1、 第 1 页（共 15 页） 2020 年天津市高考数学模拟试卷（年天津市高考数学模拟试卷（1） 一选择题（共一选择题（共 9 小题，满分小题，满分 27 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）若集合 Ax|x21，Bx|0x2，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x0 Cx|1x2 Dx|1x2 2 （3 分）设 xR，则“|x1|1”是“x24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （3 分）设 a0.50.1，blog40.1，c0.40.1，则（ ） Aacb Bbca Cbac Dcab 4 （3 分）在ABC 中，若 c
2、2，b2a，且 cosC= 1 4，则 a 等于（ ） A2 B1 2 C1 D1 3 5 （3 分）从集合A，B，C，D，E，F和1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取 2 个元素 排成一排（字母和数字均不能重复） 则每排中字母 C 和数字 4，7 至少出现两个的不同 排法种数为（ ） A85 B95 C2040 D2280 6 （3 分）将函数 f（x）cos（x+ 6）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2倍，纵坐标不 变，得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的一个减区间是（ ） A 6， 3 B 3， 5 3 C 6， 11 6 D 12， 5 12 7 （3 分）设点 A
3、（x，y）是函数 f（x）sin（x） （x0，）图象上任意一点，过点 A 作 x 轴的平行线，交其图象于另一点 B（A，B 可重合） ，设线段 AB 的长为 h（x） ，则函 数 h（x）的图象是（ ） A B 第 2 页（共 15 页） C D 8 （3 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜 率为24 7 的直线与双曲线在第一象限的交点为 A， 若(21 + 2 ) 1 = 0，则此双曲线的 标准方程可能为（ ） Ax2 2 12 =1 B 2 3 2 4 = 1 C 2 16 2 9 = 1 D 2 9 2 16 = 1 9 （3
4、分）ABC 中，点 D 在 AB 上，满足 =2 若 = ， = ，则 =（ ） A1 3 + 2 3 B2 3 + 1 3 C3 5 + 4 5 D4 5 + 3 5 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 10 （3 分）设复数1= + 3 2 ，2= 3 2 ，其中 i 是虚数单位，若2 1为纯虚数，则实 数 a ；|z1| 11 （3 分）已知（x21）8a0+a1x2+a2x4+a8x16，则 a3 （结果用数字表示） 12 （3 分）平行四边形 ABCD 中，ABD 是腰长为 2 的等腰直角三角形，ABD90， 现将ABD 沿
5、BD 折起，使二面角 ABDC 大小为2 3 ，若 A，B，C，D 四点在同一球 面上，则该球的表面积为 13 （3 分） 一个袋中装有 10 个大小相同的黑球、 白球和红球 已知从袋中任意摸出 2 个球， 至少得到一个白球的概率是7 9， 则袋中的白球个数为 ， 若从袋中任意摸出 3 个球， 记得到白球的个数为 ，则随机变量 的数学期望 E 14 （3 分）若两个正实数 x，y 满足1 + 4 =1，且不等式 x+ 4 m23m 有解，则实数 m 的 取值范围是 15 （3 分）函数 f（x）|x2|ln（x+2）1 的零点个数为 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 16已知函数()
6、 = + 32 3 2 第 3 页（共 15 页） （1）若 x0， 2，求函数 f（x）的值域； （2）在ABC 中，已知 C 为锐角，( 2) = 1 2，AB3，A= 4，求边 BC 的长 17如图，三棱锥 DABC 中，ABAC2，BAC90，DBDC= 5，DA3， （1）求证：DABC （2）求二面角 DBCA 的余弦值 （3） 棱AC上是否存在点E， 使DE与平面BCD所成角的正弦值为1 6？若存在， 求出 的值； 若不存在，试说明理由 18已知数列an满足 an+12an+2n（nN*，R） ，且 a11 （I）证明数列* 2+是等差数列； （II）求数列an的前 n 项和 S
