1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年广东省高考数学（理科）模拟试卷（年广东省高考数学（理科）模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若复数 z 满足（1+i）z|3 +i|，则在复平面内，z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 （5 分） 幂函数 y （m2m1） x 5m3 在 （0， +） 上为减函数， 则实数 m 的值为 （ ） Am2 Bm1 Cm2 或 m1 D 1 5且 m 1+5 2 3 （5 分）已知直线 l1：2xy20，l2：ax+4y+10，若
2、l1l2，则 a 的值为（ ） A8 B2 C 1 2 D2 4 （5 分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问 题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB，使得其中较长的一段 AC 是全长 AB 与另一段 CB 的比例中项，即满足 = = 51 2 0.618后人把这个数称为黄金分割数，把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点在ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，在 ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为（ ） A51 2 B5 2 C51 4 D52 2 5 （5 分）已知命题 P：存在 nR，使得() = 22 3是
3、幂函数，且在（0，+）上单调 递增；命题 q： “xR，x2+23x”的否定是“xR，x2+23x” 则下列命题为真命题 的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 6 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S6a17，a416，则 an（ ） A5n6 B5n4 C5n+1 D5n+4 7 （5 分）下列说法错误的是（ ） A回归直线过样本点的中心(，) B对分类变量 X 与 Y，随机变量 K2的观测值 k 越大，则判断“X 与 Y 有关系”的把握 第 2 页（共 18 页） 程度越小 C两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1 D在回归直线方程 =0.
4、2x+0.8 中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变量 平均增 加 0.2 个单位 8 （5 分）若( 2 2) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 （ ） A210 B180 C160 D175 9 （5 分）甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任 意将这 4 个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛则甲、乙相遇的概率为 （ ） A1 6 B1 4 C1 3 D1 2 10 （5 分）已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比 海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，由此可以推知：
5、甲、乙、丙三 人中（ ） A甲不是海南人 B湖南人比甲年龄小 C湖南人比河南人年龄大 D海南人年龄最小 11 （5 分）已知双曲线： 2 2 2 2 = (0)的左、右焦点分别为 F1，F2过 F2作 C 的一 条渐近线 l 的垂线，垂足为 M，若三角形 MF1F2的面积为 2a2，则 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D5 12 （5 分）设点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （1，0） ，直线 AP，BP 相交于点 P，且它 们的斜率之和为 2，则点 P 的轨迹方程是（ ） A = + 1 B = 1 C = 1 ( 1) D = + 1 ( 1) 二填空题（共二填空题（共 4
6、小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）某企业在”精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售，现有 8 辆甲型车和 4 辆乙型车，甲型车每次最多能运 6 吨目每天能运 4 次，乙型车每次最多能 运 10 吨且每天能运 3 次，甲型车每天费用 320 元，乙型车每天费用 504 元，若需要一天 内把 180 吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为 第 3 页（共 18 页） 元 14 （5 分）已知 t0，若 0 (2 1) = 12，则 t 15 （5 分）若过点 P（1，3）作圆 O：x2+y21 的两条切线，切点分别
