1、 第 1 页（共 20 页） 2020 年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z 满足（1+i）z|3 +i|，i 为虚数单位，则 z 等于（ ） A1i B1+i C1 2 1 2i D1 2 + 1 2i 2 （5 分）设 Ax|x1，Bx|x2x20，则（RA）B（ ） Ax|x1 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 3 （5 分）已知直线 l：2mxy8m30 和圆 C：x2+y26x+12y+200，则直线 l 被圆 C 截
2、得的弦长的最小值为（ ） A10 B5 C215 D25 4 （5 分）在锐角ABC 中a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 b2a2ac，则 sinC 的取值范围是（ ） A （0，1） B （0， 2 2 ） C （ 2 2 ，1） D （1 2， 2 2 ） 5 （5 分）设 m、n 表示不同的直线，、 表示不同的平面，且 m，n，则“” 是“m 且 n”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6（5 分） 已知 ， 是单位向量， =0 若向量 满足| |1， 则| |的最大值为 （ ） A2 1 B2 C2 + 1 D2 + 2 7（
3、5 分） 如图所示的算法中， 令 atan， bsin， ccos， 若在集合*| 4 3 4 ， 0， 4 ， 2+中，给 取一个值，输出的结果是 sin，则 值所在范围是（ ） 第 2 页（共 20 页） A( 4 ，0) B(0， 4) C( 4 ， 2) D( 2 ， 3 4 ) 8 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的图象如图所示，则 f（1）+f（4） 的值等于（ ） A 2 2 B2 C2 D1 9 （5 分） 某中学早上 8 点开始上课， 若学生小明与小方均在早上 7： 40 至 8： 00 之间到校， 且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小
4、方至少早 5 分钟到校的概 率为（ ） A 9 32 B1 2 C 3 64 D 5 64 10 （5 分）设双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相同， 双曲线 C 的一条渐近线方程为3 + = 0，则双曲线 C 的方程为（ ） A 2 3 2= 1 B2 2 3 = 1 C 2 4 2 12 = 1 D 2 12 2 4 = 1 11 （5 分）函数 f（x）x+ex|x|ex的零点个数为（ ） A0 B1 C2 D3 12 （5 分）已知抛物线 y24x，过焦点 F 的弦 AB（点 A 在一象限） ，P（0，6） ，O 为坐标 第 3 页（共 20
5、页） 原点，则四边形 OPAB 面积的最小值为（ ） A7 4 B13 4 C3 D4 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 = (1，2)， = (1，1)，则 与 + 夹角的余弦值为 14 （5 分）已知 (0， 2)，( + 3) = 1 3，则(2 + 6) = 15（5 分） 已知数列an中， a11， 且前 n 项和 Sn满足 nSn+1 （n+2） Sn0， 则 a10 16 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分
6、，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an满足1= 1 2，2anan11（n2） （1）求证：an+1为等比数列，并求数列an的通项公式； （2）若数列an+bn是首项为 1，公差为 3 的等差数列，求数列bn的前 n 项和 18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ADBC，平面 PAC平面 ABCD，ABADDC1， ABCDCB60，E 是 PC 上一点 （）证明：平面 EAB平面 PAC； （）若PAC 是正三角形，且 E 是 PC 中点，求三棱锥 AEBC 的体积 19 （12 分）某公司有 1000 名员工，其中男性员工 400 名，采用分层抽样的方法随机抽取 1
