1、 第 1 页（共 21 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（10） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|0x1，Bx|3x1，则（ ） AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 2 （5 分）两个变量的相关关系有正相关，负相关，不相关，则下列散点图从左到 右分别反映的变量间的相关关系是（ ） A B C D 3 （5 分）已知角 的终边过点（2，3） ，则 tan（7 4 +）等于（ ） A 1 5 B1 5 C5 D5 4 （5 分）已知直线 m，n，平面 ，n，那么“m”
2、是“mn” （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 6 （5 分）玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型 玉器，1986 年出土于浙江省余杭市反山文化遗址玉琮王通高 8.8cm，孔径 4.9cm、外径 17.6cm琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁 矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔试估计该 神人纹玉琮王的体积约为（单位：cm） （ ） 第 2 页（共 21 页） A625
3、0 B3050 C2850 D2350 7 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）32x，则不等式 f（x） 0 的解集为（ ） A( 3 2， 3 2) B(， 3 2) ( 3 2， + ) C(， 3 2) (0， 3 2) D( 3 2 ，0) (3 2， + ) 8 （5 分）已知圆 C：( 3)2+ 2= 1与双曲线 E： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的渐近 线相切，且圆心 C 恰好是双曲线 E 的一个焦点，则双曲线 E 的标准方程是（ ） A 2 3 2= 1 B 2 2 2= 1 C 2 9 2 12 = 1 D2 2 2 = 1 二多
4、选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9（5 分） 已知双曲线 2 4 2 2 = 2( ， )， 则不因 改变而变化的是 （ ） A焦距 B离心率 C顶点坐标 D渐近线方程 10 （5 分）由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务 在内的通信行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联 效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值如图是 某单位结合近年数据，对今后几年的 5G 经济产出所做的预测结合图，下列说法正确的 是（ ） 第 3 页（共 21 页）
5、 A5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 11 （5 分）已知函数 f（x） ，xR，都有 f（2x）f（x）成立，且任取 x1，x21， +） ，(2);(1) 2;1 0，(1 2)，以下结论中正确的是（ ） Af（0）f（3） BxR，f（x）f（1） C(2 + 1) (3 4) D若 f（m）f（2） ，则4m2 12 （5 分） 已知 a， b 为两条不同直线， ， ， 为三个不同平面， 下列说法正确的有 （ ） A若 ，则
6、B若 a，b，则 ab C若 a，b，ab，则 D若 a，ab，则 b 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知复数; 2:是纯虚数（i 是虚数单位） ，则实数 a 的值为 14 （5 分）( 3 2 ) 4的展开式中，常数项是 15 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）是偶函数，将 yf （x） 的图象沿 x 轴向左平移 6个单位， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵 坐标不变） ，所得图象对应的函数为 yg（x） 已知 yg（x）的图象相邻对称中心之间 的距离为 2，则 ；若
7、 yg（x）的图象在其某对称轴处对应的函数值为2， 则 g（x）在0，上的最大值为 第 4 页（共 21 页） 16 （5 分）已知（2x+1） na0+a1x+a2x2+anxn 中令 x0，就可以求出常数，即 1a0请 你 研 究 其 中 蕴 含 的 解 题 方 法 研 究 下 列 问 题 ： 若ex= : 0 ， 即 ex a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+anxn+，则 1 1 + 2 2 + + = 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 B 是 A，C 的等差中项 （
