2020年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（4）.docx下载_163文库

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1、第 1 页（共 15 页） 2020 年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（4）一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设全集为 R，集合 Ax|log2x1，Bx|x21，则 A（RB）（） A （1，1） B （1，2） C （0，1） D （0，2） 2 （5 分）已知复数 z 满足 z （1+2i）5（i 为虚数单位），则在复平面内复数 z 对应的点位于（） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）若样本的观测值 1，2，3，4 出现的次数分别为 1，2

2、，3，4，则样本的平均数为（） A4 B3 C5 2 D2 4 （5 分）要得到函数 = (2 6)的图象，只需将函数 = ( 6)的图象（） A横坐标缩小到原来的1 2，纵坐标不变 B横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不变 C纵坐标缩小到原来的1 2，横坐标不变 D纵坐标扩大到原来的 2 倍，横坐标不变 5 （5 分）已知 = (1 2) 0.2， = 0.21 2， = 1 3 2，则（） Aabc Bbac Cbca Dacb 6 （5 分）设，是夹角为 60的单位向量，则|4 3 |（） A6 B37 C13 D7 7 （5 分）圆 O：x2+y22内的曲线 y|sinx

3、|与 x 轴围成的区域记为 M（图中阴影部分）随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率是（） A 4 2 B 4 3 C 2 2 D 2 3 第 2 页（共 15 页） 8 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右焦点分别为 F1，F2，M 为双曲线上一点，若12= 1 4，|MF1|2|MF2|，则此双曲线渐近线方程为（） A = 3 B = 3 3 Cyx Dy2x 9 （5 分）已知函数() = 22 2 + ，则 f（x）的最大值为（） A2 +1 B2 1 C2 +1 D2 1 10 （5 分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学

4、名著，书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放米（米堆所成的几何体的三视图如图所示）米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为 1.6 立方尺，圆周率 3，估算出堆放的米约有（） A20 斛 B21 斛 C22 斛 D23 斛 11（5 分）已知函数() = 1 + +的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m 的值等于（） A1 B2 C1 + 1+2 D2 + 1+2 12 （5 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左右焦点分

5、别为 F1、 F2， P 为椭圆上一点， F1PF260，若坐标原点 O 到 PF1的距离为 3 6 ，则椭圆离心率为（） A 2 2 B 6 3 C 7 3 D 3 3 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分）已知函数 f （x） xex+ln （x+1），则曲线 yf （x）在 x0 处的切线方程为 14 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b27，c3，B2C，则 cos2C 的值为 15 （5 分）各项均为正数的等比数列an中，a11，a2+a36，则6 3 = 第 3 页

6、（共 15 页） 16 （5 分）边长为 2 的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an满足 a1a，+1= 2+ 1( ) （1）若数列an是等差数列，求通项公式 an；（2）已知 a2，求证数列an+1是等比数列，并求通项公式 an 18 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCABC中，ACAB，AAABAC2，D，E 分别为 AB，BC 的中点（1）证明：平面 BDE平面 AABB；（2

7、）求点 C到平面 BDE 的距离 19 （12 分）通过市场调查，得到某产品的资金投入 x（万元）与获得的利润 y（万元）的数据，如下表所示：资金投入 x 2 3 4 5 6 利润 y 2 3 5 6 9 （1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程； =bx+a （2）计算 x6 时的残差；（残差公式） =yi （3）现投入资金 10 万元，求估计获得的利润为多少万元 20 （12 分）已知动圆 E 与圆：( 1)2+ 2= 1 4外切，并与直线 = 1 2相切，记动圆圆心 E 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程；（2）过点 Q（2，0）的直线 l 交曲线 C

8、于 A，B 两点，若曲线 C 上存在点 P 使得APB 90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围第 4 页（共 15 页） 21 （12 分）已知函数 f（x）x3+3ax2+（36a）x+12a（aR）（1）若 f（x）在 xx0处取得极小值，且 x0（0，3），求实数 a 的取值范围；（2）若对任意的 a1，1，不等式 f（x）m 在 x1，1恒成立，求实数 m 的取值范围四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

9、C1的极坐标方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2 （1）求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程；（2）设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A，曲线 C1与 x 轴的交点为 H，点 M （1， 0），求AMH 的周长 l 的最大值五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a，b，c 为正数，f（x）|x+a|+|x+b|+|xc| （1）若 abc1，求函数 f（x）的最小值；（2）若 f（0）1 且 a，b，c 不全相等，求证：b3c+c3a+a3babc 第 5 页（共 15 页） 2020 年湖南省高考数学（文科）模拟试

