1、 第 1 页（共 21 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（31） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）复数 z 满足（2i）z|3+4i|（i 为虚数单位） ，则 =（ ） A2+i B2i C2i D2+i 2 （5 分）设集合 A0，2，B1，0，2，则 AB（ ） A0 B1，2 C2，0 D2，1，0， 2 3 （5 分） 在等比数列an中， 公比为 q， 且1， q3， 5 成等差数列， 则4 4+6 1+3 = （ ） A1 5 B1 4 C1 3 D1 2 4 （5 分）已知函数 f
2、（x）aex+x+b，若函数 f（x）在（0，f（0） ）处的切线方程为 y2x+3， 则 ab 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 5（5 分） 数列an前 n 项和为 Sn， a11， an0， 3Snanan+1+1， 若 ak2018， 则 k （ ） A1344 B1345 C1346 D1347 6 （5 分）已知点 P 为双曲线： 2 2 2 2 = 1(00)右支上一点，F1，F2分别为 C 的左，右焦点，直线 PF1与 C 的一条渐近线垂直，垂足为 H，若|PF1|4|HF1|，则该双 曲线的离心率为（ ） A 15 3 B 21 3 C5 3 D7 3 7 （5 分）在A
3、BC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 acosA（acosC+ccosA） cosB，则ABC 的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 8 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为（0，+） ，且满足 f（x）+xf（x）0（f（x）是 f （x）的导函数） ，则不等式（x+1）f（x21）f（x1）的解集为（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，+） D （，2） 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 4 分）分） 第 2 页（共 21 页） 9 （4 分）定义“正对数” ：
4、+ = 0 01 1 ，若 a0，b0，则下列结论中正确的 是（ ） Aln+abbln+a Bln+（ab）ln+a+ln+b C+( ) + + Dln+（a+b）ln+a+ln+b 10（4 分） 已知 O， A， B， C 为平面上两两不重合的四点， 且 + + = ( 0)， 则（ ） A当且仅当 xyz0 时，O 在ABC 的外部 B当且仅当 x：y：z3：4：5 时，SABC4SOBC C当且仅当 xyz 时，O 为ABC 的重心 D当且仅当 x+y+z0 时，A，B，C 三点共线 11 （4 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形，
5、 ABCD，ABAD，AB2AD2CD2，F 是 AB 的中点，E 是 PB 上的一点，则下列 说法正确的是（ ） A若 PB2PE，则 EF平面 PAC B若 PB2PE，则四棱锥 PABCD 的体积是三棱锥 EACB 体积的 6 倍 C三棱锥 PADC 中有且只有三个面是直角三角形 D平面 BCP平面 ACE 12 （4 分）如图，点 O 是正四面体 PABC 底面 ABC 的中心，过点 O 的直线交 AC，BC 于点 M，N，S 是棱 PC 上的点，平面 SMN 与棱 PA 的延长线相交于点 Q，与棱 PB 的延 长线相交于点 R，则（ ） 第 3 页（共 21 页） A若 MN平面 P
6、AB，则 ABRQ B存在点 S 与直线 MN，使 PC平面 SRQ C存在点 S 与直线 M，使 ( + ) = 0 D 1 | | + 1 | | + 1 | | 是常数 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）又是周期为 4 的周期函数，已知在区间2，0） （0，2上，f（x）= + ， 2 0 1，0 2 ，则 f（2020） ；b 14 （5 分）已知点 E 在 y 轴上，点 F 是抛物线 y22px（p0）的焦点，直线 EF 与抛物线 交于 M，N 两点，若点 M 为线段 EF 的
