1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分） 设全集为 R， 集合 Ax|3x3， Bx|x24x50， 则 ARB （ ） A （3，0） B （3，1 C （3，1） D （3，3） 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）1i，则复数 z 的共轭复数在复平面 上对应的点为（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，0） D （0，1） 3 （5 分） （x22x3） （2x1）6的
2、展开式中，含 x3项的系数为（ ） A348 B88 C232 D612 4 （5 分）设函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，满足 f（x+1）f（x1） ，若 f（1） 1，f（5）a22a4，则实数 a 的取值范围是（ ） A （1，3） B （，1）（3，+） C （3，1） D （，3）（1，+） 5 （5 分）函数 = +的图象大致为（ ） A B C D 6 （5 分）设 alog318，blog424，c= 2 3 4，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbca Dcba 7 （5 分）设等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，则“|q|1”是“
3、S63S2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8（5 分） 在ABC 中， E、 F 分别为 BC、 AB 边上的中点， AE 与 CF 相交于点 G， 设 = ， 第 2 页（共 19 页） = ，且 = + ，则 + 的值为（ ） A 1 3 B1 3 C2 3 D1 9（5 分） 已知函数() = 1， 1 ，1 ， 则满足 f （1t） f （1+t） 的 t 的取值范围是 （ ） A （，0） B （1，0） C （0，+） D （0，1） 10 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右焦点分别为 F1，F2，过
4、F1的直 线与 C 的两条渐近线分别交于 A、B 两点，若以 F1F2为直径的圆过点 B，且 A 为 F1B 的 中点，则 C 的离心率为（ ） A3 + 1 B2 C3 D2 11 （5 分）已知某圆柱的底面周长为 4，体积为8 ，矩形 ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此 圆柱的侧面上，从 B 到 D 的路径中，最短路径的长度为（ ） A2 B25 C23 D22 12 （5 分）已知函数 f（x）cos（x 2 3 ） （0） ，x1，x2，x30，且x0，都 有 f（x1）f（x）f（x2） ，满足 f（x3）0 的实数 x3有且只有 3 个，给出下述四个结 论： 满足题目条件的实数 x
5、1有且只有 1 个；满足题目条件的实数 x2有且只有 1 个； f（x）在（0， 10）上单调递增； 的取值范围是 13 6 ， 19 6 ） 其中所有正确结论的编号是（ ） 第 3 页（共 19 页） A B C D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）axlnxbx（a，bR）在点（e，f（e） ）处的切线方程为 y3x e，则 a+b 14 （5 分）某学校选拔新生补进“篮球” 、 “电子竞技” 、 “国学”三个社团，根据资料统计， 新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立2019 年某新生
6、入学，假设他通过 考核选拔进入该校“篮球” 、 “电子竞技” 、 “国学”三个社团的概率依次为 m，1 3，n，已 知这三个社团他都能进入得慨率为 1 24， 至少进入一个社团的概率为 3 4， 则 m+n 15 （5 分）已知实数 x，y 满足 2 3 + 6 3 1 2 3 ，则 ;4的取值范围为 16 （5 分）已知椭圆 2 2 + 2 4 = 1，则以点 M（1，1）为中点的弦所在直线方程为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知3asinCccosA，