11、） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解答】解析： = 5 1+2 = 1 2，故选：D 3 （5 分）若样本的观测值 1，2，3，4 出现的次数分别为 1，2，3，4，则样本的平均数为（） A4 B3 C5 2 D2 【解答】解：由题意，计算样本的平均数为： = 1 1+2+3+4 （11+22+33+44）3 故选：B 4 （5 分）要得到函数 = (2 6)的图象，只需将函数 = ( 6)的图象（） A横坐标缩小到原来的1 2，纵坐标不变 B横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不变 C纵坐标缩小到原来的1 2，横坐标不变 D纵坐标扩大到原来的 2 倍，横坐标不变

12、【解答】解：根据题意，把函数 = ( 6)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小第 6 页（共 15 页）到原来的1 2即可得到 ysin（2x 6）的图象故选：A 5 （5 分）已知 = (1 2) 0.2， = 0.21 2， = 1 3 2，则（） Aabc Bbac Cbca Dacb 【解答】解：由于0(1 2) 0.2(1 2) 0 = 1，0.2 1 2= 1 1 5 = 5，1 3 21 3 1 = 0，故选：B 6 （5 分）设，是夹角为 60的单位向量，则|4 3 |（） A6 B37 C13 D7 【解答】解：根据题意，，是夹角为 60的单位向量，即|

13、|1，| |1，则 = 1 2，则|4 3 |216 224 +9 2 13，则|4 3 |= 13；故选：C 7 （5 分）圆 O：x2+y22内的曲线 y|sinx|与 x 轴围成的区域记为 M（图中阴影部分）随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内的概率是（） A 4 2 B 4 3 C 2 2 D 2 3 【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 3，曲线 y|sinx|与 x 轴围成的区域记为 M，根据图形的对称性得：面积为 S20sinxdx 2cosx|04，由几何概率的计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A 落在区域 M 内

14、的概率 P= 4 3，故选：B 第 7 页（共 15 页） 8 （5 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左右焦点分别为 F1，F2，M 为双曲线上一点，若12= 1 4，|MF1|2|MF2|，则此双曲线渐近线方程为（） A = 3 B = 3 3 Cyx Dy2x 【解答】解：由题意，|MF1|MF2|2a，又|MF1|2|MF2|， |MF1|4a，|MF2|2a， cosF1MF2= 162+4242 242 = 1 4，化简得：c24a2，即 a2+b24a2， b23a2，得 = 3 此双曲线渐近线方程为 y= 3 故选：A 9 （5 分）已知函数() = 2

15、2 2 + ，则 f（x）的最大值为（） A2 +1 B2 1 C2 +1 D2 1 【解答】解：() = 22 2 + =1+cosx+sinx= 2sin（x+ 4）+1，当 x+ 4 =2k+ 2，即 x2k+ 4，kZ 时，f（x）的最大值为2 +1，故选：A 10 （5 分）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放米（米堆所成的几何体的三视图如图所示）米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为 1.6

16、立方尺，圆周率 3，估算出堆放的米约有（） A20 斛 B21 斛 C22 斛 D23 斛第 8 页（共 15 页）【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为1 4个圆锥，所以 2 = 8，由于 3，解得 R= 16 3 ，所以 V= 1 3 1 4 3 (16 3 )2 5 = 320 9 1 斛米的体积约为 1.6 立方尺，所以：V= 200 9 斛22 斛故选：C 11（5 分）已知函数() = 1 + +的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m 的值等于（） A1 B2 C1 + 1+2 D2 + 1+2 【解答】解：令() = +，则()

17、 = +； g（x）+g（x）0，即 g（x）为奇函数；设 g（x）的最大值为 N，最小值为 n；则 N+n0； MN+1，mn+1； M+m2；故选：B 12 （5 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左右焦点分别为 F1、 F2， P 为椭圆上一点， F1PF260，若坐标原点 O 到 PF1的距离为 3 6 ，则椭圆离心率为（） A 2 2 B 6 3 C 7 3 D 3 3 【解答】解：设|PF1|m，|PF2|n，作 ONPF1，F2MPF1，由题意可得|ON|= 3 6 a，|F2M|= 3 3 a，F1PF260，即有|PM|= 1 3a，|PF2|

18、= 2 3 ，由 m+n2a，可得|MF1|a，a2+（ 3 3 ）24c2，可得 e= = 3 3 第 9 页（共 15 页）故选：D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）xex+ln（x+1），则曲线 yf（x）在 x0 处的切线方程为 y 2x 【解答】解：f（x）xex+ln（x+1）， f（x）= ( + 1) + 1 +1， f（0）2，f（0）0，切线方程为 y2x 故答案为：y2x 14 （5 分）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b27，c3，B2