7、为 A、B 两点，则 |AB| 16 （5 分）设函数 f（x）= | 2|，0 3+ 3， 0，若方程 f 2（x）+mf（x）+m210 有 5 个 不同的实数根，则实数 m 的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 4SABCb2+c2a2 （1）求角 A 的大小； （2）已知 cos（B+ 6）= 3 5，求 cos2C 的值 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，AP平面 PCD，ADBC，DAB= 2，APAB BC= 1 2A
8、D，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O （）求证：PO平面 ABCD； （）求直线 AB 与平面 PBD 所成角的正弦值 19 （12 分）已知圆 O1：x2+y22x70，动圆 O2过定点 F（1，0）且与圆 O1相切， 圆心 O2的轨迹为曲线 C （1）求 C 的方程； （2）设斜率为 1 的直线 l 交 C 于 M，N 两点，交 y 轴于 D 点，y 轴交 C 于 A，B 两点， 若|DM|DN|DA|DB|，求实数 的值 20 （12 分）已知函数 f（x）= 1 2 2 ( + 1) + （1）当 a0 时，求 f（x）的最小值； （2）当 a0 时，讨论 f（x）的
9、单调性； 第 4 页（共 18 页） （3）若不等式 f（x）+（a+1）x 2 2 +xa+2e2对 x1 ，e恒成立，求正数 a 的取值范 围 21 （12 分） N95 型口罩是抗击新型冠状病毒的重要防护用品， 它对空气动力学直径0.3m 的颗粒的过滤效率达到 95%以上某防护用品生产厂生产的 N95 型口罩对空气动力学直 径0.3m 的颗粒的过滤效率服从正态分布 N（0.97，9.02510 5） （）当质检员随机抽检 10 只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径0.3m 的颗粒 的过滤效率为 93.6%，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况请你依据所学 知识，判断该质检员的要求
10、是否有道理，并说明判断的依据； （）该厂将空气动力学直径0.3m 的颗粒的过滤效率达到 95.1%以上的 N95 型口罩 定义为“优质品” 求该企业生产的一只 N95 型口罩为“优质品”的概率； 该企业生产了 1000 只这种 N95 型口罩，且每只口罩相互独立，记 X 为这 1000 只口罩 中“优质品”的件数，当 X 为多少件时可能性最大（即概率最大）？ 参考数据： 9.5290.25， P （X+） 0.6827， P （2X+2） 0.9544， P（3X+3）0.9974 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分）
11、 将圆 x2+y21 上每一点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的 2 倍， 得曲线 C （）写出 C 的参数方程； （）设直线 l：2x+y20 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+1|+|x2|22|，若函数 f（x）的图象恒在 x 轴上方，求实数 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2020 年广东省高考数学（理科）模拟试卷（年广东省高考数学（理科）模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题
12、（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若复数 z 满足（1+i）z|3 +i|，则在复平面内，z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：（1+i）z|3 +i|，（1i） （1+i）z（1i）|3 +i|， 2z2（1i） ，可得 z1i 则在复平面内，z 对应的点（1，1）位于第四象限 故选：D 2 （5 分） 幂函数 y （m2m1） x 5m3 在 （0， +） 上为减函数， 则实数 m 的值为 （ ） Am2 Bm1 Cm2 或 m1 D 1 5且 m 1+5 2 【解答】解：幂函
13、数 y（m2m1）x 5m3 在（0，+）上为减函数， m2m11，5m30， 解得 m2 故选：A 3 （5 分）已知直线 l1：2xy20，l2：ax+4y+10，若 l1l2，则 a 的值为（ ） A8 B2 C 1 2 D2 【解答】解：直线 l1：2xy20，l2：ax+4y+10，l1l2， 2a140， 解得 a2 故选：B 4 （5 分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问 题：将一线段 AB 分为两线段 AC，CB，使得其中较长的一段 AC 是全长 AB 与另一段 CB 的比例中项，即满足 = = 51 2 0.618后人把这个数称为黄金分割