7、中点，且|NF|12，则 p 15 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和= 3 1 2，则 x ，an的通项公式 为 16 （5 分）已知函数() = 1 2 2 + 1 2 + 1，则 f（x）的最小正周期是 ， 最小值是 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsinB+csinCa （2 +sinA） （1）求 A 的大小； （2）若 a= 2，B= 3，求ABC 的面积 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 3Sn2an+1 （1）求数列an的通项公式；
8、 （2）设数列bn满足 bn（n+1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn 第 4 页（共 21 页） 19 （12 分）如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BECF，BCF90， = 3，BE3，CF4，EF2 （1）求证：AE平面 DCF； （2）当 AB 的长为何值时，二面角 AEFC 的大小为 60 20 （12 分）已知椭圆 M： 2 2 + 2 3 =1（a0）的一个焦点为 F（1，0） ，左右顶点分别 为 A，B，经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C，D 两点 （）求椭圆方程； （）记ABD 与ABC 的面积分别为 S1和 S2，求|S1S2|的最大
9、值 21 （12 分）近年来，南宁大力实施“二产补短板、三产强优势、一产显特色”策略，着力 发展实体经济，工业取得突飞猛进的发展逐步形成了以电子信息、机械装备、食品制 糖、铝深加工等为主的 4 大支柱产业广西洋浦南华糖业积极响应号召，大力研发新产 品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得 到一组销售数据（ （xi，yi） （i1，2，6） ，如表所示： 试销单价 x （元） 4 5 6 7 8 9 产品销量 y （件） q 84 83 80 75 68 已知 = 1 6 6 =1 yi80， 6 =1 xiyi3050， 6 =1 xi2271 （）求出 q
10、 的值； （）已知变量 x，y 具有线性相关关系，求产品销量 y（件）关于试销单价 x（元）的 第 5 页（共 21 页） 线性回归方程 = x+ ； （）用 表示用（）中所求的线性回归方程得到的与 xi对应的产品销量的估计值当 销售数据（ （xi，yi）对应的残差的绝对值| iyi|1 时，则将销售数据（ （xi，yi）称为 一个“好数据” 现从 6 个销售数据中任取 3 个，求“好数据”个数 的数学期望 E （参考公式： 线性回归方程中 ， 的最小二乘估计分别为： = =1 =1 22 ， = ） 22 （12 分）已知函数 f（x）（1sinx）ex （1）求 f（x）在区间（0，）的极
11、值； （2）证明：函数 g（x）f（x）sinx1 在区间（，）有且只有 3 个零点，且之 和为 0 第 6 页（共 21 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（31） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）复数 z 满足（2i）z|3+4i|（i 为虚数单位） ，则 =（ ） A2+i B2i C2i D2+i 【解答】解：由（2i）z|3+4i|5，得 z= 5 2 = 5(2+) (2)(2+) = 2 + ， = 2 故选：C 2 （5 分）设集合 A0，2
12、，B1，0，2，则 AB（ ） A0 B1，2 C2，0 D2，1，0， 2 【解答】解：A0，2，B1，0，2， AB2，1，0，2 故选：D 3 （5 分） 在等比数列an中， 公比为 q， 且1， q3， 5 成等差数列， 则4 4+6 1+3 = （ ） A1 5 B1 4 C1 3 D1 2 【解答】解：由1，q3，5 成等差数列， 2q351，解得 q32 则4 4+6 1+3 = 43=log42= 1 2 故选：D 4 （5 分）已知函数 f（x）aex+x+b，若函数 f（x）在（0，f（0） ）处的切线方程为 y2x+3， 则 ab 的值为（ ） A1 B2 C3 D4 【
13、解答】解：f（x）aex+x+b 的导数为 f（x）aex+1，所以 f（0）a+12，解得 a1， f（0）a+b1+b3，所以 b2，所以 ab2， 故选：B 5（5 分） 数列an前 n 项和为 Sn， a11， an0， 3Snanan+1+1， 若 ak2018， 则 k （ ） 第 7 页（共 21 页） A1344 B1345 C1346 D1347 【解答】解：根据题意，数列an有 3Snanan+1+1， 则有 3Sn1an1an+1， 可得：3（SnSn1）anan+1an1an， 变形可得：3anan（an+1an1） ，即 an+1an13， 对于 3Snanan+1+