7、00 名员工进行 5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买 5G 手机的员工称为“追光 第 4 页（共 20 页） 族” ，计划在明年及明年以后才购买 5G 手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的 这 100 名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有 20 人 （）完成下列 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为该公司员工属于“追光族” 与“性别”有关； 属于“追光族” 属于“观望族” 合计 女性员工 男性员工 合计 100 （）已知被抽取的这 100 名员工中有 6 名是人事部的员工，这 6 名中有 3 名属于“追 光族”现从这 6 名中随机抽取 3 名，求抽取到的 3 名
8、中恰有 1 名属于“追光族”的概率 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d P （K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20 （12 分）已知椭圆的中心在原点，焦距为 2，且长轴长是短轴长的2倍 （）求椭圆的标准方程； （）设 P（2，0） ，过椭圆左焦点 F 的直线 l 交于 A、B 两点，若对满足条件的任 意直线 l，不等式 （R）恒成立，求 的最小值 21 （12 分）已知函数() = ，() = +1 (0) （）
9、当 a1 时，求曲线 y= () 在 x1 处的切线方程； （）讨论函数 F（x）= () 1 ()在（0，十）上的单调性 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2sin，以极点 O 为坐标原点，极 轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系， 直线 l 的参数方程为 = = 2 1 （t 为参数） ， 若直线 l 与曲线 C 交于点 A，B，求OAB 的面积 23已知函数 f（x）|xa|+|x2|+a（aR） （）当 a2 时，证明：f（x）2； （）若关于 x 的不等式 f（x）|x4|0 在 x（1，
10、2）上恒成立，求实数 a 的取值范 第 5 页（共 20 页） 围 第 6 页（共 20 页） 2020 年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知复数 z 满足（1+i）z|3 +i|，i 为虚数单位，则 z 等于（ ） A1i B1+i C1 2 1 2i D1 2 + 1 2i 【解答】解： （1+i）z|3 +i|= 3 + 1 =2， z= 2 1+ = 2(1) (1+)(1) =1i， 故选：A 2
11、 （5 分）设 Ax|x1，Bx|x2x20，则（RA）B（ ） Ax|x1 Bx|1x1 Cx|1x1 Dx|1x2 【解答】解：RAx|x1，Bx|1x2； （RA）Bx|1x1 故选：B 3 （5 分）已知直线 l：2mxy8m30 和圆 C：x2+y26x+12y+200，则直线 l 被圆 C 截得的弦长的最小值为（ ） A10 B5 C215 D25 【解答】解：将直线 l 变形得：2m（x4）+（y+3）0， 令 x40，则 y+30， x4，y3，直线 l 恒过 P（4，3） ； 将圆 C 化为标准方程得： （x3）2+（y+6）225， 圆心 C 为（3，6） ，半径 r5，
12、点 P 到圆心 C 的距离 d= 105r， 点 P 在圆内，则 l 与 C 总相交； l 被 C 截得弦长最短时，P 为弦的中点， 则 l 被 C 截得的弦长为22 2=215 故选：C 4 （5 分）在锐角ABC 中a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 b2a2ac，则 sinC 的取值范围是（ ） 第 7 页（共 20 页） A （0，1） B （0， 2 2 ） C （ 2 2 ，1） D （1 2， 2 2 ） 【解答】解：因为 b2a2ac， sin2Bsin2AsinAsinC12 2 12 2 = 22 2 =sinAsinC； 由和差化积公式得：cos2Acos2B
13、2sin（A+B）sin（AB）代入得 sin（A+B）sin（AB）sinAsinC； 因为 sin（A+B）sinC0； sinAsin（AB）sin（BA） ； 在锐角ABC 中，BAAB2A； C（A+B）3A； 0 2 02 2 0 3 2 6 A 4； 4 2； sinC 的取值范围是（ 2 2 ，1） ； 故选：C 5 （5 分）设 m、n 表示不同的直线，、 表示不同的平面，且 m，n，则“” 是“m 且 n”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：m、n 表示不同的直线，、 表示不同的平面，且 m，n， 则“”“m 且 n