7、A （0， 2） （1）求角 A 的大小； （2）若 sin（A）= 3 5，且 0 2，求 cos（2+A）的值 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方 形，PA2，E 为 PD 中点 （1）求证：AEPC； （2）求二面角 BAEC 的正弦值 19 （12 分）已知 M 是抛物线 C：y24x 上一点，F 是抛物线 C 的焦点，|MF|4 第 4 页（共 19 页） （）求直线 MF 的斜率； （）已知动圆 E 的圆心 E 在抛物线 C 上，点 D（2，0）在圆 E 上，且圆 E 与 y 轴交于 A，B 两点，令|DA|m，
8、|DB|n，求 + 的最大值 20 （12 分）已知函数 f（x）x2+cosx （1）求函数 f（x）的最小值； （2）若函数 g（x）f（x）a 在（0，+）上有两个零点 x1，x2，且 x1x2，求证： x1+x2 21（12 分） 我市准备实施天然气价格阶梯制， 现提前调査市民对天然气价格阶梯制的态度， 随机抽查了 50 名市民，现将调査情况整理成了被调査者的频率分布直方图（图 5）和赞 成者的频数表如下： 年龄（岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75 赞成人数 4 6 9 6 3 4 （）若从年龄在15，25） ，45，55）的被调查者
9、中各随机选取 2 人进行调查，求所选 取的 4 人中至少有 2 人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率； （）若从年龄在15，25） ，25，35）的被调査者中各随机选取 2 人进行调査，记选取 的 4 人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和 数学期望 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2 （1）求曲线 C1的直角坐
10、标方程和曲线 C2的参数方程； 第 5 页（共 19 页） （2） 设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A， 曲线 C1与 x 轴的交点为 H， 点 M （1， 0） ，求AMH 的周长 l 的最大值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a312，S100，S130 （1）求公差 d 的取值范围； （2）若公差 dZ，Sn为an的前 n 项和，= 12 + 75 ，求证：对任意 nN*，SnTn 第 6 页（共 19 页） 2020 年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答
11、案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分） 设全集为 R， 集合 Ax|3x3， Bx|x24x50， 则 ARB （ ） A （3，0） B （3，1 C （3，1） D （3，3） 【解答】解：Ax|3x3，Bx|1x5， RBx|x1 或 x5，ARB（3，1 故选：B 2 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）1i，则复数 z 的共轭复数在复平面 上对应的点为（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，0） D （0，1） 【解答】解：由 z（1+i）1i， 得 = 1 1+
12、= (1)2 (1+)(1) = ， = 复数 z 的共轭复数在复平面上对应的点为 （0， 1） ， 故选：D 3 （5 分） （x22x3） （2x1）6的展开式中，含 x3项的系数为（ ） A348 B88 C232 D612 【解答】解：解： （x22x3） （2x1） 6（x22x3） （ 6 0 （2x）661 （2x）5+62 （2x） 4+ 6 5 （2x）+66） ， 故展开式中，含 x3项的系数为（3） （6 323 ）+（2） 6422+1 （652）480+（ 120）12348， 故选：A 4 （5 分）设函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，满足 f（x+1）f（x
13、1） ，若 f（1） 1，f（5）a22a4，则实数 a 的取值范围是（ ） A （1，3） B （，1）（3，+） C （3，1） D （，3）（1，+） 【解答】解：由 f（x+1）f（x1） ，可得 f（x+2）f（x） ， 则 f（x+4）f（x+2）f（x） ，故函数 f（x）的周期为 4， 则 f（5）f（1）a22a4， 又函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（1）1， 第 7 页（共 19 页） f（1）1 a22a41，解得1a3 实数 a 的取值范围是（1，3） 故选：A 5 （5 分）函数 = +的图象大致为（ ） A B C D 【解答】 解： 根据题意， 设()
