1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷年湖南省高考数学（理科）模拟试卷 1 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *|0.5(2+ 2 + 4)0+，集合 Bx|2x 14，则集合 BA （ ） A （，1 B （，1） C （，13，+） D （，1）（3，+） 2 （5 分）若复数 z= 5 2，则|z|（ ） A1 B5 C5 D55 3 （5 分） 若命题 “存在 x0R， 使 x22xm0” 是真命题， 则实数 m 的取值范围是 （ ） A （，1 B1，+） C1
2、，1 D （1，+） 4 （5 分）已知函数 f（x）= 1 ex，其中 e 是自然对数的底数，若 af（log 1 2 3） ，bf （log 1 2 1 5） ，cf（2 0.2） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccba Dcab 5 （5 分）已知向量 ， 满足 = (1，3)，( 2 ） ，则 在 上的投影为（ ） A1 B1 C 1 2 D1 2 6 （5 分）袋中装有 5 个红球和 4 个黑球，从袋中任取 4 个球取到 1 个红球得 3 分，取到 1 个黑球得 1 分，设得分为随机变量 ，则 8 的概率 P（8）等于（ ） A1 6 B5 6 C 5 1
3、2 D 7 12 7 （5 分）已知( + 2 + 1)5的展开式的常数项为 a，则 ;118 1 (2 1) =（ ） A5 B6 C7 D9 8 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 2 + 6 + 2 ，则 zx+3y 的最小值是（ ） A4 B2 C2 D4 9 （5 分）为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和 竞争力某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工 人装配第 n 件工件所用的时间（单位：分钟）f（n）大致服从的关系为 f（n） 第 2 页（共 18 页） = * #/DEL/# #/DEL/# ，#/DEL/#
4、，#/DEL/# #/DEL/# #/DEL/#（k、M 为常数） 已知该工人装配第 9 件工件用时 20 分钟，装配第 M 件工件用时 12 分钟，那么可大致推出该工人装配第 4 件 工件所用时间是（ ） A40 分钟 B35 分钟 C30 分钟 D25 分钟 10 （5 分）设双曲线： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的 直线分别交双曲线左右两支于点 M， N， 连结 MF2， NF2， 若2 2 =0， |2 |2 |， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B3 C5 D6 11 （5 分）已知函数() = 4 3 2 + +1 3，若 f（
5、x）0，在（，+）上恒成 立，则 a 的取值范围是（ ） A, 1 3 ， 1 3- B,1， 1 3- C1，1 D,1， 1 3- 12 （5 分）如图，在边长为 2 的正方形 AP1P2P3中，线段 BC 的端点 B，C 分别在边 P1P2， P2P3上滑动，且 P2BP2Cx现将AP1B，AP3C 分别沿 AB，AC 折起使点 P1，P3 重合，重合后记为点 P，得到三棱锥 PABC现有以下结论： AP平面 PBC； 当 B，C 分别为 P1P2，P2P3的中点时，三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 6； x 的取值范围为（0，422） ； 三棱锥 PABC 体积的最大值为1 3 则
6、正确的结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）2x3+ax2+a+3 的图象在点（1，f（1） ）处的切线过点（2，7） ， 则 a 14 （5 分） 在ABC 中， 边 a、 b、 c 满足 a+b6， C120， 则边 c 的最小值为 第 3 页（共 18 页） 15 （5 分）已知过抛物线 y26x 焦点 F 的直线与此抛物线交于 A，B 两点， = 3 ，抛 物线的准线 l 与 x 轴交于点 C，AMl 于点 M，则四边形 ABCM 的面积为 16 （5
7、分）已知函数 f（x）mlnx2x，若不等式 f（x+1）mx2ex对任意 x（0，+） 恒成立，则实数 m 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知an为等差数列，Sn为其前 n 项和，且 a24，S420 （1）求数列an的通项公式； （2）若bn为等比数列，且 b1a1，b4a8，求数列bn的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，PAAB 2，ABC60，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 PC 的动点 （1）求证：AE平面
