1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年四川省高考数学（文科）模拟试卷（年四川省高考数学（文科）模拟试卷（10） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 zi1+2i，则 z 的共轭复数为（ ） A2i B2+i Cl2i Di2 2 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 3 （5 分）已知ABC 中，BC5，AC4， = 6，则 =（ ） A10 B103 C103 D20 4 （5 分
2、）2018 年小明的月工资为 6000 元，各种途占比如图 1 所示，2019 年小明的月工资 的各种用途占比如图 2 所示， 已知 2019 年小明每月的旅行费用比 2018 年增加了 525 元， 则 2019 年小明的月工资为（ ） A9500 B8500 C7500 D6500 5 （5 分）已知 xlog321，则 4x（ ） A4 B6 C4 32 D9 6 （5 分）sin70cos40cos70sin40的值等于（ ） A1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 7 （5 分）已知双曲线 C 与双曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，且经过点(2，3)，则 双曲线 C
3、的离心率为（ ） A2 B23 3 C4 D2 8 （5 分） 已知定义在 R 上的奇函数 f （x） 满足 f （x+2） f （x） ， 若 f （1） 1， f （2019） ln（a1） ，则实数 a 的取值范围为（ ） 第 2 页（共 17 页） A （1，2） B （，e+1） C （e+1，+） D （1，e+1） 9 （5 分）某社区有 3 个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同， 该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率 为（ ） A2 3 B1 2 C1 3 D1 6 10 （5 分）已知 ysinx 的图象在0，1上
4、存在 10 个最高点，则 的范围（ ） A37 2 ，41 2 ） B20，22） C37 2 ，41 2 D （20，22） 11 （5 分）如图，教室里悬挂着日光灯管 AB，AB90cm，灯线 ACBD，将灯管 AB 绕着 过 AB 中点 O 的铅垂线 OO顺时针旋转 60至 AB，且始终保持灯线绷紧，若旋转后 该灯管升高了 15cm，则 AC 的长为（ ） A30cm B40cm C60cm D75cm 12 （5 分）f（x）= |2 + 1|，1 2( 1)，1，g（x）= 5 4 3 15 4 2+m+2，若 yf（g（x） ） m 有 9 个零点，则 m 的取值范围是（ ） A
5、（0，1） B （0，3） C(1， 5 3) D(5 3，3) 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 是第三象限角且 cos= 3 3 ，则 sin ，tan2 14（5 分） 已知函数 f （x） xex+ln （x+1） ， 则曲线 yf （x） 在 x0 处的切线方程为 15 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左右焦点，点 P 为 C 上一点， O 为坐标原点，POF2为正三角形，则 C 的离心率为 16 （5 分）在一个半径为 2 的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四
6、棱柱容器，要使该容 器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检 n 件，并按质量指标 第 3 页（共 17 页） 值进行统计分析，得到表格如表： 质量指标值 等级 频数 频率 60，75） 三等品 10 0.1 75，90） 二等品 30 b 90，105） 一等品 a 0.4 105，120） 特等品 20 0.2 合计 n 1 （1）求 a，b，n； （2）从质量指标值在90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取 6 件，再从这
7、6 件中 随机抽取 2 件，求至少有 1 件特等品被抽到的概率 18 （12 分）若数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，an+12Sn（nN*） （1）求 Sn； （2）设 bnlog3Sn，求使得 1 23 + 1 34 + 1 45 + + 1 +1+2 0.99 成立的最小自 然数 n 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，点 E、点 F 分别是线段 AD、 PB 的中点，PAAB2 （1）证明：EF平面 PCD； （2）求三棱锥 FPCD 的体积 20 （12 分）设 A、B 为曲线 C：y= 2 4 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4
8、（1）求直线 AB 的斜率； （2）设弦 AB 的中点为 N，过点 A、B 分别作抛物线的切线，则两切线的交点为 E，过点 第 4 页（共 17 页） E 作直线 l，交抛物线于 P、Q 两点，连接 NP、NQ证明：kEA+kEBkNP+kNQ2kAB 21 （12 分）已知函数 f（x）（x2a）ex（aR） （1）若函数 f（x）有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围； （2）当 a0 时，若关于 x 的方程 f（x）m 存在三个不同的实数根，求实数 m 的取值 范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在极
