1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年上海市年上海市高考数学模拟试卷（高考数学模拟试卷（2） 一填空题（共一填空题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1（5 分） 已知实数集合1， 2， 3， x的最大元素等于该集合的所有元素之和， 则 x 2 （5 分） 22 32+1 = 3 （5 分）已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： （x2） 2+（y3）21 交于 M， N 两点若 =12，其中 O 为坐标原点，则|MN| 4 （5 分） （x2+x） （x2）4的展开式中，x3的系数为 5（5分） 设Sn是等差数列an的前n项和，
2、 若m为大于1的正整数， 且1 2 + +1= 1， S2m111，则 m 6 （5 分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的 概率为 7 （5 分）函数 ysin2（2x）1 的最小正周期是 8（5 分） 设实数 x、 y 满足条件 + 4 0 0 1 ， 则 z （x3） 2+ （y2）2 的最小值为 9 （5 分）棱长为 a 的正四面体 ABCD 与正三棱锥 EBCD 的底面重合，若由它们构成的多 面体 ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥 EBCD 的内切球半径为 10 （5 分）在ABC 中，已知（ac） （sinA+sinC）（ab）si
3、nB，则角 C 11 （5 分）已知 x0，y0，且 x+3yxy，若 t2+tx+3y 恒成立，则实数 t 的取值范围是 12 （5 分）已知函数 f（x）2lnx1，g（x）a|xm|，若存在实数 a0 使 yf（x）g （x）在（1 ，e）上有 2 个零点，则 m 的取值范围为 二选择题（共二选择题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）1i，则复数 z 的共轭复数在复平面 上对应的点为（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，0） D （0，1） 14 （5 分） “m1，2“是
4、“lnm1”成立的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 15 （5 分）如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） 第 2 页（共 17 页） A2 992 3 B2 1002 3 C2 1012 3 D2 1022 3 16 （5 分）如图，已知 F 为抛物线 y22x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两 侧， =3（其中 O 为坐标原点） ，则ABO 与BFO 面积之差的最小值是 （ ） A2 B3 C35 D10 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1
5、C1中，AA1ABAC2，ABAC，M 是棱 BC 的中点，点 P 在线段 A1B 上 （1）若 P 是线段 A1B 的中点，求直线 MP 与直线 AC 所成的角的大小； （2）是否存在点 P，使得直线 MP 与平面 ABC 所成角的大小为 6，若存在，求出线段 BP 的长度；若不存在，请说明理由 18 （14 分）王老师在做折纸游戏，现有一张边长为 1 的正三角形纸片 ABC，将点 A 翻折后 恰好落在边 BC 上的点 F 处，折痕为 DE，设 BDx，BFy 第 3 页（共 17 页） （1）求 x、y 满足的关系式； （2）求 x 的取值范围 19 （16 分）数列an是首项为 1，公差
6、不为 0 的等差数列，且 a1，a2，a5成等比数列；数 列bn的前 n 项和为 Sn，且 b12，+1= 2 3 + 1（nN*） （）求 an，bn； （）若 cnanbn，且数列cn的前 n 项和为 Tn，证明：Tn9 20 （14 分） 已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1 （ab0） 的长轴长是焦距的 2 倍， 且过点(1， 3 2) （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 P（x，y）为椭圆 C 上的动点，F 为椭圆 C 的右焦点，A、B 分别为椭圆 C 的左、 右顶点，点 P满足 =（4x，0） 证明：| | | | 为定值； 设 Q 是直线 l： x4 上的动点， 直线 AQ
