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1、 第 1 页（共 20 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（20） 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 2 （5 分）已知复数 = 5+ 1 ，则 z =（ ） A22 B8 C13 D13 3 （5 分）设 aR，bR则“ab”是“|a|b|”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分）数列Fn：F1F21，FnF

2、n1+Fn2（n2） ，最初记载于意大利数学家斐波 那契在 1202 年所著的算盘全书 ，若将数列Fn的每一项除以 2 所得的余数按原来项 的顺序构成新的数列an，则数列an的前 50 项和为（ ） A33 B34 C49 D50 5 （5 分）若 ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2，则( ) ( )的最大值为（ ） A10 B12 C53 D62 6 （5 分）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆 柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与 层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内若小球下落过程中向左、向右

3、落下的 机会均等，则小球最终落号球槽的概率为（ ） A 3 32 B15 64 C 5 32 D 5 16 7 （5 分）过点 P（3，5）作圆 C： （x+2）2+y210 的切线，若切点为 A，B，则直线 AB 的 第 2 页（共 20 页） 方程是（ ） Ax+y+20 Bx+y20 Cx+y0 Dx+y30 8 （5 分）已知函数 f（x）= 1 x，若 alog52，blog0.50.2，c0.5 0.5，则（ ） Af（b）f（a）f（c） Bf（c）f（b）f（a） Cf（b）f（c）f（a） Df（a）f（b）f（c） 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20

4、分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） “悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段 的运动情况， 某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程 （单位： 十公里） 的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 9 月 C月跑步里程的中位数为 8 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳 10 （5 分）已知点 P 是双曲线 E： 2 16 2 9 = 1的右支上一点，F1，F2为双曲线 E 的左、 右焦

5、点，PF1F2的面积为 20，则下列说法正确的有（ ） A点 P 的横坐标为20 3 BPF1F2的周长为80 3 CF1PF2小于 3 DPF1F2的内切圆半径为3 2 11 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 F 是线段 BC1上的动点，则下列说法 第 3 页（共 20 页） 正确的是（ ） A当点 F 移动至 BC1中点时，直线 A1F 与平面 BDC1所成角最大且为 60 B无论点 F 在 BC1上怎么移动，都有 A1FB1D C当点 F 移动至 BC1中点时，才有 A1F 与 B1D 相交于一点，记为点 E，且1 =3 D无论点 F 在 BC1上怎么移动，异面直

6、线 A1F 与 CD 所成角都不可能是 30 12 （5 分）关于函数 f（x）ex+asinx，x（，+） ，下列说法正确的是（ ） A当 a1 时，f（x）在（0，f（0） ）处的切线方程为 2xy+10 B当 a1 时，f（x）存在唯一极小值点 x0且1f（x0）0 C对任意 a0，f（x）在（，+）上均存在零点 D存在 a0，f（x）在（，+）上有且只有一个零点 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 tan3，则 cos2 14 （5 分）( 3 2 ) 4的展开式中，常数项是 15 （5 分）如图所示，三棱

7、锥 ABCD 的顶点 A，B，C，D 都在半径为2同一球面上， ABD 与BCD 为直角三角形，ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 P，Q 分别为线段 AO， BC 上的动点 （不含端点） ， 且 APCQ， 则三棱锥 PQCO 体积的最大值为 16 （5 分）已知 F 为抛物线 x22py（p0）的焦点，抛物线内一点 A（1，p） ，M 为抛物 线上任意一点，|MA|+|MF|的最小值为 3，则抛物线方程为 ；若线段 AF 的垂直平 分线交抛物线于 P，Q 两点，则四边形 APFQ 的面积为 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17（10 分） ABC 的

8、内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 设 （sinBsinC） 2sin2AsinBsinC 第 4 页（共 20 页） （1）求 A； （2）当 a6 时，求其面积的最大值，并判断此时ABC 的形状 18 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，bn是各项均为正数的等比数列，a1 b4， ，b28，b13b34，是否存在正整数 k，使得数列* 1 +的前 k 项和 15 16 若存在，求出 k 的最小值；若不存在，说明理由 从S420，S32a3，3a3a4b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中井 作答 注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分 19 （1