14、1，当 n1 时，有 3a1a1a2+1，解可得 a22， 则 an= 31 2 ，(为奇数) 32 2 ，(为偶数) ， 若 ak2018，若 k 为奇数，则 ak= 31 2 =2018，解可得 k= 4037 3 ，不符合题意，舍去； 若 k 为偶函数，则 ak= 32 2 =2018，解可得，k1346，符合题意； 则 k1346； 故选：C 6 （5 分）已知点 P 为双曲线： 2 2 2 2 = 1(00)右支上一点，F1，F2分别为 C 的左，右焦点，直线 PF1与 C 的一条渐近线垂直，垂足为 H，若|PF1|4|HF1|，则该双 曲线的离心率为（ ） A 15 3 B 21
15、3 C5 3 D7 3 【解答】解：如图：取 PF1的中点 M |PF1|4|HF1|，OHMF2 直线 PF1垂直 OH，垂足为 H，MF2PF1，故PF1F2为等腰三角形 PF2F1F22c，可得 PF12a+2c tanF1F2MtanF1OH= ， sin12 = 1 12 = + 2 =sinF1OH= a+c2b，（a+c）24（c2a2）3e22e50， 解得 e= 5 3， 故选：C 第 8 页（共 21 页） 7 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 acosA（acosC+ccosA） cosB，则ABC 的形状是（ ） A等腰三角形 B直
16、角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 【解答】解：因为 acosA（acosC+ccosA）cosB，所以 sinAcosA（sinAcosC+sinCcosA） cosB， 所以 sinAcosAsin（A+C）cosB， 从而 sin2Asin2B 因为 0A，0B， 所以 2A2B 或 2A+2B，即 AB 或 A+B= 2， 故ABC 是等腰三角形或直角三角形 故选：D 8 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为（0，+） ，且满足 f（x）+xf（x）0（f（x）是 f （x）的导函数） ，则不等式（x+1）f（x21）f（x1）的解集为（ ） A （1，2） B （
17、1，2） C （1，+） D （，2） 【解答】解：函数 f（x）的定义域为（0，+） ， 由 f（x）+xf（x）0， xf（x）0， 令 g（x）xf（x） ，x（0，+） ， 第 9 页（共 21 页） 则函数 g（x）在 x（0，+）上单调递减， x1 时，x21x1， g（x21）g（x1） ， （x21）f（x21）（x1）f（x1）（x+1）f（x21）f（x1） 不等式（x+1）f（x21）f（x1）的解集为（1，+） 故选：C 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 16 分，每小题分，每小题 4 分）分） 9 （4 分）定义“正对数” ：+ = 0 01 1 ，
18、若 a0，b0，则下列结论中正确的 是（ ） Aln+abbln+a Bln+（ab）ln+a+ln+b C+( ) + + Dln+（a+b）ln+a+ln+b 【解答】解：对于 A，由定义，当 a1 时，ab1，故 ln+（ab）ln（ab）blna，又 bln+ablna， 故有 ln+（ab）bln+a； 当 0a1 时，ab1，故 ln+（ab）0，又 a1 时 bln+a0，所以此时亦有 ln+（ab） bln+a 由上判断知 A 正确； 对于 B，此命题不成立，可令 a2，b= 1 3，则 ab= 2 3，由定义 ln +（ab）0，ln+a+ln+b ln2， 所以 ln+（a
19、b）ln+a+ln+b；由此知 B 错误； 对于 C，当 ab0 时， 1，此时 ln+（ ）ln （ ）0， 当 ab1 时，ln+aln+blnalnbln（ ） ，此时命题成立； 当 a1b 时，ln+aln+blna，此时 a，故命题成立； 同理可验证当 1ab0 时，ln+（ ）ln +aln+b 成立； 当 1 时，同理可验证是正确的，故 C 正确； 对于 D，若 0a+b1，b0 时，左0，右端0，显然成立； 第 10 页（共 21 页） 若 a+b1，则 ln+（a+b）ln+a+ln+b+ln2ln+ 2 ln+a+ln+b，成立，故 D 错误， 故选：AC 10（4 分）