9、点为 O 的极坐标系中，直线 l：cos1 上有一动点 P，动点 M 在射线 OP 上，且满足|OP|OM|2，记 M 的轨迹为 C （1）求 C 的极坐标方程，并说明 C 是何种曲线； （2）若1(1， 6)，M2（2，0） ，3(3， 6)均在曲线 C 上，求M1M2M3 的面积 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23 （1）解不等式|x+1|2x5|+3 220； （2）求函数 = 32 4 + 23 的最大值 第 5 页（共 17 页） 2020 年四川省高考数学（文科）模拟试卷（年四川省高考数学（文科）模拟试卷（10） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选
10、择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 zi1+2i，则 z 的共轭复数为（ ） A2i B2+i Cl2i Di2 【解答】解：zi1+2i，z= 1+2 = (1+2) 2 =2i， z 的共轭复数为：2+i， 故选：B 2 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 【解答】解：Ax|1x2，B1，0，1，2，3， AB0，1，2 故选：B 3 （5 分）已知ABC 中，BC5，AC4， = 6，则 =（
11、） A10 B103 C103 D20 【解答】解：ABC 中，BC5，AC4， = 6， = = | | |cosC54cos 6 = 103 故选：B 4 （5 分）2018 年小明的月工资为 6000 元，各种途占比如图 1 所示，2019 年小明的月工资 的各种用途占比如图 2 所示， 已知 2019 年小明每月的旅行费用比 2018 年增加了 525 元， 则 2019 年小明的月工资为（ ） 第 6 页（共 17 页） A9500 B8500 C7500 D6500 【解答】解：由图 1 知 2018 年小明旅行月支出为：600035%2100 元， 2019 年小明每月的旅行费用
12、比 2018 年增加了 525 元， 2019 年小明每月的旅行费用为 2625 元， 由图 2 知 2019 年小明的月工资为：2625 35% =7500 元 故选：C 5 （5 分）已知 xlog321，则 4x（ ） A4 B6 C4 32 D9 【解答】解：xlog321，xlog23， 4x= 423= 449=9， 故选：D 6 （5 分）sin70cos40cos70sin40的值等于（ ） A1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 【解答】解：sin70cos40cos70sin40sin（700400）sin30= 1 2， 故选：A 7 （5 分）已知双曲线 C 与双
13、曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，且经过点(2，3)，则 双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B23 3 C4 D2 【解答】解：根据题意，双曲线 C 与双曲线 2 2 2 6 = 1有公共的渐近线，设双曲线 C 的方程为 2 2 2 6 = ， （t0） ， 又由双曲线 C 经过点 P（2，3） ，则有 2 1 2 =t，则 t= 3 2， 则双曲线的 C 的方程为 2 2 2 6 = 3 2，即： 2 3 2 9 =1，其焦距 c23，a= 3， 所以双曲线的离心率为：e= =2 故选：D 8 （5 分） 已知定义在 R 上的奇函数 f （x） 满足 f （x+2） f （x）
14、， 若 f （1） 1， f （2019） ln（a1） ，则实数 a 的取值范围为（ ） 第 7 页（共 17 页） A （1，2） B （，e+1） C （e+1，+） D （1，e+1） 【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，则有 f（x+4）f（x+2） f（x） ， 函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，则 f（2019）f（1+4505）f（1） ， 又由 f（2019）ln（a1）且 f（1）1， 则有 ln（a1）1，变形可得 0a1e， 解可得：1ae+1； 故 a 的取值范围为（1，e+1） ； 故选：D 9 （5 分）某社区有 3 个防疫志愿
15、者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同， 该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率 为（ ） A2 3 B1 2 C1 3 D1 6 【解答】解：某社区有 3 个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性 相同， 该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队， 基本事件总数 n329， 这两位居民参加不同服务队包含的基本事件总数 m= 3 121 =6， 则这两位居民参加不同服务队的概率 p= = 6 9 = 2 3 故选：A 10 （5 分）已知 ysinx 的图象在0，1上存在 10 个最高点，则 的范围（ ） A37 2 ，41 2
