2021年新高考数学模拟试卷(20).docx

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资源描述

1、 第 1 页(共 20 页) 2021 年新高考数学模拟试卷(年新高考数学模拟试卷(20) 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 40 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)设集合 Ax|1x2,B1,0,1,2,3,则 AB( ) A1,0,1,2 B0,1,2 C0,1 Dx|1x2,或 x3 2 (5 分)已知复数 = 5+ 1 ,则 z =( ) A22 B8 C13 D13 3 (5 分)设 aR,bR则“ab”是“|a|b|”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 (5 分)数列Fn:F1F21,FnF

2、n1+Fn2(n2) ,最初记载于意大利数学家斐波 那契在 1202 年所著的算盘全书 ,若将数列Fn的每一项除以 2 所得的余数按原来项 的顺序构成新的数列an,则数列an的前 50 项和为( ) A33 B34 C49 D50 5 (5 分)若 , , 满足,| = | | = 2| | = 2,则( ) ( )的最大值为( ) A10 B12 C53 D62 6 (5 分)如图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆 柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,小球从上方的通道口落下后,将与 层层小木块碰撞,最后掉入下方的某一个球槽内若小球下落过程中向左、向右

3、落下的 机会均等,则小球最终落号球槽的概率为( ) A 3 32 B15 64 C 5 32 D 5 16 7 (5 分)过点 P(3,5)作圆 C: (x+2)2+y210 的切线,若切点为 A,B,则直线 AB 的 第 2 页(共 20 页) 方程是( ) Ax+y+20 Bx+y20 Cx+y0 Dx+y30 8 (5 分)已知函数 f(x)= 1 x,若 alog52,blog0.50.2,c0.5 0.5,则( ) Af(b)f(a)f(c) Bf(c)f(b)f(a) Cf(b)f(c)f(a) Df(a)f(b)f(c) 二多选题(共二多选题(共 4 小题,满分小题,满分 20

4、分,每小题分,每小题 5 分)分) 9 (5 分) “悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用,用户通过该平台可查看自己某时间段 的运动情况, 某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程 (单位: 十公里) 的数据绘制了下面的折线图,根据该折线图,下列结论正确的是( ) A月跑步里程逐月增加 B月跑步里程最大值出现在 9 月 C月跑步里程的中位数为 8 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小,变化比较平稳 10 (5 分)已知点 P 是双曲线 E: 2 16 2 9 = 1的右支上一点,F1,F2为双曲线 E 的左、 右焦

5、点,PF1F2的面积为 20,则下列说法正确的有( ) A点 P 的横坐标为20 3 BPF1F2的周长为80 3 CF1PF2小于 3 DPF1F2的内切圆半径为3 2 11 (5 分)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 F 是线段 BC1上的动点,则下列说法 第 3 页(共 20 页) 正确的是( ) A当点 F 移动至 BC1中点时,直线 A1F 与平面 BDC1所成角最大且为 60 B无论点 F 在 BC1上怎么移动,都有 A1FB1D C当点 F 移动至 BC1中点时,才有 A1F 与 B1D 相交于一点,记为点 E,且1 =3 D无论点 F 在 BC1上怎么移动,异面直

6、线 A1F 与 CD 所成角都不可能是 30 12 (5 分)关于函数 f(x)ex+asinx,x(,+) ,下列说法正确的是( ) A当 a1 时,f(x)在(0,f(0) )处的切线方程为 2xy+10 B当 a1 时,f(x)存在唯一极小值点 x0且1f(x0)0 C对任意 a0,f(x)在(,+)上均存在零点 D存在 a0,f(x)在(,+)上有且只有一个零点 三填空题(共三填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)已知 tan3,则 cos2 14 (5 分)( 3 2 ) 4的展开式中,常数项是 15 (5 分)如图所示,三棱