14、数，把点 C 称为线段 AB 的黄金分割点在ABC 中，若点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点，在 ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为（ ） 第 6 页（共 18 页） A51 2 B5 2 C51 4 D52 2 【解答】解：设 BCa， 由点 P，Q 为线段 BC 的两个黄金分割点， 所以 BQ= 51 2 ，CP= 51 2 ， 所以 PQBQ+CPBC（5 2）a， SAPQ：SABCPQ：BC（5 2）a：a= 5 2， 由几何概型中的面积型可得： 在ABC 内任取一点 M，则点 M 落在APQ 内的概率为 =5 2， 故选：B 5 （5 分）已知命题 P
15、：存在 nR，使得() = 22 3是幂函数，且在（0，+）上单调 递增；命题 q： “xR，x2+23x”的否定是“xR，x2+23x” 则下列命题为真命题 的是（ ） Apq Bpq Cpq Dpq 【解答】解：对于命题 p，当 n1 时，() = 1 3为幂函数，且在（0，+）上单调递增， 故 p 是真命题，则 p 是假命题； 命题 q： “xR， x2+23x” 的否定是 “xR， x2+23x” ， 故 q 是假命题， q 是真命题 所 以 pq， pq， p q 均为假命题，p q 为真命题， 故选：C 6 （5 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S6a17，a416
16、，则 an（ ） A5n6 B5n4 C5n+1 D5n+4 第 7 页（共 18 页） 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，S6a17，a416， 61 + 65 2 = 1+ 16 1+ 3 = 16 ， 解得 a11，d5， an1+（n1）55n4 故选：B 7 （5 分）下列说法错误的是（ ） A回归直线过样本点的中心(，) B对分类变量 X 与 Y，随机变量 K2的观测值 k 越大，则判断“X 与 Y 有关系”的把握 程度越小 C两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1 D在回归直线方程 =0.2x+0.8 中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时
17、，预报变量 平均增 加 0.2 个单位 【解答】解：对于选项 A：回归直线过样本点的中心(，)，正确 对于选项 B： 对分类变量 X 与 Y， 随机变量 K2的观测值 k 越大， 则判断 “X 与 Y 有关系” 的把握程度越小，错误 对于选项 C： 两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值就越接近于 1， 正确 对于选项 D：在回归直线方程 =0.2x+0.8 中，当解释变量 x 每增加 1 个单位时，预报变 量 平均增加 0.2 个单位，正确 故选：B 8 （5 分）若( 2 2) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 （ ） A210 B180 C160 D
18、175 【解答】解：若( 2 2) 的展开式中只有第六项的二项式系数5最大，故 n10， 则展开式的通项公式为 Tr+1= 10 （2）r5 5 2，令 55 2 =0，求得 r2， 可得展开式中的常数项为 10 2 （2）2180， 故选：B 9 （5 分）甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任 第 8 页（共 18 页） 意将这 4 个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛则甲、乙相遇的概率为 （ ） A1 6 B1 4 C1 3 D1 2 【解答】解：甲、乙在同一组：P1= 1 3 甲、乙不在同一组，但相遇的概率：P2= 2 3 1 2 1 2
19、= 1 6， 甲、乙相遇的概率为 P= 1 3 + 1 6 = 1 2 故选：D 10 （5 分）已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比 海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，由此可以推知：甲、乙、丙三 人中（ ） A甲不是海南人 B湖南人比甲年龄小 C湖南人比河南人年龄大 D海南人年龄最小 【解答】解：由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙 是湖南人； 由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人； 故：乙（河南人）的年龄丙（湖南人）的年龄甲（海南人）的年龄； 所以 ABC 错，D 对 故选：D 11 （5 分）已
