2020高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（3）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| = (2 3 4)+， = *| 2 1 0+全集 UR，则（RA） B（ ） A1，2 B1，2）（3，4 C1，3） D1，1）2，4 2 （5 分）已知复数 z= 2 (1)3，则在复平面内对应点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 + 2 3 2 + 3 ，则 zxy

2、 的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm（ ） A0 B3 2 C3 D3 4 （5 分）已知两个不同平面 ， 和三条不重合的直线 a，b，c，则下列命题中正确的是 （ ） A若 a，b，则 ab B若 a，b 在平面 内，且 ca，cb，则 c C若 a，b，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与 a，b，c 都相交 D若 ， 分别经过两异面直线 a，b，且 c，则 c 必与 a 或 b 相交 5 （5 分）中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示） ，表 示一个多位数时，像阿拉伯记数样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的 筹式需要纵横相间，其中个位、

3、百位、万用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表 示，例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 可用算筹表示为（ ） A B 第 2 页（共 19 页） C D 6 （5 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， Sn2an2， 若存在两项 am， an， 使得 aman64， 则 1 + 9 的最小值为（ ） A14 5 B11 4 C8 3 D10 3 7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A115 B140 C165 D215 8 （5 分）已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一定点，动点 P 满足 = + （| + | ） ，R则 P 点的轨迹一定通

4、过三角形 ABC 的（ ） A内心 B外心 C重心 D垂心 9 （5 分）已知 cos（+ 3）= 3 3 （ 为锐角） ，则 sin（ ） A22:3 6 B22;3 6 C6:3 6 D3;6 6 10 （5 分）已知函数 f（x）cosx|sinx|，给出下列四个说法： (2015 6 ) = 3 4 ， 函数 f（x）的一个周期为 2； f（x）在区间, 4 ， 3 4 -上单调递减； f（x）的图象关于点（，0）中心对称 其中正确说法的序号是（ ） A B C D 11 （5 分）如图，FI，F2是双曲线： 2 2 2 3 = 1(0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上 位于第一象限内

5、的一点， 且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A， APF1的内切圆与边 PF1 第 3 页（共 19 页） 切于点 Q，且|PQ|4，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B 7 2 C23 3 D 19 4 12 （5 分）已知函数 f（x）lnx+（1a）x+a（a0） ，若有且只有两个整数 x1，x2使得 f （x1）0，且 f（x2）0，则 a 的取值范围是（ ） A(0， 3+3 2 ) B （0，2+ln2） C,3+3 2 ，2 + 2) D,22+4 3 ， 3+3 2 ) 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1

6、3 （5 分） 如图是调查某学校高一年级男、 女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图， 阴影部分表示喜欢徒步的频率已知该年级男生 500 人、女生 400 名（假设所有学生都 参加了调查） ，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取 23 人，则抽取的男生 人数为 14 （5 分）若函数 f（x）= 2， 0 2 ，0 ，则使得不等式 f（f（a） ）0 成立的 a 的取值范围 为 15 （5 分）设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，A，B，D 为 C 上互相不重合的三点，且| |、 | |、 | |成等差数列， 若线段AD的垂直平分线与x轴交于E （3， 0） ， 则B的坐标为 1

7、6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若（3cosA）sinBsinA 第 4 页（共 19 页） （1+cosB） ，a+c6，则ABC 的面积的最大值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知an是公差为 1 的等差数列，数列bn满足 b11，2= 1 2，anbn+1+bn+1 nbn （1）求数列bn的通项公式； （2）设 cnbnbn+1，求数列cn的前 n 项和 Sn 18 （12 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形 且侧棱垂直与底面

8、的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童在如图所示的堑堵 ABMDCP 与刍童 ABCDA1B1C1D1的组合体中， MAB90， ABAD， A1B1A1D1 （1）证明：直线 BD平面 MAC； （2）已知 AB1，A1D12，MA= 3，且三棱锥 AA1B1D1的体积 V= 23 3 ，求该组合 体的体积 （台体体积公式：V= 1 3（S+ +S）h，其中 S，S 分别为台体上、下底面面积，h 为 台体高） 19 （12 分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚为了更好地了解 市民的态度， 在普通行人中随机选取了 200 人进行调查， 当不处罚时， 有 80 人会闯红灯