8、 PAD； （2）若二面角 EAFC 的余弦值为 15 5 ，求点 F 的位置 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的离心率为 3 2 ，点 M（a，0） ，N（0，b） ， O（0，0） ，OMN 的面积为 4 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设 A，B 是 x 轴上不同的两点，点 A 在椭圆 E 内（异于原点） ，点 B 在椭圆 E 外若 过点 B 作斜率存在且不为 0 的直线与 E 相交于不同的两点 P，Q，且满足PAB+QAB 180求证：点 A，B 的横坐标之积为定值 20 （12 分）已知函数 f（x）log2（2a）x+2a1，aR （）若存在 x
9、00，1，使 f（x0）2log2（x0+1）成立，求实数 a 的取值范围； （）若关于 x 的方程() 2(1 + ) = 0有唯一解，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 18 页） 21 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传 播， 我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中， 利用小白鼠进行科学试验 为 了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验该 试验的设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接
10、种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周 期试验的概率； （）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束 后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为
11、= 3 = 3 （m 为参数） 设直线 l1与 l2的交点为 P当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1 （）求出曲线 C1的普通方程； （）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 ( + 4) = 32，点 Q 为曲线 C1 上的动点，求点 Q 到直线 C2的距离的最大值 23设函数() = 15 + | | + 10|的定义域为 M （1）求 M； （2）当 a，bM 时，求证：5|a+b|ab+25| 第 5 页（共 18 页） 2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷年湖南省高考数学（理科）模拟试卷 1 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选
12、择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *|0.5(2+ 2 + 4)0+，集合 Bx|2x 14，则集合 BA （ ） A （，1 B （，1） C （，13，+） D （，1）（3，+） 【解答】解：Ax|x2+2x+41x|1x3，Bx|x12x|x3， BA（，1 故选：A 2 （5 分）若复数 z= 5 2，则|z|（ ） A1 B5 C5 D55 【解答】解：复数 z= 5 2 = 5(2+) (2)(2+) =2+i； |z|= 22+ 12= 5； 故选：B 3 （5 分） 若命题 “存在 x0R，
13、 使 x22xm0” 是真命题， 则实数 m 的取值范围是 （ ） A （，1 B1，+） C1，1 D （1，+） 【解答】解：由题意得，方程有解，所以0，而4+4m0，可得 m1， 故选：B 4 （5 分）已知函数 f（x）= 1 ex，其中 e 是自然对数的底数，若 af（log 1 2 3） ，bf （log 1 2 1 5） ，cf（2 0.2） ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccba Dcab 【解答】解：根据题意，函数 f（x）= 1 ex，有 f（x）ex 1 = （ 1 ex）f （x） ，则函数 f（x）为奇函数， 又由 f（x）（ 1 +ex）
