1、13.4空间几何体的表面积与体积,高考数学,知识清单,3.柱体、锥体、台体、球的体积(1)长方体的体积公式是V=abc,正方体的体积公式是V=a3.圆柱的体积公式是V=r2h.柱体的体积公式可以统一为?V柱=Sh,其中S为底面积,h为高.(2)圆锥的体积公式是V=?r2h,棱锥的体积公式是V=?Sh.锥体的体积公式可以统一为?V锥=?Sh,其中S为底面积,h为高.(3)圆台的体积公式为V=?(r2+rr+r2)h,棱台的体积公式为V=?(S+?+S)h,台体的体积公式可以统一为V台=?(S+?+S)h,其中S、S分别为上、下底面的面积,h为高.,(4)半径为R的球的体积为?R3.拓展延伸1.圆
2、柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一特点,弄清旋转轴、旋转面、轴截面.2.在球的有关计算中,球的半径R,截面圆半径r及球心到截面的距离d之间有关系式R2=d2+r2.,空间几何体的表面积1.空间几何体的表面积是空间几何体暴露在外的面积,如果空间几何体是多面体,则其表面积是各个面的面积之和,求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积,然后求和.2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,从而获得所给几何体的表面积.例1(2013课标全国,15,5分)已知H是球O的直径AB上一点,AHHB=12,AB平面,H为
3、垂足,截球O所得截面的面积为,则球O的表面积为.,方法技巧,解析平面截球O所得截面为圆面,圆心为H,设球O的半径为R,则由AHHB=12得OH=?R.由圆H的面积为,得圆H的半径为1,?所以?+12=R2,得出R2=?,所以球O的表面积S=4R2=4?=?.,答案,空间几何体的体积1.求锥体的体积,要选择适当的底面和高,然后应用公式V=?Sh进行计算.2.对于复杂的或不易求解的几何体,我们可以通过分割或补体的途径来求解.常用的方法有割补法和等体积变换法.例2(1)(2017扬州中学高三月考,4)若长方体相邻三个侧面的面积分别是?,?,?,则该长方体的体积是.(2)(2017苏北四市高三上学期期
4、中)将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周,则所形成的几何体体积是.,解析(1)设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a,b,c,则由题设可得?三个式子相乘得a2b2c2=6,从而abc=?,所以该长方体的体积为?.(2)形成的几何体为两个同底等高的圆锥,其体积为2?222=?.,答案(1)?(2),解答空间几何体中最值问题的方法解决最值问题的一种基本方法就是建立求解目标关于某个变量的函数,然后利用函数的性质求解,立体几何中的最值问题也不例外,函数方法是基本方法之一,使用函数方法的关键是正确选择影响求解目标的一个变量,这个变量能完全确定求解目标.例3已知一个四面体有五条棱长都等于2,则该四面体的体积的最大值为.,解析如图所示,在四面体S-ABC中,SB=SC=BC=AB=AC=2,?SABC=?22=?.设点S到平面ABC的距离为h,则VS-ABC=?SABCh=?h.所以当h取得最大值时,四面体的体积最大.取BC的中点D,连结SD,则SDBC,且SD=?,显然当SD平面ABC时,h,取得最大值?.此时VS-ABC=?=1.,答案1,