8、1）若 b= 13，a3，求边 c 的值； （2）设 tsinAsinC，求 t 的取值范围 18 （12 分）在b2n2bn+1，a2b1+b2，b1，b2，b4成等比数列这三个条件中选择 符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解 已知数列an中 a11，an+13an公差不等于 0 的等差数列bn满足_，求数 列* +的前 n 项和 Sn 注：如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC= 2，AA12AC2，AC1A1C O，点 B 在平面 ACC1A1内的射影为 O （1）证明：四边形 ACC1A1为矩形；
9、（2） E、 F分别为A1B1与BC的中点， 点D在线段AC1上， 已知EF平面A1BD， 求 1的值 （3）求平面 OB1C 与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦值 20 （12 分）研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指 数（缩写为 BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是 = 体重(单位：) 身高 2(单位：2)中国成 人的 BM 数值标准为：BM18.5 为偏瘦；18.5BMI24 为正常；BMI24 为偏胖，为 了解某社区成年人的身体肥胖情况研究人员从该社区成年人中，采用分层随机抽样方法 抽取了老年人、中年人、青年人三类人中的 45 名男性、45 名女性
10、为样本，测量了他们的 身高和体重数据，计算得到他们的 BM 值后数据分布如表所示： BMI 标准 老年人 中年 青年 第 5 页（共 21 页） 人 男 女 男 女 男 女 BMI18.5 3 3 1 2 4 5 18.5BMI24 5 7 5 7 8 10 BM24 5 4 10 5 4 2 （1）从样本中的老年人中年人青年人中各任取一人，求至少有 1 人偏胖的概率； （2）从该社区所有的成年人中，随机选取 3 人，其中偏胖的人数为 X，根据样本数据， 以频率作为概率，求 X 的分布列和数学期望； （3）经过调查研究，导致人体肥胖的原因主要取决于遗传因素、饮食习惯体育锻炼或其 他因素四类情况
11、中的一种或多种情况，调查该样本中偏胖的成年人导致偏胖的原因，整 理数据得到如表： 分类 遗传因素 饮食习惯欠佳 缺乏体育锻炼 其他因素 人次 8 12 16 4 请根据以上数据说明我们学生应如何减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，请至少说 明 2 条措施 21 （12 分）直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别为椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左右焦 点，A 为椭圆的右顶点，点 P 为椭圆 C 上的动点（点 P 与 C 的左右顶点不重合） ，当 PF1F2为等边三角形时，12= 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）如图，M 为 AP 的中点，直线 MO 交直线 x4 于点 D，
12、过点 O 作 OEAP 交直 线 x4 于点 E，证明OEF1ODF1 22 （12 分）已知函数() = 2 2，() = + 第 6 页（共 21 页） （1）设函数 f（x）与 g（x）有相同的极值点 （i）求实数 a 的值； （ii）若对1，2 ,1 ，3-，不等式(1);(2) ;1 1恒成立，求实数 k 的取值范围 （2）a0 时，设函数 h（x）eg （x）sin（g（x） ）1，试判断 h（x）在（，0）上 零点的个数 第 7 页（共 21 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（10） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小
13、题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|0x1，Bx|3x1，则（ ） AABx|x0 BABR CABx|x1 DAB 【解答】解：Ax|0x1，Bx|x0， AB，ABx|x0 或 0x1 故选：D 2 （5 分）两个变量的相关关系有正相关，负相关，不相关，则下列散点图从左到 右分别反映的变量间的相关关系是（ ） A B C D 【解答】解：对于（1） ，图中的点成带状分布，且从左到右上升，是正相关关系； 对于（2） ，图中的点没有明显的带状分布，是不相关的； 对于（3） ，图中的点成带状分布，且从左到右是下降的，是负相关关系 故选：D
14、3 （5 分）已知角 的终边过点（2，3） ，则 tan（7 4 +）等于（ ） A 1 5 B1 5 C5 D5 【解答】解：已知角 的终边过点（2，3） ， tan= 3 2， tan（7 4 +）tan（ 4）= 4 1+ 4 = 3 21 1+3 2 = 1 5， 故选：B 4 （5 分）已知直线 m，n，平面 ，n，那么“m”是“mn” （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：直线 m，n，平面 ，n， 第 8 页（共 21 页） “m”“m 与 n 平行或异面” ， “mn”“m 与 平行或 m” ， “m”是“mn”的既不充