7、n 19分别过椭圆 E： 2 2 + 2 2 =1（ab0）左右焦点 F1，F2的动直线 l1，l2交于 P 点，与 椭圆 E 分别交于 A、 B 与 C、 D 不同四点， 直线 OA、 OB、 OC、 OD 的斜率分别为 k1、 k2、 k3、k4，且满足 k1+k2k3+k4，已知当 l1与 x 轴重合时，|AB|23，|CD|= 43 3 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设点 E1，E2的坐标分别为（1，0） ， （1，0） ，证明|PE1|+|PE2|为定值 20已知函数() = 2+1 + 1 （）求 f（x）的单调区间； （）当 x0 时，0f（x）1，求 a 的取值范围 第 4
8、 页（共 15 页） 2020 年天津市高考数学模拟试卷（年天津市高考数学模拟试卷（1） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 9 小题，满分小题，满分 27 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）若集合 Ax|x21，Bx|0x2，则 AB（ ） Ax|0x1 Bx|1x0 Cx|1x2 Dx|1x2 【解答】解：集合 Ax|x21x|1x1， Bx|0x2， ABx|1x2 故选：D 2 （3 分）设 xR，则“|x1|1”是“x24”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：|x1|10x2， x2
9、42x2， （0，2）（2，2） ， “|x1|1”是“x24”的充分不必要条件， 故选：A 3 （3 分）设 a0.50.1，blog40.1，c0.40.1，则（ ） Aacb Bbca Cbac Dcab 【解答】解：yx0.1在（0，+）内是增函数，a0.50.1，c0.40.1， 0.501ac0， blog40.1log410， acb 故选：A 4 （3 分）在ABC 中，若 c2，b2a，且 cosC= 1 4，则 a 等于（ ） A2 B1 2 C1 D1 3 【解答】解：在ABC 中，c2，b2a，且 cosC= 1 4， 由余弦定理得：cosC= 1 4 = 2+22 2
10、 = 2+424 42 ， 第 5 页（共 15 页） 解得：a1 故选：C 5 （3 分）从集合A，B，C，D，E，F和1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取 2 个元素 排成一排（字母和数字均不能重复） 则每排中字母 C 和数字 4，7 至少出现两个的不同 排法种数为（ ） A85 B95 C2040 D2280 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，先在两个集合中选出 4 个元素，要求字母 C 和数字 4，7 至少出现两个， 若字母 C 和数字 4，7 都出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 1 个字母，有 5 种选 法， 若字母 C 和数字 4 出现，需要在字母 A
11、，B，D，E，F 中选出 1 个字母，在 1、2、3、5、 6、8、9 中选出 1 个数字，有 5735 种选法， 若字母 C 和数字 7 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 1 个字母，在 1、2、3、5、 6、8、9 中选出 1 个数字，有 5735 种选法， 若数字 4、7 出现，需要在字母 A，B，D，E，F 中选出 2 个字母，有 C5210 种选法， 则有 5+35+35+1085 种选法， ，将选出的 4 个元素全排列，有 A4424 种情况， 则一共有 85242040 种不同排法； 故选：C 6 （3 分）将函数 f（x）cos（x+ 6）图象上所有点的横坐标缩短为
12、原来的 1 2倍，纵坐标不 变，得到函数 g（x）的图象，则函数 g（x）的一个减区间是（ ） A 6， 3 B 3， 5 3 C 6， 11 6 D 12， 5 12 【解答】解：将函数 f（x）cos（x+ 6）图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1 2倍，纵 坐标不变， 则 ycos（2x+ 6） ， 即 g（x）cos（2x+ 6） ， 由 2k2x+ 6 2k+，kZ， 第 6 页（共 15 页） 得 k 12 xk+ 5 12，kZ， 即函数的单调递减区间为k 12，k+ 5 12，kZ， 当 k0 时，单调递减区间为 12， 5 12， 故选：D 7 （3 分）设点 A（x，y）是