9、2 分）如图，三棱锥 PABC 中，点 E，F 分别是 AB，PB 的中点，点 G 是BCE 的 重心 （1）证明：GF平面 PAC； （2）若平面 PAB平面 ABC，PAPB，PAPB，ACBC，AB2BC，求平面 EFG 与 平面 PFG 所成的锐二面角的余弦值 20 （12 分）推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚 战的重要环节 为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取 1000 名社区居 民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表： 得分 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 男

10、性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数 20 50 80 110 100 40 20 （1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于 60 分的概率： （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解” （得分不低于 60 分）和“不太了解” （得分低于 60）两类，完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“居民对垃圾 分类的了解程度”与“性别”有关？ 第 5 页（共 20 页） 不太了解 比较了解 男性 女性 （3）从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取 10 人，连同 n（nN*）名男性调查员一起组成 3

11、个环保宣传队若从这 n+10 人中随机取 3 人作为队长，且男性队长人数的期望 不小于 2求 n 的最小值 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)， （na+b+c+d） 临界值表： P （K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 （12 分）已知函数 f（x）aexcosx( ， 2) （1）证明：当 a1 时，f（x）有最小值，无最大值； （2）若在区间( 2 ，)上方程 f（x）0 恰有一个实数根，求 a 的取值范围， 22 （12 分）

12、在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的长轴长为 4， 左准线 l 的方程为 x4 （1）求椭圆的标准方程； （2）直线 l1过椭圆 E 的左焦点 F1，且与椭圆 E 交于 A，B 两点若 AB= 24 7 ，求直线 l1的方程；过 A 作左准线 l 的垂线，垂足为 A1，点 G（ 5 2，0） ，求证：A1，B，G 三 点共线 第 6 页（共 20 页） 2021 年新高考数学模拟试卷（年新高考数学模拟试卷（20） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 8 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （

13、5 分）设集合 Ax|1x2，B1，0，1，2，3，则 AB（ ） A1，0，1，2 B0，1，2 C0，1 Dx|1x2，或 x3 【解答】解：Ax|1x2，B1，0，1，2，3， AB0，1，2 故选：B 2 （5 分）已知复数 = 5+ 1 ，则 z =（ ） A22 B8 C13 D13 【解答】解： = 5+ 1 = (5+)(1+) (1)(1+) =2+3ii2+2i， z = |2= (22)2= 8 故选：B 3 （5 分）设 aR，bR则“ab”是“|a|b|”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若 ab，取

14、 a1，b2，则|a|b|，则“ab”是“|a|b|”不充分条 件； 若|a|b|，取 a2，b1，则 ab，则“|a|b|”是ab”不必要条件； 则 aR，bR “ab”是“|a|b|”的既不充分也不必要条件， 故选：D 4 （5 分）数列Fn：F1F21，FnFn1+Fn2（n2） ，最初记载于意大利数学家斐波 那契在 1202 年所著的算盘全书 ，若将数列Fn的每一项除以 2 所得的余数按原来项 的顺序构成新的数列an，则数列an的前 50 项和为（ ） A33 B34 C49 D50 【解答】 解： 将数列Fn的每一项除以 2 所得的余数按原来项的顺序构成新的数列an， 1，1，0，1

15、，1，0，1，1，0， 则数列an的前 50 项和（1+1+0）16+1+134 第 7 页（共 20 页） 故选：B 5 （5 分）若 ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2，则( ) ( )的最大值为（ ） A10 B12 C53 D62 【解答】解： ， ， 满足，| = | | = 2| | = 2， 则 ( ) ( ) = + 2 =2cos ， 4cos ， 2cos ， +412， 当且仅当 ，同向， ，反向， ， 反向时，取得最大值 故选：B 6 （5 分）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆 柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作

16、为通道，小球从上方的通道口落下后，将与 层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内若小球下落过程中向左、向右落下的 机会均等，则小球最终落号球槽的概率为（ ） A 3 32 B15 64 C 5 32 D 5 16 【解答】解：由题可知：小球落入号球槽有 C 5 2 =10 种情况，小球落入下方球槽共 有 2532， 小球最终落号球槽的概率为10 32 = 5 16 故选：D 7 （5 分）过点 P（3，5）作圆 C： （x+2）2+y210 的切线，若切点为 A，B，则直线 AB 的 方程是（ ） Ax+y+20 Bx+y20 Cx+y0 Dx+y30 第 8 页（共 20 页） 【解答】解