16、） B20，22） C37 2 ，41 2 D （20，22） 【解答】解：已知 ysinx 的图象在0，1上存在 10 个最高点，T= 2 ， 9T+ 4 110T+ 4，即 4 41 T 4 37，即 4 41 2 4 37，求得 37 2 41 2 ， 故选：A 11 （5 分）如图，教室里悬挂着日光灯管 AB，AB90cm，灯线 ACBD，将灯管 AB 绕着 过 AB 中点 O 的铅垂线 OO顺时针旋转 60至 AB，且始终保持灯线绷紧，若旋转后 该灯管升高了 15cm，则 AC 的长为（ ） 第 8 页（共 17 页） A30cm B40cm C60cm D75cm 【解答】解：设
17、AB与 OO交于点 N， 过点 A作 AMAC 于 M，连接 MN，如图所示； 则 CMAC15， AMN 中，AN= 1 2AB45，MN45，AMN60， 所以 AM45； 在 RtAMC 中，由勾股定理得， （AC15）2+452AC2， 解得 AC75（cm） 故选：D 12 （5 分）f（x）= |2 + 1|，1 2( 1)，1，g（x）= 5 4 3 15 4 2+m+2，若 yf（g（x） ） m 有 9 个零点，则 m 的取值范围是（ ） A （0，1） B （0，3） C(1， 5 3) D(5 3，3) 【解答】 解： 令 tg （x） ， g （x） = 5 4 3 1
18、5 4 2+m+2， g （x） = 15 4 2 15 2 = 15 4 (2 2） = 15 4 ( 2)， 当 x（，0） ， （2，+）时，函数 g（x）递增，当 x（0，2）时，函数 g（x）递减， 函数 g（x）有极大值 g（0）m+2，极小值 g（2）m3， 若 yf（g（x） ）m 有 9 个零点， 画出图象如下：观察函数 yf（t）与 ym 的交点， 第 9 页（共 17 页） 当 m0 时，t1，此时函数 yf（t）与 ym 最多有 3 个交点，故不成立， 当 m0 时，t1= 1 2，t22，g（0）2，g（2）3，g（x）t1，有三个解，g（x） 2 有 2 个解，共
19、5 个解不成立； 当 m3 时，显然不成立； 故要使函数有 9 个零点，0m3，根据图象，每个 yt 最多与 yg（x）有三个交点， 要有 9 个交点，只能每个 t 都要有 3 个交点， 当 0m3，yf（t）与 ym 的交点，21 1 2， 1 221，2t39， g（0）m+2（2，5） ，g（2）m3（3，0） ， 当 2t3m+2 时，由2(3 1) = ，3= 2+ 1， 即 22m+1m+2 时，得 0m1 时，2t33 时（x）t3，有三个解， g（x）t2，要有三个解 m3 1 2，即 m 5 2， g（x）t1有三个解 m32，即 m1， 综上，m（0，1） ， 第 10 页
20、（共 17 页） 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）若 是第三象限角且 cos= 3 3 ，则 sin 6 3 ，tan2 22 【解答】解： 是第三象限角且 cos= 3 3 ， sin= 1 2 = 6 3 ； tan= = 2 则 tan2= 2 12 = 22 12 = 22 故答案为： 6 3 ，22 14 （5 分）已知函数 f（x）xex+ln（x+1） ，则曲线 yf（x）在 x0 处的切线方程为 y 2x 【解答】解：f（x）xex+ln（x+1） ， f（x）= ( + 1) + 1 +1
21、， f（0）2，f（0）0， 切线方程为 y2x 故答案为：y2x 15 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1（ab0）的左右焦点，点 P 为 C 上一点， O 为坐标原点，POF2为正三角形，则 C 的离心率为 3 1 【解答】解：连接 PF1，由POF2为等边三角形可知在F1PF2中， F1PF290，|PF2|c，|PF1|= 3c，于是 2a|PF1|+|PF2|（3 +1）c， 故曲线 C 的离心率 e= = 3 1 故答案为：3 1 16 （5 分）在一个半径为 2 的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容 第 11 页（共 17 页） 器
22、所盛液体尽可能多，则该容器的高应为 43 3 【解答】解：设正四棱柱的高为 h，底面边长为 a，如图所示； 则 h2+2a2（22）2， 所以 a28 1 2h 2， 所以正四棱柱容器的容积为 Va2h（8 1 2h 2）h= 1 2h 3+8h，h（0，4） ； 求导数得 V= 3 2h 2+8， 令 V0，解得 h= 43 3 ， 所以 h（0，43 3 ）时，V0，V（h）单调递增； h（43 3 ，4）时，V0，V（h）单调递减； 所以 h= 43 3 时，V 取得最大值 所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为43 3 故答案为：43 3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分
23、小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检 n 件，并按质量指标 值进行统计分析，得到表格如表： 质量指标值 等级 频数 频率 60，75） 三等品 10 0.1 75，90） 二等品 30 b 第 12 页（共 17 页） 90，105） 一等品 a 0.4 105，120） 特等品 20 0.2 合计 n 1 （1）求 a，b，n； （2）从质量指标值在90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取 6 件，再从这 6 件中 随机抽取 2 件，求至少有 1 件特等品被抽到的概率 【解答】解： （1）由 100.