13、函数 f（x）sin（x） （x0，）图象上任意一点，过点 A 作 x 轴的平行线，交其图象于另一点 B（A，B 可重合） ，设线段 AB 的长为 h（x） ，则函 数 h（x）的图象是（ ） A B C D 【解答】解：f（x）sin（x）sinx， （x0，） 设 A（x，sinx） ，则 A，B 关于 x= 2对称， 此时 B（x，sinx） ， 当 0x 2时，|AB|xx2x， 当 2 x 时，|AB|x（x）2x， 则对应的图象为 D， 故选：D 第 7 页（共 15 页） 8 （3 分）已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜 率为
14、24 7 的直线与双曲线在第一象限的交点为 A， 若(21 + 2 ) 1 = 0，则此双曲线的 标准方程可能为（ ） Ax2 2 12 =1 B 2 3 2 4 = 1 C 2 16 2 9 = 1 D 2 9 2 16 = 1 【解答】解：若（21 + 2 ） 1 =0，即为若（21 + 2 ） （21 + 2 ）0， 可得2 2= 21 2，即有|AF2|F2F1|2c， 由双曲线的定义可得|AF1|2a+2c， 在等腰三角形 AF1F2中，tanAF2F1= 24 7 ， cosAF2F1= 7 25 = 42+42(2+2)2 222 ， 化为 3c5a， 即 a= 3 5c，b=
15、4 5c， 可得 a：b3：4，a2：b29：16 故选：D 9 （3 分）ABC 中，点 D 在 AB 上，满足 =2 若 = ， = ，则 =（ ） A1 3 + 2 3 B2 3 + 1 3 C3 5 + 4 5 D4 5 + 3 5 【解答】解： + = + = ， 第 8 页（共 15 页） + 1 2 = = ，解得3 = 2 + = 2 3 + 1 3 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 10 （3 分）设复数1= + 3 2 ，2= 3 2 ，其中 i 是虚数单位，若2 1为纯虚数，则实 数 a 3 2 ；|z
16、1| 6 2 【解答】解：1= + 3 2 ，2= 3 2 ， 2 1 = ; 3 2 : 3 2 = (; 3 2 )2 (: 3 2 )(; 3 2 ) = 2;3 4 2:3 4 3 2:3 4 为纯虚数， 2 3 4 = 0 0 ，解得 a= 3 2 ， 则|1| =2+ 3 4 =3 4 + 3 4 = 6 2 故答案为： 3 2 ； 6 2 11 （3 分）已知（x21）8a0+a1x2+a2x4+a8x16，则 a3 56 （结果用数字表示） 【解答】解：（x21）8a0+a1x2+a2x4+a8x16，展开式的通项公式为 Tr+1= 8 x16 2r （1）r，令 162r6，
17、求得 r5， 则 a3= 8 5 （1）356， 故答案为：56 12 （3 分）平行四边形 ABCD 中，ABD 是腰长为 2 的等腰直角三角形，ABD90， 现将ABD 沿 BD 折起，使二面角 ABDC 大小为2 3 ，若 A，B，C，D 四点在同一球 面上，则该球的表面积为 20 【解答】解：取 AD，BC 的中点分别为 O1，O2， 过O1作面ABD的垂线与过O2作面BCD的垂线， 两垂线交点O即为所求外接球的球心， 取 BD 中点 E，连结 O1E，O2E，则O1EO2即为二面角 ABDC 的平面角，且 O1E O2E1， 连 OE，在 RtO1OE 中，1 = 3， 在 RtO1
18、OA 中，1 = 2，得 = 5，即球半径为5， 第 9 页（共 15 页） 球面积为4 (5)2=20 故答案为：20 13 （3 分） 一个袋中装有 10 个大小相同的黑球、 白球和红球 已知从袋中任意摸出 2 个球， 至少得到一个白球的概率是7 9，则袋中的白球个数为 5 ，若从袋中任意摸出 3 个球， 记得到白球的个数为 ，则随机变量 的数学期望 E 3 2 【解答】解：依题意，设白球个数为 x，至少得到一个白球的概率是7 9，则全是黑球的概 率为2 9， 所以10 2 10 2 = 2 9，即（10x） （9x）20，解得 x5， 依题意，随机变量 H（10，5，3） ，所以 E=
19、35 10 = 3 2， 故答案为：5，3 2 14 （3 分）若两个正实数 x，y 满足1 + 4 =1，且不等式 x+ 4 m23m 有解，则实数 m 的 取值范围是 （，1）（4，+） 【解答】解：正实数 x，y 满足1 + 4 =1， 则 x+ 4 =（1 + 4 ） （x+ 4）2+ 4 + 4 2+24 4 =4， 当且仅当 y4x8，x+ 4取得最小值 4 由 x+ 4 m23m 有解，可得 m23m4， 解得 m4 或 m1 故答案为： （，1）（4，+） 15 （3 分）函数 f（x）|x2|ln（x+2）1 的零点个数为 3 【解答】解：f（x）|x2|ln（x+2）1 的