15、分也不必要条件 故选：D 5 （5 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 x时， 0:， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）0+，排除 C， D； 因为 x+时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选：A 6 （5 分）玉琮是中国古代玉器中重要的礼器，神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型 玉器，1986 年出土于浙江省余杭市反山文化遗址玉琮王通高 8.8cm，孔径 4.9cm、外径 17.6cm琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图象，兽面的两侧各浅浮雕鸟纹，器形呈扁 矮的方柱体，内圆外方，上
16、下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔试估计该 神人纹玉琮王的体积约为（单位：cm） （ ） A6250 B3050 C2850 D2350 【解答】解：由题意，该神人纹玉琮王的体积为底面边长为 17.6cm，高为 8.8cm 的长方 体的体积减去底面直径为 4.9cm，高为 8.8cm 的圆柱的体积 则 V= 17.6 17.6 8.8 (4.9 2 )2 8.8 256cm3 第 9 页（共 21 页） 结合该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为 2350cm3 故选：D 7 （5 分）已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）32
17、x，则不等式 f（x） 0 的解集为（ ） A( 3 2， 3 2) B(， 3 2) ( 3 2， + ) C(， 3 2) (0， 3 2) D( 3 2 ，0) (3 2， + ) 【解答】解：根据题意，f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）32x， 则其图象如图： 且 f（3 2）f（ 3 2）0， 则不等式 f（x）0 的解集为（， 3 2）（0， 3 2） ； 故选：C 8 （5 分）已知圆 C：( 3)2+ 2= 1与双曲线 E： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的渐近 线相切，且圆心 C 恰好是双曲线 E 的一个焦点，则双曲线 E 的标准方程是（ ） A
18、2 3 2= 1 B 2 2 2= 1 C 2 9 2 12 = 1 D2 2 2 = 1 【解答】解：如图， 圆 C：( 3)2+ 2= 1的圆心坐标为（3，0） ，半径为 1， 双曲线 E： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的渐近线方程为 y= ， 由题意可得， = 3 |3| 2+2 = 1 2+ 2= 2 ，解得 a22，b21 第 10 页（共 21 页） 双曲线 E 的标准方程是 2 2 2= 1 故选：B 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9（5 分） 已知双曲线 2 4 2 2 = 2( ， )， 则不因 改变而变
19、化的是 （ ） A焦距 B离心率 C顶点坐标 D渐近线方程 【解答】解：双曲线 2 4 2 2 = 2( ， )，可化为 2 42 2 22 = 1 a24sin2，b22sin2 c26sin2， 2= 1 + ( ) 2 = 3 2， 渐近线 y = 2 2 ， 故选：BD 10 （5 分）由我国引领的 5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务 在内的通信行业整体的快速发展，进而对 GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联 效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值如图是 某单位结合近年数据，对今后几年的 5G 经济产出所做的预测结合图，
20、下列说法正确的 是（ ） 第 11 页（共 21 页） A5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓 C设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 D信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【解答】解：由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位， 而后期是信息服务商处于领先地位，故 C 项表达错误 故选：ABD 11 （5 分）已知函数 f（x） ，xR，都有 f（2x）f（x）成立，且任取 x1，x21， +） ，(2);(1) 2;1 0，(1 2)，以下结论中正确的是（ ） Af（0）f（3） BxR，f（x）
