1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年广东省高考数学（文科）模拟试卷（年广东省高考数学（文科）模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 2（5 分） 在复平面内点 P 对应的复数 z12+i， 将点 P 绕坐标原点 O 逆时针旋转到点 Q， 则点 Q 对应的复数 z2的虚部为（ ） A B C D 3 （5 分）已知 f（x）sinx，在区间任取一个实数 x0，则使得 f（x0）的 概率为（ ） A
2、B C D 4 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，且当 x0，1时，f（x） x（32x） ，则 f（）（ ） A1 B C D1 5 （5 分）已知夹角为 的向量 ， 满足 （ + ）2，且| |2| |2，则向量 ， 的 关系是（ ） A互相垂直 B方向相同 C方向相反 D成 120角 6 （5 分）已知 F1，F2是椭圆）的左，右焦点，点 M 在 E 上， MF2与 x 轴垂直，则 E 的离心率为（ ） A B C D 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 n3，则输出的 S（ ） 第 2 页（共 17 页） A1 B5 C14 D30
3、8 （5 分）ABC 中，则符合条件的三角形有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9 （5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各 国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发 展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了 100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技 术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结 论是（ ） A截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B10 年来全球新增装机容
4、量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW 第 3 页（共 17 页） D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 10 （5 分）将曲线向左平移个单位长度，得到曲线的对称中心 为（ ） A （2k，0） ，kZ B C D 11 （5 分）已知圆 M 的圆心为双曲线 C：1（a0，b0）虚轴的一个端点，半 径为 a+b， 若圆 M 截直线 l： ykx 所得的弦长的最小值为 2b， 则 C 的离心率为 （ ） A B C D2 12 （5 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA1BC1D1中，E 为线段 AB1的中点，在平面 ABCD 中取一个点 F，
5、连接 EF，FC1，则|EF|+|FC1|的最小值为（ ） A B C D 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，c22ab 且 sinAsinC， 则 cosA 14 （5 分）已知直线 ykx+1 与曲线 yx3+ax+b 切于点（1，3） ，则 b 的值为 15 （5 分）已知等边三角形 ABC 的三个顶点都在以点 O 为球心、2 为半径的球面上若三 棱锥 OABC 的高为 1，则三棱锥 OABC 的体积为 16 （5 分）已知 f（x）|x|+|x1|，若函
6、数 g（x）f（x）a 有零点，则实数 a 的最小值 为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知等比数列an是递减数列，a1a4 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn（n+1）log2an，求数列的前 n 项和 Tn 18 （12 分）在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，E 为线段 AD 的中点，如图 1，沿 BE 将 ABE 折起至PBE，使 BPCE，如图 2 所示 第 4 页（共 17 页） （1）求证：平面 PBE平面 BCDE； （2）求点 D 到平面 PEC 的距离 19 （12 分）已知函数
7、 f（x）exax3+b （1）求证：当 a1 时，f（x）在（，0）上存在最小值； （2）若 x2 是 f（x）的零点且当 x2 时，f（x）0，求实数 a 的取值范围 20 （12 分）在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A（1，0） ，B（1，0） ，且 sinA、sinC、 sinB 成等差数列 （1）求ABC 的顶点 C 的轨迹方程； （2） 直线 ykx+b与顶点C 的轨迹交于 M， N 两点， 当线段 MN 的中点 P落在直线 上时，试问：线段 MN 的垂直平分线是否恒过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不 过定点，请说明理由 21 （12 分）某学校有 40 名高中生参加足球特
