2020年河北省高考数学（理科）模拟试卷（4）.docx

1、 第 1 页（共 19 页） 2020 年河北省高考数学（理科）模拟试卷（年河北省高考数学（理科）模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 2 （5 分）复数 z（1+2i）2（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知焦点在 y 轴上的双曲线 C1的焦距为 102，且与双曲线 C2： 2 9 2 16 =1 的 渐近

2、线相同，则 C1的实轴长为（ ） A32 B82 C6 D8 4 （5 分）有 6 名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是 16 号，得第一名者将参 加全国数学竞赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4 号，5 号， 6 号都不可能；乙猜：3 号不可能；丙猜：不是 1 号就是 2 号；丁猜：是 4 号，5 号，6 号中的某一个以上只有一个人猜对，则第一名应该是（ ） A1 B2 C3 D4 5 （5 分）已知函数an的前 n 项和满足 Sn2n+11，则数列an的通项公式为（ ） Aan2n Ban2n Can= 3， = 1 2， 2 Dan= 3， = 1 2， 2 6

3、 （5 分）一个路口的红绿灯，红灯时间为 30 秒，绿灯时间为 30 秒，绿灯时方可通过，则 小王驾车到达该路口等待时间不超过 10 秒的概率为（ ） A1 6 B5 6 C1 3 D2 3 7 （5 分） 宋元时期， 中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶） 、 李（冶） 、杨（辉） 、 朱（世杰）四大家” ，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学教育家朱 世杰平生勤力研习九章算术 ，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承 了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法 及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知

4、识为 宗旨的算学启蒙 ，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半， 竹日自倍，松竹何日而长等如图，是源于其思想的一个程序框图若输入的 a，b 分别 为 3，1，则输出的 n（ ） 第 2 页（共 19 页） A2 B3 C4 D5 8 （5 分）在ABC 中，点 D 为边 AB 的中点，则向量 =（ ） A1 2 + 1 2 B 1 2 1 2 C 1 2 + 1 2 D1 2 1 2 9 （5 分）为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度，某 地区在 2015 年以前的年均脱贫率（脱贫的户数占当年贫困户总数的比）为 70%，2015 年开始全面实施

5、“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中 2019 年度实施的扶贫项 目， 各项目参加户数占比 （参加户数占 2019 年贫困总户数的比） 及该项目的脱贫率见表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 参加占户比 45% 45% 10% 脱贫率 96% 96% 90% 那么 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍 A7 5 B477 350 C487 350 D37 28 10 （5 分）下列叙述正确的有（ ） 集合 A（x，y）|x+y5，B（x，y）|xy1，则 AB2，3 若函数 f（x）= 4 2+3的定义域为 R，则实数 a 1 12 函数 f（x）x

6、1 ，x（2，0）是奇函数 函数 f（x）x2+3x+b 在区间（2，+）上是减函数 第 3 页（共 19 页） A B C D 11 （5 分）已知点 P 是椭圆 E： 2 16 + 2 12 =1 上的任意一点，AB 是圆 C： （x2）2+y24 的一条直径，则 的最大值是（ ） A32 B36 C40 D48 12 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 I，若存在a，bI，使得 f（x）在区间a，b上的值 域为ka，kb（kN*） ，则称 f（x）为“k 倍函数” 已知函数 f（x）log3（3xm）为“3 倍函数” ，则实数 m 的取值范围为（ ） A （0，23 9 ） B （ 2

7、3 9 ，0） C （23 9 ，+） D （，23 9 ） 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在曲线 f（x）= 3 3 4 的所有切线中，切线斜率的最小值为 14 （5 分）记等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a2+a418，S17459，则（1）na3n 的前 n 项和 Tn 15 （5 分）某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 A、B、C 三个不同 的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名 优教师，则不同的分配方案共有 种 16 （5 分）在直三棱柱 A