19、C，则 cos2C 的值为 5 9 【解答】解：由正弦定理可得： = ，即 = = 2 = 2 = 2 = 27 3 = 7 3 ， 2 = 22 1 = 2 7 9 1 = 5 9 故答案为：5 9 15 （5 分）各项均为正数的等比数列an中，a11，a2+a36，则6 3 = 9 【解答】解：各项均为正数的等比数列an中，a11，a2+a36q+q2，公比 q2，Sn= 12 12 =2n1 则6 3 = 63 7 =9，故答案为：9 16 （5 分）边长为 2 的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成第 10 页（共 15 页）一个正四棱锥当该棱锥的体积

20、取得最大值时，其底面棱长为 4 5 【解答】解：设底面边长为 2x，则斜高为 22 2 =1x，即此四棱锥的高为 h= (1 )212= 1 2(0 1 2)，所以此四棱锥体积为 = 1 3 42 1 2 = 4 3 4 25，令() = 4 25(0 1 2)，则 h（x）4x 310x4（0x1 2），令 h（x）4x310x42x3（25x）0，当 x（0，2 5）时，h（x）0，x（ 2 5，+）时，h（x）0，所以数 h（x）在 = 2 5时取得极大值，也是最大值，此时底面棱长为 4 5 故答案为：4 5 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小

21、题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知数列an满足 a1a，+1= 2+ 1( ) （1）若数列an是等差数列，求通项公式 an；（2）已知 a2，求证数列an+1是等比数列，并求通项公式 an 【解答】解：（1）数列an是等差数列，a1a，an+12an+1（nN*），设数列的公差为 d，则 ana+（n1）d a+nd2（a+（n1）d）+1，即 nd2da1 对 nN*成立，于是 d0 ana，且 a2a+1，解得 a1 an1；证明：（2）a2，an+12an+1（nN*）， an+1+12（an+1） a1+130，数列an+1是以 3 为首项，公比为

22、 2 的等比数列 + 1 = 3 21 第 11 页（共 15 页） = 3 21 1 18 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCABC中，ACAB，AAABAC2，D，E 分别为 AB，BC 的中点（1）证明：平面 BDE平面 AABB；（2）求点 C到平面 BDE 的距离【解答】解：（1）证明：因为棱柱 ABCABC是直三棱柱，所以 ACAA，又 ACAB，AAABA，所以 AC面 AABB，又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，所以 DEAC，即 DE面 AABB，又 DE面 BDE，所以平面 BDE平面 AABB （2）解：由（1）可知 ACACDE，所以 AC面

23、BDE 即点 C到平面 BDE 的距离等于点 A到平面 BDE 的距离，方法一：连接 AD，过点 A作 AHBD 交 BD 于点 H 因为 DE面 AABB，所以 DEAH，即 AH面 BDE，即 AH 的长就是点 C到平面 BDE 的距离，因为 = 5，由等面积法可知 BDAHABAA，求得 = 45 5 ，所以 C到平面 BDE 的距离等于45 5 方法二：设点 A到面 BDE 的距离为 h，由（1）可知，DE面 AABB，且在 RtBDE 中， = 5， = 1= 5 2 ，由题意知 SABD2，由等体积公式可知 VABDEVEABD，即 1 3 = 1 3，由 1 3

24、5 2 = 1 3 2 1得= 45 5 ，所以 C到平面 BDE 的距离等于45 5 第 12 页（共 15 页） 19 （12 分）通过市场调查，得到某产品的资金投入 x（万元）与获得的利润 y（万元）的数据，如下表所示：资金投入 x 2 3 4 5 6 利润 y 2 3 5 6 9 （1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程； =bx+a （2）计算 x6 时的残差；（残差公式） =yi （3）现投入资金 10 万元，求估计获得的利润为多少万元【解答】解：（1）根据所给的数据得到 = 2+3+4+5+6 5 =4， = 2+3+5+6+9 5 =5 = 22+

25、33+45+56+69545 4+9+16+25+36516 =1.7 a51.741.8 线性回归方程是 y1.7x1.8 （2）根据上一问做出的线性回归方程，把 x6（万元）代入线性回归方程得到 =1.761.88.4，当 x6 时的残差 =98.40.6 （3）根据（1）中做出的线性回归方程，把 x10（万元）代入线性回归方程得到 y1.7101.815.2（万元）答：（1）线性回归方程是 y1.7x1.8，（2）当 x6 时的残差为 0.6，（2）当 x10 时，预报 y 的值是 15.2 万元 20 （12 分）已知动圆 E 与圆：( 1)2+ 2= 1 4外切，并与直

26、线 = 1 2相切，记动圆圆心 E 的轨迹为曲线 C （1）求曲线 C 的方程；（2）过点 Q（2，0）的直线 l 交曲线 C 于 A，B 两点，若曲线 C 上存在点 P 使得APB 第 13 页（共 15 页） 90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围【解答】解：（1）因为动圆 E 与圆：( 1)2+ 2= 1 4外切，并与直线 = 1 2相切，所以点 E 到点 M 的距离比点 E 到直线 = 1 2的距离大 1 2，因为圆：( 1)2+ 2= 1 4的半径为 1 2，所以点 E 到点 M 的距离等于点 E 到直线 x1 的距离，所以圆心 E 的轨迹为抛物线，且焦点坐标为（1