7、锥 ABCD 的顶点 A,B,C,D 都在半径为2同一球面上, ABD 与BCD 为直角三角形,ABC 是边长为 2 的等边三角形,点 P,Q 分别为线段 AO, BC 上的动点 (不含端点) , 且 APCQ, 则三棱锥 PQCO 体积的最大值为 16 (5 分)已知 F 为抛物线 x22py(p0)的焦点,抛物线内一点 A(1,p) ,M 为抛物 线上任意一点,|MA|+|MF|的最小值为 3,则抛物线方程为 ;若线段 AF 的垂直平 分线交抛物线于 P,Q 两点,则四边形 APFQ 的面积为 四解答题(共四解答题(共 6 小题,满分小题,满分 70 分)分) 17(10 分) ABC 的

8、内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 设 (sinBsinC) 2sin2AsinBsinC 第 4 页(共 20 页) (1)求 A; (2)当 a6 时,求其面积的最大值,并判断此时ABC 的形状 18 (12 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,bn是各项均为正数的等比数列,a1 b4, ,b28,b13b34,是否存在正整数 k,使得数列* 1 +的前 k 项和 15 16 若存在,求出 k 的最小值;若不存在,说明理由 从S420,S32a3,3a3a4b2这三个条件中任选一个,补充到上面问题中井 作答 注:如果选择多个条件分别解答,按一个解答计分 19 (1

9、2 分)如图,三棱锥 PABC 中,点 E,F 分别是 AB,PB 的中点,点 G 是BCE 的 重心 (1)证明:GF平面 PAC; (2)若平面 PAB平面 ABC,PAPB,PAPB,ACBC,AB2BC,求平面 EFG 与 平面 PFG 所成的锐二面角的余弦值 20 (12 分)推进垃圾分类处理,是落实绿色发展理念的必然选择,也是打赢污染防治攻坚 战的重要环节 为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取 1000 名社区居 民参与问卷测试,并将问卷得分绘制频率分布表如表: 得分 30,40) 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 男

10、性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数 20 50 80 110 100 40 20 (1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于 60 分的概率: (2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解” (得分不低于 60 分)和“不太了解” (得分低于 60)两类,完成 22 列联表,并判断是否有 95%的把握认为“居民对垃圾 分类的了解程度”与“性别”有关? 第 5 页(共 20 页) 不太了解 比较了解 男性 女性 (3)从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中,按照性别进行分层抽样,共抽取 10 人,连同 n(nN*)名男性调查员一起组成 3

11、个环保宣传队若从这 n+10 人中随机取 3 人作为队长,且男性队长人数的期望 不小于 2求 n 的最小值 附:K2= ()2 (+)(+)(+)(+), (na+b+c+d) 临界值表: P (K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 (12 分)已知函数 f(x)aexcosx( , 2) (1)证明:当 a1 时,f(x)有最小值,无最大值; (2)若在区间( 2 ,)上方程 f(x)0 恰有一个实数根,求 a 的取值范围, 22 (12 分)

12、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E: 2 2 + 2 2 = 1(ab0)的长轴长为 4, 左准线 l 的方程为 x4 (1)求椭圆的标准方程; (2)直线 l1过椭圆 E 的左焦点 F1,且与椭圆 E 交于 A,B 两点若 AB= 24 7 ,求直线 l1的方程;过 A 作左准线 l 的垂线,垂足为 A1,点 G( 5 2,0) ,求证:A1,B,G 三 点共线 第 6 页(共 20 页) 2021 年新高考数学模拟试卷(年新高考数学模拟试卷(20) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 40 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (

13、5 分)设集合 Ax|1x2,B1,0,1,2,3,则 AB( ) A1,0,1,2 B0,1,2 C0,1 Dx|1x2,或 x3 【解答】解:Ax|1x2,B1,0,1,2,3, AB0,1,2 故选:B 2 (5 分)已知复数 = 5+ 1 ,则 z =( ) A22 B8 C13 D13 【解答】解: = 5+ 1 = (5+)(1+) (1)(1+) =2+3ii2+2i, z = |2= (22)2= 8 故选:B 3 (5 分)设 aR,bR则“ab”是“|a|b|”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解:若 ab,取