20、知双曲线： 2 2 2 2 = (0)的左、右焦点分别为 F1，F2过 F2作 C 的一 条渐近线 l 的垂线，垂足为 M，若三角形 MF1F2的面积为 2a2，则 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D5 【解答】解：由题得 F2（c，0） ，不妨设 l：bxay0，则|2| = | 2+2 = （也可记 住结论） ， | = |2|2 |1|2= ， 1= 2= 1 2 |2| = 1 2 12= 1+ 2= 22= = 22， b2a，c2a2+b25a2， = 5， = 5 故选：D 第 9 页（共 18 页） 12 （5 分）设点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （1，0）
21、，直线 AP，BP 相交于点 P，且它 们的斜率之和为 2，则点 P 的轨迹方程是（ ） A = + 1 B = 1 C = 1 ( 1) D = + 1 ( 1) 【解答】解：设点 P 坐标（x，y） ， 由题意，直线 AP，BP 斜率存在，故 x1，且 x1，即 x1 kAP= +1，kBP= 1 kAP+kBP= +1 + 1 =2， 整理，得 yx 1 （x1） ， 点 P 的轨迹方程是 yx 1 （x1） 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）某企业在”精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售
22、，现有 8 辆甲型车和 4 辆乙型车，甲型车每次最多能运 6 吨目每天能运 4 次，乙型车每次最多能 运 10 吨且每天能运 3 次，甲型车每天费用 320 元，乙型车每天费用 504 元，若需要一天 内把 180 吨水果运输到火车站， 则通过合理调配车辆， 运送这批水果的费用最少为 2560 元 【解答】解：设甲型车 x 辆，乙型车 y 辆， 由题意得 4 6 + 3 10 180 0 8 0 4， ， ， 目标函数为 z320x+504y， 作出不等式组对应的平面区域如图： 第 10 页（共 18 页） 四点坐标（2.5，4） ， （8，4） ， （8，0） ， （7.5，0） ，围成成的
23、梯形及其内部 包含的整点有（8，0） ， （7，1） ， （8，1） ， （5，2） ， （6，2） ， （7，2） ， （8，2） ， （4，3） ， （5，3） ， （6，3） （7，3） ， （8，3） ， （3，4） ， （4，4） ， （5，4） ， （6，4） ， （7，4） ， （8，0） 作直銭 320x+504y0 并平移 由图象知当直线过点（8，0）时，z 最小 即最小值 z83202560（元） 故答案为：2560 14 （5 分）已知 t0，若 0 (2 1) = 12，则 t 4 【解答】解： 0 （2x1）dx（x2x）|0tt2t12， （t0） t4 或 t3（
24、舍） 则 t 的值等于 3 故答案为：4 15 （5 分）若过点 P（1，3）作圆 O：x2+y21 的两条切线，切点分别为 A、B 两点，则 |AB| 3 【解答】解：由圆的方程 x2+y21，得到圆心 O（0，0） ，半径 r1， |OA|OB|1， PA、PB 分别为圆的切线， OAAP，OBPB，|PA|PB|，OP 为APB 的平分线， P（1，3） ，O（0，0） ， |OP|2， 第 11 页（共 18 页） 在 RtAOP 中，根据勾股定理得：|AP|= 4 1 = 3， |OA|= 1 2|OP|，APO30， APB60， PAB 为等边三角形， 则|AB|AP|= 3 故
25、答案为：3 16 （5 分）设函数 f（x）= | 2|，0 3+ 3， 0，若方程 f 2（x）+mf（x）+m210 有 5 个 不同的实数根，则实数 m 的取值范围是 1，1 【解答】解：根据题意，画出分段函数 f（x）图象如下： 令 tf（x） ，则方程 f2（x）+mf（x）+m210 有 5 个不同的实数根， 即方程 t2+mt+m210 有 2 个不同的实数根， 且 t10，4t20 则 t1+t24，t1t20 故m24（m21）3m2+40， 第 12 页（共 18 页） 解得 23 3 m 23 3 根据韦达定理，t1+t2m，t1t2m21 故m4，m210 解得1m1
26、综上所述，可得实数 m 的取值范围为1，1 故答案为：1，1 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 4SABCb2+c2a2 （1）求角 A 的大小； （2）已知 cos（B+ 6）= 3 5，求 cos2C 的值 【解答】解： （1）4SABCb2+c2a2， 2bcsinA2bccosA， 即 sinAcosA，tanA1， A（0，） ， A= 4， （2）cos（B+ 6）= 3 5，且 B（0，） ， sin（B+ 6）= 4 5， cosBcos（