17、：以 PC 为直径做圆 D，交圆 C 与 A，B 两点， 点 P（3，5） ，点 C（2，0） ， 圆心 D（1 2， 5 2） ，半径为 1 2 | = 52 2 ， 圆 D 的方程为： （x 1 2） 2+（y5 2） 2=25 2 ， 又圆 C： （x+2）2+y210 ， 得：x+y0， 直线 AB 的方程为：x+y0 故选：C 8 （5 分）已知函数 f（x）= 1 x，若 alog52，blog0.50.2，c0.5 0.5，则（ ） Af（b）f（a）f（c） Bf（c）f（b）f（a） Cf（b）f（c）f（a） Df（a）f（b）f（c） 【解答】解：0log51log52l

18、og551，0.50.20.5052= 2，10.500.5 0.50.512， bca0，且 f（x）在（0，+）上单调递减， f（b）f（c）f（a） 故选：C 二多选题（共二多选题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 9 （5 分） “悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段 的运动情况， 某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程 （单位： 十公里） 的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A月跑步里程逐月增加 第 9 页（共 20 页） B月跑步里程最大值出现在 9

19、 月 C月跑步里程的中位数为 8 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小，变化比较平稳 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 在 A 中，2 月跑步里程比 1 月的小，7 月跑步里程比 6 月的小，10 月跑步里程比 9 月的 小，故 A 错误； 在 B 中，月跑步里程 9 月最大，故 B 正确； 在 C 中，月跑步平均里程的月份从高到底依次为：9 月，10 月，11 月，6 月，5 月，8 月，1 月 8 月恰好在中间位置，故其中位数为 8 月份对应的里程数，故 C 正确； 在 D 中， 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月

20、， 波动性更小， 变化比较平稳， 故 D 正确 故选：BCD 10 （5 分）已知点 P 是双曲线 E： 2 16 2 9 = 1的右支上一点，F1，F2为双曲线 E 的左、 右焦点，PF1F2的面积为 20，则下列说法正确的有（ ） A点 P 的横坐标为20 3 BPF1F2的周长为80 3 CF1PF2小于 3 DPF1F2的内切圆半径为3 2 【解答】解：设F1PF2的内心为 I，连接 IP，IF1，IF2， 双曲线 E： 2 16 2 9 = 1的 a4，b3，c5， 不妨设 P（m，n） ，m0，n0， 由PF1F2的面积为 20，可得1 2|F1F2|ncn5n20，即 n4， 由

21、 2 16 16 9 =1，可得 m= 20 3 ，故 A 正确； 由 P（20 3 ，4） ，且 F1（5，0） ，F2（5，0） ， 可得 k 1= 12 35，k 2= 12 5 ， 第 10 页（共 20 页） 则 tanF1PF2= 12 5 12 35 1+1212 535 = 360 319（0，3） ， 则F1PF2 3，故 C 正确； 由|PF1|+|PF2|=16 + 352 9 +16 + 25 9 = 37 3 + 13 3 = 50 3 ， 则PF1F2的周长为50 3 +10= 80 3 ，故 B 正确； 设PF1F2的内切圆半径为 r，可得1 2r（|PF1|+|

22、PF2|+|F1F2|）= 1 2|F1F2|4， 可得80 3 r40，解得 r= 3 2，故 D 正确 故选：ABCD 11 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 F 是线段 BC1上的动点，则下列说法 正确的是（ ） A当点 F 移动至 BC1中点时，直线 A1F 与平面 BDC1所成角最大且为 60 B无论点 F 在 BC1上怎么移动，都有 A1FB1D C当点 F 移动至 BC1中点时，才有 A1F 与 B1D 相交于一点，记为点 E，且1 =3 D无论点 F 在 BC1上怎么移动，异面直线 A1F 与 CD 所成角都不可能是 30 【解答】解：对于 A 选项，当