14、 a1,b2,则|a|b|,则“ab”是“|a|b|”不充分条 件; 若|a|b|,取 a2,b1,则 ab,则“|a|b|”是ab”不必要条件; 则 aR,bR “ab”是“|a|b|”的既不充分也不必要条件, 故选:D 4 (5 分)数列Fn:F1F21,FnFn1+Fn2(n2) ,最初记载于意大利数学家斐波 那契在 1202 年所著的算盘全书 ,若将数列Fn的每一项除以 2 所得的余数按原来项 的顺序构成新的数列an,则数列an的前 50 项和为( ) A33 B34 C49 D50 【解答】 解: 将数列Fn的每一项除以 2 所得的余数按原来项的顺序构成新的数列an, 1,1,0,1

15、,1,0,1,1,0, 则数列an的前 50 项和(1+1+0)16+1+134 第 7 页(共 20 页) 故选:B 5 (5 分)若 , , 满足,| = | | = 2| | = 2,则( ) ( )的最大值为( ) A10 B12 C53 D62 【解答】解: , , 满足,| = | | = 2| | = 2, 则 ( ) ( ) = + 2 =2cos , 4cos , 2cos , +412, 当且仅当 ,同向, ,反向, , 反向时,取得最大值 故选:B 6 (5 分)如图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆 柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作

16、为通道,小球从上方的通道口落下后,将与 层层小木块碰撞,最后掉入下方的某一个球槽内若小球下落过程中向左、向右落下的 机会均等,则小球最终落号球槽的概率为( ) A 3 32 B15 64 C 5 32 D 5 16 【解答】解:由题可知:小球落入号球槽有 C 5 2 =10 种情况,小球落入下方球槽共 有 2532, 小球最终落号球槽的概率为10 32 = 5 16 故选:D 7 (5 分)过点 P(3,5)作圆 C: (x+2)2+y210 的切线,若切点为 A,B,则直线 AB 的 方程是( ) Ax+y+20 Bx+y20 Cx+y0 Dx+y30 第 8 页(共 20 页) 【解答】解

17、:以 PC 为直径做圆 D,交圆 C 与 A,B 两点, 点 P(3,5) ,点 C(2,0) , 圆心 D(1 2, 5 2) ,半径为 1 2 | = 52 2 , 圆 D 的方程为: (x 1 2) 2+(y5 2) 2=25 2 , 又圆 C: (x+2)2+y210 , 得:x+y0, 直线 AB 的方程为:x+y0 故选:C 8 (5 分)已知函数 f(x)= 1 x,若 alog52,blog0.50.2,c0.5 0.5,则( ) Af(b)f(a)f(c) Bf(c)f(b)f(a) Cf(b)f(c)f(a) Df(a)f(b)f(c) 【解答】解:0log51log52l

18、og551,0.50.20.5052= 2,10.500.5 0.50.512, bca0,且 f(x)在(0,+)上单调递减, f(b)f(c)f(a) 故选:C 二多选题(共二多选题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 9 (5 分) “悦跑圈”是一款基于社交型的跑步应用,用户通过该平台可查看自己某时间段 的运动情况, 某人根据 2019 年 1 月至 2019 年 11 月期间每月跑步的里程 (单位: 十公里) 的数据绘制了下面的折线图,根据该折线图,下列结论正确的是( ) A月跑步里程逐月增加 第 9 页(共 20 页) B月跑步里程最大值出现在 9

19、 月 C月跑步里程的中位数为 8 月份对应的里程数 D1 月至 5 月的月跑步里程相对于 6 月至 11 月波动性更小,变化比较平稳 【解答】解:根据题意,依次分析选项: 在 A 中,2 月跑步里程比 1 月的小,7 月跑步里程比 6 月的小,10 月跑步里程比 9 月的 小,故 A 错误; 在 B 中,月跑步里程 9 月最大,故 B 正确; 在 C 中,月跑步平均里程的月份从高到底依次为:9 月,10 月,11 月,6 月,5 月,8 月,1 月 8 月恰好在中间位置,故其中位数为 8 月份对应的里程数,故 C 正确; 在 D 中, 1 月至 5 月的月跑步平均里程相对于 6 月至 11 月