14、 = +， 则() = + = ()， 所以函数 f （x） 是奇函数，其图象关于原点对称，排除 B，C， 且当 x+时，() = + 0，排除 D， 故选：A 6 （5 分）设 alog318，blog424，c= 2 3 4，则 a、b、c 的大小关系是（ ） Aabc Bacb Cbca Dcba 【解答】解：c= 2 3 42，a= 3 1839 = 2， = 4 244162， 又 a= 3 18 = 1 + 3 6， = 424 = 1 + 4 6， 46 = 1 64，36 = 1 63且 log64log630， 1 64 1 63， log424log318， cba 故选：
15、D 7 （5 分）设等比数列an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，则“|q|1”是“S63S2”的（ ） 第 8 页（共 19 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若 q1 时，S66a13S232a16a1， q1 时，S63S20，符合题意，是充分条件； 反之也成立， 故“|q|1”是“S63S2”的充要条件， 故选：C 8（5 分） 在ABC 中， E、 F 分别为 BC、 AB 边上的中点， AE 与 CF 相交于点 G， 设 = ， = ，且 = + ，则 + 的值为（ ） A 1 3 B1 3 C2 3 D1 【解答】解：E、
16、F 分别为 BC、AB 边上的中点，AE 与 CF 相交于点 G， G 为ABC 的重心，且 = ， = ， = 1 3( + ) = 1 3 ( + ) = 2 3 + 1 3 = 2 3 + 1 3 ， 又 = + ， + = 1 3 故选：A 9（5 分） 已知函数() = 1， 1 ，1 ， 则满足 f （1t） f （1+t） 的 t 的取值范围是 （ ） A （，0） B （1，0） C （0，+） D （0，1） 第 9 页（共 19 页） 【解答】解：函数() = 1， 1 ，1 ， 可得 x1 时，f（x）lnx 递增； x1 时，f（x）x1 递增，且 x1 处 f（1）0
17、， 可得 f（x）在 R 上为增函数， 由 f（1t）f（1+t） ，即 1t1+t， 解得 t0，即 t 的范围是（0，+） 故选：C 10 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直 线与 C 的两条渐近线分别交于 A、B 两点，若以 F1F2为直径的圆过点 B，且 A 为 F1B 的 中点，则 C 的离心率为（ ） A3 + 1 B2 C3 D2 【解答】解：如图， 因为 A 为 F1B 的中点，所以1 = ， 又因为 B 在圆上，所以1 2 =0，故 OAF1B， 则 F1B：y= （x+c） ， 联立 = ( + ) = ，解得
18、 B（ 2 2;2， 2;2） ， 则 OB2（ 2 2;2） 2+（ 2;2） 2c2， 整理得：b23a2， c2a23a2，即 4a2c2， 2 2 =4，e= =2 故选：B 第 10 页（共 19 页） 11 （5 分）已知某圆柱的底面周长为 4，体积为8 ，矩形 ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此 圆柱的侧面上，从 B 到 D 的路径中，最短路径的长度为（ ） A2 B25 C23 D22 【解答】解：设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 2 = 4， 2 = 8 ， 解得 h2 故圆柱的侧面展开图是长为 4，宽为 2 的矩形， 则在此圆柱的侧面上从 B 到 D 的最短路径长度为2
19、2+ 22= 22 故选：D 12 （5 分）已知函数 f（x）cos（x 2 3 ） （0） ，x1，x2，x30，且x0，都 有 f（x1）f（x）f（x2） ，满足 f（x3）0 的实数 x3有且只有 3 个，给出下述四个结 论： 满足题目条件的实数 x1有且只有 1 个；满足题目条件的实数 x2有且只有 1 个； f（x）在（0， 10）上单调递增； 的取值范围是 13 6 ， 19 6 ） 其中所有正确结论的编号是（ ） A B C D 【解答】解：函数 f（x）cos（x 2 3 ） （0） ，x1，x2，x30， 满足 f（x3）0 的实数 x3有且只有 3 个， 由 cos（x