9、， 处罚时，得到如表数据： 处罚金额 x（单位：元） 5 10 15 20 会闯红灯的人数 y 50 40 20 10 若用表中数据所得频率代替概率 （）当罚金定为 10 元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？ （）将选取的 200 人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过 10 元时就会 改正行为；B 类是其他市民现对 A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行 第 5 页（共 19 页） 深度问卷，则前两位均为 B 类市民的概率是多少？ 20 （12 分）已知函数 f（x）a（x1）lnx，g（x）ex （1）讨论 yf（x）的单调性； （2）若函数 F（x

10、）f（x） g（x）在e，+）上单调递增，求 a 的取值范围 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为： 2 2 + 2 2 =1（ab0）M 是椭 圆 C 内一点，直线 AB 过点 M 与椭圆 C 相交于点 A、B，且满足 AMMB （1）如图 1，若 M 为椭圆 C 的右焦点，椭圆 C 的离心率为 2 2 ，2，求直线 AB 的斜 率 k（k0） ； （2）如图 2，若 M 的坐标为（1，1） ，直线 PQ 过点 M 与椭圆相交于点 P、Q，且满足 PMMQ，直线 BQ 的斜率为 3 4，求椭圆 C 的离心率 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 1

11、0 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，参数方程 = = （其中 为参数）的曲线经过伸缩 变换： = 2 = 得到曲线 C，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 （）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程； （）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a0，b0，且 a+b1 （1）求1 + 2 的最小值； （2）证明： :2 2:2:1 5 2 第 6 页（共 19 页） 2020 高考

12、数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（高考数学（文科）全国二卷高考模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 = *| = (2 3 4)+， = *| 2 1 0+全集 UR，则（RA） B（ ） A1，2 B1，2）（3，4 C1，3） D1，1）2，4 【解答】解：Ax|x4，或 x1， RAx|1x4， Bx|x2，或 x1， （RA）B1，1）2，4 故选：D 2 （5 分）已知复数 z= 2 (1)3，则在复平面内对应点所在象限为（ ） A第一象限 B第二象

13、限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：z= 2 (1)3 = 2 (1)2(1) = 2 (1)2 = 1 1 = 1+ (1)(1+) = 1 2 1 2i； = 1 2 + 1 2i； 在复平面内对应点所在象限为第二象限； 故选：B 3 （5 分）若 x，y 满足约束条件 0 + 2 3 2 + 3 ，则 zxy 的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm（ ） A0 B3 2 C3 D3 第 7 页（共 19 页） 【解答】解：由题意作平面区域如下， zxy 可化为 yxz， 结合图象可知， + 2 = 3 2 + = 3 = 1 = 1 过点 B（1，1）时，截距最小，z 有最大值 M1

14、10， 过点 C（0，3）时，截距最大，z 有最小值 m033， 故 Mm3， 故选：D 4 （5 分）已知两个不同平面 ， 和三条不重合的直线 a，b，c，则下列命题中正确的是 （ ） A若 a，b，则 ab B若 a，b 在平面 内，且 ca，cb，则 c C若 a，b，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与 a，b，c 都相交 D若 ， 分别经过两异面直线 a，b，且 c，则 c 必与 a 或 b 相交 【解答】解：对于选项 A：若 a，b，则直线 a 也可能与直线 b 异面，故错误 对于选项 B，只有直线 a 和 b 为相交直线时，若 ca，cb，则 c故错误 对于选项 C：

15、若 a， b， c 是两两互相异面的直线， 则要么存在一条直线或不存在直线与 a， b，c 都相交故错误 对于选项 D：若 ， 分别经过两异面直线 a，b，且 c，则 c 必与 a 或 b 相交，正 确 故选：D 5 （5 分）中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示） ，表 示一个多位数时，像阿拉伯记数样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的 第 8 页（共 19 页） 筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表 示，例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 可用算筹表示为（ ） A B C D 【解答】解：个位、百位、万用纵