8、BCA1B1C1中，ABAC，AB1， = 3，BB12，则该三棱 柱的外接球表面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的外接圆半径为 R，面 积为 S，已知 A 为锐角，且（b2+c22R2）tanA4S （1）求 A； （2）若 a1，求 S 的最大值 18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，且 ADDC，ACCB，面 ABD面 BCD，AD CDBC，E 为 AC 中点，H 为 BD 中点 （）求证：ADBC； （）在直线 CH 上确定一

9、点 F，使得 AF面 BDE，求 AF 与面 BCD 所成角 第 4 页（共 19 页） 19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 M 在抛物线 y236x 上运动，点 M 在 x 轴上 的射影为 N，动点 P 满足 = 1 3 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F（1，0）作互相垂直的直线 AB，DE，分别交曲线 C 于点 A，B 和 D，E，记 OAB，ODE 的面积分别为 S1，S2，问： 1222 12:22是否为定值？若为定值，求出该定 值；若不为定值，请说明理由 20 （12 分）已知函数 f（x）exax+1 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当

10、 x1 时，函数 f（x）的图象恒在 x 轴上方，求 a 的最大值 21 （12 分）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作 的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） 通过随机抽样， 得到参加问卷调查的 1000 人的得分统计结果如下表示 组别 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 频数 25 150 200 250 225 100 50 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N（u，210） ，u 近似为这 1000 人得分的平均值（同一组数据用该组

11、数据区间的中点值表示） ，请用正态 分布的知识求 P（36Z79.50） ； （2）在（1）的条件下， “创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： （i）得分不低于 u 的可以获赠 2 次随机花费，得分低于 u 的可以获赠 1 次随机话费； （ ii）每次获赠送的随机话费和对应的概率为： 赠送的随机话费（单位：元） 20 40 第 5 页（共 19 页） 概率 0.75 0.25 现有市民甲要参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费， 求 X 的分布列与数学期望 附：参考数据与公式210 14.5，若 XN（u，2） ，则 P（uZu+）0.6827， P（

12、u2Zu+2）0.9545， P（u3Zu+3）0.9973 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23

13、设函数 f（x）|xa|+|x4|（a0） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）x 的解集； （2）若() + 1 4 恒成立，求 a 的取值范围 第 6 页（共 19 页） 2020 年河北省高考数学（理科）模拟试卷（年河北省高考数学（理科）模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知集合 Ax|x2x60，Bx|ylg（x2），则 AB（ ） A （2，3） B （2，3） C （2，2） D 【解答】解：Ax|2x3，Bx|x2， AB（2，3） 故选：A 2 （

14、5 分）复数 z（1+2i）2（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：因为 z（1+2i）21+4i+4i23+4i； = 34i； 在复平面内对应的点在第三象限； 故选：C 3 （5 分）已知焦点在 y 轴上的双曲线 C1的焦距为 102，且与双曲线 C2： 2 9 2 16 =1 的 渐近线相同，则 C1的实轴长为（ ） A32 B82 C6 D8 【解答】解：依题意可设双曲线 C1的方程为 2 16 2 9 = (0)， 则216 + 9 = 10 = 102，即 2， 所以 C1的实轴长为216 = 82 故选

15、：B 4 （5 分）有 6 名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是 16 号，得第一名者将参 加全国数学竞赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4 号，5 号， 6 号都不可能；乙猜：3 号不可能；丙猜：不是 1 号就是 2 号；丁猜：是 4 号，5 号，6 号中的某一个以上只有一个人猜对，则第一名应该是（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：由题意可得，甲和丁一定一人对，一人错， 若甲猜对，则乙错，丙错，此时第一名为 3 号，符合题意，故甲猜对 若丁猜对，则乙错，此时第一名为 3 号，与丁对矛盾，所以不符合题意，故丁猜错 第 7 页（共 19 页） 获得第一名的选手号

16、数是 3 故选：C 5 （5 分）已知函数an的前 n 项和满足 Sn2n+11，则数列an的通项公式为（ ） Aan2n Ban2n Can= 3， = 1 2， 2 Dan= 3， = 1 2， 2 【解答】解：函数an的前 n 项和满足 Sn2n+11， a1S12213， n2 时，anSnSn12n+12n2n， 数列an的通项公式为= 3， = 1 2， 2 故选：C 6 （5 分）一个路口的红绿灯，红灯时间为 30 秒，绿灯时间为 30 秒，绿灯时方可通过，则 小王驾车到达该路口等待时间不超过 10 秒的概率为（ ） A1 6 B5 6 C1 3 D2 3 【解答】解：根据题意可