20、已知 O， A， B， C 为平面上两两不重合的四点， 且 + + = ( 0)， 则（ ） A当且仅当 xyz0 时，O 在ABC 的外部 B当且仅当 x：y：z3：4：5 时，SABC4SOBC C当且仅当 xyz 时，O 为ABC 的重心 D当且仅当 x+y+z0 时，A，B，C 三点共线 【解答】解：对于 A，如图 1，若 x，y，z 只有一个为负时，不妨设 y0，x0，z0， 则有 + 与 同向则 O 在ABC 的外部， 若 x，y，z 均为负时，不妨取 xyz1， 可得 + + = 0 ，显然 O 为ABC 的重心，则 O 在ABC 的内部， 综上，A 错 对于B x： y： z3
21、： 4： 5时， 不妨取x3， y4， z5 分别作 =3 ， =4 ， =5 则点 O 为DEF 的重心SOBC= 1 20SOEF= 1 20 1 3SDEF= 1 60SDEF， SOAC= 1 15SODF= 1 45SDEF， SOAB= 1 12SODE= 1 36SDEF， SABC（ 1 60 + 1 45 + 1 36）S DEF= 1 15SDEF = 1 15 3SOEF= 1 5 20SOBC4SOBC，正确 对于 C当且仅当 xyz 时，且 + + = ( 0)， + + = 0 O 为ABC 的重心，正确 对于 D x+y+z0 时， 且 + + = ( 0)， x
22、 +y （x+y） = 0 ， 化为：x =y ，可得 A，B，C 三点共线 综上可得：BCD 都正确 第 11 页（共 21 页） 故选：BCD 11 （4 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC底面 ABCD，四边形 ABCD 是直角梯形， ABCD，ABAD，AB2AD2CD2，F 是 AB 的中点，E 是 PB 上的一点，则下列 说法正确的是（ ） A若 PB2PE，则 EF平面 PAC B若 PB2PE，则四棱锥 PABCD 的体积是三棱锥 EACB 体积的 6 倍 C三棱锥 PADC 中有且只有三个面是直角三角形 D平面 BCP平面 ACE 【解答】解：在 A 中，F 是 AB
23、的中点，E 是 PB 上的一点， 若 PB2PE，则 EFPA， 又 EF平面 PAC，PA平面 PAC，EF平面 PAC，故 A 正确； 在 B 中，若 PB2PE， 第 12 页（共 21 页） 则四棱锥 PABCD 的体积 V= 1 3 (+) 2 = 1 3 2+1 2 1 = 2 ， 三棱锥 EACB 体积为：VPACB= 1 3 2 1 2 = 1 3 2 1 2 2 1 = 6 ， 四棱锥 PABCD 的体积是三棱锥 EACB 体积的 3 倍，故 B 错误； 在 C 中，三棱锥 PADC 中，ADC，PCD，PCA，是直角三角形，故 C 正确； 在 D 中，AC2+BC21+1+
24、1+14AB2，ACAB， PC平面 ABCD，BCPC， PCACC，BC平面 PAC， BC平面 BCP，平面 BCP平面 ACE，故 D 正确 故选：ACD 12 （4 分）如图，点 O 是正四面体 PABC 底面 ABC 的中心，过点 O 的直线交 AC，BC 于点 M，N，S 是棱 PC 上的点，平面 SMN 与棱 PA 的延长线相交于点 Q，与棱 PB 的延 长线相交于点 R，则（ ） A若 MN平面 PAB，则 ABRQ B存在点 S 与直线 MN，使 PC平面 SRQ C存在点 S 与直线 M，使 ( + ) = 0 D 1 | | + 1 | | + 1 | | 是常数 【解
25、答】解：A 选项：因为 MN平面 PAB，面 ABC面 PABAB，所以 MNAB； 又面 SQR面 PABQR，所以 MNQR； 第 13 页（共 21 页） 所以 ABQR； B 选项取 PC 中点 G，连接 AG，BG，则 AGPC，BGPC，所以 PC面 ABG， 过 AC 上一点 M，作 MSAG，SNBG，则面 ABG面 SMN，所以存在点 S 与直线 MN 满足条件； C 选项由最小角定理知，PC 与面 PAB 所成角的最小角为CPD，PD 为APB 的角平分 线，最大角为CPD60，不可能为直角，所以 C 不成立； D 选项 = + = + 2 3 + 2 3 ( ) = 1
26、3 ( + + )， = | | | | ， = | | | | ， = | | ，设| | = ，| | = ，| | = ， 所以 = | 3 + | 3 + | 3 ， 因为 O，Q，R，S 四点共面，所以| 3 + | | 3 + | | 3 = 1， 所以 1 3 + 1 3 + 1 3 = 1 | | ，所以1 + 1 + 1 = 3 | ，得证 故选：ABD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）又是周期为 4 的周期函数，已知在区间2，0） （0，2上，f（x）= + ， 2