14、0，则函数 f（x）在 R 上为减函数， af（log 1 2 3）f（log23） ，bf（log 1 2 1 5）f（log25） ， 又由 2 0.21log 23log25， 第 6 页（共 18 页） 则 bac； 故选：B 5 （5 分）已知向量 ， 满足 = (1，3)，( 2 ） ，则 在 上的投影为（ ） A1 B1 C 1 2 D1 2 【解答】解： 2 = 4，( 2 ) ， ( 2 ) = 2 2 = 4 2 = 0， = 2， 在 上的投影为：| | ， = | | | | |= 2 2 = 1 故选：B 6 （5 分）袋中装有 5 个红球和 4 个黑球，从袋中任取
15、4 个球取到 1 个红球得 3 分，取到 1 个黑球得 1 分，设得分为随机变量 ，则 8 的概率 P（8）等于（ ） A1 6 B5 6 C 5 12 D 7 12 【解答】解：袋中装有 5 个红球和 4 个黑球，从袋中任取 4 个球， 取到 1 个红球得 3 分，取到 1 个黑球得 1 分，设得分为随机变量 ， 由题意得得分小于 8 分的只有两种情况： 取到 1 红 3 黑，计 6 分，取到 4 黑，计 4 分， 根据互斥事件概率得： 则 8 的概率 P（8）1P（6）+P（4）1 5 1 4 3+ 4 4 9 4 = 5 6 故选：B 7 （5 分）已知( + 2 + 1)5的展开式的常
16、数项为 a，则 ;118 1 (2 1) =（ ） A5 B6 C7 D9 【解答】解：( + 2 + 1)5的展开式的常数项为 a= 5 5()0 ( 2 ) 0 15+ 5 142(2 ) 2 1 =121 则 ;118 1 (2 1) = 1 3（2x1）dx（323）（121）（121）6 故选：B 第 7 页（共 18 页） 8 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 2 + 6 + 2 ，则 zx+3y 的最小值是（ ） A4 B2 C2 D4 【解答】解：作出 x，y 满足约束条件 0 2 + 6 + 2 表示的平面区域， 如图： 其中 B（4，2） ，A（2，2） 设 zF（x
17、，y）x+3y， 将直线 l：zx+3y 进行平移，观察直线在 y 轴上的截距变化， 可得当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值 z最小值F（4，2）2 故选：B 9 （5 分）为贯彻执行党中央“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，增强企业的凝聚力和 竞争力某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武，根据以往技术资料统计，某工 人装配第 n 件工件所用的时间（单位：分钟）f（n）大致服从的关系为 f（n） = * #/DEL/# #/DEL/# ，#/DEL/# ，#/DEL/# #/DEL/# #/DEL/#（k、M 为常数） 已知该工人装配第 9 件工件用时 20 分钟，装配第 M
18、 件工件用时 12 分钟，那么可大致推出该工人装配第 4 件 工件所用时间是（ ） A40 分钟 B35 分钟 C30 分钟 D25 分钟 【解答】解：nM 时， = 12，n9 时， 9 = 20， 第 8 页（共 18 页） 解得：k60，M25， f（n）= 60 ，25 12， 25 n425，f（4）= 60 4 = 30 即可大致推出该工人装配第 4 件工件所用时间是 30 分钟 故选：C 10 （5 分）设双曲线： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的 直线分别交双曲线左右两支于点 M， N， 连结 MF2， NF2， 若2 2 =0，
19、|2 |2 |， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B3 C5 D6 【解答】解：若2 2 =0，|2 |2 |， 可得MNF2为等腰直角三角形， 设|MF2|NF2|m，则|MN|= 2m， 由|MF2|MF1|2a，|NF1|NF2|2a， 两式相加可得|NF1|MF1|MN|4a， 即有 m22a， 在直角三角形 HF1F2中可得 4c24a2+（2a+22a2a）2， 化为 c23a2， 即 e= = 3 故选：B 第 9 页（共 18 页） 11 （5 分）已知函数() = 4 3 2 + +1 3，若 f（x）0，在（，+）上恒成 立，则 a 的取值范围是（ ） A, 1 3
20、， 1 3- B,1， 1 3- C1，1 D,1， 1 3- 【解答】解：问题等价于 f（x）= 4 3cos 2x+acosx+5 3 0 在（，+）上恒成立 令 cosxt，则 t1，1， 则 g（t）= 4 3t 2+at+5 3 0 在1，1上恒成立， 所以 (1) = 4 3 + + 5 3 0 (1) = 4 3 + 5 3 0 ， 解得 1 3 a 1 3 故选：A 12 （5 分）如图，在边长为 2 的正方形 AP1P2P3中，线段 BC 的端点 B，C 分别在边 P1P2， P2P3上滑动，且 P2BP2Cx现将AP1B，AP3C 分别沿 AB，AC 折起使点 P1，P3