17、知，总时间长度 60 秒， 到达路口时为红灯结束前的 10 秒或绿灯时，等待的时间不超过 10 秒就可以通行，即满 足条件的时间长度 30+1040 秒， 根据几何概型，所求概率 P= 40 60 = 2 3 故选：D 7 （5 分） 宋元时期， 中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶） 、 李（冶） 、杨（辉） 、 朱（世杰）四大家” ，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学教育家朱 世杰平生勤力研习九章算术 ，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承 了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法 及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写

18、成以总结和普及当时各种数学知识为 宗旨的算学启蒙 ，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半， 竹日自倍，松竹何日而长等如图，是源于其思想的一个程序框图若输入的 a，b 分别 为 3，1，则输出的 n（ ） 第 8 页（共 19 页） A2 B3 C4 D5 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a3，b1，n1 a= 9 2，b2 不满足条件 ab，执行循环体，n2，a= 27 4 ，b4， 不满足条件 ab，执行循环体，n3，a= 81 8 ，b8， 不满足条件 ab，执行循环体，n4，a= 243 16 ，b16， 满足条件 ab，退出循环，输出 n 的值为 4 故选：C

19、8 （5 分）在ABC 中，点 D 为边 AB 的中点，则向量 =（ ） A1 2 + 1 2 B 1 2 1 2 C 1 2 + 1 2 D1 2 1 2 【解答】解：如图， 点 D 为边 AB 的中点； 2 = + ； = 1 2 + 1 2 故选：A 第 9 页（共 19 页） 9 （5 分）为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度，某 地区在 2015 年以前的年均脱贫率（脱贫的户数占当年贫困户总数的比）为 70%，2015 年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中 2019 年度实施的扶贫项 目， 各项目参加户数占比 （参加户数占 2019

20、年贫困总户数的比） 及该项目的脱贫率见表： 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 参加占户比 45% 45% 10% 脱贫率 96% 96% 90% 那么 2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍 A7 5 B477 350 C487 350 D37 28 【解答】解：2019 年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的 45%96%:45%90%:10%90% 70% = 477 350倍 故选：B 10 （5 分）下列叙述正确的有（ ） 集合 A（x，y）|x+y5，B（x，y）|xy1，则 AB2，3 若函数 f（x）= 4 2+3的定义域为 R，则实数

21、 a 1 12 函数 f（x）x 1 ，x（2，0）是奇函数 函数 f（x）x2+3x+b 在区间（2，+）上是减函数 A B C D 【解答】解：集合 A，B 都为点集，故2，3表示错误，应为（2，3）； 当 a0 时，显然定义域不是 R，当 a 等于零时，分母恒不为 0， 所以1+12a0，得： 1 12，故正确； 因为定义域不关于原点对称，所以函数 f（x）不具奇偶性，故错误； 第 10 页（共 19 页） 函数的图象开口向下，对称轴为 = 3 2，所以函数在（2，+）上递减，故正确 综上所述，答案为， 故选：B 11 （5 分）已知点 P 是椭圆 E： 2 16 + 2 12 =1 上

22、的任意一点，AB 是圆 C： （x2）2+y24 的一条直径，则 的最大值是（ ） A32 B36 C40 D48 【解答】解：如图所示，设 P（x，y） ，满足 2 16 + 2 12 =1 = + ， = + ， + = 0 ， = R24， =（ + ） （ + ） = 2 + （ + ）+ = 2 4， （x2）2+y24 （x2）2+12 162 16 4 = 1 4 ( 8)24，4x4 当且仅当 x4 时，1 4 ( 8)2432 的最大值是 32 故选：A 12 （5 分）设函数 f（x）的定义域为 I，若存在a，bI，使得 f（x）在区间a，b上的值 域为ka，kb（kN*）