20、 2 3 ）0，可得 x 2 3 =k+ 2，kZ， 第 11 页（共 19 页） 由 k0 可得 x= 7 6；k1 可得 x= 6；k1 可得 x= 13 6 ；k2 可得 x= 19 6 ， 由 x30，可得19 6 ，且13 6 ， 解得13 6 19 6 ；故正确； 由 x（0， 10） ，可得 x 2 3 （ 2 3 ， 10 2 3 ） ， 由13 6 19 6 ，可得 10 2 3 （ 9 20， 7 20） ， 由 ycosx 在（，0）递增，可得 f（x）在（0， 10）上单调递增，故正确； 由x0，都有 f（x1）f（x）f（x2） ， 可得 f（x）的极大值为 f（x2
21、） ，极小值为 f（x1） ， 由 ycosx 的图象可得 f（x）在0，的极大值有两个，极小值一个， 故正确，错误 其中正确的为 故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）axlnxbx（a，bR）在点（e，f（e） ）处的切线方程为 y3x e，则 a+b 0 【解答】解：在点（e，f（e） ）处的切线方程为 y3xe， f（e）2e，代入 f（x）axlnxbx 得 ab2 又f（x）a（1+lnx）b，f（e）2ab3 联立解得：a1，b1 a+b0 故答案为：0 14 （5 分）某学校选拔
22、新生补进“篮球” 、 “电子竞技” 、 “国学”三个社团，根据资料统计， 新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立2019 年某新生入学，假设他通过 考核选拔进入该校“篮球” 、 “电子竞技” 、 “国学”三个社团的概率依次为 m，1 3，n，已 知这三个社团他都能进入得慨率为 1 24，至少进入一个社团的概率为 3 4，则 m+n 3 4 【解答】解：因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为 m，1 3，n，且相互独立，所 第 12 页（共 19 页） 以 0m1，0n1，又因为三个社团他都能进入的概率为 1 24，所以 1 3 = 1 24， 因为至少进入一个社团的概率为3 4， 所
23、以一个社团都不能进入的概率为 1 3 4 = 1 4， 所以 2 3 （1 m） （1n）= 1 4，即 1mn+mn= 3 8，联立得：m+n= 3 4 故答案为：3 4 15 （5 分）已知实数 x，y 满足 2 3 + 6 3 1 2 3 ，则 ;4的取值范围为 3， 3 4 【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 因为 ;4的几何意义是区域内的点到定点 M（4，0）的斜率， 观察可知，KAM 4 KCM， 由 A（ 3，3 ） ，C（0，3） ，即3 4 3 4， 故 ;4的取值范围为3， 3 4； 故答案为：3，3 4 16 （5 分）已知椭圆 2 2 + 2
24、4 = 1，则以点 M（1，1）为中点的弦所在直线方程为 2x+y 30 【解答】解：设以点 M（1，1）为中点的弦与椭圆 2 2 + 2 4 = 1 交于点 A（x1，y1） ，B （x2，y2） ，则 x1+x22，y1+y22， 分别把点 A，B 的坐标代入椭圆方程得： 12 2 + 12 4 = 1 22 2 + 22 4 = 1 ， 两式相减得：(1:2)(1;2) 2 + (1:2)(1;2) 4 = 0， (1 2) + 12 2 = 0， 第 13 页（共 19 页） 直线 AB 的斜率 k= 12 12 = 2， 以点 M（1，1）为中点的弦所在直线方程为：y12（x1） ，
25、即 2x+y30， 故答案为：2x+y30 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知3asinCccosA，A （0， 2） （1）求角 A 的大小； （2）若 sin（A）= 3 5，且 0 2，求 cos（2+A）的值 【解答】解： （1）3asinCccosA， 由正弦定理可得3sinAsinCsinCcosA， C（0，） ，sinC0， 3sinAcosA，即 tanA= 3 3 ， A（0， 2） A= 6 （2）由（1）sin（ 6）= 3 5，且
26、0 2， 6（ 6， 3） ， cos（ 6）= 1 2( 6) = 4 5， sinsin （ 6 + 6） sin （ 6） cos 6 +cos （ 6） sin 6 = 3 5 3 2 + 4 5 1 2 = 33:4 10 ， coscos （ 6 + 6） cos （ 6） cos 6 sin （ 6） sin 6 = 4 5 3 2 3 5 1 2 = 43;3 10 ， sin22sincos= 2 33+4 10 433 10 = 24+73 50 ， cos2= (4 33 10 )2 (3 3+4 10 )2= 7243 50 ， cos（2+ 6）= 2 3 2 2 1