27、B+ 6） 6= 3 2 3 5 + 1 2 4 5 = 33+4 10 ， sinBsin（B+ 6） 6= 4 5 3 2 1 2 3 5 = 433 10 ， cos2Csin（2C+ 1 2 ）sin2（C+ 4）sin2（C+A）sin2B， 2sinBcosB2 433 10 33+4 10 = 24+73 50 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，AP平面 PCD，ADBC，DAB= 2，APAB BC= 1 2AD，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O （）求证：PO平面 ABCD； （）求直线 AB 与平面 PBD 所成角的正弦值 第 13 页（共
28、18 页） 【解答】解： （I）证明：由已知 AP平面 PCD，可得 APPC，APCD， 由题意得，ABCD 为直角梯形，如图所示， BC =DE，BCDE 为平行四边形，BECD，APBE 又BEAC，且 ACAPA，BE面 APC， PO平面 APC，BEPO， 在直角梯形中，AC= 2AB= 2AP， AP面 PCD，APPC， PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边 AC 上的中点， POAC且 ACBEO，PO平面 ABCD （II）以 O 为原点，分别以 OB，OC，OP 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系 不妨设 BO1，则 A（0，1，0） ，B（1，0，0） ，P （
29、0，0，1） ，D（2，1，0） ， =（1，0，1） ， =（1，1，0） ， =（3，1，0） ， 设 =（x，y，z）是平面 PBD 的法向量 则 = = 0 = 3 + = 0 ，令 x1，得 =（1，3，1） ， 设直线 AB 与平面 PBD 所成角为 ， 则直线 AB 与平面 PBD 所成角的正弦值为： sin= | | | | | = 222 11 第 14 页（共 18 页） 19 （12 分）已知圆 O1：x2+y22x70，动圆 O2过定点 F（1，0）且与圆 O1相切， 圆心 O2的轨迹为曲线 C （1）求 C 的方程； （2）设斜率为 1 的直线 l 交 C 于 M，N
30、 两点，交 y 轴于 D 点，y 轴交 C 于 A，B 两点， 若|DM|DN|DA|DB|，求实数 的值 【解答】解： （1）圆 O1的圆心为（1，0） ，半径为 22，点 F 在圆 O1内，故圆 O2与圆 O1相内切 设圆 O2的半径为 r，则|O2F|r，|O2O1|22 r，从而|O2O1|+|O2F|22 因为|FF|222，所以曲线 C 是以点 F （1，0） ，F（1，0）为焦点的椭圆 由 a= 2，c1，得 b1，故 C 的方程为 2 2 +y21 （2）设 l：yx+t，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 D（0，t） ， |DM|= (1 0)2+ (1 )2= 2
31、|x1|，|DN|= (2 0)2+ (2 )2= 2|x2| yx+t 与 2 2 +y21 联立得 3x2+4tx+2t220 当8（3t2）0 时，即3 t 3时，x1x2= 222 3 所以|DM|DN|2|x1x2|= 4|21| 3 由（1）得 A（0，1） ，A（0，1） ，所以|DA|DB|t+1|t1|t21| 第 15 页（共 18 页） 等式|DM|DN|DA|DB|可化为4| 21| 3 =|t21| 当3 t 3且 t1 时，= 4 3 当 t1 时， 可以取任意实数 综上，实数 的值为4 3 20 （12 分）已知函数 f（x）= 1 2 2 ( + 1) + （1
32、）当 a0 时，求 f（x）的最小值； （2）当 a0 时，讨论 f（x）的单调性； （3）若不等式 f（x）+（a+1）x 2 2 +xa+2e2对 x1 ，e恒成立，求正数 a 的取值范 围 【解答】解：函数 f（x）= 1 2 2 ( + 1) + 所以 f（x）xa1+ = 2(+1)+ = (1)() （1）当 a0 时，x（0，1） ，f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递减； x（1，+） ，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增； 所以 f（x）的最小值为 f（1）a 1 2； （2）当 a1 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增， 当 0a1 时，x（0，a）
33、 ，f（x）0，f（x）在（0，a）上单调递增， x（a，1） ，f（x）0f（x）在（a，1）上单调递减； x（1，+） ，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调递增 当 a1 时，x（0，1） ，f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递增， x（1，a） ，f（x）0，f（x）在（1，a）上单调递减； x（a，+） ，f（x）0f（x）在（a，+）上单调递增； （3）若不等式 f（x）+（a+1）x 2 2 +xa+2e2对 x1 ，e恒成立， 原问题等价于对任意的 x1 ，e有 x aalnxe22 成立， 设 g（x）xaalnx，x1 ，e，a0， g（x）= +axa 1=(1)