23、 ，则称 f（x）为“k 倍函数” 已知函数 f（x）log3（3xm）为“3 倍函数” ，则实数 m 的取值范围为（ ） 第 11 页（共 19 页） A （0，23 9 ） B （ 23 9 ，0） C （23 9 ，+） D （，23 9 ） 【解答】解：由函数() = 3(3 )为“3 倍函数” ，且函数() = 3(3 )单 调递增， 得3(3 ) = 3 3(3 ) = 3， 3 = 33 3 = 33 有两个不等的实数根，设 t3x，则问题转化为关于 t 的方程 t3tm 有两个不等的正 实数根 记 g（t）t3t（t0） ，则() = 3( 3 3 )( + 3 3 )(0)，

24、 令 g（t）0，得0 3 3 ， 当 t0 时，()= ( 3 3 ) = 23 9 ， 故可画出函数 yg（t）与 ym 的草图，如下图所示： 由图可知， ( 23 9 ，0)， (0， 23 9 )时，有两个交点，即 33x3x+m0 有两 个不等的实数根 故选：A 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）在曲线 f（x）= 3 3 4 的所有切线中，切线斜率的最小值为 4 【解答】解：() = 2+ 4 2 22 4 2 = 4， （当且仅当 = 2时取等号） 故答案为：4 14 （5 分）记等差数列an的前 n 项

25、和为 Sn，若 a2+a418，S17459，则（1）na3n 的前 n 项和 Tn 9 2 ，为偶数 9(+1) 2 ，为奇数 【解答】解：因为an是等数差数列，S1745917a9459a927，而 a2+a418， 第 12 页（共 19 页） 所以1 + 8 = 27 21+ 4 = 18，解得 d3，a13， 则 an3+（n1）33n，nN*； 数列a3n构成首项为 9，公差为 9 的等差数列； 若 n 为偶数，则= 9 + 18 27 + 36 + 9( 1) + 9 = 9 2 ， 若 n 为奇数， 则 Tn9+1827+36+9（n2）+9（n1）9n= 9(+1) 2 ，

26、故 Tn= 9 2 ，为偶数 9(+1) 2 ，为奇数 ； 故答案为： 9 2 ，为偶数 9(+1) 2 ，为奇数 15 （5 分）某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 A、B、C 三个不同 的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名 优教师，则不同的分配方案共有 81 种 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，在三个中学中任选 1 个，安排甲乙两人，有 C313 种情况， ，对于剩下的三人，每人都可以安排在 A、B、C 三个不同的乡镇中学中任意 1 个，则 剩下三人有 33327 种不同的选法， 则有 32781 种不同的分配方法；

27、故答案为：81 16 （5 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，AB1， = 3，BB12，则该三棱 柱的外接球表面积为 8 【解答】解：由题意可知直三棱柱 ABCA1B1C1中， AB1，AC= 3，BAC= 2， 可得 BC2， 设底面 ABC 的小圆半径为 r，则 22r，可得 r1； 连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径 R， 则 R=12+ (2 2) 2 = 2 外接球的表面积 S4R28； 第 13 页（共 19 页） 故答案为：8 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC

28、 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的外接圆半径为 R，面 积为 S，已知 A 为锐角，且（b2+c22R2）tanA4S （1）求 A； （2）若 a1，求 S 的最大值 【解答】解： （1）（b2+c22R2）tanA4S， (2+ 2 22) = 4 1 2 ， 即 b2+c22R22bccosA，b2+c22bccosA2R2， 由余弦定理得 a22R2， 由正弦定理得（2RsinA）22R2，得 = 2 2 ， A 为锐角， = 4； （2） = 4，由余弦定理得 2 + 2 2 2 2 = 1，2+ 2= 2 + 1， b2+c22bc，取等号的条件是 bc，

