1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）记全集 UR，集合 Ax|x216，集合 Bx|2x2，则（UA）B（ ） A4，+） B （1，4 C1，4） D （1，4） 2 （5 分）已知复数 z= 1 1+则复数 1+在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）甲、乙两人进行 5 轮投篮训练，每轮投篮 10 次，每轮投进的次数如下： 甲：7，7，9，8，8；乙：4
2、，7，7，7，9 若甲的中位数为 a，乙的众数为 b，则 a+b（ ） A14 B15 C16 D17 4 （5 分）已知曲线 C1：ysinx，2： = (1 2 3)，则下面结论正确的是（ ） A把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 D 把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标不变
3、， 再把得到的曲线向左平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 5 （5 分）设 a60.4，blog0.40.5，clog50.4，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcba Ccab Dbca 6 （5 分）在ABC 中，BAC120，AB2，AC4，D 是边 BC 上一点，DB2DC， 则 是（ ） A8 B8 C32 3 D 32 3 7 （5 分）如图，在圆心角为直角半径为 2 的扇形 OAB 区域中，M，N 分别为 OA，OB 的 中点，在 M，N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以 OA，OB 为直径 的圆，在扇形 OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基
4、站信号的概率是（ ） 第 2 页（共 16 页） A1 2 B1 2 1 C2 4 D1 8 （5 分）设 F1，F2分别为双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左，右焦点，若双曲线右支 上存在点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于 2a，则该双曲线的渐近线 方程为（ ） A3x4y0 B4x3y0 C3x5y0 D5x4y0 9 （5 分） 已知函数 f （x） （3sinx4cosx） |cosx|在 xx0处取得最大值， 则 sin2x0 （ ） A4 5 B3 5 C 4 5 D 3 5 10 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某
5、四面体的三视图，则该四 面体的外接球表面积为（ ） A323 3 B32 C36 D48 11 （5 分）已知奇函数 f（x）满足 f（x）f（x+4） ，当 x（0，1）时，f（x）2x，则 f （log212）（ ） A 4 3 B23 32 C3 4 D 3 8 12 （5 分）已知 F1，F2分别为椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)的左右焦点，P 为椭圆上的点， O 为坐标原点，且1 2 = 0，|1 | = 3|2 |，则该椭圆的离心率为（ ） A 10 5 B 10 4 C 10 3 D 10 2 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题
6、5 分）分） 第 3 页（共 16 页） 13 （5 分）曲线() = 在点（0，f（0） ）处的切线方程为 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 a= 3b，AB= 2，则 角 C 15 （5 分）在正项等比数列an中，a2a4a6a825，则 a1a9 16 （5 分）从边长为 10cm16cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个 无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 cm3 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn已知 S36，S
7、642 （1）求 an，Sn； （2）证明 Sn+1，Sn，Sn+2是成等差数列 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为梯形，ABCD，ABBC，AB2CD 2BC2，PD底面 ABCD，PD2，E 是 PA 的中点 （）求证：平面 EBD平面 PAD； （）求点 C 到平面 EBD 的距离 19 （12 分）假设关于某市的房屋面积 x（平方米）与购房费用 y（万元） ，有如下的统计数 据： x（平方米） 80 90 100 110 y（万元） 42 46 53 59 （1）根据上述提供的数据在答卷相应位置画出散点图，并用最小二乘法求出 y 关于 x 的 线性回归方