16、式表示，十位、千位、十万位用横式表示， 8335 用算筹表示的话，千位上的 8 是横式，百位上的 3 是纵式，十位上的 3 是横式， 个位上的 5 时纵式， 故选：B 6 （5 分） 已知数列an的前 n 项和为 Sn， Sn2an2， 若存在两项 am， an， 使得 aman64， 则 1 + 9 的最小值为（ ） A14 5 B11 4 C8 3 D10 3 【解答】解：Sn2an2，可得 a1S12a12，即 a12， n2 时，Sn12an12，又 Sn2an2， 相减可得 anSnSn12an2an1，即 an2an1， an是首项为 2，公比为 2 的等比数列 所以 an2n a

17、man64，即 2m2n64， 得 m+n6， 所以 1 + 9 = 1 6（m+n） （ 1 + 9 ）= 1 6（10+ + 9 ） 1 6（10+29）= 8 3， 当且仅当 = 9 时取等号，即为 m= 3 2，n= 9 2 因为 m、n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则 1 + 9 8 3， 验证可得，当 m2，n4 时， 1 + 9 取得最小值为 11 4 第 9 页（共 19 页） 故选：B 7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A115 B140 C165 D215 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为组合体，上半部分为圆锥，

18、下半部分为半球， 该几何体的表面积 S513+252115 故选：A 8 （5 分）已知 O 是三角形 ABC 所在平面内一定点，动点 P 满足 = + （| + | ） ，R则 P 点的轨迹一定通过三角形 ABC 的（ ） A内心 B外心 C重心 D垂心 【解答】解：由正弦定理可知：| | = | | = 2，R 为三角形的外接圆的半径， 所以动点 P 满足 = + （| + | ） = +R （ + ） 因为 + 是 以 AB，AC 为邻边的平行四边形的对角线 A 为起点的向量，经过 BC 的中点， 所以 P 点的轨迹一定通过三角形 ABC 的重心 故选：C 9 （5 分）已知 cos（+

19、 3）= 3 3 （ 为锐角） ，则 sin（ ） A22:3 6 B22;3 6 C6:3 6 D3;6 6 第 10 页（共 19 页） 【解答】解：cos（+ 3）= 3 3 （ 为锐角） ， ( + 1 3 ) = 6 3 ， 则 sinsin（ + 1 3 ） 1 3 = 1 2 ( + 1 3) 3 2 ( + 1 3)， = 1 2 6 3 3 2 ( 3 3 )， = 3+6 6 故选：C 10 （5 分）已知函数 f（x）cosx|sinx|，给出下列四个说法： (2015 6 ) = 3 4 ， 函数 f（x）的一个周期为 2； f（x）在区间, 4 ， 3 4 -上单调递

20、减； f（x）的图象关于点（，0）中心对称 其中正确说法的序号是（ ） A B C D 【解答】解：f（336 6）f（ 6）cos（ 6） |sin（ 6）|= 3 4 ，错，A 错， f（）cos|sin|0，所以 f（x）的图象关于点（，0）中心对称，对，D 错， f（2+x）cos（2+x） |sin（2+x）|cosx|sinx|f（x） ，所以函数 f（x）的一个周期 为 2，对， 故选：C 11 （5 分）如图，FI，F2是双曲线： 2 2 2 3 = 1(0)的左、右焦点，点 P 是双曲线上 位于第一象限内的一点， 且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于点 A， APF1的内切