29、2+2 2 ， = 1 2 = 2 4 1 4 (2 + 1)， S 的最大值为1 4 (2 + 1) 18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，且 ADDC，ACCB，面 ABD面 BCD，AD CDBC，E 为 AC 中点，H 为 BD 中点 （）求证：ADBC； （）在直线 CH 上确定一点 F，使得 AF面 BDE，求 AF 与面 BCD 所成角 第 14 页（共 19 页） 【解答】 （）证明：ADCDBC，E 为 AC 中点，H 为 BD 中点 所以 CHBD， 又面 ABD面 BCD，CH面 ABD，CHAD， 又 ADCD，ADCH，CDCHC，AD面 BCD， ADBC

30、 （）解：在 CH 延长线上取点 F，使 FHHC， 则四边形 BCDF 为平行四边形， 又 EHAF，EH面 BDE，AF面 BDE，AF面 BDE， 又 AD面 BCD，AFD 即为 AF 与面 BCD 所成线面角， 又 DFBCAD，AFD45， 即 AF 与面 BCD 所成线面角为 45 19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 M 在抛物线 y236x 上运动，点 M 在 x 轴上 的射影为 N，动点 P 满足 = 1 3 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F（1，0）作互相垂直的直线 AB，DE，分别交曲线 C 于点 A，B 和 D，E，记 第 15

31、页（共 19 页） OAB，ODE 的面积分别为 S1，S2，问： 1222 12:22是否为定值？若为定值，求出该定 值；若不为定值，请说明理由 【解答】解： （1）设点 P（x，y） ，M（x0，y0） ， 则0 2 = 360，且 N（x0，0） ， 由 = 1 3 ，得 = 0 = 1 3 0 即0 = 0= 3，代入0 2 = 360， 得 9y236x，即 y24x 所以曲线 C 的方程为 y24x （2）由（1）知曲线 C 为抛物线，点 F（1，0）为抛物线 C 的焦点， 当直线 AB 的斜率为 0 或不存在时，均不适合题意 当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时， 设直线 AB

32、：xmy+1（m0） ，与 y24x 联立消 x 得，y24my40 由0 得 mR，且 m0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 y1+y24m，y1y24 所以| = 1+ 2+ 2 = 1+ 2+ 2 + 2 = 42+ 4 原点到直线 AB 的距离 = 1 1+2， 所以1= 1 2 1 1+2 4(2+ 1) = 21 + 2 同理可求得2= 21 + ( 1 ) 2 = 21+ 2 2 所以 1 1 2 + 1 2 2 = 1 4(1:2) + 2 4(1:2) = 1 4 所以 1 222 1 2:22 = 1 1 1 2: 1 1 2 = 4 因此 1 222

33、1 2:22为定值 4 20 （12 分）已知函数 f（x）exax+1 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）当 x1 时，函数 f（x）的图象恒在 x 轴上方，求 a 的最大值 【解答】解： （1）f（x）exax+1 第 16 页（共 19 页） f（x）exa， 当 a0 时，f（x）0 恒成立，f（x）在（，+）上单调递增； 当 a0 时，令 f（x）0，即 exa，则 xlna 当 x（，lna）时，f（x）0，f（x）在（，lna）单调递减； 当 x（lna，+）时，f（x）0，f（x）在（lna，+）单调递增， 综上所述：当 a0 时，f（x）在（，+）上单调递增 当 a0 时

34、，f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增 （2）方法一：由已知得，当 x1 时，f（x）0 恒成立， 由（1）得，当 a0 时，f（x）在（，+）上单调递增， (2 ) = 2 2 + 1 = 2 10，不合题意； 当 0ae 时，lna1 对于任意 x（，lna）有 f（x）0， 故 f（x）在（，lna）单调递减； 对于任意 x（lna，1）有 f（x）0， 故 f（x）在（lna，1）单调递增， 因此当 xlna 时，f（x）有最小值为 aalna+1a（1lna）+10 成立 当 ae 时，lna1， 对于任意 x（，1）有 f（x）0， 故 f（x）在（，1）单调递