21、f（1） C(2 + 1) (3 4) D若 f（m）f（2） ，则4m2 【解答】解：根据题意，函数 f（x） ，xR，都有 f（2x）f（x）成立，则函数 f （x）的图象关于直线 x1 对称， 又由任取 x1，x21，+） ， (2);(1) 2;1 0，(1 2)，则 f（x）在区间1，+） 上为减函数， 则 f（x）在（，1上为增函数； 据此分析选项： 对于 A，f（3）f（1） ，则有 f（0）f（1）f（3） ，A 正确； 对于 B，f（x）在区间1，+）上为减函数，在（，1上为增函数，故 f（x） 第 12 页（共 21 页） 在 x1 时，取得最大值，即有xR，f（x）f（1
22、） ，B 正确； 对于 C，f（x）在区间1，+）上为减函数，又由 a2a+1（a 1 2） 2+3 4 3 4，则 f （a2a+1）f（3 4） ，C 错误； 对于 D，若 f（m）f（2） ，则有|m+1|3，解可得：m4 或 m2，D 错误； 故选：AB 12 （5 分） 已知 a， b 为两条不同直线， ， ， 为三个不同平面， 下列说法正确的有 （ ） A若 ，则 B若 a，b，则 ab C若 a，b，ab，则 D若 a，ab，则 b 【解答】解：a，b 为两条不同直线， 为三个不同平面， A，则 或相交，因此不正确； Ba，b，则 ab，因此正确； Ca，b，ab，则 ，正确；
23、Da，ab，则 b，或 b因此不正确 故选：BC 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知复数; 2:是纯虚数（i 是虚数单位） ，则实数 a 的值为 1 2 【解答】解：; 2: = (;)(2;) (2:)(2;) = 2;1 5 :2 5 是纯虚数， 2 1 = 0 + 2 0 ，解得 a= 1 2 故答案为：1 2 14 （5 分）( 3 2 ) 4的展开式中，常数项是 8 【解答】解：二项式( 3 2 ) 4的展开式的通项公式为 Tr+1= 4 （ 3 ）4 r （2）rxr= 4 （2）rx 44 3 令 x
24、 的幂指数4;4 3 =0，解得 r1， 展开式中的常数项为： T2= 4 1 （2）18 故答案为：8 第 13 页（共 21 页） 15 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）是偶函数，将 yf （x） 的图象沿 x 轴向左平移 6个单位， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵 坐标不变） ，所得图象对应的函数为 yg（x） 已知 yg（x）的图象相邻对称中心之间 的距离为 2，则 1 ；若 yg（x）的图象在其某对称轴处对应的函数值为2， 则 g（x）在0，上的最大值为 【解答】解： （1）f（x）是偶函数且 0，= 2， f（x）Asin（x+ 2
25、）Acosx 由已知将 yf（x）的图象沿 x 轴向左平移 6个单位，可得 f（x）Acos（x+ 6） ，再将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵坐标不变） ， 可得 g （x） Acos （ 2x+ 6） ， yg（x）的图象相邻对称中心之间的距离为 2， 2 =2，T4， 2 2 =4，1 故答案为 1 （2）yg（x）的图象在其某对称轴处对应的函数值为2，则 A2， g（x）2cos（1 2x+ 6） 0x， 6 1 2x+ 6 2 3 ， g（x）在0，上的最大值为当1 2x+ 6 = 6即 x0 时，g（x）max2 3 2 = 3 故答案为3 16 （5 分）已知（2
26、x+1） na0+a1x+a2x2+anxn 中令 x0，就可以求出常数，即 1a0请 你 研 究 其 中 蕴 含 的 解 题 方 法 研 究 下 列 问 题 ： 若ex= : 0 ， 即 ex a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+anxn+，则 1 1 + 2 2 + + = （n+1） ！1 【解答】解：对= 0+ 1 + 22+ 33+ 44+ + 两边求导： = 1+ 22 + 332+ 443+ ;1+ 令 x0 得： 1= 1 1 1 = 1 再两边求导：= 2 12+ 3 23 + 4 342+ ( 1);2+ 令 x0 第 14 页（共 21 页） 得：2= 1 12
27、1 2 = 1 2 = 2! 再两边求导：= 3 2 13+ 4 3 24 + ( 1)( 2);3+ 令 x0 得：3= 1 123 1 2 = 1 2 3 = 3! 猜想：= 1 123 1 = 1 2 3 = ! 所以 = ! = ,( + 1) 1-! = ( + 1)! !，所以 1 1 + 2 2 + 3 3 = (2! 1!) + (3! 2!) + ,( + 1)! !- = ( + 1)! 1 故答案为： （n+1） ！1 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 B 是