8、程 =bx+a； （假设已知 y 对 x 呈线性相关） （2）若在该市购买 120 平方米的房屋，估计购房费用是多少？ 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 M 在抛物线 y236x 上运动，点 M 在 x 轴上 的射影为 N，动点 P 满足 = 1 3 第 4 页（共 16 页） （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F（1，0）作互相垂直的直线 AB，DE，分别交曲线 C 于点 A，B 和 D，E，记 OAB，ODE 的面积分别为 S1，S2，问： 1222 12+22是否为定值？若为定值，求出该定 值；若不为定值，请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（
9、x）x2axlnx，g（x）（1 ）x （）若函数 f（x）恰有一个极值点，求实数 a 的取值范围： （） 当 a （1， 0） ， 且 x （0， +） 时， 证明： () g （x） ， （常数 e2.718， e 是自然对数的底数） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，参数方程 = = （其中 为参数）的曲线经过伸缩 变换： = 2 = 得到曲线 C，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 （）求曲线 C 的普通方程及曲
10、线 D 的直角坐标方程； （）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+2|+|x1| （1）求不等式 f（x）x+8 的解集； （2）记函数 yf（x）的最小值为 k，若 a，b，c 是正实数，且 3 + 3 2 + 1 = 1，求 证 a+2b+3c9 第 5 页（共 16 页） 2020 年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（年湖南省高考数学（文科）模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分
11、） 1 （5 分）记全集 UR，集合 Ax|x216，集合 Bx|2x2，则（UA）B（ ） A4，+） B （1，4 C1，4） D （1，4） 【解答】解：全集 UR，集合 Ax|x216x|x4 或 x4， 集合 Bx|2x2x|x1， UAx|4x4， （UA）Bx|1x41，4） 故选：C 2 （5 分）已知复数 z= 1 1+则复数 1+在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解：因为 z= 1 1+ 1+ = 1 (1+)2 = 1 2 = (1) 2 = 1 2 1 2i； 复数 1+在复平面内对应的点（ 1 2， 1 2）位于第三
12、象限 故选：C 3 （5 分）甲、乙两人进行 5 轮投篮训练，每轮投篮 10 次，每轮投进的次数如下： 甲：7，7，9，8，8；乙：4，7，7，7，9 若甲的中位数为 a，乙的众数为 b，则 a+b（ ） A14 B15 C16 D17 【解答】解：甲组数据为：7，7，9，8，8，它的中位数是 a8； 乙组数据为：4，7，7，7，9，它的众数为 b7； 所以 a+b15 故选：B 4 （5 分）已知曲线 C1：ysinx，2： = (1 2 3)，则下面结论正确的是（ ） A把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 第 6
13、页（共 16 页） B把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 C把 C1上各点的横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 D 把 C1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍， 纵坐标不变， 再把得到的曲线向左平移 3个 单位长度，得到曲线 C2 【解答】解：结合函数的图象的变换可知，把 ysinx 上纵坐标不变，各点横坐标伸长到 原来的 2 倍可得，ysin1 2 ， 再把，ysin1 2 向左平移1 3 个单位可得 ysin1 2 ( + 1 3 ) =sin（1 2 +
14、 1 6 ）sin （1 2 + 1 2 1 3 ）cos（1 2 1 3 ） 综上可知，D 正确 故选：D 5 （5 分）设 a60.4，blog0.40.5，clog50.4，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aabc Bcba Ccab Dbca 【解答】解：a60.41，0blog0.40.5log0.40.41，clog50.40， 则 a，b，c 的大小关系是 cba 故选：B 6 （5 分）在ABC 中，BAC120，AB2，AC4，D 是边 BC 上一点，DB2DC， 则 是（ ） A8 B8 C32 3 D 32 3 【解答】解：根据题意，在ABC 中，BAC120，AB2
