln 1 22 +1= 22+ 1 222 + 3 2ln2 2 +1+2ln2， 令 t= 22，则 t 1 2， g（t）t+ 1 2 + 3 2lnt+1+2ln2， g（t）1 1 22 + 3 2 = 22+31 22 = (21)(1) 22 ， 当1 2 t1 时，g（t）0；
37、当 t1 时，g（t）0， g（t）在（1 2，1）上单调递增，在（1，+）单调递减 g（t）maxg（1）= 1+42 2 f（x2）2f（x1）的最大值为1:42 2 21已知动圆 C 与圆1：( 2)2+ 2= 1外切，又与直线 l：x1 相切设动圆 C 的圆 心的轨迹为曲线 E （1）求曲线 E 的方程； （2）在 x 轴上求一点 P（不与原点重合） ，使得点 P 关于直线 = 1 2 的对称点在曲线 E 上 【解答】解：解法一： （1）依题意得圆心 C 到于直线 x2 的距离等于到圆 C1圆心的 第 20 页（共 21 页） 距离， 所以 C 的轨迹是（2，0）为焦点，以直线 x2
38、为准线的抛物线， 设其方程 y22px（p0） ，则 2 = 2，p4， 所以曲线 E 的方程为 y28x （2）设 P（t，0） ，P 关于直线 = 1 2 的对称点为 P1（m，n） ， 则 = 2， 2 = 1 2 (+ 2 )， 即2 + = 2， 2 = ， 解得 = 3 5， = 3 5 . 代入曲线 E 得16 25 2= 24 5 ， 解得 t0（舍去） ， = 15 2 ，即点 P 的坐标为(15 2 ，0) 解法二： （1）设圆心 C（x，y） ，依题意 x1， 因为圆 C 与直线 l：x1 相切，所以 rx+1， 又圆 C 与圆 C1外切，所以|CC1|r+1， 即( 2
39、)2+ 2= + 2， 化简得曲线 E 的方程为 y28x （2）同解法 四解答题（共四解答题（共 1 小题）小题） 22在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 【解答】 解：（） 椭圆C以极坐标系中的点 （0， 0） 为中心、 点 （1， 0） 为焦点、（2， 0） 为一个
40、顶 点 所以 c1，a= 2，b1， 所以椭圆的方程为 2 2 + 2= 1，转换为极坐标方程为2= 2 1+2 第 21 页（共 21 页） （） 直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2x+y20 设交点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 所以 2 + 2 = 0 2 2 + 2= 1 ，整理得 9x216x+60， 所以1+ 2= 16 9 ，12= 6 9， 所以| = 1 + (2)2|x1x2|= 5(1+ 2)2 412= 10 9 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|+|x1| （1）若不等式 f（x）x+m 有解，求实数 m 的取值范围： （2）函数 f（x）的最小值为 n，若正实数 a，b，c 满足 a+b+cn，证明：4ab+bc+ac 8abc 【解答】解： （1）设 g（x）f（x）x|x3|+|x1|x， 则() = 3 + 4， 1 + 2，13 4， 3 ， 所以 g（x）在（，3上单调递减，在（3，+）单调递增 故 g（x）ming（3）1g（x）m 有解，m1 综上所述：m1，+） 证明（2） ：由（1）可知，n2，即 a+b+c2，欲证原不等式， 只需证：4 + 1 + 1