28、A，C 的等差中项 （1）若 b= 13，a3，求边 c 的值； （2）设 tsinAsinC，求 t 的取值范围 【解答】解： （1）B 是 A，C 的等差中项， 2BA+C， A+B+C， B= 3， b= 13，a3，又 b2a2+c22accosB， c23c40，解得 c4，或 c1（舍去） ，故 c4 （2）A+B= 2 3 ， tsinAsin（2 3 A）sinA（ 3 2 cosA+ 1 2sinA）= 1 2sin（2A 6）+ 1 4， A（0，2 3 ） ，2A 6（ 6， 7 6 ） ，sin（2A 6）（ 1 2，1， 故 t 的取值范围为（0，3 4 18 （12
29、 分）在b2n2bn+1，a2b1+b2，b1，b2，b4成等比数列这三个条件中选择 符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解 已知数列an中 a11，an+13an公差不等于 0 的等差数列bn满足_，求数 列* +的前 n 项和 Sn 第 15 页（共 21 页） 注：如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分 【解答】解：由 a11，an+13an，可得an为首项为 1，公比为 3 的等比数列，则 an 3n 1 选时，设数列bn的公差为 d，由 a23，所以 b1+b23，由 b2n2bn+1， 所以 n1 时，b22b1+1，解得 b1= 2 3，b2= 7 3，所以
30、d= 5 3， 因此 bn= 53 3 ， =（5n3） （1 3） n， Sn21 3 +7 （1 3） 2+（5n3） （1 3） n， 1 3Sn2 （ 1 3） 2+7 （1 3） 3+（5n3） （1 3） n+1， 两式相减可得2 3Sn= 2 3 +5（1 3） 2+（1 3） 3+（1 3） n（5n3） （1 3） n+1 = 2 3 +5 1 9,1;( 1 3) 1- 1;1 3 （5n3） （1 3） n+1=3 2 10+9 23+1， 所以 Sn= 9 4 10+9 43 选时，设数列bn的公差为 d，d0，由 a23，可得 b1+b23，即 2b1+d3， 由 b
31、1，b2，b4成等比数列，可得 b22b1b4，即（b1+d）2b1（b1+3d） ，化为 b1d， 解得 db11，所以 bnn，nN*； = 31， Sn1 （1 3） 0+21 3 +3 （1 3） 2+n （1 3） n1， 1 3Sn= 1 3 +2 （1 3） 2+（n1） （1 3） n1+n （1 3） n， 两式相减可得2 3Sn1+ 1 3 +（1 3） 2+（1 3） 3+（1 3） n1n （1 3） n = 1 1 31 11 3 n （1 3） n， 化简可得 Sn= 9 4 2+3 431 选时，设数列bn的公差为 d，d0，由 b2n2bn+1， 所以 n1 时
32、，b22b1+1，即 db1+1，又因为 b1，b2，b4成等比数列，可得 b22b1b4， 即（b1+d）2b1（b1+3d） ，化为 b1d，从而无解， 所以等差数列bn不存在，故不合题意 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBC= 2，AA12AC2，AC1A1C 第 16 页（共 21 页） O，点 B 在平面 ACC1A1内的射影为 O （1）证明：四边形 ACC1A1为矩形； （2） E、 F分别为A1B1与BC的中点， 点D在线段AC1上， 已知EF平面A1BD， 求 1的值 （3）求平面 OB1C 与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦值 【解答】解：
33、（1）证明：BO平面 ACC1A1，BOOC，BOOA， 在 RtOBC 与 RtOBA 中，OC= 2 2，OA= 2 2， ABBC，OAOC，AC1A1C， 四边形 ACC1A1为矩形 （2）解：取 AC 的中点 M，连结 A1M，交 AC1于 D， M，F 分别为 AC，BC 的中点，MF 1 2 ，MF 1 2A1B1， 又 E 为 A1B1的中点，MF A1E， 四边形 A1EFM 为平行四边形， EFA1M，即 EFA1D，EF平面 A1BD， A1DC1MDA， 1 = 11 = 1 2 （3）解：如图，以 O 为坐标原点，过 O 分别与 C1A1，C1C 平行的直线为 x 轴
34、，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， OC= 5 2 ，OB=2 ( 5 2 )2= 3 2 ， 平面 ACC1A1的法向量 =（0，0，1） ， O（0，0，0） ，B1（0，2， 3 2 ） ，C（ 1 2，1，0） ， 1 =（0，2， 3 2 ） ， =（ 1 2 ，1，0） ， 设 =（x，y，z）为平面 OB1C 的法向量， 1 = 2 + 3 2 = 0 = 1 2 + = 0 ，取 y1，得 =（2，1，43 3 ） ， 第 17 页（共 21 页） cos ， = | |= 43 3 4+1+16 3 = 431 31 平面 OB1C 与平面 ACC1A1所成锐二面角的余弦