23、点 F 在 BC1上移动时，直线 A1F 与平面 BDC1所成角由小 变大再变小，如图所示，其中点 O 为 A1在平面 BDC1上的投影， 第 11 页（共 20 页） 当 F 为 BC1中点时，最大角的余弦值为 1 = 6 6 6 2 = 1 3 1 2，最大角大于 60，即 A 错 误； 对于 B 选项， 在正方形中， B1D面 A1BC1， 又 A1F面 A1BC1， A1FB1D， 即 B 正确； 对于 C 选项，当点 F 为 BC1中点时，也是 B1C 的中点，它们共面于平面 A1B1CD，且必 相交，设交点为 E，连接 A1D 和 B1F，如图所示， 因为A1DEFB1E，所以1

24、= 1 1 = 2，即 C 错误； 对于 D 选项，当 F 从 B 移至 C1时，异面直线 A1F 与 CD 所成角由大变小再变大，且 F 为 BC1中点时，最小角的正切值为 2 2 1 = 2 2 3 3 ，最小角大于 30，即 D 正确 故选：BD 12 （5 分）关于函数 f（x）ex+asinx，x（，+） ，下列说法正确的是（ ） A当 a1 时，f（x）在（0，f（0） ）处的切线方程为 2xy+10 B当 a1 时，f（x）存在唯一极小值点 x0且1f（x0）0 C对任意 a0，f（x）在（，+）上均存在零点 D存在 a0，f（x）在（，+）上有且只有一个零点 【解答】解：直接法

25、，逐一验证 第 12 页（共 20 页） 选项 A，当 a1 时，f（x）ex+sinx，x（，+） ，所以 f（0）1，故切点为（0， 1） ，f（x）ex+cosx，所以切线斜率 Kf（0）2， 故直线方程为：y12（x0） ，即切线方程为：2xy+10 选项 A 符合题意； 选项 B，当 a1 时，f（x）ex+sinx，x（，+） ，f（x）ex+cosx，f（x） exsinx0 恒成立，所以 f（x）单调递增， 又 f（ 3 4 ）e ;3 4+cos（3 4 ）0 f（ 2）20 故 f（x）存在唯一极值点， 不妨设 x0（ 3 4 ， 2） ，则 f（x0）0，即 0 + 0=

26、 0， f（x0）e 0 +sinx0sinx0cosx0= 2sin（x0 4）（1，0） ，选项 B 符合题意； 对于选项 C、D，f（x）ex+asinx，x（，+） ，令 f（x）0，即 ex+asinx0，当 xk，k1 且 kz 显然没有零点，故 xk，k1 且 kz， 所以 a= 则令 F（x）= ，F（x）= () 2 ，令 F（x）0，解 得 x= 4，k3，kz， 所以 x（+k， 3 4 + ） 单调递减，x（ 3 4 + ，k） 单调递增，有极小 值 f（ 3 4 + ）= 2; 3 4: 2; 3 4， x （k， 1 4 + ） 单调递增， x （1 4 + ， +

27、k） 单调单调递减， 有极大值 f （1 4 + ） = 2 1 4: 2 1 4， 故选项 C，任意 a0 均有零点，不符合，选项 D，存在 a0，有且只有唯一零点，此时 a= 2 1 4， 故选：ABD 三填空题（共三填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 tan3，则 cos2 4 5 【解答】解：tan3， cos2= 22 2+2 = 12 1+2 = 19 1+9 = 4 5 故答案为： 4 5 14 （5 分）( 3 2 ) 4的展开式中，常数项是 8 第 13 页（共 20 页） 【解答】解：二项式( 3 2 ) 4

28、的展开式的通项公式为 Tr+1= 4 （ 3 ）4 r （2）rxr= 4 （2）rx 44 3 令 x 的幂指数4;4 3 =0，解得 r1， 展开式中的常数项为： T2= 4 1 （2）18 故答案为：8 15 （5 分）如图所示，三棱锥 ABCD 的顶点 A，B，C，D 都在半径为2同一球面上， ABD 与BCD 为直角三角形，ABC 是边长为 2 的等边三角形，点 P，Q 分别为线段 AO， BC 上的动点 （不含端点） ， 且 APCQ， 则三棱锥 PQCO 体积的最大值为 1 12 【解答】解：设 APx，x（0，2） 由题意可知：BD 的中点 O 为球心，当平面 ABD平面 BC