8、长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足 球基础知识问答，测试员把成绩（单位：分）分组如下：第 1 组75，80） ，第 2 组80， 85） ，第 3 组85，90） ，第 4 组90，95） ，第 5 组95，100） ，得到频率分布直方图如图所 示 （1）根据频率分布直方图估计成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） ； （2）用分层抽样的方法从成绩在第 3，4，5 组的高中生中 6 名组成一个小组，若 6 人中 随 2 人担任小组负责人，求这 2 人来自 3，4 组各 1 人的概率 第 5 页（共 17 页） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，
9、每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，参数方程（其中 为参数）的曲线经过伸缩 变换得到曲线 C，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 D 的极坐标方程为 （）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程； （）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2xa| （1）当 a2，求不等式 f（x）+|x|6 的解集； （2）设 f（x）+|x1|+3x0 对 x2，1恒成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 17 页） 2020 年广
10、东省高考数学（文科）模拟试卷（年广东省高考数学（文科）模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 AxN*|x3，Bx|x24x0，则 AB（ ） A1，2，3 B1，2 C （0，3 D （3，4 【解答】解：由题意得：AxN*|x31，2，3，Bx|x24x0x|0x4， 所以 AB1，2，3， 故选：A 2（5 分） 在复平面内点 P 对应的复数 z12+i， 将点 P 绕坐标原点 O 逆时针旋转到点 Q， 则点 Q 对应的复数 z2的虚部为（ ） A B C D
11、 【解答】解：设 P 点对应的向量为， 向量绕坐标原点 O 逆时针旋转得到对应的复数为（2+i） （cosisin） （2+i） （）（）+（）i， 点 Q 对应的复数 z2的虚部为 故选：B 3 （5 分）已知 f（x）sinx，在区间任取一个实数 x0，则使得 f（x0）的 概率为（ ） A B C D 【解答】解：在区间任取一个实数 x0，使得，即 sinx0， 第 7 页（共 17 页） 解得x0 在区间任取一个实数 x0，使得概率 故选：C 4 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，且当 x0，1时，f（x） x（32x） ，则 f（）（ ） A1
12、 B C D1 【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，则有 f（x）f（x+2） ， 又由 f（x）为奇函数，则 f（x+2）f（x） ， 则有 f（x+4）f（x+2）f（x） ，即函数 f（x）是周期为 4 的周期函数， 则 f（）f（+16）f（）f（）（32）1； 故选：A 5 （5 分）已知夹角为 的向量 ， 满足 （ + ）2，且| |2| |2，则向量 ， 的 关系是（ ） A互相垂直 B方向相同 C方向相反 D成 120角 【解答】解：由 （ + ）2，可得+ 2， 即+| | |cos2， 即 22+21cos2， 所以 cos1，即 ， 所以
13、、 方向相反 故选：C 6 （5 分）已知 F1，F2是椭圆）的左，右焦点，点 M 在 E 上， MF2与 x 轴垂直，则 E 的离心率为（ ） A B C D 【解答】解：由题意可得右焦点 F2（c，0） ，MF2与 x 轴垂直，所以 xMc，设 M 在 x 第 8 页（共 17 页） 轴上方，代入椭圆可得 yM，即 M（c，） ， 由，则 tanMF1F2，在三角形 MF1F2中，tanMF1F2 ， 所以，整理可得+aca20，即+e0，e（0，1） ， 解得：e， 故选：C 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入的 n3，则输出的 S（ ） A1 B5 C14 D30 【解答】解
14、：执行程序框图可得： i0，S0； i1，S2121； 第 9 页（共 17 页） 满足 i3，执行循环体，i2，S1+225； 满足 i3，执行循环体，i3，S5+3214； 不满足 i3，退出循环，输出 S 的值 14 故选：C 8 （5 分）ABC 中，则符合条件的三角形有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：asinB，而 1， 所以有两个解， 故选：B 9 （5 分）地球上的风能取之不尽，用之不竭风能是清洁能源，也是可再生能源世界各 国致力于发展风力发电，近 10 年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发 展迅猛，在 2014 年累计装机容量就突破了