15、，AC4，则 =2 4cos1204； 又由 D 是边 BC 上一点，DB2DC，则 = 1 3 + 2 3 ， 又由 = ， 则 =（1 3 + 2 3 ） （ ）= 2 3 21 3 21 3 = 32 3 ； 故选：C 第 7 页（共 16 页） 7 （5 分）如图，在圆心角为直角半径为 2 的扇形 OAB 区域中，M，N 分别为 OA，OB 的 中点，在 M，N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以 OA，OB 为直径 的圆，在扇形 OAB 内随机取一点，则能够同时收到两个基站信号的概率是（ ） A1 2 B1 2 1 C2 4 D1 【解答】解：OA 的中点是 M，则CM
16、O90，半径 r2， 则扇形 OAB 的面积 S= 1 2 2 22=， 半圆 OAC 的面积 s1= 1 2 ，SOAC= 1 2 2 1 =1 S弓形OC= 1 2 (1 2 1)， 两个圆的弧 OC 围成的阴影部分的面积为1 21， 能够同时收到两个基站信号的概率 P= 1 21 = 1 2 1 故选：B 8 （5 分）设 F1，F2分别为双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左，右焦点，若双曲线右支 上存在点 P，满足|PF2|F1F2|，且 F2到直线 PF1的距离等于 2a，则该双曲线的渐近线 方程为（ ） 第 8 页（共 16 页） A3x4y0 B4x3y0 C3x5y0
17、D5x4y0 【解答】解：设 PF1的中点为 H，连接 HF2， 由|PF2|F1F2|2c，|PF1|PF2|2a， 可得|PF1|2c+2a， 在直角三角形 HF1F2中，|F1F2|2c，|HF2|2a，|F1H|c+a， 可得 4c2（c+a）2+（2a）2，化为 3c5a， 则 b= 2 2=(5 3 )2 2= 4 3a， 可得双曲线的渐近线方程为 y4 3x， 故选：B 9 （5 分） 已知函数 f （x） （3sinx4cosx） |cosx|在 xx0处取得最大值， 则 sin2x0 （ ） A4 5 B3 5 C 4 5 D 3 5 【解答】解：当 cosx0 时，f（x）
18、3sinxcosx4cos2x= 3 2 2 22 2， ()=(3 2) 2+ (2)2 2 = 1 2； 当 cosx0 时，f（x）3sinxcosx+4cos2x= 3 22 + 22 + 2， 可得() = 5 2 (2 + ) + 2，其中 = 4 5， = 3 5（ 为锐角） ， ()=( 3 2) 2+ 22+ 2 = 9 2 1 2， 此时，2x0+2k，2x02k， 20= (2 ) = = 3 5 故选：D 10 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四 第 9 页（共 16 页） 面体的外接球表面积为（ ） A323 3 B32
19、 C36 D48 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为三棱锥体 ABCD： 如图所示： 设外接球的半径为 r， 则： （2r）242+42+42，解得 r212， 所以：S41248 故选：D 11 （5 分）已知奇函数 f（x）满足 f（x）f（x+4） ，当 x（0，1）时，f（x）2x，则 f （log212）（ ） A 4 3 B23 32 C3 4 D 3 8 【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（x）f（x+4） ，则函数 f（x）是周期为 4 的 周期函数， f（log212）f（log23+24）f（2log23）f（2log23）2 2 log23= 4 3
20、故选：A 12 （5 分）已知 F1，F2分别为椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)的左右焦点，P 为椭圆上的点， O 为坐标原点，且1 2 = 0，|1 | = 3|2 |，则该椭圆的离心率为（ ） 第 10 页（共 16 页） A 10 5 B 10 4 C 10 3 D 10 2 【解答】解：点 P 是椭圆 2 2 + 2 2 = 1(0)上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右 焦点，已知F1PF290，且|PF1|3|PF2|，如图： 设|PF2|m，则|PF1|3m， 则：4 = 2 92+ 2= 42， 可得 4c2= 5 2 2， 解得 e= = 10 4 故选：B 二填空题（