29、D 时， 三棱锥 PQCO 体积 V= 1 3POSOCQ= 1 3 （2 x） 1 2 2 xsin45= 1 6x （2 x） 1 6( +2 2 )2= 1 12，当且仅当 x= 2 2 时取等号 三棱锥 PQCO 体积的最大值为 1 12 故答案为： 1 12 16 （5 分）已知 F 为抛物线 x22py（p0）的焦点，抛物线内一点 A（1，p） ，M 为抛物 线上任意一点，|MA|+|MF|的最小值为 3，则抛物线方程为 x24y ；若线段 AF 的垂直 平分线交抛物线于 P，Q 两点，则四边形 APFQ 的面积为 43 【解答】 解： 由抛物线的定义可得|MA|+|MF|MA|+

30、yM+ 2， 则最小值为 A 到准线 y= 2的 距离， 所以（|MA|+|MF|）minp（ 2）3，解得 p2，故抛物线的方程为 x 24y； 由 p2，得 A（1，2） ，F（0，1） ，则 AF 中点 N（1 2， 3 2） ，kAF1， 第 14 页（共 20 页） 故 AF 垂直平分线 PQ 的方程为 y（x 1 2）+ 3 2，即 yx+2， 联立 = + 2 2= 4 ，整理得 x2+4x80， 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 x1+x24，x1x28， 所以|PQ|= 1 + 1(4)2 4 (8) = 248 =46， 则四边形 APFQ 的面积为1 2 |

31、 | = 1 2 46 2 =43， 故答案为 x24y，43 四解答题（共四解答题（共 6 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17（10 分） ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， 设 （sinBsinC） 2sin2AsinBsinC （1）求 A； （2）当 a6 时，求其面积的最大值，并判断此时ABC 的形状 【解答】解： （1）根据题意， （sinBsinC）2sin2AsinBsinC， 由正弦定理可得： （bc）2a2bc， 变形可得：b2+c2a2bc， 则 cosA= 2+22 2 = 1 2， 又由 0A，则 A= 3； （2）根据题意，若 a

32、6，则 a2b2+c22bccosAb2+c2bc36， 变形可得：bc36， 则有 S= 1 2bcsinA= 3 4 bc93， 当且仅当 bc 时等号成立，此时ABC 为等边三角形 18 （12 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，bn是各项均为正数的等比数列，a1b4， 或或 ， b28， b13b34， 是否存在正整数 k， 使得数列* 1 +的前 k 项和 15 16 若存在，求出 k 的最小值；若不存在，说明理由 从S420，S32a3，3a3a4b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中井 作答 注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分 【解答】解：设等比数列*+的

33、公比为(0)，则1= 8 ，b38q， 第 15 页（共 20 页） 于是8 3 8 = 4， 即62+ 2 = 0，解得 = 1 2， = 2 3 (舍)， 若选，则1= 1= 2，4= 41+ 43 2 = 20， 解得 d2所以= 2 + (1) 2 2 = 2+ ， 1 = 1 (:1) = 1 1 :1， 于是= 1 1 + 1 2 + + 1 = (1 1 2) + ( 1 2 1 3) + + ( 1 1 +1) = 1 1 +1 令1 1 +1 15 16 ，解得15，因为为正整数，所以k 的最小值为 16 若选：则1= 1= 2，31+ 32 2 = 2(1+ 2)，则 a1

34、d2 下同 若选：则 a1b12，3（a1+2d）（a1+3d）8，解得 = 4 3， 于是= 2 + (1) 2 4 3 = 2 3 2 + 4 3 ， 1 = 3 2 1 (:2) = 3 4 (1 1 :2)， 于是= 3 4 ,(1 1 3) + ( 1 2 1 4) + + ( 1 1 1 +1) + ( 1 1 +2)- = 3 4 (1 + 1 2 1 +1 1 +2) = 9 8 3 4 ( 1 +1 + 1 +2) 令 15 16 ，得 1 +1 + 1 +2 1 4 注意到 k 为正整数，解得 k7，所以 k 的最小值为 7 19 （12 分）如图，三棱锥 PABC 中，点