14、” ，反之不成立 “”是“m 且 n”的充分不必要条件 故选：A 6（5 分） 已知 ， 是单位向量， =0 若向量 满足| |1， 则| |的最大值为 （ ） A2 1 B2 C2 + 1 D2 + 2 【解答】解：| | |1，且 = 0， 可设 = (1，0)， = (0，1)， = (，) 第 8 页（共 20 页） = ( 1， 1) | | = 1， ( 1)2+ ( 1)2= 1，即（x1）2+（y1）21 | |的最大值= 12 + 12+ 1 = 2 + 1 故选：C 7（5 分） 如图所示的算法中， 令 atan， bsin， ccos， 若在集合*| 4 3 4 ， 0，
15、 4 ， 2+中，给 取一个值，输出的结果是 sin，则 值所在范围是（ ） A( 4 ，0) B(0， 4) C( 4 ， 2) D( 2 ， 3 4 ) 【解答】解：程序框图的功能是求 a，b，c 的最大值 输出的结果是 sin， sin 最大即 4 3 4 ， 0， 4 ， 2 第 9 页（共 20 页） 解得 2 3 4 故选：D 8 （5 分）函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的图象如图所示，则 f（1）+f（4） 的值等于（ ） A 2 2 B2 C2 D1 【解答】解：由函数 f（x）Asin（x+） （A0，0）的图象可得 A2， 可得1 4 2 =2，求得 = 4
16、再由图象过原点可得 0， 故有函数 f（x）2sin（ 4x） ， 可得 f（1）2sin 4 =2，f（4）2sin（ 4 4）0 可得 f（1）+f（4）= 2， 故选：B 9 （5 分） 某中学早上 8 点开始上课， 若学生小明与小方均在早上 7： 40 至 8： 00 之间到校， 且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小明比小方至少早 5 分钟到校的概 率为（ ） A 9 32 B1 2 C 3 64 D 5 64 【解答】解：设小明到校的时间为 x，小方到校的时间为 y； （x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域 为 （x，y）|40x60，40y60是一个矩形
17、区域， 对应的面积为 S2020400， 则小明比小方至少早 5 分钟到校为事件 Ax|yx5； 作出符合题意的图象，如图所示； 第 10 页（共 20 页） 则符合题意的区域为ABC， 联立 = 5 = 60 得 C（55，60） ， 由 = 5 = 40 得 B（40，45） ， 则 SABC= 1 2 1515， 由几何概率模型可知小明比小方至少早 5 分钟到校的概率为 P= 1 21515 2020 = 9 32 故选：A 10 （5 分）设双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相同， 双曲线 C 的一条渐近线方程为3 + = 0，则双曲线 C 的
18、方程为（ ） A 2 3 2= 1 B2 2 3 = 1 C 2 4 2 12 = 1 D 2 12 2 4 = 1 【解答】 解： 双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相同， 所以 c2， 双曲线 C 的一条渐近线方程为3 + = 0， 可得 b= 3， a2+b24， 解得 a1， b= 3， 所以所求的双曲线方程为：2 2 3 = 1 故选：B 11 （5 分）函数 f（x）x+ex|x|ex的零点个数为（ ） A0 B1 C2 D3 【解答】解：当 x0 时，f（x）x+xexex，则 f（x）1+ex+xexex1+xex0 恒成 第 11 页
19、（共 20 页） 立， f（x）在0，+）上单调递增， f（x）f（0）0+011， f（1）10， f（0）f（1）0， f（x）在0，+）有唯一的零点， 当 x0 时，f（x）xxexex，则 f（x）1exxexex1ex（2+x） ， 设 g（x）1ex（2+x） ， g（x）ex（x+3） ， 令 g（x）0，解得 x3， 当 x（，3）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增， 当 x（3，0）时，g（x）0，函数 g（x）单调递增减， g（x）maxg（3）1+e 30， g（0）1，当 x时，g（x）1，g（1）1 1 0 存在 x0（1，0）使得 g（x0）0，即 10（2+x