20、, 波动性更小, 变化比较平稳, 故 D 正确 故选:BCD 10 (5 分)已知点 P 是双曲线 E: 2 16 2 9 = 1的右支上一点,F1,F2为双曲线 E 的左、 右焦点,PF1F2的面积为 20,则下列说法正确的有( ) A点 P 的横坐标为20 3 BPF1F2的周长为80 3 CF1PF2小于 3 DPF1F2的内切圆半径为3 2 【解答】解:设F1PF2的内心为 I,连接 IP,IF1,IF2, 双曲线 E: 2 16 2 9 = 1的 a4,b3,c5, 不妨设 P(m,n) ,m0,n0, 由PF1F2的面积为 20,可得1 2|F1F2|ncn5n20,即 n4, 由

21、 2 16 16 9 =1,可得 m= 20 3 ,故 A 正确; 由 P(20 3 ,4) ,且 F1(5,0) ,F2(5,0) , 可得 k 1= 12 35,k 2= 12 5 , 第 10 页(共 20 页) 则 tanF1PF2= 12 5 12 35 1+1212 535 = 360 319(0,3) , 则F1PF2 3,故 C 正确; 由|PF1|+|PF2|=16 + 352 9 +16 + 25 9 = 37 3 + 13 3 = 50 3 , 则PF1F2的周长为50 3 +10= 80 3 ,故 B 正确; 设PF1F2的内切圆半径为 r,可得1 2r(|PF1|+|

22、PF2|+|F1F2|)= 1 2|F1F2|4, 可得80 3 r40,解得 r= 3 2,故 D 正确 故选:ABCD 11 (5 分)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1中,点 F 是线段 BC1上的动点,则下列说法 正确的是( ) A当点 F 移动至 BC1中点时,直线 A1F 与平面 BDC1所成角最大且为 60 B无论点 F 在 BC1上怎么移动,都有 A1FB1D C当点 F 移动至 BC1中点时,才有 A1F 与 B1D 相交于一点,记为点 E,且1 =3 D无论点 F 在 BC1上怎么移动,异面直线 A1F 与 CD 所成角都不可能是 30 【解答】解:对于 A 选项,当

23、点 F 在 BC1上移动时,直线 A1F 与平面 BDC1所成角由小 变大再变小,如图所示,其中点 O 为 A1在平面 BDC1上的投影, 第 11 页(共 20 页) 当 F 为 BC1中点时,最大角的余弦值为 1 = 6 6 6 2 = 1 3 1 2,最大角大于 60,即 A 错 误; 对于 B 选项, 在正方形中, B1D面 A1BC1, 又 A1F面 A1BC1, A1FB1D, 即 B 正确; 对于 C 选项,当点 F 为 BC1中点时,也是 B1C 的中点,它们共面于平面 A1B1CD,且必 相交,设交点为 E,连接 A1D 和 B1F,如图所示, 因为A1DEFB1E,所以1

24、= 1 1 = 2,即 C 错误; 对于 D 选项,当 F 从 B 移至 C1时,异面直线 A1F 与 CD 所成角由大变小再变大,且 F 为 BC1中点时,最小角的正切值为 2 2 1 = 2 2 3 3 ,最小角大于 30,即 D 正确 故选:BD 12 (5 分)关于函数 f(x)ex+asinx,x(,+) ,下列说法正确的是( ) A当 a1 时,f(x)在(0,f(0) )处的切线方程为 2xy+10 B当 a1 时,f(x)存在唯一极小值点 x0且1f(x0)0 C对任意 a0,f(x)在(,+)上均存在零点 D存在 a0,f(x)在(,+)上有且只有一个零点 【解答】解:直接法