27、 0 1，0 2 ，则 f（2020） 0 ；b 1 【解答】解：定义在 R 上的奇函数 f（x）又是周期为 4 的周期函数， f（0）f（0） ，解得 f（0）0， f（x）是周期为 4 的周期函数，f（2020）0， f（x）周期为 4 的周期函数，f（x+4）f（x） ， f（42）f（2） ，f（2）f（2） ， 定义在 R 上的奇函数 f（x） ，f（2）f（2）f（2） ， f（2）f（2）0， 在区间2，0）（0，2上，f（x）= + ， 2 0 1，0 2 ， 第 14 页（共 21 页） 2 1 = 0 2 + = 0，解得 a= 1 2，b1 故答案为：0，1 14 （5
28、分）已知点 E 在 y 轴上，点 F 是抛物线 y22px（p0）的焦点，直线 EF 与抛物线 交于 M，N 两点，若点 M 为线段 EF 的中点，且|NF|12，则 p 8 【解答】解：点 E 在 y 轴上，点 F 是抛物线 y22px（p0）的焦点，直线 EF 与抛物线 交于 M，N 两点，若点 M 为线段 EF 的中点，且|NF|12，F（ 2，0） ，则 M（ 4， 2 2 ） ， E（0，2P） ，cosEFO= = 1 3，作 NS 垂直 y 轴与 S， NS12 2 =（12+ 3 2 ）cosEFO， 解得 p8， 故答案为：8 15 （5 分）已知等比数列an的前 n 项和=
29、 3 1 2，则 x 1 2 ，an的通项公式为 an3n 1 【解答】解：根据题意，等比数列an的前 n 项和= 3 1 2， 则 a1S13x 1 2，a2S2S16x，a3S3S218x， 则有 q= 3 2 =3， 第 15 页（共 21 页） a13x 1 2 = 6 3 ，解可得 x= 1 2， 则 a11，又由 q3， 则 ana1qn 13n1； 故答案为：1 2，3 n1 16 （5 分）已知函数() = 1 2 2 + 1 2 + 1，则 f（x）的最小正周期是 ，最 小值是 52 4 【解答】解：() = 1 2 2 +1 2 + 1 = 1 2 12 2 + 1 42
30、+ 1 = 1 4 2 1 4 2 + 5 4 = 2 4 (2 4) + 5 4 f（x）的最小正周期是2 2 = ，最小值为52 4 故答案为：；52 4 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （10 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsinB+csinCa （2 +sinA） （1）求 A 的大小； （2）若 a= 2，B= 3，求ABC 的面积 【解答】解： （1）bsinB+csinCa（2 +sinA） ， 由正弦定理可得：b2+c2a（2 +a） ， b2+c2a2= 2， 2bccosA= 2bc，解得：cosA
31、= 2 2 ，可得：A= 4 （2）sinCsin（A+B）= 6+2 4 ， 由正弦定理 = ，可得：b= 3， SABC= 1 2absinC= 3+3 4 第 16 页（共 21 页） 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 3Sn2an+1 （1）求数列an的通项公式； （2）设数列bn满足 bn（n+1）an，求数列bn的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）当 n1 时，3S12a1+1，可得 a11， 当 n2 时，由3 = 2+ 1 31= 21+ 1 得 3（SnSn1）2an2an1，整理得 an2an1， 从而= (2)1 （2）由 bn（n+1）
32、an，得= ( + 1) (2)1， 则：= 2 (2)0+ 3 (2)1+ 4 (2)2+ + ( + 1) (2)1， 那么：2= 2 (2)1+ 3 (2)2+ + (2)1+ ( + 1) (2)， 由得：3= 2 (2)0+ (2)1+ (2)2+ + (2)1 ( + 1) (2) = 1 + 1(2) 1(2) ( + 1) (2)= 4 3 ( + 4 3) (2) ， 从而：= 4 9 3+4 9 (2) 19 （12 分）如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BECF，BCF90， = 3，BE3，CF4，EF2 （1）求证：AE平面 DCF； （2）当