7、、 BQ 分别另交椭圆 C 于 M、 N 两点， 求|MF|+|NF| 的最小值 21 （14 分）设函数 f（x）ax2+b，其中 a，b 是实数 （）若 ab0，且函数 ff（x）的最小值为 2，求 b 的取值范围； （）求实数 a，b 满足的条件，使得对任意满足 xyl 的实数 x，y，都有 f（x）+f（y） f（x）f（y）成立 第 4 页（共 17 页） 2020 年上海市年上海市高考数学模拟试卷（高考数学模拟试卷（2） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一填空题（共一填空题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1（5 分） 已知实数集合1
8、， 2， 3， x的最大元素等于该集合的所有元素之和， 则 x 3 【解答】解：因为实数集合1，2，3，x的最大元素等于该集合的所有元素之和， 所以 1+2+3+xx（无解）或者 1+2+3+x3， 解之得 x3 故答案为3 2 （5 分） 22 32+1 = 2 3 【解答】解： 22 32+1 = 2 3+ 1 2 = 2 3 故答案为：2 3 3 （5 分）已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： （x2） 2+（y3）21 交于 M， N 两点若 =12，其中 O 为坐标原点，则|MN| 2 【解答】解：设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，将 ykx+1 代入
9、方程（x2）2+（y3） 21， 整理得： （1+k2）x24（1+k）x+70， x1+x2= 4(1+) 1+2 ，x1x2= 7 1+2，y1y2（kx1+1） （kx2+1）k 2x1x2+k（x1+x2）+1， =x1x2+y1y2（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1= 4(1+) 1+2 + 8， 由题设可得4(1+) 1+2 + 8 = 12，解得 k1，l 的方程为 yx+1， 圆心 C（2，3）在 l 上，|MN|2 故答案为：2 4 （5 分） （x2+x） （x2）4的展开式中，x3的系数为 8 【解答】 解： 因为 （x2+x）（x2） 4 （x2+x） 4 0
10、4+ 4 1 3 (2)+ 4 2 2 (2)2+ 4 3 (2)3+ 4 4 (2)4， 故 x3的系数为4 3 (2)3+ 4 2 (2)2= 8 故答案为：8 5（5分） 设Sn是等差数列an的前n项和， 若m为大于1的正整数， 且1 2 + +1= 1， S2m111，则 m 6 第 5 页（共 17 页） 【解答】解：依题意，am1+am+12am， 由1 2 + +1= 1，可得 2am 2 =1， 整理，得 2 2am+10， 解得 am1 S2m1= (21)(1+21) 2 = (21)2 2 =（2m1） 2am 2m1， S2m111，2m111， 解得 m6 故答案为：
11、6 6 （5 分）学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲被选中的 概率为 2 3 【解答】解：学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 基本事件总数 n= 3 2 =3， 甲被选中包含的基本事件个数 m= 1 121 =2， 则甲被选中的概率为 P= = 2 3 故答案为：2 3 7 （5 分）函数 ysin2（2x）1 的最小正周期是 2 【解答】解ysin2（2x）1= 14 2 1= 4 2 1 2 T= 2 4 = 2 故答案为： 2 8（5 分） 设实数 x、 y 满足条件 + 4 0 0 1 ， 则 z （x3） 2+ （y2）2 的最小值
12、为 1 2 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域， 则 z 的几何意义为区域内点 P 到点 D（3，2）的距离平方 由图象可知，当过点 D 作直线 x+y40 的垂线时， 第 6 页（共 17 页） 此时 DP 最小，|DP|= |3+24| 12+12 = 2 2 ， 则 z|DP|2= 1 2， 故答案为：1 2 9 （5 分）棱长为 a 的正四面体 ABCD 与正三棱锥 EBCD 的底面重合，若由它们构成的多 面体 ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥 EBCD 的内切球半径为 326 12 a 【解答】解：棱长为 a 的正四面体 ABCD 与正三棱锥 EBCD 的底面重合，