34、， 令 g（x）0，得：0x1；令 g（x）0，得：x1 第 16 页（共 18 页） 所以函数 g（x）在1 ，1）上单调递减，在（1，e上单调递增， g（x）maxg（1 ）a+e a 与 g（e）a+ea中的较大者， 设 h（a）g（e）g（1 ）e aea2a， （a0） 则 h（a）ea+e a22 20， 所以 h（a）在（0，+）上单调递增，故 h（a）h（0）0，即 g（e）g（1 ） ， 从而 g（x）maxg（e）a+ea，故a+eae22，即 exae2+20 设 （a）exae2+2（a0） ，则有 （a）ea10， 所以 （a）在（0，+）上单调递增， 又因为 （2）
35、0， 所以 e2ae2+20，可得：a2， 因为 a0，所以 a 的取值范围为： （0，2 21 （12 分） N95 型口罩是抗击新型冠状病毒的重要防护用品， 它对空气动力学直径0.3m 的颗粒的过滤效率达到 95%以上某防护用品生产厂生产的 N95 型口罩对空气动力学直 径0.3m 的颗粒的过滤效率服从正态分布 N（0.97，9.02510 5） （）当质检员随机抽检 10 只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径0.3m 的颗粒 的过滤效率为 93.6%，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况请你依据所学 知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据； （）该厂将空气动力学直径
36、0.3m 的颗粒的过滤效率达到 95.1%以上的 N95 型口罩 定义为“优质品” 求该企业生产的一只 N95 型口罩为“优质品”的概率； 该企业生产了 1000 只这种 N95 型口罩，且每只口罩相互独立，记 X 为这 1000 只口罩 中“优质品”的件数，当 X 为多少件时可能性最大（即概率最大）？ 参考数据： 9.5290.25， P （X+） 0.6827， P （2X+2） 0.9544， P（3X+3）0.9974 【解答】解： （）由已知过滤效果服从 N（0.97，90.2510 6） ，2（9.5103）2， 9.510 30.0095，则 0.9360.970.009530.
37、9415， 由 3原则可知，生产的口罩出现过滤效果在 3以外的值，发生的可能性很小，一旦发 生，应停止生产 第 17 页（共 18 页） （）令 Y事件“N95 口罩的过滤效果” ，则一只口罩为“优质品”的概率为： P （Y0.951） P （Y0.9720.0095） 1(1 2 (0.9720.97+2) 2 ) = 0.9772 依题意 XB（1000，0.9772） ，记 n1000，p0.9772 P（Xk）= (1 )( = 0，1，2，103)，要使可能性最大，只需 (1 ) 11(1 )+1 (1 ) +1+1(1 )1，整理得 1 1001 1 1000 +1 ， 所以 10
38、01p1k1001p， k978 当 X 为 978 件时可能性最大 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22（10 分） 将圆 x2+y21 上每一点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的 2 倍， 得曲线 C （）写出 C 的参数方程； （）设直线 l：2x+y20 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程 【解答】解： （）在曲线 C 上任意取一点（x，y） ，由题意可得点（x， 2）在圆 x 2+y2 1 上， x2+ 2 4 =1
39、， 即曲线 C 的方程为 x2+ 2 4 =1， 化为参数方程为 = = 2 （02， 为参数） （）由 2 + 2 4 = 1 2 + 2 = 0 ，可得 = 1 = 0， = 0 = 2，不妨设 P1（1，0） 、P2（0，2） ， 则线段 P1P2的中点坐标为（1 2，1） ， 再根据与l垂直的直线的斜率为1 2， 故所求的直线的方程为y1= 1 2 （x 1 2） ， 即x2y+ 3 2 =0 再根据 xcos、ysin 可得所求的直线的极坐标方程为 cos2sin+ 3 2 =0， 即 = 3 42 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+1|+|x2|22|，若函数 f（x）的图象恒在 x 轴上方，求实数 的取值范围 第 18 页（共 18 页） 【解答】解：f（x）|x+1|+|x2|22|x+1x+2|22|3|22|， f（x）的最小值为 3|22|，（5 分） 函数 f（x）的图象恒在 x 轴上方， 3|22|0， |22|3， 解得 （1，3）（10 分）