25、,逐一验证 第 12 页(共 20 页) 选项 A,当 a1 时,f(x)ex+sinx,x(,+) ,所以 f(0)1,故切点为(0, 1) ,f(x)ex+cosx,所以切线斜率 Kf(0)2, 故直线方程为:y12(x0) ,即切线方程为:2xy+10 选项 A 符合题意; 选项 B,当 a1 时,f(x)ex+sinx,x(,+) ,f(x)ex+cosx,f(x) exsinx0 恒成立,所以 f(x)单调递增, 又 f( 3 4 )e ;3 4+cos(3 4 )0 f( 2)20 故 f(x)存在唯一极值点, 不妨设 x0( 3 4 , 2) ,则 f(x0)0,即 0 + 0=

26、 0, f(x0)e 0 +sinx0sinx0cosx0= 2sin(x0 4)(1,0) ,选项 B 符合题意; 对于选项 C、D,f(x)ex+asinx,x(,+) ,令 f(x)0,即 ex+asinx0,当 xk,k1 且 kz 显然没有零点,故 xk,k1 且 kz, 所以 a= 则令 F(x)= ,F(x)= () 2 ,令 F(x)0,解 得 x= 4,k3,kz, 所以 x(+k, 3 4 + ) 单调递减,x( 3 4 + ,k) 单调递增,有极小 值 f( 3 4 + )= 2; 3 4: 2; 3 4, x (k, 1 4 + ) 单调递增, x (1 4 + , +

27、k) 单调单调递减, 有极大值 f (1 4 + ) = 2 1 4: 2 1 4, 故选项 C,任意 a0 均有零点,不符合,选项 D,存在 a0,有且只有唯一零点,此时 a= 2 1 4, 故选:ABD 三填空题(共三填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)已知 tan3,则 cos2 4 5 【解答】解:tan3, cos2= 22 2+2 = 12 1+2 = 19 1+9 = 4 5 故答案为: 4 5 14 (5 分)( 3 2 ) 4的展开式中,常数项是 8 第 13 页(共 20 页) 【解答】解:二项式( 3 2 ) 4

28、的展开式的通项公式为 Tr+1= 4 ( 3 )4 r (2)rxr= 4 (2)rx 44 3 令 x 的幂指数4;4 3 =0,解得 r1, 展开式中的常数项为: T2= 4 1 (2)18 故答案为:8 15 (5 分)如图所示,三棱锥 ABCD 的顶点 A,B,C,D 都在半径为2同一球面上, ABD 与BCD 为直角三角形,ABC 是边长为 2 的等边三角形,点 P,Q 分别为线段 AO, BC 上的动点 (不含端点) , 且 APCQ, 则三棱锥 PQCO 体积的最大值为 1 12 【解答】解:设 APx,x(0,2) 由题意可知:BD 的中点 O 为球心,当平面 ABD平面 BC

29、D 时, 三棱锥 PQCO 体积 V= 1 3POSOCQ= 1 3 (2 x) 1 2 2 xsin45= 1 6x (2 x) 1 6( +2 2 )2= 1 12,当且仅当 x= 2 2 时取等号 三棱锥 PQCO 体积的最大值为 1 12 故答案为: 1 12 16 (5 分)已知 F 为抛物线 x22py(p0)的焦点,抛物线内一点 A(1,p) ,M 为抛物 线上任意一点,|MA|+|MF|的最小值为 3,则抛物线方程为 x24y ;若线段 AF 的垂直 平分线交抛物线于 P,Q 两点,则四边形 APFQ 的面积为 43 【解答】 解: 由抛物线的定义可得|MA|+|MF|MA|+