35、减， 因为 f（x）0 恒成立，所以只需 f（1）0，即 ae+1， 综上，a 的最大值为 e+1 方法二：由已知得，当 x1 时，f（x）0 恒成立， 当 lna1 时，即 ae， 对于任意 x（，1）有 f（x）0， 故 f（x）在（，1）单调递减， 因为 f（x）0，所以 f（1）0，即 ae+1， 综上，a 的最大值为 e+1 方法三：由题设知，当 x1 时，f（x）exax+10， 当 0x1 时， +1 第 17 页（共 19 页） 设() = +1 ， 则() = 1 2 = (1)1 2 0， 故 g（x）在（0，1）单调递减， 因此，g（x）的最小值大于 g（1）e+1，所以

36、 ae+1 当 x0 时，f（x）20 成立 当 x0 时， +1 ，因为 :1 0， 所以当 ae+1 时， +1 成立 综上，a 的最大值为 e+1 21 （12 分）在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作 的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次） 通过随机抽样， 得到参加问卷调查的 1000 人的得分统计结果如下表示 组别 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 频数 25 150 200 250 225 100 50 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 Z 服从

37、正态分布 N（u，210） ，u 近似为这 1000 人得分的平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） ，请用正态 分布的知识求 P（36Z79.50） ； （2）在（1）的条件下， “创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： （i）得分不低于 u 的可以获赠 2 次随机花费，得分低于 u 的可以获赠 1 次随机话费； （ ii）每次获赠送的随机话费和对应的概率为： 赠送的随机话费（单位：元） 20 40 概率 0.75 0.25 现有市民甲要参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费， 求 X 的分布列与数学期望 附：参考数据与公式210 14.5，若

38、 XN（u，2） ，则 P（uZu+）0.6827， P（u2Zu+2）0.9545， P（u3Zu+3）0.9973 【解答】解： （1）由题意计算平均值为 第 18 页（共 19 页） 350.025+450.15+550.20+650.25+750.225+850.1+950.05 0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.7565， 由于得分 Z 服从正态分布 N（65，210） ，且210 14.5， 所以 P（36Z79.50）P（65214.5Z65+14.5） 0.9545 1 2 （0.95450.6827） 0.8185； （2）设得分不低于 分的概

39、率为 p，则 P（Z）0.5， X 的取值为 20，40，60，80； 计算 P（X20）0.50.750.375， P（X40）0.50.25+0.50.750.750.40625， P（X60）0.50.750.25+0.50.250.750.1875， P（X80）0.50.250.250.03125； 所以 X 的分布列为： X 20 40 60 80 P 0.375 0.40625 0.1875 0.03125 所以 EX200.375+400.40625+600.1875+800.0312536 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10

40、分）分） 22 （10 分） 在直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 椭圆 C 以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、 （2，0）为一个顶点直 线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） （）求椭圆 C 的极坐标方程； （）若直线 l 与椭圆 C 的交点分别为 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，求线段 MN 的长度 【解答】 解：（） 椭圆C以极坐标系中的点 （0， 0） 为中心、 点 （1， 0） 为焦点、（2， 0） 为一个顶 点 所以 c1，a= 2，b1， 所以椭圆的方程为 2 2 + 2= 1，转换

41、为极坐标方程为2= 2 1+2 （） 直线 l 的参数方程是 = 1 = 2 ， （t 为参数） 转换为直角坐标方程为 2x+y20 设交点 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 第 19 页（共 19 页） 所以 2 + 2 = 0 2 2 + 2= 1 ，整理得 9x216x+60， 所以1+ 2= 16 9 ，12= 6 9， 所以| = 1 + (2)2|x1x2|= 5(1+ 2)2 412= 10 9 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23设函数 f（x）|xa|+|x4|（a0） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）x 的解集； （2）若() + 1 4 恒成立，求 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）|x1|+|x4|= 5 2， 1 3，14 2 5， 4 ， 当 x1 时，f（x）x，无解； 当 1x4 时，由 f（x）x，可得 3x4； 当 x4 时，由 f（x）x，可得 4x5； 故不等式 f（x）x 的解集为（3，5） （2）f（x）|xa|+|x4|（xa）（x4）|a4|， |a4| 4 1 = 4 当 a0 或 a4 时，不等式显然成立； 当 0a4 时，1 1，则 1a4 故 a 的取值范围为（，0）1，+）