35、值为431 31 20 （12 分）研究表明，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指 数（缩写为 BMI）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是 = 体重(单位：) 身高 2(单位：2)中国成 人的 BM 数值标准为：BM18.5 为偏瘦；18.5BMI24 为正常；BMI24 为偏胖，为 了解某社区成年人的身体肥胖情况研究人员从该社区成年人中，采用分层随机抽样方法 抽取了老年人、中年人、青年人三类人中的 45 名男性、45 名女性为样本，测量了他们的 身高和体重数据，计算得到他们的 BM 值后数据分布如表所示： BMI 标准 老年人 中年 青年 人 男 女 男 女 男 女 BMI
36、18.5 3 3 1 2 4 5 18.5BMI24 5 7 5 7 8 10 BM24 5 4 10 5 4 2 （1）从样本中的老年人中年人青年人中各任取一人，求至少有 1 人偏胖的概率； （2）从该社区所有的成年人中，随机选取 3 人，其中偏胖的人数为 X，根据样本数据， 以频率作为概率，求 X 的分布列和数学期望； （3）经过调查研究，导致人体肥胖的原因主要取决于遗传因素、饮食习惯体育锻炼或其 他因素四类情况中的一种或多种情况，调查该样本中偏胖的成年人导致偏胖的原因，整 第 18 页（共 21 页） 理数据得到如表： 分类 遗传因素 饮食习惯欠佳 缺乏体育锻炼 其他因素 人次 8 12
37、 16 4 请根据以上数据说明我们学生应如何减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，请至少说 明 2 条措施 【解答】解： （1）设 A，B，C 分别表示从样本中的老年人，中年人，青年人中任取一人， 这个人恰好偏胖的事件， 根据题意，则 P（A）= 9 27 = 1 3，P（B）= 15 30 = 1 2，P（C）= 6 33 = 2 11， 则至少有 1 人偏胖的概率为 1P（）1()()() = 1 2 3 1 2 9 11 = 8 11； （2）根据题意，X 所有可能的取值为 0，1，2，3， 由在该社区成年人中，随机选取 1 人，偏胖的概率为 9:15:6 27:30:33 = 30 90
38、 = 1 3， P（X0）= 3 0(1 1 3) 3 = 8 27， P（X1）= 3 1(1 3)(1 1 3) 2 = 4 9， P（X2）= 3 2(1 3) 2(11 3) = 2 9， P（X3）= 3 3(1 3) 3 = 1 27， 随机变量的分布列如下： X 0 1 2 3 P 8 27 4 9 2 9 1 27 EX= 0 8 27 + 1 4 9 + 2 2 9 + 3 1 27 = 1； （3）由表可知，因饮食习惯欠佳导致人偏胖的人次占比约为 30%，因缺乏体育锻炼导致 人偏胖的人次占比约为 40%， 所以为减少肥胖，防止心血管安全隐患的发生，可采取如下 2 种措施：
39、加强体育锻炼；改善饮食习惯 21 （12 分）直角坐标系 xOy 中，F1，F2分别为椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左右焦 点，A 为椭圆的右顶点，点 P 为椭圆 C 上的动点（点 P 与 C 的左右顶点不重合） ，当 PF1F2为等边三角形时，12= 3 第 19 页（共 21 页） （1）求椭圆 C 的方程； （2）如图，M 为 AP 的中点，直线 MO 交直线 x4 于点 D，过点 O 作 OEAP 交直 线 x4 于点 E，证明OEF1ODF1 【解答】解： （1 设椭圆的半个焦距 c， 因为PF1F2是等边三角形，所以 P 此时在上顶点或下顶点，所以 a2c， 所以
40、bc= 3，又有 a2b2+c2，解得 a24，b23， 所以椭圆的方程为： 2 4 + 2 3 =1； （2）证明：由（1）可得，A（2，0） ，设 AP 的中点 M（x0，y0） ，P（x1，y1） ， 设直线 AP 的方程为： yk （x2） ， k0， 将其代入椭圆整理可得：（3+4k2） x216k2x+16k2 120，所以 x1+2= 162 3+42， 所以 x0= 82 3+42，y0k（x02）= 6 3+42， 即 M 中点坐标（ 82 3:42， ;6 3:42） ， 所以 kOM= 6 3+42 82 3+42 = 3 4，所以直线 OM 的方程为：y= 3 4x，
41、令 x4，y= 3 ，即 D（4， 3 ） ， 直线 OE 的方程为：ykx，令 x4，y4k，即 E（4，4k） ， 由 F1（1，0）可得 k 1= 4 3 = 4 3 ， 所以 kOMk 1= 1，即 OMEF1，记垂足 H， 因为 k 1= 3 3 = 1 ，kOEkAPk， 所以 OEDF1，在直角三角形 EHO 和直角三角形 DGO 中，ODF1和OEF1都与 EOD 互为余角， 第 20 页（共 21 页） 所以ODF1OEF1 22 （12 分）已知函数() = 2 2，() = + （1）设函数 f（x）与 g（x）有相同的极值点 （i）求实数 a 的值； （ii）若对1，2 ,1 ，3-，不等式(1);(2) ;1 1恒成立，求实数 k 的取值范围 （2）a0 时，设函数 h（x）eg （x）