33、 AB 的长为何值时，二面角 AEFC 的大小为 60 【解答】证明： （1）面 ABCD面 BEFC，DC面 ABCD，且 DCBC DC面 BEFC 以点 C 为坐标原点，以 CB，CF 和 CD 分别作为 x 轴，y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系 Cxyz 第 17 页（共 21 页） 设 ABa，则 C（0，0，0） ，(3，0，)，B（3，0，0） ， (3，3，0)，F（0，4，0） ， D（0，0，a） （2 分） = (0，3， )， = (3，0，0)， = (0，3，0)， 所以 = 0， = 0， 又 CDCFC 所以 CB平面 CDF 即 为平面 CDF 的法向量（
34、4 分） 又 = 0，CBAE，又 AE平面 CDF 所以 AE平面 DCF（6 分） 解： （2） 设 = (，)与平面 AEF 垂直， 则 = (0，3， )， = (3，1，0)， 由 = 0 = 0 ，得3 + = 0 3 = 0 ，解得 = (1， 3 ， 33 ) （8 分） 又因为 BA平面 BEFC， = (0，0，)， 所以| ， | = | | | | | = 33 4+27 2 = 1 2，（10 分） 得到 = 9 2 所以当 = 9 2时，二面角 AEFC 的大小为 60（12 分） 第 18 页（共 21 页） 20 （12 分）已知椭圆 M： 2 2 + 2 3
35、=1（a0）的一个焦点为 F（1，0） ，左右顶点分别 为 A，B，经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C，D 两点 （）求椭圆方程； （）记ABD 与ABC 的面积分别为 S1和 S2，求|S1S2|的最大值 【解答】解： （）因为 F（1，0）为椭圆的焦点，所以 c1， 又 b= 3，所以 a2， 所以椭圆方程为 2 4 + 2 3 =1； （）直线 l 无斜率时，直线方程为 x1， 此时 D（1，3 2） ，C（1， 3 2） ，ABD，ABC 面积相等，|S1S2|0， 当直线 l 斜率存在（显然 k0）时，设直线方程为 yk（x+1） （k0） ， 设 C（x1，y1） ，D（
36、x2，y2） ， 和椭圆方程联立，消掉 y 得（3+4k2）x2+8k2x+4k2120， 显然0，方程有根，且 x1+x2= 82 3+42，x1x2= 4212 3+42 ， 此时|S1S2|2|y1|y2|2|y1+y2|2|k（x2+1）+k（x1+1）| 2|k（x2+x1）+2k|= 12| 3+42 = 12 3 |+4| 12 212 = 3， （k 3 2 时等号成立） 所以|S1S2|的最大值为3 21 （12 分）近年来，南宁大力实施“二产补短板、三产强优势、一产显特色”策略，着力 发展实体经济，工业取得突飞猛进的发展逐步形成了以电子信息、机械装备、食品制 第 19 页（
37、共 21 页） 糖、铝深加工等为主的 4 大支柱产业广西洋浦南华糖业积极响应号召，大力研发新产 品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得 到一组销售数据（ （xi，yi） （i1，2，6） ，如表所示： 试销单价 x （元） 4 5 6 7 8 9 产品销量 y （件） q 84 83 80 75 68 已知 = 1 6 6 =1 yi80， 6 =1 xiyi3050， 6 =1 xi2271 （）求出 q 的值； （）已知变量 x，y 具有线性相关关系，求产品销量 y（件）关于试销单价 x（元）的 线性回归方程 = x+ ； （）用 表示用（）中所求的线
38、性回归方程得到的与 xi对应的产品销量的估计值当 销售数据（ （xi，yi）对应的残差的绝对值| iyi|1 时，则将销售数据（ （xi，yi）称为 一个“好数据” 现从 6 个销售数据中任取 3 个，求“好数据”个数 的数学期望 E （参考公式： 线性回归方程中 ， 的最小二乘估计分别为： = =1 =1 22 ， = ） 【解答】解： （1） = 1 6 6 =1 yi80，1 6（q+84+83+80+75+68）80， 解得 q90 （2） = 1 6 （4+5+6+7+8+9） = 13 2 ， = 1 6 6 =1 yi80， 6 =1 xiyi3050， 6 =1 xi2271 = =1 =1 22 = 305066.580 271253.5 = 4， = =80+4 13 2 =106， 产品销量 y（件）关于试销单价 x（元）的线性回归方程 = 4x+106 （3）1 = 44+10690，（4，90）是一个“好数据” ， 2 = 45+10686， 3 = 46+10682，（6，83）是一个“好数据” ， 4 = 47+10678， 5 = 48+10674