21、重合，重合后记为点 P，得到三棱锥 PABC现有以下结论： AP平面 PBC； 当 B，C 分别为 P1P2，P2P3的中点时，三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 6； x 的取值范围为（0，422） ； 三棱锥 PABC 体积的最大值为1 3 则正确的结论的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：折起后，CP3ACPA，故 APPC 同理，APPB，所以 AP平面 PBC，正确； 当 B，C 分别为 P1P2，P2P3的中点时，PBPC1，BC= 2， 所以 PB2+PC2BC2，又 AP平面 PBC， 所以 PA，PB，PC 两两垂直，所以三棱锥 PABC 的外接球与 第 10
22、 页（共 18 页） 以 PA，PB，PC 为长宽高的长方体的外接球半径相等 设半径为 r，所以（2r）222+12+126，S4r26 即三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 6，正确； 因为 P2BP2Cx，所以 PBPC2x，而 BC= 2， 故 2（2x）2，解得 x422，正确； 因为PBC 的面积为 S= 1 2 2 (2 )2 ( 2 2 )2= 1 2 4 83+ 82 设 f（x）x48x3+8x2， f（x）4x324x2+16x4x（x26x+4） 当 0x35时，f（x）0，当 35x422时，f（x）0 fmaxf（35）f（1）1，所以 S 1 2 VPABCVAP
23、BC= 1 3 2 = 2 3 1 3，错误 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）2x3+ax2+a+3 的图象在点（1，f（1） ）处的切线过点（2，7） ， 则 a 1 【解答】解：f（x）2x3+ax2+a+3，f（1）2a+5，f（x）6x2+2ax， f（x）在点（1，f（1） ）处切线的斜率 kf（1）2a+6， f（x）在点（1，f（1） ）处切线的切线方程为 y（2a+5）（2a+6） （x1） f（x）在在点（1，f（1） ）处的切线过点（2，7） ， 7（2a+5）（2a+
24、6） （21） ，a1 故答案为：1 14 （5 分） 在ABC 中， 边 a、 b、 c 满足 a+b6， C120， 则边 c 的最小值为 33 【解答】解：a+b6，C120， (+ 2 )2=9， 当且仅当 ab 时取等号， 由余弦定理可得，c2a2+b22abcos120， （a+b）2ab， 36ab36927， 第 11 页（共 18 页） 33 则边 c 的最小值 33 故答案为：33 15 （5 分）已知过抛物线 y26x 焦点 F 的直线与此抛物线交于 A，B 两点， = 3 ，抛 物线的准线 l 与 x 轴交于点 C，AMl 于点 M，则四边形 ABCM 的面积为 153
25、 【解答】解：过 B 作 BNl 于，过 B 作 BKAM 于 K，设|BF|m，|AF|3m， 则|AB|4m，|AK|2mBAM60，| = = 3 2 = 3，m2， |AM|3m6，| = |60 = 4 3 2 = 43| |60 = 3 3 2 = 33，| = | | = 3， = = 1 2 (| + |) | 1 2 | | = 153， 故答案为：153 16 （5 分）已知函数 f（x）mlnx2x，若不等式 f（x+1）mx2ex对任意 x（0，+） 恒成立，则实数 m 的取值范围是 （，2 【解答】解：函数 f（x）mlnx2x，若不等式 f（x+1）mx2ex对任意
26、 x（0，+） 恒成立， 即为 mln（x+1）2（x+1）mx2ex对任意 x（0，+）恒成立， 即有 m（ln（x+1）x）2（x+1ex）对任意 x（0，+）恒成立， 设 yln （x+1） x， y= 1 +1 1= +1， x0 时， y0， 函数 y 递减， 可得 yln （x+1） x0， 则 m 2(+1) (+1)对任意 x（0，+）恒成立， 由2(:1; ) (:1); 22:1; ;(:1): (:1); ， 第 12 页（共 18 页） 设 g（x）x+1exln（x+1）+x，x0，g（x）2 1 +1 ex，g（x）= 1 (+1)2 ex， 由 yg（x）在 x0
27、 递减，即有 g（x）0，可得 yg（x）在 x0 递减，即有 g （x）0， 可得g （x） 在x0递减， 可得g （x） 0， 而ln （x+1） x0， 可得2:1; ;(:1): (:1); 0， 则由2(:1; ) (:1); 2， 则 m2，即 m 的范围是（，2 故答案为： （，2 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知an为等差数列，Sn为其前 n 项和，且 a24，S420 （1）求数列an的通项公式； （2）若bn为等比数列，且 b1a1，b4a8，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解：