15、100GW，达到 114.6GW，中国的风力发电技 术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图根据以上信息，正确的统计结 论是（ ） A截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B10 年来全球新增装机容量连年攀升 C10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW 第 10 页（共 17 页） D截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 【解答】解：由图 1 知没有在截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值，A 错； 由图 2 知，10 年来全球新增装机容量起伏，B 错； 由图1
16、知，10年中国新增装机总容量为 13.8+18.9+17.7+13+16.1+23.2+30.8+23.4+19.7+21.1197.7， 则 10 年来中国新增装机容量平均为 19.77GW，C 错； 故选：D 10 （5 分）将曲线向左平移个单位长度，得到曲线的对称中心 为（ ） A （2k，0） ，kZ B C D 【解答】解：将曲线向左平移个单位长度， 得到 ysin（x+）+1sin（x）+1， 由xk 得 x2k+， 即函数 ysin（x）对称中心为（2k+，0） ，kZ 则sin（x）+1 的对称中心为（2k+，1） ，kZ 故选：C 11 （5 分）已知圆 M 的圆心为双曲线
17、C：1（a0，b0）虚轴的一个端点，半 径为 a+b， 若圆 M 截直线 l： ykx 所得的弦长的最小值为 2b， 则 C 的离心率为 （ ） A B C D2 【解答】解：由题意知，当 ly 轴时，圆 M 截直线 ykx 所得弦 AB 的长最小， 此时|OA|，|OM|b，|MA|， 又圆 M 的半径|MA|a+b，2ba+b，即 ab， c， 第 11 页（共 17 页） 则双曲线的离心率 e 故选：C 12 （5 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA1BC1D1中，E 为线段 AB1的中点，在平面 ABCD 中取一个点 F，连接 EF，FC1，则|EF|+|FC1|的最小值为（ ）
18、A B C D 【解答】解：将正方体扩展为长方体，点 C1关于平面 ABCD 的对称点为 C2， 连接 EC2，交平面 ABCD 于一点， 即为所求的 F，|EF|+|FC1|的最小值，就是 EC2， 连接 AC2，B1C2，计算可得|AC2|2，|B1C2|2，|AB1|2，AB1C2为直角三 角形， 所以|EC2| 故选：C 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，c22ab 且 sinAsinC， 第 12 页（共 17 页） 则 cosA 【解答】解：c22a
19、b 且 sinAsinC， 由正弦定理可得，2ac， bc2a， 则 cosA 故答案为： 14 （5 分）已知直线 ykx+1 与曲线 yx3+ax+b 切于点（1，3） ，则 b 的值为 3 【解答】解：把（1，3）代入直线 ykx+1 中，得到 k2， 求导得：y3x2+a，所以 yx13+a2，解得 a1， 把（1，3）及 a1 代入曲线方程得：11+b3， 则 b 的值为 3 故答案为 3 15 （5 分）已知等边三角形 ABC 的三个顶点都在以点 O 为球心、2 为半径的球面上若三 棱锥 OABC 的高为 1，则三棱锥 OABC 的体积为 【解答】解：设正三角形 ABC 的中心为
20、G，连接 OG，OC，GC， 则 GC 为ABC 的外接圆半径，OG平面 ABC， 球 O 的半径为 R2， 又球心 O 到平面 ABC 的距离为 1，即 OG1 在 RtOCG 中，OCR2，GC； 在ABC 中，由正弦定理可得 2GC，则 AB3 VOABCSABCOGABAC （sinACB） OG， 故答案为： 16 （5 分）已知 f（x）|x|+|x1|，若函数 g（x）f（x）a 有零点，则实数 a 的最小值 第 13 页（共 17 页） 为 1 【解答】解：函数 g（x）f（x）a 有零点，转化为 yf（x）和 ya 有交点 a 的最小值转化为 f（x）的最小值 f（x）|x|
21、+|x1|x（x1）|1， a 的最小值为 1 故答案为：1 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知等比数列an是递减数列，a1a4 （1）求数列an的通项公式； （2）若 bn（n+1）log2an，求数列的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）等比数列an是递减数列，设公比为 q， a1a4，可得 a2a3， 解得 a2，a3，满足 a2a3， 解得 a1q，则 an（）n； （2）bn（n+1）log2an（n+1） （n）n（n+1） ， ， 可得前 n 项和 Tn1+1 18 （12 分）在矩形 ABC
22、D 中，AB1，AD2，E 为线段 AD 的中点，如图 1，沿 BE 将 ABE 折起至PBE，使 BPCE，如图 2 所示 （1）求证：平面 PBE平面 BCDE； （2）求点 D 到平面 PEC 的距离 【解答】 （1）证明：在图 1 中连接 EC，则AEBCEB45，BEC90，BE CE 第 14 页（共 17 页） PBCE，PBPEP，CE平面 PBF， CE平面 BCDE，平面 PBE平面 BCDE （2）解：由（1）知，平面 PBE平面 BCDE， 取 BE 中点 O，连接 PO，则 POBE，PO平面 BCDE，且 PO ， PE1，CE，CEPE，则， 设点 D 到平面 P