27、 2 = 24 25 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 2 的正方 形，PA2，E 为 PD 中点 （1）求证：AEPC； 第 14 页（共 19 页） （2）求二面角 BAEC 的正弦值 【解答】 （1）证明：底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，PA2，E 为 PD 中点， AEPD，CDAD PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，CDPA PAADA，CD平面 PAD， AE平面 PAD，CDAE， CDPDD，AE平面 PCD， PC平面 PCD，AEPC； （2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP
28、为 z 轴建立如图空间直角坐标系 则 A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（2，2，0） ，E（0，1，1） ， = (0，1，1)， = (2，0，0)， = (2，2，0)， 设平面 ABE 的一个法向量 = (，)， 则 = 2 = 0 = + = 0 ，取 y1，得 = (0，1， 1)； 设平面 AEC 的一个法向量为 = (，)， 则 = 2 + 2 = 0 = + = 0 ，取 a1，得 = (1， 1，1)， cos ， = | |= 2 32 = 6 3 ， 二面角 BAEC 的正弦值为1 ( 6 3 )2= 3 3 第 15 页（共 19 页） 19 （12 分）已知
29、 M 是抛物线 C：y24x 上一点，F 是抛物线 C 的焦点，|MF|4 （）求直线 MF 的斜率； （）已知动圆 E 的圆心 E 在抛物线 C 上，点 D（2，0）在圆 E 上，且圆 E 与 y 轴交于 A，B 两点，令|DA|m，|DB|n，求 + 的最大值 【解答】解： （）抛物线 C 的方程为：y24x，准线方程为：x1， 设点 M（x0，y0） ，x0+14，x03， y0212，y0= 23， M（3，23） ，且 F（1，0） ， 所以直线 MF 的斜率为23 3;1 = 3； （）设圆心 E（ 2 4 ，b） ，则圆 E 的方程为( 2 4 ) + ( )2= ( 2 4 2
30、)2+ 2，化简 得2+ 2 2 2 2 + 2 4 = 0， 令 x0 得 y22by+b240，即y（b+2）y（b2）0，所以 yb+2 或 yb 2， 不妨设 A（0，b+2） ，B（0，b2） ， m|DA|= 4 + ( + 2)2= 2+ 4 + 8，n|DB|= 4 + ( 2)2= 2 4 + 8， + = 2:2 = 2;4:8:2:4:8 (2:8)2;(4)2 = 22:16 4:64 =2 4:64:162 4:64 =21 + 162 4+64 =21 + 16 2+64 2 21 + 16 28 = 22， 当且仅当2= 64 2，即 b22时，等号成立， 所以
31、+ 的最大值为 22 第 16 页（共 19 页） 20 （12 分）已知函数 f（x）x2+cosx （1）求函数 f（x）的最小值； （2）若函数 g（x）f（x）a 在（0，+）上有两个零点 x1，x2，且 x1x2，求证： x1+x2 【解答】解： （1）由于函数 f（x）x2+cosx 为偶函数，要求函数 f（x）的最小值，只 需求 x0，+）时 f（x）的最小值即可 因为 f（x）2xsinx， 所以，当 x（0， 2）时，设 h（x）2xsinx，h（x）2cosx，显然 h（x） 单调递增，而 h（0）0，h（ 2）0，由零点存在定理，存在唯一的 x0（0， 2） ， 使得 h
32、（x0）0，2 分 当 x（0，x0） ，h（x）0，h（x）单减，当 x（x0， 2） ，h（x）0，h（x）单增， 而 h（0）0， h（ 2）0，x（0， 2） ，h（x）0，即 x（0， 2） ，f（x）0，f（x）单减，4 分 又当 x （ 2， +） ， 2xsinx， f （x） 0， f （x） 单增， 所以 f （x） minf （ 2） = 2 4 ； 5 分 （2）只需证1:2 2 2，其中 x1（0， 2） ，x2（ 2，+） ， 构造函数 F（x）f（x）f（x） ，x（0， 2） ， F（x）f（x）+f（x）22sinx0，即 F（x）单增， 所以，F（x）F（
33、2）0，即当 x（0， 2）时， f（x）f（x） ， 而 x1（0， 2） ， 所以，f（x1）f（x1） ，又 f（x1）f（x2） ，即 f（x2）f（x1） ， 此时 x2，x2（ 2，+） ，由第（1）问可知，f（x）在（ 2，+）上单增，所以，x2 x1，x1+x2，即证12 分 21（12 分） 我市准备实施天然气价格阶梯制， 现提前调査市民对天然气价格阶梯制的态度， 随机抽查了 50 名市民，现将调査情况整理成了被调査者的频率分布直方图（图 5）和赞 成者的频数表如下： 第 17 页（共 19 页） 年龄（岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65