13、 由它们构成的多面体 ABCDE 的顶点均在一球的球面上， 多面体 ABCDE 的外接球即正四面体 ABCD 的外接球， 且其外接球的直径为 AE， 由题意得正四面体 ABCD 的高为 6 3 ，外接球的半径为 6 4 ， 设正三棱锥 EBCD 的高为 h， AE= 6 2 a= 6 3 + ，h= 6 6 ， 底面BCD 的边长为 a，EBECED= 2 2 ， 则正三棱锥 EBCD 的三条侧棱两两垂直， 由题意得正棱锥 EBCD 的表面积 S= 3+3 4 2， 体积 VEBCD= 1 3 1 2 2 2 2 2 2 2 = 2 24 3， 设正三棱锥 EBCD 的内切球的半径为 r， 第
14、 7 页（共 17 页） 由1 3 = 2 24 3，得 r= 326 12 故答案为：326 12 a 10 （5 分）在ABC 中，已知（ac） （sinA+sinC）（ab）sinB，则角 C 3 【解答】解：由正弦定理化简（ac） （sinA+sinC）（ab）sinB，得： （ac） （a+c） b（ab） ， 整理得：a2c2abb2，即 a2+b2c2ab， 由余弦定理得 cosC= 2+22 2 = 1 2， C 为三角形内角， C= 3 故答案为： 3 11 （5 分）已知 x0，y0，且 x+3yxy，若 t2+tx+3y 恒成立，则实数 t 的取值范围是 （4，3） 【解
15、答】解：x0，y0，且 x+3yxy，1 + 3 = 1， x+3y= ( + 3)(1 + 3 ) = 6 + + 9 6 + 2 9 =12 当且仅当 = 9 ，即 x6，y2 时取等号， x+3y 的最小值为 12 t2+tx+3y 恒成立，t2+t（x+3y）min， t2+t12，4t3， t 的取值范围为（4，3） 故答案为： （4，3） 12 （5 分）已知函数 f（x）2lnx1，g（x）a|xm|，若存在实数 a0 使 yf（x）g （x）在（1 ，e）上有 2 个零点，则 m 的取值范围为 （ 2 ，） 【解答】解：令 f（x）2lnx10 得 x= ，且在（1 ，e）上递
16、增 对于 g（x）a|xm|，函数图象关于 xm 对称，且开口向上 当 me 时，显然只有一个交点，不符题意（图） ； 当 时，总能找到 a，使得两函数有两个交点（图） ； 第 8 页（共 17 页） 当 m时，yg（x）的图象的右半部分至多与 yf（x）在 x 轴上方的图象产生两 个交点此时只需研究 g（x）a（xm）与 yf（x）的图象即可 事实上，此时过点（m，0）做 yf（x）的切线，只要是切点落在（，）内即可（图 ） 设切点为（x0，2lnx01） ，且 k= 2 0，所以切线方程为： (20 1) = 2 0 ( 0)，将（m，0）代入整理得： = 3 20 00，0 (，)， =
17、 1 2 0，令= 0得0= ， 易知时，m0，故 = 3 2 0 00在(，)递减 ()()，即 2 综上可知，当 ( 2，)时， 存在实数 a0 使 yf（x）g（x）在（1 ，e）上有 2 个零点 故答案为： （ 2 ，） 第 9 页（共 17 页） 二选择题（共二选择题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z（1+i）1i，则复数 z 的共轭复数在复平面 上对应的点为（ ） A （1，0） B （0，1） C （1，0） D （0，1） 【解答】解：由 z（1+i）1i， 得 = 1 1+ = (
18、1)2 (1+)(1) = ， = 复数 z 的共轭复数在复平面上对应的点为 （0， 1） ， 故选：D 14 （5 分） “m1，2“是“lnm1”成立的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【解答】解：lnm10me， 1，2（0，e） ， m1，2“是“lnm1”成立的充分非必要条件， 故选：A 15 （5 分）如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） 第 10 页（共 17 页） A2 992 3 B2 1002 3 C2 1012 3 D2 1022 3 【解答】解：通过分析知该算法是求和 2cos+22cos2+23cos3+2100co
19、s100， 由于2cos+22cos2+23cos3+2100cos1002+2223+24 +2100= 2(2)2100 1(2) = 21012 3 故选：C 16 （5 分）如图，已知 F 为抛物线 y22x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两 侧， =3（其中 O 为坐标原点） ，则ABO 与BFO 面积之差的最小值是 （ ） A2 B3 C35 D10 【解答】解：设直线 AB 的方程为：xty+m，点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 直线 AB 与 x 轴的交点为 M（m，0） ， 由 = + 2= 2 ，得 y22ty2m0， 根据韦达定理有 y1y2