28、（1）由题意，可设等差数列an的公差为 d，则 2= 1+ = 4 4= 41+ 43 2 = 20，即 1+ = 4 21+ 3 = 10， 解得1 = 2 = 2 an2+2（n1）2n，nN* （2）由（1）得，b1a12，b4a816 设等比数列bn的公比为 q，则 q3= 4 1 = 16 2 =8，即 q2 Tn= 1(1) 1 = 2(12) 12 =2n+12 18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，PAAB 2，ABC60，E 为棱 BC 的中点，F 为棱 PC 的动点 （1）求证：AE平面 PAD； （2）若二面角 EA
29、FC 的余弦值为 15 5 ，求点 F 的位置 第 13 页（共 18 页） 【解答】解： （1）证明：PA底面 ABCD，AE平面 ABCD， PAAE， 底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，ABC60，E 为棱 BC 的中点， AEAD， PAADA，AE平面 PAD （2）解：以 A 为原点，AE 为 x 轴，AD 为 y 轴，AP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， E（3，0，0） ，A（0，0，0） ，C（3，1，0） ，P（0，0，2） ， 设 F（a，b，c） ， = ，01， 则（a，b，c2）（3，1， 2）（3， 2） ， = 3， = ，c22，F（3，2 2）
30、， =（3，0，0） ， =（3，2 2） ， =（3，1，0） ， 设平面 AEF 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 3 = 0 = 3 + + (2 2) = 0 ，取 y1，得 =（0，1， 2;2） ， 设平面 ACF 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 3 + = 0 = 3 + + (2 2) = 0 ，取 x1，得 =（1，3，0） ， 二面角 EAFC 的余弦值为 15 5 ， | | | | |= 3 1 2:( 22) 24 = 15 5 ， 第 14 页（共 18 页） 解得 = 1 2 （舍负） 点 F 是 PC 中点 19 （12 分）已知椭圆： 2 2 +
31、 2 2 = 1(0)的离心率为 3 2 ，点 M（a，0） ，N（0，b） ， O（0，0） ，OMN 的面积为 4 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设 A，B 是 x 轴上不同的两点，点 A 在椭圆 E 内（异于原点） ，点 B 在椭圆 E 外若 过点 B 作斜率存在且不为 0 的直线与 E 相交于不同的两点 P，Q，且满足PAB+QAB 180求证：点 A，B 的横坐标之积为定值 【解答】解： （1）由题得 e= = 3 2 ，即 c2= 3 4a 2，b2=1 4a 2，S=1 2ab4，解得 a 216， b24， 所以椭圆 E 的标准方程为： 2 16 + 2 4 = 1；
32、（2）证明：设 A（n，0） ，B（m，0） ， 由题意可得直线 PQ 的斜率不为 0，设直线 PQ 的方程为：xty+m，P（x1，y1） ，Q（x2， y2） ， 联立直线与椭圆的方程： = + 2+ 42 16 = 0，整理可得： （4+t 2）y2+2tmy+m2160， 4t2m24（4+t2） （m216）0，m24t2+16， 第 15 页（共 18 页） y1+y2= 2 4+2 ，y1y2= 216 4+2 ，x1x2t2y1y2+tm（y1+y2） +m2= 2(216)222+42+22 4+2 = 42162 4+2 ； 因为PAB+QAB180，所以 kPAkQA，即
33、 kPA+kQA0， 而 kPA+kQA= 1 1 + 2 2 = 1 1+ + 2 2+ = 212+()(1+2) (1+)(2+) =0， 所以 2t（m216）+（mn） （2tm）0，因为 t0， 所以 m216m2+mn0， 所以可得 mn16， 即证点 A，B 的横坐标之积为定值 16 20 （12 分）已知函数 f（x）log2（2a）x+2a1，aR （）若存在 x00，1，使 f（x0）2log2（x0+1）成立，求实数 a 的取值范围； （）若关于 x 的方程() 2(1 + ) = 0有唯一解，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （）f（x0）2log2（x0+1）
34、(2 )0+ 2 1(0+ 1)2(2 0)0 2 + 2 x00，1，2x01，2 02+2 20 由题意，(0 2+2 20 )， 令 2x0t，则 x02t，且 t1，2 = 02+2 20 = + 6 4 由对勾函数知， = + 6 4在1，2上单调递减， ymin1 a1 即实数 a 的取值范围为（1，+） 第 16 页（共 18 页） 注：学导数之前用对勾函数指出单调性可以不扣分 （）() 2(1 + ) = 0 (2 ) + 2 1 = 1 + 1 + 0 由(2 ) + 2 1 = 1 + 得：（2a）x+1（x1）0 当 a2 时，x1，1 + = 30，满足题意 当 a2