21、共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）曲线() = 在点（0，f（0） ）处的切线方程为 yx+1 【解答】解：f（0）1，故切点为（0，1） ， 又() = ， f（0）1， 切线为 yx+1 故答案为：yx+1 14 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 a= 3b，AB= 2，则 角 C 6 【解答】解：由正弦定理可得， = ， 第 11 页（共 16 页） 3 (+1 2) = ，化简可得 tanB= 3 3 ， = 6，A= 1 2 + 6 = 2 3 ， = 6 故答案为“ 6 15 （5
22、 分）在正项等比数列an中，a2a4a6a825，则 a1a9 5 【解答】解：在正项等比数列an中，a2a4a6a825= (1 9)2，则 a1a95， 故答案为：9 16 （5 分）从边长为 10cm16cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个 无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 144 cm3 【解答】解：设小正方形的变长为 xcm（0x5） ， 则盒子的容积 V（102x） （162x）x4x352x2+160x（0x5） ， V12x2104x+1604（3x20） （x2） ， 当 0x2 时，V0，当 2x5 时，V0， x2 时 V 取得极大值，也为最大值，等于（
23、104） （164）2144（cm3） ， 故答案为：144 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）已知等比数列an的前 n 项和为 Sn已知 S36，S642 （1）求 an，Sn； （2）证明 Sn+1，Sn，Sn+2是成等差数列 【解答】 （1）解：由题意设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则 q1， 则 1(13) 1 = 6 1(16) 1 = 42 ，从而 1+q37，即 q38， q2，a12， = (2)，= (2)1(2) 1(2) = 2 3 1 (2)； （2）证明：由（1）知，+1+ +2
24、= 2 3 1 (2)+1 2 3 1 (2)+2 = 2 3 2 (2)+1 (2)+2 = 2 3 2 + 2 (2) 4 (2) = 4 3 1 (2) = 第 12 页（共 16 页） 2， Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为梯形，ABCD，ABBC，AB2CD 2BC2，PD底面 ABCD，PD2，E 是 PA 的中点 （）求证：平面 EBD平面 PAD； （）求点 C 到平面 EBD 的距离 【解答】证明： （）PD底面 ABCD，BD底面 ABCD， PDBD 由题意，ABCD，且 AB2CD2，BCD 是等腰直
25、角三角形， BD= 2 = 2，AD= 2，AD2+BD2AB2，ADBD， 又PDADD，且 PD平面 PAD，AD平面 PAD，BD平面 PAD， BD平面 EBD，平面 EBD平面 PAD 解： （）由（）得平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， 作 EHAD，垂足为 H，EH平面 ABCD， E 是 PA 的中点，EH= 1 2 = 1，DE= 6 2 ， 三棱锥 EBCD 的体积为= 1 3 = 1 3 1 2 1 = 1 6 设点 C 到面 EBD 的距离为 h，由（）知，BDED， EBD 的面积为= 1 2 = 1 2 6 2 2 = 3 2 VCEBD=
26、 1 3 = 3 6 ， VEBCDVCEBD，即 3 6 = 1 6，h= 3 3 点 C 到平面 EBD 的距离为 3 3 19 （12 分）假设关于某市的房屋面积 x（平方米）与购房费用 y（万元） ，有如下的统计数 第 13 页（共 16 页） 据： x（平方米） 80 90 100 110 y（万元） 42 46 53 59 （1）根据上述提供的数据在答卷相应位置画出散点图，并用最小二乘法求出 y 关于 x 的 线性回归方程 =bx+a； （假设已知 y 对 x 呈线性相关） （2）若在该市购买 120 平方米的房屋，估计购房费用是多少？ 【解答】解： （1）散点图（3 分） （1）
27、 = 95， = 50代入公式求得 b0.58，a5.1； 线性回归方程为 = 0.58 5.1（9 分） （2）将 x120 代入线性回归方程得 = 64.5（万元） 线性回归方程 = 0.58 5.1； 估计购卖 120 平方米的房屋时，购买房屋费用是 64.5（万元） （13 分） 20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动点 M 在抛物线 y236x 上运动，点 M 在 x 轴上 的射影为 N，动点 P 满足 = 1 3 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F（1，0）作互相垂直的直线 AB，DE，分别交曲线 C 于点 A，B 和 D，E，记 OAB，ODE 的