20、0）0， 当 x（，x0）时，f（x）g（x）0，函数 f（x）单调递增， 当 x（x0，0）时，f（x）g（x）0，函数 f（x）单调递减， f（x）maxf（x0）x0x00 0=x0 0+1 0+2 0， f（x）在（，0）上无零点， 综上所述，f（x）在 R 上有唯一的零点， 故选：B 12 （5 分）已知抛物线 y24x，过焦点 F 的弦 AB（点 A 在一象限） ，P（0，6） ，O 为坐标 原点，则四边形 OPAB 面积的最小值为（ ） A7 4 B13 4 C3 D4 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2）且 x1，y10，易知 F（1，0） ， 设直线 AB：x
21、my+1 由 = + 1 2= 4 2 4 4 = 0， 所以12= 4 2= 4 1， 第 12 页（共 20 页） = + + = 312 4 + 1 2 1+ 2 1 (10)， 设 f（x）= 3 4x 2+1 2x+ 2 ，x0， f（x）= 3 2x+ 1 2 2 2 = (1)(32+4+4) 22 ， 易知 f（x）在（0，1）减， （1，+）增， 所以当 y11 时，S 最小值为13 4 ， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 = (1，2)， = (1，1)，则 与 + 夹角的余弦值为
22、 25 5 【解答】解：设 与 + 的夹角为 ， 由 = (1，2)， = (1，1)， 则 （ + ）= 2 + =（1+4）+（1+2）6， | |= 1 + 4 = 5， | + |= (1 1)2+(2 + 1)2=3， 所以 cos= (+ ) | |+ |= 6 53 = 25 5 第 13 页（共 20 页） 故答案为：25 5 14 （5 分）已知 (0， 2)，( + 3) = 1 3，则(2 + 6) = 42 9 【解答】解： (0， 2)，( + 3) = 1 3， sin 2 （ + 3）sin（ 6 ）= 1 3，可得 sin（ 6）= 1 3， 6（ 6， 3）
23、， cos（ 6）= 1 2( 6) = 22 3 ， (2 + 6) =sin 2 （2+ 6）sin（ 3 2）sin（2 3）sin2（ 6） 2sin（ 6）cos（ 6）2（ 1 3） 22 3 = 42 9 故答案为：42 9 15（5 分） 已知数列an中， a11， 且前 n 项和 Sn满足 nSn+1 （n+2） Sn0， 则 a10 10 【解答】解：a11，nSn+1（n+2）Sn0， +1 = +2 ， Sn= 1 1 2 2 1S1= +1 1 2 1 3 4 2 3 11= (+1) 2 ， a10S10S9= 1011 2 109 2 =10 故答案为：10 16
24、 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 9 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 下底面为直角梯形，高为 3 的四棱锥体， 如图所示： 第 14 页（共 20 页） 所以：V= 1 3 1 2 (2 + 4) 3 3 = 9， 故答案为：9 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an满足1= 1 2，2anan11（n2） （1）求证：an+1为等比数列，并求数列an的通项公式； （2）若数列an+bn是首项为 1，公差为 3 的等差数列，求数列bn的前 n 项和 【解答】解： （
25、1）依题意，由 2anan11（n2） ，可得 2（an+1）an1+1， 即+ 1 = 1 2 (1+ 1)， 又1+ 1 = 1 2 0， an+1是以1+ 1 = 1 2为首项，公比为 1 2的等比数列 + 1 = 1 2 (1 2) 1， = (1 2) 1，nN* （2）由已知得 an+bn1+（n1）33n2， = (1 2) 1， = (3 2) = (3 2) (1 2) + 1 = (3 1) (1 2) 数列bn的前 n 项和为 1+ 2+ + = (2 1 2) + (5 ( 1 2) 2) + + ,(3 1) (1 2) - = (2 + 5 + + (3 1) ,1
26、 2 + (1 2) 2 + + (1 2) - 第 15 页（共 20 页） = ,2+(31)- 2 1 2,1( 1 2) - 11 2 = 32+ 2 1 + (1 2) 18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，ADBC，平面 PAC平面 ABCD，ABADDC1， ABCDCB60，E 是 PC 上一点 （）证明：平面 EAB平面 PAC； （）若PAC 是正三角形，且 E 是 PC 中点，求三棱锥 AEBC 的体积 【解答】证明： （）依题意得四边形 ABCD 是底角为 60的等腰梯形，（1 分） BADADC120（2 分） ADDC，DACDCA30（3 分） BACBAD