27、，0）所以曲线 C 的方程 y24x （2）设 P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）由 2 = 4 = ( + 2)得 ky 24y+8k0，由 0 16 3220得 2 2 2 2 且 k0 1+ 2= 4 ，y1y28， = 01 01 = 01 02 4 1 2 4 = 4 0+1，同理 = 4 0+2 由APB90，得 4 0+1 4 0+2 = 1，即02+ 0(1+ 2) + 12= 16，所以02+ 4 0+ 24 = 0，由= (4 ) 2 96 0，得 6 6 6 6 且 k0，又 2 2 2 2 且 k0，所以 k 的取值范围为 6 6

28、，0) (0， 6 6 21 （12 分）已知函数 f（x）x3+3ax2+（36a）x+12a（aR）（1）若 f（x）在 xx0处取得极小值，且 x0（0，3），求实数 a 的取值范围；（2）若对任意的 a1，1，不等式 f（x）m 在 x1，1恒成立，求实数 m 的取值范围【解答】解：（1）函数 f（x）x3+3ax2+（36a）x+12a，函数 f（x）3x2+6ax+（36a）0，大根在（0，3）之间，由 f（x）0，得2a= 2+1 1 =（x1）+ 2 1 +2，第 14 页（共 15 页）令 g（x）（x1）+ 2 1 +2，所以2ag（0）或 g（2 +

29、 1）2ag（3），所以 a 1 2或 5 2 2 1；（2）由已知得，x3+3xm+3（x22x+4）a0，令 g（a）x3+3xm+3（x22x+4）a，则对任意 a1，1，g（a）0 恒成立所以 x3+3x23x+12m 对任意 x1，1恒成立又令 h（x）x3+3x23x+12，则 mh（x）max，因为 h（x）3x2+6x33（x2+2x1），若 h（x0）0，则 h（x）在1，x0）上递减，在（x0，1上递增，所以 h（x）maxmaxh（1），h（1）max17，1317，所以 m17；四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每

30、小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cosm，曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2 （1）求曲线 C1的直角坐标方程和曲线 C2的参数方程；（2）设曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A，曲线 C1与 x 轴的交点为 H，点 M （1， 0），求AMH 的周长 l 的最大值【解答】解：（1）曲线 C1的极坐标方程为 cosm，转换为直角坐标方程为：xm 曲线 C2的极坐标方程为 2= 12 3+2转换为直角坐标方程为 3x 2+4y212，整

31、理得 2 4 + 2 3 = 1，转换为参数方程为 = 2 = 3 （为参数）（2）曲线 C1与曲线 C2在第二象限的交点为 A（2cos， 3），M（1，0）， H（2cos， 0）所以所以 lABC |AM|+|MH|+|AH| = 3 + 1 2 +(2 1)2+ (3)2= 3 + 1 2 + 2 =23( 3) + 3，第 15 页（共 15 页）当( 3) = 1时，AMH 的周长 l 的最大值为 23 + 3 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a，b，c 为正数，f（x）|x+a|+|x+b|+|xc| （1）若 abc1，求函数 f（x

32、）的最小值；（2）若 f（0）1 且 a，b，c 不全相等，求证：b3c+c3a+a3babc 【解答】解：（1）因为 abc1，所以 f（x）|x+a|+|x+b|+|xc|2|x+1|+|x1|，法 1：由上可得：() = 3 1， 1， + 3， 11， 3 + 1， 1. 所以，当 x1 时，函数 f（x）的最小值为 2；法 2：f（x）|x+a|+|x+b|+|xc|x+1|+|x+1|+|x1|x+1|+|x+1x+1|2+|x+1|2，当且仅当( + 1)( 1) 0 + 1 = 0 ，即 x1 时取得最小值 2；证明（2）：因为 a，b，c 为正数，所以要证3 + 3 + 3，即证明 2 + 2 + 2 1就行了，法1：因为 2 + 2 + 2 + + + = 2 + + 2 + + 2 + 2 2+ 2 2+ 2 2= 2 （a+b+c），当且仅当 abc 时取等号又因为 f（0）1 即 a+b+c1 且 a，b，c 不全相等，所以 2 + 2 + 2 1，即3 + 3 + 3，法 2：因为（a+b+c）（ 2 + 2 + 2 ）1，当且仅当 = = 取等号，又因为 f（0）1 即 a+b+c1 且 a，b，c 不全相等，所以 2 + 2 + 2 1，即3 + 3 + 3

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