21、圆与边 PF1 切于点 Q，且|PQ|4，则双曲线 C 的离心率为（ ） 第 11 页（共 19 页） A2 B 7 2 C23 3 D 19 4 【解答】解：PQPF1F1QPF1F1MPF1NF2PF1（PF2+PQ） = 1 2 (1 2) = ，a4，b= 3，c= 19， 所以双曲线的离心率为： = 19 4 故选：D 12 （5 分）已知函数 f（x）lnx+（1a）x+a（a0） ，若有且只有两个整数 x1，x2使得 f （x1）0，且 f（x2）0，则 a 的取值范围是（ ） A(0， 3+3 2 ) B （0，2+ln2） C,3+3 2 ，2 + 2) D,22+4 3 ，

22、 3+3 2 ) 【解答】解：由 f（x）lnx+（1a）x+a0，得 lnx（a1）xa， 作出函数 ylnx 与 y（a1）xa 的图象如图： 直线 y（a1）xa 过定点（1，1） ， 当 x2 时， 曲线 ylnx 上的点为 （2， ln2） ， 当 x3 时， 曲线 ylnx 上的点为 （3， ln3） 过点（1，1）与（2，ln2）的直线的斜率 k= 2+1 21 = 2 + 1， 过点（1，1）与（3，ln3）的直线的斜率 k= 3+1 31 = 3+1 2 由 a1ln2+1，得 aln2+2，由 a1= 3+1 2 ，得 a= 3+3 2 若有且只有两个整数 x1，x2使得

23、f（x1）0，且 f（x2）0，则 a 的取值范围是 ,3+3 2 ，2 + 2) 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分） 如图是调查某学校高一年级男、 女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图， 第 12 页（共 19 页） 阴影部分表示喜欢徒步的频率已知该年级男生 500 人、女生 400 名（假设所有学生都 参加了调查） ，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取 23 人，则抽取的男生 人数为 15 【解答】解：设抽取的男生人数为 x，由题意可得喜欢徒步运动的男生约占男生总数的 1 0.40.6，约有

24、 5000.6300 人， 喜欢徒步运动的女生约占男生总数的 10.60.4，约有 400（10.6）160 人， 则抽取的男生人数为 23 300 300+160 =15 人， 故答案为：15 14 （5 分）若函数 f（x）= 2， 0 2 ，0 ，则使得不等式 f（f（a） ）0 成立的 a 的取值范围 为 0，+） 【解答】解：因为 f（f（a） ）0， 所以 f（a）0， 所以 a0， 故答案为0，+） 15 （5 分）设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，A，B，D 为 C 上互相不重合的三点，且| |、 | |、 | |成等差数列， 若线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于 E

25、 （3， 0） ， 则 B 的坐标为 （1， 2）或（1，2） 【解答】解：由抛物线的方程可得焦点 F（1，0） ，准线方程为：x1 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，D（x3，y3） ，|AF|x1+1，|BF|x2+1，|DF|x3+1， 由| |、| |、| |成等差数列可得 2（x2+1）x1+x3+2，所以 x2= 1+3 2 ，所以线段 AD 的中点的坐标（1:3 2 ，1:3 2 ） ， 因为线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于 E（3，0） ， 第 13 页（共 19 页） 所以线段 AD 的垂直平分线的斜率为 k= 1+3 2 1+2 2 3 = 1+3 1+36

26、，又 kAD= 31 31， 所以3;1 3;1 1:3 1:3;6 = 1， 即 43;41 (3;1)2;6(3;1) = 1，因为 x1x3， 所以可得 x1+x32，所以 x2= 1+3 2 =1， B 在抛物线上，代入抛物线的方程可得 y2241，焦点 y22， 所以 B 的坐标为： （1，2）或（1，2） 故答案为： （1，2）或（1，2） 16 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若（3cosA）sinBsinA （1+cosB） ，a+c6，则ABC 的面积的最大值为 22 【解答】解：在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若

27、（3cosA）sinB sinA（1+cosB） ， 整理得 3sinBsinA+sinBcosA+cosBsinAsinA+sinC， 利用正弦定理：3ba+c， 由于 a+c6， 整理得：3ba+c6， 解得：b2 a+c6， 6a+c 2， 整理可得：ac9， （当且仅当 ac3 时等号成立） cosB= 2+22 2 = (+)224 2 = 16 所以 = 1 2 = 4 2 16， 所以= 1 2 4 2 16 =22 16 22 9 16 = 22， 当且仅当 ac3 时，等号成立 则ABC 的面积的最大值为 22， 故答案为：22 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，