35、 E，F 分别是 AB，PB 的中点，点 G 是BCE 的 重心 （1）证明：GF平面 PAC； （2）若平面 PAB平面 ABC，PAPB，PAPB，ACBC，AB2BC，求平面 EFG 与 平面 PFG 所成的锐二面角的余弦值 第 16 页（共 20 页） 【解答】解： （1）证明：延长 EG 交 BC 于点 D，点 D 为 BC 的中点， D，E 分别是棱 BC，AB 的中点， DE 是ABC 的中位线，DEAC， 又 DE 不在平面 PAC 内，AC 在平面 PAC 内， DE平面 PAC， 同理可证 EF平面 PAC， 又 DEEFE，DE 在平面 DEF 内，EF 在平面 DEF

36、内， 平面 DEF平面 PAC， GF 在平面 DEF 内， GF平面 PAC； （2）连接 PE，因为 PAPB，E 是 AB 的中点，所以 PEAB， 又平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABCAB，PE 在平面 PAB 内， PE平面 ABC， 以 E 为坐标原点，以 ， 所在直线分别为 y 轴，z 轴，以与 ， 垂直的方向为 x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz， 设 EB1，则(0，0，0)，(0，0，1)，(0， 1 2 ， 1 2)，( 3 6 ， 1 2，0)， = (0， 1 2， 1 2)， = ( 3 6 ，0， 1 2)， = (0， 1 2 ， 1

37、 2)， 设平面 EFG 的一个法向量为 = (，)，则 = + = 0 = 3 = 0 ，则可取 = (3， 1，1)， 设平面 PFG 的一个法向量为 = (，)，则 = 3 = 0 = = 0 ，则可取 第 17 页（共 20 页） = (3，1，1)， 设平面 EFG 与平面 PFG 所成的锐二面角的大小为 ，则 = | ，| = | | | = 3 5， 平面 EFG 与平面 PFG 所成的锐二面角的余弦值为3 5 20 （12 分）推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚 战的重要环节 为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取 1000 名社区

38、居 民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表： 得分 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 男性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数 20 50 80 110 100 40 20 （1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于 60 分的概率： （2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解” （得分不低于 60 分）和“不太了解” （得分低于 60）两类，完成 22 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“居民对垃圾 分类的了解程度”与“性别”有关？ 不太了解 比较了解 男性 250 3

39、30 女性 150 270 （3）从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取 10 人，连同 n（nN*）名男性调查员一起组成 3 个环保宣传队若从这 n+10 人中随机取 3 人作为队长，且男性队长人数的期望 不小于 2求 n 的最小值 第 18 页（共 20 页） 附：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)， （na+b+c+d） 临界值表： P （K2k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解： （1）由调查数

40、据可得，问卷得分不低于 60 分的比率为： 130:110:90:110:100:60 1000 =0.6， 故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于 60 分的概率为 0.6； （2）由题意得列联表如下： 所以 K2= 1000(250270330150)2 400600420580 5.542， 因为 5.5423.841， 所以有 95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关； （3）由题意可知，分层抽样抽取的 10 人中，男性 6 人，女性 4 人， 随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，3， 其中 P （0） = +6 6 4 3 +10 3 ， P （1） = +6

41、1 4 2 +10 3 ， P （2） = +6 2 4 1 +10 3 ， P （3） = +6 3 +10 3 ， 所以随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 P +6 6 4 3 +10 3 +6 1 4 2 +10 3 +6 2 4 1 +10 3 +6 3 +10 3 E= +6 6 4 3 +10 3 0+ +6 1 4 2 +10 3 1+ +6 2 4 1 +10 3 2+ +6 3 +10 3 32， :6 1 4 2 1+:6 2 4 1 2+:6 3 32:10 3 ， 可得：6（n+6）+4（n+6） （n+5）+ 1 2（n+6） （n+5） （n+4） 1 3（n+10） （n+9） （n+8） ， 3（n+6） （n2+17n+72）2（n+10） （n+9） （n+8） ， 3（n+6）2（n+10） ， 解得：n2 21 （12 分）已知函数 f（x）aexcosx( ， 2) （1）证明：当 a1 时，f（x）有最小值，无最大值； （2）若在区间( 2 ，)上方程 f（x）0 恰有一个实数根，求 a 的取值范围， 第 19 页（共 20 页） 【解答】解： （1）a1 时，f（x）ex