20、2m，y1+y22t， =3，x1x2+y1y23， 结合 y122x1及 y222x2，得（y1y2）2+4y1y2120， 点 A，B 位于 x 轴的两侧，y1y26，故 m3 SABO= 1 2 3 (1 2)， SBFO= 1 2 1 2 (2)， 第 11 页（共 17 页） ABO 与BFO 面积之差： SABOSBFO= 1 2 3 (1 2) 1 2 1 2 (2) = 3 2 1 5 42 = 3 2y1+ 15 21 23 2 1 15 21 =35 当且仅当3 2 1= 15 21时，取等号 故ABO 与BFO 面积之差的最小值是 35 故选：C 三解答题（共三解答题（共
21、 5 小题，满分小题，满分 70 分）分） 17 （12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，ABAC，M 是棱 BC 的中点，点 P 在线段 A1B 上 （1）若 P 是线段 A1B 的中点，求直线 MP 与直线 AC 所成的角的大小； （2）是否存在点 P，使得直线 MP 与平面 ABC 所成角的大小为 6，若存在，求出线段 BP 的长度；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1ABAC2， ABAC，M 是棱 BC 的中点，P 是线段 A1B 的中点， 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，AA1为 z 轴
22、， 建立空间直角坐标系， A（0，0，0） ，B（2，0，0） ，C（0，2，0） ， M（1，1，0） ，A1（0，0，2） ，P（1，0，1） ， =（0，1，1） ， =（0，2，0） ， 设直线 MP 与直线 AC 所成的角为 ， 则 cos= | | | | | = 2 22 = 2 2 ， 第 12 页（共 17 页） = 4， 直线 MP 与直线 AC 所成的角为 4 （2）假设存在点 P（a，b，c） ， = 1 ， （01） ， 使得直线 MP 与平面 ABC 所成角的大小为 6， 则（a2，b，c）（2，0，2） ，解得 P（22，0，2） ， =（12，1，2） ，平面
23、ABC 的法向量 =（0，0，1） ， 直线 MP 与平面 ABC 所成角的大小为 6， sin 6 = | | | | | = 2 (12)2+1+42， 由 01，解得 = 51 4 BP= 51 4 4 + 4 = 102 2 存在点 P，使得直线 MP 与平面 ABC 所成角的大小为 6，线段 BP 的长度为 102 2 18 （14 分）王老师在做折纸游戏，现有一张边长为 1 的正三角形纸片 ABC，将点 A 翻折后 恰好落在边 BC 上的点 F 处，折痕为 DE，设 BDx，BFy （1）求 x、y 满足的关系式； （2）求 x 的取值范围 第 13 页（共 17 页） 【解答】解
24、： （1）如图连接 DF，由点 A 翻折后恰好落在边 BC 上的点 F 处，折痕为 DE， 可得 DE 垂直平分 AF，则 ADDF， 由等边三角形 ABC 的边长为 1，且 BDx，可得 AD1x，DF1x， 在BDF 中，B60， 由余弦定理可得 DF2BD2+BF22BDBFcosB 即（1x）2x2+y22xy1 2， 化简可得 y2xy+2x10， 即 x、y 满足的关系式为 y2xy+2x10； （2）由（1）可得 y2xy+2x10， 解得 x= 21 2 ， 设 y2t，由 0y1，可得2t1， 则 yt+2， x= (+2)21 =t+ 3 +44（t+ 3 ）42 3 =4
25、23， 当且仅当 t3，即 y23（0，1） ，等号成立， 则 x 的取值范围是（0，423 19 （16 分）数列an是首项为 1，公差不为 0 的等差数列，且 a1，a2，a5成等比数列；数 列bn的前 n 项和为 Sn，且 b12，+1= 2 3 + 1（nN*） （）求 an，bn； （）若 cnanbn，且数列cn的前 n 项和为 Tn，证明：Tn9 【解答】 （）设数列an的公差为 d（d0） ， 第 14 页（共 17 页） 由 a1，a2，a5成等比数列，得（1+d）21（1+4d） ，解得 d0（舍去）或 d2 则 an2n1 b12，+1= 2 3 + 1， 当 n1 时，