23、EC 的距离为 h， 由 VPCDEVDPCE，得，得 h 点 D 到平面 PEC 的距离为 19 （12 分）已知函数 f（x）exax3+b （1）求证：当 a1 时，f（x）在（，0）上存在最小值； （2）若 x2 是 f（x）的零点且当 x2 时，f（x）0，求实数 a 的取值范围 【解答】 （1）证明：a1，f（x）exx3+b，f（x）ex3x2 ， 当 x0 时，f （x）ex6x0，故 f（x）在（，0）上单调递增， 又 f（1）e 130，f（0）10， 所以函数 f（x）存在唯一零点 x0，当 xx0时，f（x）0，函数单调递减，当 xx0 时，f（x）0，函数单调递增，
24、所以 f（x）在（，0）上存在最小值； （2）由题意可得 f（2）e28a+b0，f（x）exax3e2+8a， 若 a0，则当 x2 时，exe20，x380， f（x）（exe2）a（x38）0，满足题意； a0 时，取 c2，则 f（c）ece2ac3+8aec0， 故存在 c 使得 f（c）0 不成立，不符合题意 第 15 页（共 17 页） 综上可得，a 的范围（，0 20 （12 分）在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 A（1，0） ，B（1，0） ，且 sinA、sinC、 sinB 成等差数列 （1）求ABC 的顶点 C 的轨迹方程； （2） 直线 ykx+b与顶点C 的轨迹交
25、于 M， N 两点， 当线段 MN 的中点 P落在直线 上时，试问：线段 MN 的垂直平分线是否恒过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不 过定点，请说明理由 【解答】解： （1）在ABC 中，sinA+sinB2sinC， 根据正弦定理，可得|CB|+|CA|2|AB|4|AB|， 由椭圆定义，可知顶点 C 的轨迹为中心在原点，以 A，B 为焦点的椭圆（不包括与 x 轴 交点） ， 2a4，2c2，b2a2c23， 轨迹方程为： （x2） ； （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立方程，消去 y 得： （4k2+3）x2+8kbx+4b2120， ， ， 点 P 落在直线 y
26、上， ， ， P（，） ， 线段 MN 的垂直平分线方程为：y+（x） ，即 yx+， 第 16 页（共 17 页） 线段 MN 的垂直平分线恒过定点（0，） 21 （12 分）某学校有 40 名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足 球基础知识问答，测试员把成绩（单位：分）分组如下：第 1 组75，80） ，第 2 组80， 85） ，第 3 组85，90） ，第 4 组90，95） ，第 5 组95，100） ，得到频率分布直方图如图所 示 （1）根据频率分布直方图估计成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表） ； （2）用分层抽样的方法从成绩在第 3，4，5
27、 组的高中生中 6 名组成一个小组，若 6 人中 随 2 人担任小组负责人，求这 2 人来自 3，4 组各 1 人的概率 【解答】解： （1）因为（0.01+0.07+0.06+x+0.02）51，所以 x0.04， 所以成绩的平均值为 +0.10 87.25； （2）第 3 组学生人数为 0.0654012， 第 4 组学生人数为 0.045408， 第 5 组学生人数为 0.025404， 所以抽取的 6 人中第 3，4，5 组的人数分别为 3，2，1 第 3 组的 3 人分别记为 A1，A2，A3，第 4 组的 2 人分别记为 B1，B2，第 5 组的 1 人记 为 C， 则从中选出 2
28、 人的基本事件为共 15 个， 记 “从这 6 人中随机选出 2 人担任小组负责人， 这 2 人来自第 3， 4 组各 1 人” 为事件 M， 则事件 M 包含的基本事件为（A1，B1） ， （A1，B2） ， （A2，B1） ， （A2，B2） ， （A3，B1） ， （A3， B2） ，共 6 个， 第 17 页（共 17 页） 所以 P（M） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，参数方程（其中 为参数）的曲线经过伸缩 变换得到曲线 C，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系
29、，曲 线 D 的极坐标方程为 （）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程； （）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 【解答】解： （）参数方程（其中 为参数）的曲线经过伸缩变换 得到曲线 C：； 曲线D的极坐标方程为 转化为直角坐标方程为：； （） 设点 P （2cos， sin） 到直线 x+y30 的距离 d ， 当 sin（+）1 时，dmin 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|2xa| （1）当 a2，求不等式 f（x）+|x|6 的解集； （2）设 f（x）+|x1|+3x0 对 x2，1恒成立，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a2 时，f（x）+|x|6，即|2x2|+|x|6， 当 x0 时，原不等式化为 22xx6，得，即； 当 0x1 时，原不等式化为 22x+x6，即 x4，即 0x1； 当 x1 时，原不等式化为 2x2+x6，得，即 综上，原不等式的解集为 （2）因为 x2，1，所以 f（x）+|x1|+3x0，可化为|2xa|2x1， 所以 2x+12xa2x1，即 4x+1a1 对 x2，1恒成立， 则3a1，所以 a 的取值范围是3，1