35、时，x1 或 = 1 2 若 1 ;2 = 1，即 a3 时，1 + = 40，满足题意 若 1 ;2 1，由于方程() 2(1 + ) = 0有唯一解 2 + 0 1 + 0 或 2 + 0 1 + 0 解得：1a1 综上所述，实数 a 的取值范围为a|1a1，或 a2，或 a3 21 （12 分）公元 2020 年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、 咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命为了尽快遏制住病毒的传 播， 我国科研人员， 在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中， 利用小白鼠进行科学试验 为 了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现 Z 症状的情况，决定对小
36、白鼠进行做接种试验该 试验的设计为： 对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；连续接种三天为一个接种周期； 试验共进行 3 个周期 已知每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的概率均为1 4，假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 （）若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周 期试验的概率； （）若某只小白鼠在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状，则在这个接种周期结束 后，对其终止试验设一只小白鼠参加的接种周期数为 X，求 X 的分布列及数学期望 【解答】解： （）连续接种三天为一个接种周期，每只小白鼠接种后当天出现 Z 症状的 概率均为1 4，
37、 假设每次接种后当天是否出现 Z 症状与上次接种无关 第 17 页（共 18 页） 若某只小白鼠出现 Z 症状即对其终止试验， 由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得： 一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为： P1= 1 4 + 3 4 1 4 + 3 4 3 4 1 4 = 37 64 （）随机变量 1，2，3，设事件 C 为“在一个接种周期内出现 2 次或 3 次 Z 症状” ， P（X1）P（C）= 3 2(1 4) 2(3 4) + 3 3(1 4) 3 = 5 32， P（X2）1P（C）P（C）（1 5 32） 5 32 = 135 1024， P（X3）1P
38、（C）1P（C）1（1 5 32）（1 5 32）1= 729 1024， 所以 X 的分布列为： 1 2 3 P 5 32 135 1024 729 1024 X 的数学期望 E（X）= 1 5 32 + 2 135 1024 + 3 729 1024 = 2617 1024 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在平面直角坐标系 x0y 中，直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 设直线 l1与 l2的交点为 P当 k 变化时点 P 的轨迹为曲线 C1 （）求出曲线 C1的
39、普通方程； （）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2的极坐标方程为 ( + 4) = 32，点 Q 为曲线 C1 上的动点，求点 Q 到直线 C2的距离的最大值 【解答】解： （）直线 l1的参数方程为 = 3 = （t 为参数） ，转换为直角坐标方程为 = ( + 3) 直线 l2的参数方程为 = 3 = 3 （m 为参数） 转换为直角坐标方程为 = 1 3 (3 ) 所以得到 2 3 + 2= 1（y0） （）直线 C2的极坐标方程为( + 4) = 32，转换为直角坐标方程为 x+y60 第 18 页（共 18 页） 设曲线 C1的上的点 Q（3，）到直线 x+y80 的距离 d= |3+6| 2 = |2(+ 3)6| 2 ， 当( + 3) = 1时， = 8 2 = 42 23设函数() = 15 + | | + 10|的定义域为 M （1）求 M； （2）当 a，bM 时，求证：5|a+b|ab+25| 【解答】解： （1）依题意：15+x|x|x+10|0， 此