26、1+ 2= 2 31 + 1，解得2= 1 3； 当 n2 时，= 2 31 + 1，有+1 = 2 3 ( 1)， 即+1= 2 3（n2） ， 又2 2 3 1， 则= 2， = 1 1 3 (2 3) 2， 2； （）证明：由（）得= 2， = 1 21 3 (2 3) 2， 2 则= 2 + 3 3 1 + 5 3 2 3 + + 23 3 (2 3) 3 + 21 3 (2 3) 2， 两边乘以2 3，得 2 3 = 4 3 + 1 2 3 + 5 3 (2 3) 2 + + 23 3 (2 3) 2 + 21 3 (2 3) 1 两式相减得1 3 = 3 4 3 + 2 3 2 3
27、 + (2 3) 2 + + (2 3) 2 21 3 (2 3) 1 = 5 3 + (2 3) 21(2 3) 2 12 3 21 3 (2 3) 1 = 3 2+5 3 (2 3) 1 = 9 (2 + 5) (2 3) 19 得证 20 （14 分） 已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1 （ab0） 的长轴长是焦距的 2 倍， 且过点(1， 3 2) （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 P（x，y）为椭圆 C 上的动点，F 为椭圆 C 的右焦点，A、B 分别为椭圆 C 的左、 右顶点，点 P满足 =（4x，0） 证明：| | | | 为定值； 设 Q 是直线 l： x4 上的动点
28、， 直线 AQ、 BQ 分别另交椭圆 C 于 M、 N 两点， 求|MF|+|NF| 的最小值 第 15 页（共 17 页） 【解答】解： （1）由题意可得 a2c， 1 2 + 9 42 =1，a2b2+c2， 解得：a24，b23， 所以椭圆的方程为： 2 4 + 2 3 =1； （2）由（1）可得 A（2，0） ，B（2，0） ，F（1，0） ， 因为 P（x，y）为椭圆 C 上的动点，点 P满足 =（4x，0） ，所以 2 4 + 2 3 =1； 所以| |4x| | |= ( 1)2+ 2=( 1)2+ 3(1 2 4 ) =1 4 2 2 + 4 =1 2( 4) 2 = 1 2|
29、x 4|， 所以：| | | | = |4| 1 2|4| =2， 所以可证| | | | 为定值 2 由题意设 Q（4，t） ，所以 kAQ= 4+2 = 6，所以直线 AQ 的方程为：y= 6（x+2） ， 联立直线 AQ 与椭圆的方程： = 6( + 2) 32+ 42 12 = 0 整理可得： （27+t2）x2+4t2+4t2108， 所以2xM= 42108 27+2 ，所以 xM= 22+54 27+2 ， 同理 kBQ= 42 = 2，所以直线 BQ 的方程：y= 2（x2） ， = 2 ( 2) 32+ 42 12 = 0 整理可得： （3+t2）x24t2x+4t2120，
30、 所以 2xN= 4212 3+2 ，所以 xN= 226 3+2 ， 因为 x4 为右准线，所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率 e= 1 2，可得： |MF|+|NF|= 1 2 （4xM） + 1 2 （4xN） = 1 2 （8xMxN） 4 + 2 =4 （ 2+27 27+2 + 23 3+2） 4 48 2+81 2+30 4 48 281+30 =3， 当且仅当 t481，即 t3 时取等号 所以|MF|+|NF|的最小值为 3 第 16 页（共 17 页） 21 （14 分）设函数 f（x）ax2+b，其中 a，b 是实数 （）若 ab0，且函数 ff（x）的最小值为
31、 2，求 b 的取值范围； （）求实数 a，b 满足的条件，使得对任意满足 xyl 的实数 x，y，都有 f（x）+f（y） f（x）f（y）成立 【解答】解： （）f（x）ax2+b， ff（x）a3x4+2a2bx2+ab2+b， 设 tx2， 当 ab0，且二次函数 ya3t2+2a2bt+ab2+b 的对称轴 t= 0， 当 a0 时，不满足条件 a0，b0， 当 t0 时，函数 ff（x）取得最小值，即 ab2+b2， 从而 ab= 2 0，得 0b2， 即 b 的取值范围是（0，2） ； （）xyl，y= 1 ， 则由 f（x）+f（y）f（x）f（y）得 f（x）+f（1 ）f（x）f（ 1 ） ， 即 a（x2+ 1 2）+2bab（x 2+1 2）+a 2+b2， 令 tx2+ 1 2，则 t2， 则 a（1b）ta2+b22b 恒成立， 需要 a（1b）0， 此时 ya（1b）t 在2，+）上为增函数， 2a（1b）a2+b22b， 第 17 页（共 17 页） 即（a+b）22（a+b）0，得 0a+b2， 则实数 a，b 满足的条件为(1 ) 0 + 2