30、yM+ 2, 则最小值为 A 到准线 y= 2的 距离, 所以(|MA|+|MF|)minp( 2)3,解得 p2,故抛物线的方程为 x 24y; 由 p2,得 A(1,2) ,F(0,1) ,则 AF 中点 N(1 2, 3 2) ,kAF1, 第 14 页(共 20 页) 故 AF 垂直平分线 PQ 的方程为 y(x 1 2)+ 3 2,即 yx+2, 联立 = + 2 2= 4 ,整理得 x2+4x80, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 x1+x24,x1x28, 所以|PQ|= 1 + 1(4)2 4 (8) = 248 =46, 则四边形 APFQ 的面积为1 2 |

31、 | = 1 2 46 2 =43, 故答案为 x24y,43 四解答题(共四解答题(共 6 小题,满分小题,满分 70 分)分) 17(10 分) ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 设 (sinBsinC) 2sin2AsinBsinC (1)求 A; (2)当 a6 时,求其面积的最大值,并判断此时ABC 的形状 【解答】解: (1)根据题意, (sinBsinC)2sin2AsinBsinC, 由正弦定理可得: (bc)2a2bc, 变形可得:b2+c2a2bc, 则 cosA= 2+22 2 = 1 2, 又由 0A,则 A= 3; (2)根据题意,若 a

32、6,则 a2b2+c22bccosAb2+c2bc36, 变形可得:bc36, 则有 S= 1 2bcsinA= 3 4 bc93, 当且仅当 bc 时等号成立,此时ABC 为等边三角形 18 (12 分)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,bn是各项均为正数的等比数列,a1b4, 或或 , b28, b13b34, 是否存在正整数 k, 使得数列* 1 +的前 k 项和 15 16 若存在,求出 k 的最小值;若不存在,说明理由 从S420,S32a3,3a3a4b2这三个条件中任选一个,补充到上面问题中井 作答 注:如果选择多个条件分别解答,按一个解答计分 【解答】解:设等比数列*+的

33、公比为(0),则1= 8 ,b38q, 第 15 页(共 20 页) 于是8 3 8 = 4, 即62+ 2 = 0,解得 = 1 2, = 2 3 (舍), 若选,则1= 1= 2,4= 41+ 43 2 = 20, 解得 d2所以= 2 + (1) 2 2 = 2+ , 1 = 1 (:1) = 1 1 :1, 于是= 1 1 + 1 2 + + 1 = (1 1 2) + ( 1 2 1 3) + + ( 1 1 +1) = 1 1 +1 令1 1 +1 15 16 ,解得15,因为为正整数,所以k 的最小值为 16 若选:则1= 1= 2,31+ 32 2 = 2(1+ 2),则 a1

34、d2 下同 若选:则 a1b12,3(a1+2d)(a1+3d)8,解得 = 4 3, 于是= 2 + (1) 2 4 3 = 2 3 2 + 4 3 , 1 = 3 2 1 (:2) = 3 4 (1 1 :2), 于是= 3 4 ,(1 1 3) + ( 1 2 1 4) + + ( 1 1 1 +1) + ( 1 1 +2)- = 3 4 (1 + 1 2 1 +1 1 +2) = 9 8 3 4 ( 1 +1 + 1 +2) 令 15 16 ,得 1 +1 + 1 +2 1 4 注意到 k 为正整数,解得 k7,所以 k 的最小值为 7 19 (12 分)如图,三棱锥 PABC 中,点

35、 E,F 分别是 AB,PB 的中点,点 G 是BCE 的 重心 (1)证明:GF平面 PAC; (2)若平面 PAB平面 ABC,PAPB,PAPB,ACBC,AB2BC,求平面 EFG 与 平面 PFG 所成的锐二面角的余弦值 第 16 页(共 20 页) 【解答】解: (1)证明:延长 EG 交 BC 于点 D,点 D 为 BC 的中点, D,E 分别是棱 BC,AB 的中点, DE 是ABC 的中位线,DEAC, 又 DE 不在平面 PAC 内,AC 在平面 PAC 内, DE平面 PAC, 同理可证 EF平面 PAC, 又 DEEFE,DE 在平面 DEF 内,EF 在平面 DEF