27、DAC1203090，即 ABAC（4 分） 平面 PAC平面 ABCD，平面 PAC平面 ABCDAC， AB平面 PAC，（5 分） 又平面 AB平面 EAB， 平面 EAB平面 PAC（6 分） 解： （）解法一：由（）及已知得，在 RtABC 中，ABC60，AB1， ACAB tan60= 3，BC2AB2，且 AB平面 PAC，（7 分） AB 是三棱锥 BEAC 的高，正PAC 的边长为3（8 分） E 是 PC 的中点，SEAC= 1 2SPAC= 1 4 60 = 1 4 (3)2 3 2 = 33 8 （10 分） 三棱锥AEBC的体积为= = 1 3 = 1 3 33 8
28、 1 = 3 8 （12分） （）解法二：过 P 作 POAC 于点 O， 平面 PAC平面 ABCD，平面 PAC平面 ABCDAC， PO平面 ABC， 过 E 作 EFAC 于点 F，同理得 EF平面 ABC， 第 16 页（共 20 页） EF 是三棱锥 EABC 的高，且 POEF，（7 分） 又 E 是 PC 中点，EF 是POC 的中位线，故 = 1 2 由（）及已知得，在 RtABC 中，ABC60，AB1， BC2AB2，ACAB tan60= 3，即正PAC 的边长为3，（8 分） PO= 3 2，故 EF= 3 4 （9 分） 在 RtABC 中，SABC= 1 2 =
29、1 2 1 3 = 3 2 （10 分） 三棱锥AEBC的体积为= = 1 3 = 1 3 3 2 3 4 = 3 8 （12分） 19 （12 分）某公司有 1000 名员工，其中男性员工 400 名，采用分层抽样的方法随机抽取 100 名员工进行 5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买 5G 手机的员工称为“追光 族” ，计划在明年及明年以后才购买 5G 手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的 这 100 名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有 20 人 （）完成下列 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为该公司员工属于“追光族” 与“性别”有关； 属于“追光族” 属
30、于“观望族” 合计 女性员工 男性员工 合计 100 （）已知被抽取的这 100 名员工中有 6 名是人事部的员工，这 6 名中有 3 名属于“追 光族”现从这 6 名中随机抽取 3 名，求抽取到的 3 名中恰有 1 名属于“追光族”的概率 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d P （K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第 17 页（共 20 页） 【解答】解： （）由题意填写 22 列联表如下； 属于“追光族” 属于
31、“观望族” 合计 女性员工 20 40 60 男性员工 20 20 40 合计 40 60 100 由表中数据，计算 K2= 100(20202040)2 60404060 = 25 9 2.7783.841， 所以没有 95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关； （）设人事部的这 6 名员工 3 名“追光族”分别为“a、b、c” ， 3 名“观望族”分别为“D、E、F” ； 现从这 6 名中随机抽取 3 名，所有可能事件为： abc、abD、abE、abF、acD、acE、acF、aDE、aDF、aEF、 bcD、bcE、bcF、bDE、bDF、bEF、 cDE、cDF、cEF
32、、DEF 共 20 种； 其中抽取到的 3 名中恰有 1 名属于“追光族”的事件为： aDE、aDF、aEF、bDE、bDF、bEF、cDE、cDF、cEF 共 9 种； 故所求的概率为 P= 9 20 20 （12 分）已知椭圆的中心在原点，焦距为 2，且长轴长是短轴长的2倍 （）求椭圆的标准方程； （）设 P（2，0） ，过椭圆左焦点 F 的直线 l 交于 A、B 两点，若对满足条件的任 意直线 l，不等式 （R）恒成立，求 的最小值 【解答】解： （）椭圆的中心在原点，焦距为 2，且长轴长是短轴长的2倍， 当焦点在 x 轴时，a= 2，c1，a2b2+c2， 椭圆的标准方程为 2 2 +