28、满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 第 14 页（共 19 页） 17 （12 分）已知an是公差为 1 的等差数列，数列bn满足 b11，2= 1 2，anbn+1+bn+1 nbn （1）求数列bn的通项公式； （2）设 cnbnbn+1，求数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）由题意，可知 a1b2+b2b1， 即1 2a1+ 1 2 =1，解得 a11 又数列an是公差为 1 的等差数列， an1+n1n anbn+1+bn+1（n+1）bn+1nbn， 数列nbn是常数数列，即 nbn1b11， bn= 1 ，nN* （2）由（1）知，cnbnbn+1= 1

29、 (+1) = 1 1 +1， 故 Snc1+c2+cn 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1 1 1 +1 = +1 18 （12 分） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形 且侧棱垂直与底面的棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童在如图所示的堑堵 ABMDCP 与刍童 ABCDA1B1C1D1的组合体中， MAB90， ABAD， A1B1A1D1 （1）证明：直线 BD平面 MAC； （2）已知 AB1，A1D12，MA= 3，且三棱锥 AA1B1D1的体积 V= 23 3 ，求该组合 体的体积 （台体体积公式：V= 1 3（S+ +S）h，

30、其中 S，S 分别为台体上、下底面面积，h 为 台体高） 第 15 页（共 19 页） 【解答】 （1）证明：由题意可知，ABMDCP 是底面为直角三角形且侧棱与底面垂直的 棱柱， AD平面 MAB，则 ADMA 又 MAAB，ADABA，AD，AB平面 ABCD， MA平面 ABCD， MABD，又 ABAD， 四边形 ABCD 为正方形，得 BDAC 又 MAACA，MA，AC平面 MAC，则 BD平面 MAC； （2）解：设刍童 ABCDA1B1C1D1的高为 h，则三棱锥 AA1B1D1的体积， V= 1 3 1 2 2 2 = 23 3 ，得 h= 3 故该组合体的体积 V= 1 2

31、 1 3 1 + 1 3 (12+ 22+ 12 22) 3 = 173 6 19 （12 分）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚为了更好地了解 市民的态度， 在普通行人中随机选取了 200 人进行调查， 当不处罚时， 有 80 人会闯红灯， 处罚时，得到如表数据： 处罚金额 x（单位：元） 5 10 15 20 会闯红灯的人数 y 50 40 20 10 若用表中数据所得频率代替概率 （）当罚金定为 10 元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？ （）将选取的 200 人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过 10 元时就会 改正行为；B 类是其他市民现对

32、A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行 深度问卷，则前两位均为 B 类市民的概率是多少？ 【解答】解： （）当罚金定为 10 元时，行人闯红灯的概率为 40 200 = 1 5； 不进行处罚，行人闯红灯的概率为 80 200 = 2 5； 第 16 页（共 19 页） 所以当罚金定为 10 元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低2 5 1 5 = 1 5； （）由题可知，闯红灯的市民有 80 人，A 类市民和 B 类市民各有 40 人，故分别从 A 类市民和 B 类市民各抽出两人， 4 人依次排序， 不同的方法有 A4424 种， 前两位均为 B 类市民排序， 不同的方法有

33、 A22A22 4 种， 所以前两位均为 B 类市民的概率是 P= 4 24 = 1 6 20 （12 分）已知函数 f（x）a（x1）lnx，g（x）ex （1）讨论 yf（x）的单调性； （2）若函数 F（x）f（x） g（x）在e，+）上单调递增，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）yf（x）的定义域为（0，+） ，求导可得() = 1 ， 当 a0 时，f（x）0 在（0，+）上恒成立，所以 yf（x）在（0，+）上递减； 当 a0 时，() = (1 ) ，则 yf（x）在(0， 1 )上递减，在( 1 ， + )上递增 （2） () = ,( 1) - () = ( 1 ) 0