28、面积分别为 S1，S2，问： 1222 12+22是否为定值？若为定值，求出该定 值；若不为定值，请说明理由 【解答】解： （1）设点 P（x，y） ，M（x0，y0） ， 则0 2 = 360，且 N（x0，0） ， 由 = 1 3 ，得 = 0 = 1 3 0 即0 = 0= 3，代入0 2 = 360， 得 9y236x，即 y24x 所以曲线 C 的方程为 y24x （2）由（1）知曲线 C 为抛物线，点 F（1，0）为抛物线 C 的焦点， 当直线 AB 的斜率为 0 或不存在时，均不适合题意 当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时， 第 14 页（共 16 页） 设直线 AB：xmy
29、+1（m0） ，与 y24x 联立消 x 得，y24my40 由0 得 mR，且 m0， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 则 y1+y24m，y1y24 所以| = 1+ 2+ 2 = 1+ 2+ 2 + 2 = 42+ 4 原点到直线 AB 的距离 = 1 1+2， 所以1= 1 2 1 1+2 4(2+ 1) = 21 + 2 同理可求得2= 21 + ( 1 ) 2 = 21+ 2 2 所以 1 1 2 + 1 2 2 = 1 4(1+2) + 2 4(1+2) = 1 4 所以 1 222 1 2+22 = 1 1 1 2+ 1 1 2 = 4 因此 1 222 1 2+
30、22为定值 4 21 （12 分）已知函数 f（x）x2axlnx，g（x）（1 ）x （）若函数 f（x）恰有一个极值点，求实数 a 的取值范围： （） 当 a （1， 0） ， 且 x （0， +） 时， 证明： () g （x） ， （常数 e2.718， e 是自然对数的底数） 【解答】解： （）f（x）x2axlnx， （x0） ，f（x）2xa（lnx+1） ， 函数 f（x）恰有一个极值点，方程 2xa（lnx+1）0 在（0，+）恰有一个变号 零点 2 = +1 在（0，+）恰有一个变号零点 令 g（x）= +1 ，则 g（x）= 2 可得 x（0，1）时，g（x）0，函数 g
31、（x）单调递增， x（1，+）时，g（x）0，函数 g（x）单调递减 函数 g（x）草图如下， 第 15 页（共 16 页） 可得2 0，a0 实数 a 的取值范围为（，0） ： （）要证明：() g（x）证明 xalnx（1 ）x 证明 alnx ，即证明 lnx 令 h（x）lnx 则 h（x）= 1 1 = ， x（0，e）时，h（x）0，函数 h（x）递增，x（e，+）时，h（x）0，h（x） 递减 h（x）h（e）0，即原不等式成立 要证明 g（x） ，即证明 2 1 a（1，0） ，1 1 + 1 故只需证明 2 1 + 1 即可 令 G（x）= 2，则 G（x）= (2) 3 x
32、（0，2）时，G（x）0，函数 G（x）递增，x（2，+）时，G（x）0，函 数 G（x）递减 2 2 2 4 ，又 2 4 1 + 1 ，故原不等式成立 综上，() g（x） ， 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，参数方程 = = （其中 为参数）的曲线经过伸缩 变换： = 2 = 得到曲线 C，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 第 16 页（共 16 页） （）求曲线 C 的普通方程及曲线 D 的直角坐标方程； （
33、）设 M、N 分别为曲线 C 和曲线 D 上的动点，求|MN|的最小值 【解答】 解：（） 参数方程 = = （其中 为参数） 的曲线经过伸缩变换： = 2 = 得 到曲线 C： 2 4 + 2= 1； 曲线 D 的极坐标方程为( + 4) = 310 2 转化为直角坐标方程为： + 35 = 0； （）设点 P（2cos，sin）到直线 x+y35 =0 的距离 d= |2+35| 2 = |5(+)35| 2 ， 当 sin（+）1 时，dmin= 10 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x+2|+|x1| （1）求不等式 f（x）x+8 的解集； （2）记函数 yf（x）的最小值为 k，若 a，b，c 是正实数，且 3 + 3 2 + 1 = 1，求 证 a+2b+3c9 【解答】解： （1） ：f（x）= 2 1， 2 3， 21 2 + 1， 1 ， 则 f（x）x+8 可得2 1 + 8 2 或3 + 8 21或 2 + 1 + 8 1 ， 解得 x3 或或 x7， 故不等式的解集为（，37，+） ； 证明： （2）由（1）可得函数的最小值为 3，即 k3， 1 + 1 2 + 1 3 =1， a+2b+3c（a+2b+3c） （1 + 1 2 + 1 3）（1+1+1） 29，当且仅当 a2b3c 时等号 成立，