34、） 65，75 赞成人数 4 6 9 6 3 4 （）若从年龄在15，25） ，45，55）的被调查者中各随机选取 2 人进行调查，求所选 取的 4 人中至少有 2 人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率； （）若从年龄在15，25） ，25，35）的被调査者中各随机选取 2 人进行调査，记选取 的 4 人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为 X，求随机变量 X 的分布列和 数学期望 【解答】解： （）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况如下表： 年龄（岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75） 赞成人数 4 6 9 6 3 4 不赞成人
35、 数 1 4 6 4 2 1 总人数 5 10 15 10 5 5 所选取的 4 人中到少有 2 人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率为： P11 1 1 4 1 4 2 5 2 10 2 = 71 75 （）X 的可能取值为 0，1，2，3， P（X0）= 4 2 6 2 5 2 10 2 = 71 75， P（X1）= 1 1 4 1 6 2+ 4 2 4 1 6 1 5 2 10 2 = 34 75 P（X2）= 1 1 4 1 4 1 6 1+ 4 2 4 2 5 2 10 2 = 22 75， P（X3）= 1 1 4 1 4 2 5 2 10 2 = 4 75， 第 18 页（共
36、19 页） X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 15 75 34 75 22 75 4 75 E（X）= 0 15 75 + 1 34 75 + 2 22 75 + 3 4 75 = 6 5 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C1的极坐标方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2 （1）求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程； （2） 设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A， 曲线
37、 C1与 x 轴的交点为 H， 点 M （1， 0） ，求AMH 的周长 l 的最大值 【解答】解： （1）曲线 C1的极坐标方程为 cosm，转换为直角坐标方程为：xm 曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2转换为直角坐标方程为 3x 2+4y212，整理得 2 4 + 2 3 = 1， 转换为参数方程为 = 2 = 3 （ 为参数） （2） 曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A（2cos， 3） ，M（1，0） ， H（2cos， 0） 所以 所 以 lABC |AM|+|MH|+|AH| = 3 + 1 2 +(2 1)2+ (3)2= 3 + 1 2 + 2 =23( 3
38、) + 3， 当( 3) = 1时，AMH 的周长 l 的最大值为 23 + 3 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a312，S100，S130 （1）求公差 d 的取值范围； （2）若公差 dZ，Sn为an的前 n 项和，= 12 + 75 ，求证：对任意 nN*，SnTn 【解答】解： （1）等差数列an中，a312，S100，S130， 第 19 页（共 19 页） 1 + 2 = 12 101+ 109 2 0 131+ 1312 2 0 ， 解得 24 5 3， 公差 d 的取值范围是（ 24 5 ，3） （2） 24 5 3，dZ， d4， a1+2d12， a120， Sn20n+ (1) 2 (4) = 2n2+22n2（n 11 2 ）2+ 121 2 ， n5 或 n6 时， （Sn）max60， 又= 12 + 75 212 75 = 60， 即（Tn）min60， SnTn