34、在e， +） 恒成立， 所以 1 0 + 1 2， 令() = + 1 2，则有() = (1)2 3 ， h（x）0h（x）在e，+）上为减函数， 则()= () = 1 + 1 2，故 1 + 1 2 21 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为： 2 2 + 2 2 =1（ab0）M 是椭 圆 C 内一点，直线 AB 过点 M 与椭圆 C 相交于点 A、B，且满足 AMMB （1）如图 1，若 M 为椭圆 C 的右焦点，椭圆 C 的离心率为 2 2 ，2，求直线 AB 的斜 率 k（k0） ； （2）如图 2，若 M 的坐标为（1，1） ，直线 PQ 过点 M 与椭

35、圆相交于点 P、Q，且满足 PMMQ，直线 BQ 的斜率为 3 4，求椭圆 C 的离心率 第 17 页（共 19 页） 【解答】解： （1）设椭圆的右焦点为 M（c，0） ，直线 AB 的方程 xmy+c，A（x1，y1） ， B（x2，y2） ， 联立 = + 2 2 + 2 2 = 1，消去 y，整理得： （a 2+b2m2）y2+2b2mcyb40， 则 y1+y2= 22 2+22，y1y2= 4 2+22， 由 = ，即（cx1，y1）（x2c，y2） ，则 1 = (2 ) 1= 2 ，所以 y1 y2， y2= 22 (1)(2+22)，y1= 22 (1)(2+22)， 代入得

36、： 22 (1)(2+22) 22 (1)(2+22) = 4 2+22， 解得：2= (1)22 422(1)2， （*） 由椭圆 C 的离心率为 2 2 ，2，即 a= 2b= 2c，2， 代入（*） ，即2= 22 822 = 2 7， 所以 = 14 7 即 k= 14 2 ； （2）AMMB，PMMQ，可得 = ，且AMPBMQ， 可得AMPBMQ，可得APMBQM，即有 APBQ， 且 BQ 的中点和 AP 的中点，与 M 共线， 设 BQ 的方程为 y= 3 4x+t，联立椭圆方程 b 2x2+a2y2a2b2，可得 （b2+ 9 16a 2）x23 2ta 2x+a2t2a2b

37、20， 可得 BQ 的中点的横坐标为 122 162:92，代入直线 BQ 的方程可得 BQ 的中点的纵坐标为 162 162:92， 第 18 页（共 19 页） 即有 = 122 162+92 = 162 162+92 ，消去 t 可得 y= 42 32x， 将 M（1，1）代入上式，可得 2 2 = 3 4， 则 e= =1 2 2 = 1 2 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，参数方程 = = （其中 为参数）的曲线经过伸缩 变换： = 2 = 得到曲线 C，以原点 O 为极点，x

38、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 （）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程； （）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 【解答】 解：（） 参数方程 = = （其中 为参数） 的曲线经过伸缩变换： = 2 = 得 到曲线 C： 2 4 + 2= 1； 曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 转化为直角坐标方程为： + 35 = 0； （）设点 P（2cos，sin）到直线 x+y35 =0 的距离 d= |2+35| 2 = |5(+)35| 2 ， 当 sin（+）1 时，dmin=

39、10 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知 a0，b0，且 a+b1 （1）求1 + 2 的最小值； （2）证明： :2 2:2:1 5 2 【解答】 解：（1） 1 + 2 = ( + )(1 + 2 ) = 3 + 2 + 3 + 22 = 3 + 22， 当且仅当“ = 2”时取等号， 故1 + 2 的最小值为3 + 22； 第 19 页（共 19 页） （2）证明： :2 2:2:1 = :2 2: 2 5 :4 2 5 :1 :2 22 2 5 :24 2 5 1 = :2 2 5 (:2) = 5 2 ， 当且仅当 = 1 2， = 5 2 时取等号，此时 a+b1 故 :2 2:2:1 5 2