24、1100，即 n100， a1000.440， b301000.3 （2）设从“特等品”产品中抽取 x 件，从“一等品”产品中抽取 y 件， 由分层抽样得： 6 60 = 20 = 40， 解得 x2，y4， 在抽取的 6 件中，有特等品 2 件，记为 A1，A2， 有一等品 4 件，记为 B1，B2，B3，B4， 则所有的抽样情况有 15 种，分别为： A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3， B2B4，B3B4， 其中至少有 1 件特等品被抽到包含的基本事件有 9 种，分别为： A1A2，A1B1，A
25、1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4， 至少有 1 件特等品被抽到的概率为：p= 9 15 = 3 5 18 （12 分）若数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，an+12Sn（nN*） （1）求 Sn； （2）设 bnlog3Sn，求使得 1 23 + 1 34 + 1 45 + + 1 +1+2 0.99 成立的最小自 然数 n 【解答】解： （1）数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，an+12Sn（nN*） 所以 Sn+1 3Sn， 所以Sn是等比数列，首项为 1，公比为 3 等比数列Sn3n 1 （2）bnlog3Snn1， 第 13 页
26、（共 17 页） 1 23 + 1 34 + 1 45 + + 1 +1+2 = 1 12 + 1 23 + 1 34 + + 1 (+1) = 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1 =1 1 +1， 1 23 + 1 34 + 1 45 + + 1 +1+2 0.99 成立，即 1 1 +1 0.99，解得 n99， 所以最小自然数 n 为 100 19 （12 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，点 E、点 F 分别是线段 AD、 PB 的中点，PAAB2 （1）证明：EF平面 PCD； （2）求三棱锥 FPCD 的体积 【解答】 （1）证明：取 PC
27、 的中点 G，连接 DG，FG四边形 ABCD 为正方形，且 DE= 1 2BC，FGBC，且 FG= 1 2BC DEBC，且 DEBC 四边形 DEFG 为平行四边形，EFDG，EF平面 PCD，DG平面 PCD，EF 平面 PCD （2）解：EF平面 PCD，F 到平面 PCD 的距离等于点 E 到平面 PCD 的距离， VFPCDVEPCD= 1 2VAPCD= 1 2VPACD PA平面 ABCD，VPACD= 1 3 PASACD= 1 3 1 2 222= 4 3 VFPCD= 2 3 第 14 页（共 17 页） 20 （12 分）设 A、B 为曲线 C：y= 2 4 上两点，
28、A 与 B 的横坐标之和为 4 （1）求直线 AB 的斜率； （2）设弦 AB 的中点为 N，过点 A、B 分别作抛物线的切线，则两切线的交点为 E，过点 E 作直线 l，交抛物线于 P、Q 两点，连接 NP、NQ证明：kEA+kEBkNP+kNQ2kAB 【解答】解：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则1 2，1= 1 2 4 ，2= 2 2 4 ，1+ 2= 4， （1）直线 AB 的斜率= 21 21 = 1+2 4 = 1， （2）由（1）知，等价于证明 kEA+kEBkNP+kNQ2， = |=1= 1 2 ，= |=2= 2 2 + = 1 2 + 2 2 = 1+2 2
29、 = 2， 设直线 lAB：yx+m， 过 A（x1，y1）点的切线方程为 1= 1 21( 1)，整理得 = 1 2 1 1 4 1 2 同理，过 B（x2，y2）点处切线的方程为 = 1 2 2 1 4 2 2， 联立方程组 = 1 21 1 4 1 2 = 1 22 1 4 2 2解得： = 2， = 1 1 4 1 2 = 1 1= ，E（2， m） ， 设 P（x3，y3） ，Q（x4，y4） ，易知割线的斜率存在，因为 E（2，m） ，设割线的方程为 y+mk（x2） ，代入抛物线 = 2 4 ，整理得 x24kx+8k+4m0， 则 x3+x44k，x3x48k+4m 所以3+