36、内, 平面 DEF平面 PAC, GF 在平面 DEF 内, GF平面 PAC; (2)连接 PE,因为 PAPB,E 是 AB 的中点,所以 PEAB, 又平面 PAB平面 ABC,平面 PAB平面 ABCAB,PE 在平面 PAB 内, PE平面 ABC, 以 E 为坐标原点,以 , 所在直线分别为 y 轴,z 轴,以与 , 垂直的方向为 x 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz, 设 EB1,则(0,0,0),(0,0,1),(0, 1 2 , 1 2),( 3 6 , 1 2,0), = (0, 1 2, 1 2), = ( 3 6 ,0, 1 2), = (0, 1 2 , 1

37、 2), 设平面 EFG 的一个法向量为 = (,),则 = + = 0 = 3 = 0 ,则可取 = (3, 1,1), 设平面 PFG 的一个法向量为 = (,),则 = 3 = 0 = = 0 ,则可取 第 17 页(共 20 页) = (3,1,1), 设平面 EFG 与平面 PFG 所成的锐二面角的大小为 ,则 = | ,| = | | | = 3 5, 平面 EFG 与平面 PFG 所成的锐二面角的余弦值为3 5 20 (12 分)推进垃圾分类处理,是落实绿色发展理念的必然选择,也是打赢污染防治攻坚 战的重要环节 为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取 1000 名社区

38、居 民参与问卷测试,并将问卷得分绘制频率分布表如表: 得分 30,40) 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100 男性人数 40 90 120 130 110 60 30 女性人数 20 50 80 110 100 40 20 (1)从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于 60 分的概率: (2)将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解” (得分不低于 60 分)和“不太了解” (得分低于 60)两类,完成 22 列联表,并判断是否有 95%的把握认为“居民对垃圾 分类的了解程度”与“性别”有关? 不太了解 比较了解 男性 250 3

39、30 女性 150 270 (3)从参与问卷测试且得分不低于 80 分的居民中,按照性别进行分层抽样,共抽取 10 人,连同 n(nN*)名男性调查员一起组成 3 个环保宣传队若从这 n+10 人中随机取 3 人作为队长,且男性队长人数的期望 不小于 2求 n 的最小值 第 18 页(共 20 页) 附:K2= ()2 (+)(+)(+)(+), (na+b+c+d) 临界值表: P (K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解: (1)由调查数

40、据可得,问卷得分不低于 60 分的比率为: 130:110:90:110:100:60 1000 =0.6, 故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于 60 分的概率为 0.6; (2)由题意得列联表如下: 所以 K2= 1000(250270330150)2 400600420580 5.542, 因为 5.5423.841, 所以有 95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关; (3)由题意可知,分层抽样抽取的 10 人中,男性 6 人,女性 4 人, 随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3, 其中 P (0) = +6 6 4 3 +10 3 , P (1) = +6

41、1 4 2 +10 3 , P (2) = +6 2 4 1 +10 3 , P (3) = +6 3 +10 3 , 所以随机变量 的分布列为: 0 1 2 3 P +6 6 4 3 +10 3 +6 1 4 2 +10 3 +6 2 4 1 +10 3 +6 3 +10 3 E= +6 6 4 3 +10 3 0+ +6 1 4 2 +10 3 1+ +6 2 4 1 +10 3 2+ +6 3 +10 3 32, :6 1 4 2 1+:6 2 4 1 2+:6 3 32:10 3 , 可得:6(n+6)+4(n+6) (n+5)+ 1 2(n+6) (n+5) (n+4) 1 3(n+10) (n+9) (n+8) , 3(n+6) (n2+17n+72)2(n+10) (n+9) (n+8) , 3(n+6)2(n+10) , 解得:n2 21 (12 分)已知函数 f(x)aexcosx( , 2) (1)证明:当 a1 时,f(x)有最小值,无最大值; (2)若在区间( 2 ,)上方程 f(x)0 恰有一个实数根,求 a 的取值范围, 第 19 页(共 20 页) 【解答】解: (1)a1 时,f(x)ex

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