33、 2= 1 当焦点在 y 轴时，b= 2a，c1，b2a2+c2， 椭圆的标准方程为2+ 2 2 = 1 （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， =（x12，y1） （x22，y2）（x12） （x22）+y1y2， 第 18 页（共 20 页） 当直线 l 垂直于 x 轴时，x1x21，y1y2，且12= 1 2， 此时， =（3，y1） ， =（3，y2）（3，y1） ， =（3）212= 17 2 ， 当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l：yk（x+1） ， 由 = ( + 1) 2+ 22= 2，消去 y，整理得（1+2k 2）x2+4k2x+2k220， 1+ 2=
34、42 1+22，12 = 222 1+22， = 12 2(1+ 2) + 4 + 2(1+ 1)(2+ 1) （1+k2）12+ (2 2)(1+ 2) + 4 + 2 （1+k2） 2 22 1+2 （k22） 42 1+22 +4+k2 = 172+2 22+1 = 17 2 13 2(22+1) 17 2 ， 要使不等式 （R）恒成立， 只需 （ ）max= 17 2 ， 的最小值为17 2 21 （12 分）已知函数() = ，() = +1 (0) （）当 a1 时，求曲线 y= () 在 x1 处的切线方程； （）讨论函数 F（x）= () 1 ()在（0，十）上的单调性 【解答
35、】解： （）当 a1 时，曲线 = () () = +1 = (1+)(+1) (+1)2 = +1 (+1)2 x1 时，切线的斜率为1 2，又切线过点（1，0） 所以切线方程为 x2y10， （ ） () = 1 ，( 1 () = 1 (+1)2 ， () = () ( 1 () = 1 1 (+1)2 = (+1)2 (+1)2 ， 第 19 页（共 20 页） 当 a0 时，F（x）0，函数 F（x）在（0，+）上单调递减； 当 a0 时，令() = 1 2 + (2 1) + 1 ，= 1 4 ， 当0 时，即 0a4，k（x）0，此时 F（x）0，函数 F（x）在（0，+）上单
36、调递增； 当0 时，即 a4，方程1 2+ (2 1) + 1 = 0有两个不等实根 x1x2， 所以 0x11x2，(1= 224 2 ，2= 2+24 2 ) 此时，函数 F（x）在（0，x1） ， （x2，+）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减 综上所述，当 a0 时，F（x）的单减区间是（0，+） ； 当 a4 时，F（x）的单减区间是(2 24 2 ， 2+24 2 )，单增区间是 (0， 224 2 )，(2+ 24 2 ，+ ) 当 0a4 时，F（x）单增区间是（0，+） 四解答题（共四解答题（共 2 小题，满分小题，满分 10 分）分） 22 （10 分）在极坐标系中，曲
37、线 C 的极坐标方程为 2sin，以极点 O 为坐标原点，极 轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系， 直线 l 的参数方程为 = = 2 1 （t 为参数） ， 若直线 l 与曲线 C 交于点 A，B，求OAB 的面积 【解答】解：曲线 C 的极坐标方程为 2sin，即 22sin， 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y22y0， 直线 l 的参数方程为 = = 2 1（t 为参数） ， 直线 l 的直角坐标方程为 2xy10， 联立 2 + 2 2 = 0 2 1 = 0 ，得 A（1，1） ，B（3 5， 1 5） ， =（1，1） ， =（3 5， 1 5） ， cos ， = |
38、| | = 4 5 22 5 = 2 5， sin ， = 1 ( 2 5) 2 = 1 5， OAB 的面积 S= 1 2 | | | | ， = 1 2 2 2 5 1 5 = 1 5 23已知函数 f（x）|xa|+|x2|+a（aR） 第 20 页（共 20 页） （）当 a2 时，证明：f（x）2； （）若关于 x 的不等式 f（x）|x4|0 在 x（1，2）上恒成立，求实数 a 的取值范 围 【解答】解： （）f（x）|xa|+|x2|+a|（xa）（x2）|+a|2a|+a， a2，有|2a|2a， f（x）2a+a2， （）由题意得|xa|+|x2|+a|x4|0 在 x（1，2）上恒成立， 即|xa|+2x+a4+x0，即|xa|2a， 2 ( )2(2 )2， 即2 2 42( 2)， 又 x（1，2） ， a +2 2 ， 又+2 2 3 2， （1x2） a 3 2