30、4= 1 43 2 + 1 44 2 = 1 4(3 + 4)2 23 4 = 42 4 2，3 4= 1 4 3 2 1 44 2 = 1 16(34) 2 = 42+ 4 + 2， 34+ 43= 3 1 4 4 2 + 4 1 4 3 2 = 34 4 (3+ 4) = 82+ 4， 第 15 页（共 17 页） 因为 N（2，2+m） ，(1+2 2 = 2， 1+2 2 = 2 + )， 所以= 32 32 ，= 42 42 ， 所以+ = 32 32 + 42 42 = 1 342(3+4)+434 + 43 (2 + )(3+ 4) 2(3+ 4) + 8 + 4 = 1 8+4
31、8+48 2 + 4 (2 + ) 4 2(42 4 2) + 8 + 4 = 8+8 4+4 = 2， 综上可得 kEA+kEBkNP+kNQ2， 所以 kEA+kEBkNP+kNQ2kAB 21 （12 分）已知函数 f（x）（x2a）ex（aR） （1）若函数 f（x）有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围； （2）当 a0 时，若关于 x 的方程 f（x）m 存在三个不同的实数根，求实数 m 的取值 范围 【解答】解： （1）f（x）（x2+2xa）ex， 由 f（x）（x2+2xa）ex0 可得 x2+2xa0， f（x）有两个不同的极值点， x2+2xa0 有两个不同的实数根，
32、 则4+4a0，解可得 a1， （2）当 a0 时，f（x）x2ex，f（x）x（x+2）ex， 当 x（，2） ， （0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增， 当 x（2，0）时，f（x）0，f（x）单调递减， 当 x2 时，函数取得极大值 f（2）= 4 2，当 x0 时，函数取得极小值 f（0）0， f（x）m 存在三个不同的实数根， yf（x）与 ym 有 3 个不同的交点， 则0 4 2， 故 m 的范围（0， 4 2） 第 16 页（共 17 页） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在极点为 O 的极
33、坐标系中，直线 l：cos1 上有一动点 P，动点 M 在射线 OP 上，且满足|OP|OM|2，记 M 的轨迹为 C （1）求 C 的极坐标方程，并说明 C 是何种曲线； （2）若1(1， 6)，M2（2，0） ，3(3， 6)均在曲线 C 上，求M1M2M3 的面积 【解答】解： （1）极点为 O 的极坐标系中，直线 l：cos1 上有一动点 P，动点 M 在 射线 OP 上，记 M 的轨迹为 C 设点 P（1，y0） ，M（x，y） 由于点 O，P，M 三点共线，所以 = 0， 由于且满足|OP|OM|2，整理得1 + 02 2+ 2= 2，化简得 x2+y22x， （除去原 点（0，0
34、） ） ， 转换为极坐标方程为 22cos， 整理得 2cos 故该曲线为以（1，0）为圆心，1 为半径的圆 （2）由于点1(1， 6)，M2（2，0） ，3(3， 6)均在曲线 C 上， 所以1= 2 6 = 3，22cos02，3= 2( 6) = 3， 所以转换为直角坐标1(3 2， 3 2 )，M2（2，0） ，3(3 2， 3 2 )， 所以|12| =(1 2) 2+ (3 2 )2= 1，|13| = 3，|23| =( 1 2) 2+ (3 2 )2= 1， 所以123= 1 2 3 1 2 = 3 4 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 第 17 页（共 17 页）
35、23 （1）解不等式|x+1|2x5|+3 220； （2）求函数 = 32 4 + 23 的最大值 【解答】解： （1）原不等式化为| + 1| |2 5| + 2 10， 当 5 2时， 原不等式为 + 1 (2 5) + 2 10， 得5 + 2， 即 5 2 5 +2； 当 1 5 2 时 ， 原 不 等 式 为 + 1 + (2 5) + 2 10 ， 得 52 3 ， 即 52 3 5 2； 当 x1 时，原不等式为( + 1) + (2 5) + 2 10，得7 2，与 x1 矛盾； 综上，不等式的解集为(5 2 3 ，5 + 2 （2）函数的定义域为2，3，且 y0， = 32 2 + 23 (32)2+ 22( 2)2+ (3 )2= 22， = 22，当且仅当323 = 2 2， 当 = 31 11时， = 22