20、零点即方程|x2|ln（x+2）10 的根， 第 10 页（共 15 页） 也就是两个函数 yln（x+2）与 y= 1 |2|图象交点的横坐标， 作出两函数的图象如图： 当 x0 时，ln（x+2）ln2 1 2 = 1 |2|， 两函数图象在 x2 时有 3 个交点，即函数 f（x）|x2|ln（x+2）1 的零点个数 为 3 故答案为：3 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 16已知函数() = + 32 3 2 （1）若 x0， 2，求函数 f（x）的值域； （2）在ABC 中，已知 C 为锐角，( 2) = 1 2，AB3，A= 4，求边 BC 的长 【解答】 （本题满分为
21、14 分） 解： （1）() = + 32 3 2 = 1 2sin2x+ 3(12) 2 3 2 sin（2x 3） ，4 分 x0， 2，2x 3 3， 2 3 ， 3 2 sin（2x 3）1，即函数 f（x）的值域是 3 2 ，17 分 （2）由（1）可知( 2) = 1 2 =sin（C 3） ， C 为锐角， C 3（ 3， 6） ， C 3 = 6，可得：C= 6 10 分 第 11 页（共 15 页） 在 ABC 中，AB3，A= 4， 由正弦定理可得： = ，即： 3 6 = 4 ，12 分 解得：BC3214 分 17如图，三棱锥 DABC 中，ABAC2，BAC90，DB
22、DC= 5，DA3， （1）求证：DABC （2）求二面角 DBCA 的余弦值 （3） 棱AC上是否存在点E， 使DE与平面BCD所成角的正弦值为1 6？若存在， 求出 的值； 若不存在，试说明理由 【解答】证明： （1）取 BC 中点为 M，连结 DM，AM， ABAC，DBDC，BCAM，BCDM， 又 AMDMM，BC平面 ADM， AD平面 ADM，DABC 解： （2）由题意 ABAC，以 A 为原点，AC 为 x 轴，AB 为 y 轴， 过 A 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（0，0，0） ，B（0，2，0） ，C（2，0，0） ，设 D（a，b，c
23、） ， （c0） 则 2= 2+ ( 2)2+ 2= 5 2= ( 2)2+ 2+ 2= 5 2= 2+ 2+ 2= 9 ，解得 a2，b2，c1， 即 D（2，2，1） ， =（2，2，0） ， =（2，0，1） ， 设平面 DCB 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = 2 2 = 0 = 2 + = 0 ，取 x1，得 =（1，1，2） ， 平面 ABC 的一个法向量 =（0，0，1） ， cos ， = | |= 6 3 ， 第 12 页（共 15 页） 二面角 DBCA 的平面角为钝角， 二面角 DBCA 的余弦值为 6 3 （3）若存在这样的点 E，设 = ， （01） ，则 =（
24、2，0，0） ， = =（22，2，1） ， 由（2）得平面 DCB 的一个法向量为 =（1，1，2） ， DE 与平面 BCD 所成角 的正弦值为1 6， sin|cos ， |=| | | | | = 1 6，即 |2;2| 6(2;2)2:5 = 1 6， 解得 = 1 2或 = 3 2（舍） ， 棱 AC 上存在这样的点 E，此时 = 1 2 18已知数列an满足 an+12an+2n（nN*，R） ，且 a11 （I）证明数列* 2+是等差数列； （II）求数列an的前 n 项和 Sn 【解答】解： （I）证明：根据题意，数列an满足 an+12an+2n， 在等式两端同时除以 2n
25、+1， 可得+1 2+1 = 2 + 1 2， 即+1 2+1 2 = 1 2， 故数列* 2+是等差数列 （II）根据题意，a11，则1 21 = 1 2， 则数列* 2+是首项为 1 2，公差为 1 2的等差数列， 第 13 页（共 15 页） 2 = 1 2 + ( 1) 1 2 = 2， = 2;1 数列an的前 n 项和：Sn120+22+322+n2n 1， 则 2Sn121+223+324+n2n， 可得：Sn1+21+22+23+2n 1n2n=12 12 n2n（1n）2n1， 则= 1 + ( 1)2 19分别过椭圆 E： 2 2 + 2 2 =1（ab0）左右焦点 F1，
26、F2的动直线 l1，l2交于 P 点，与 椭圆 E 分别交于 A、 B 与 C、 D 不同四点， 直线 OA、 OB、 OC、 OD 的斜率分别为 k1、 k2、 k3、k4，且满足 k1+k2k3+k4，已知当 l1与 x 轴重合时，|AB|23，|CD|= 43 3 （1）求椭圆 E 的方程； （2）设点 E1，E2的坐标分别为（1，0） ， （1，0） ，证明|PE1|+|PE2|为定值 【解答】解： （1）当 l1与 x 轴重合时，k1+k2k3+k40，即 k3k4， 即有 l2垂直于 x 轴，可得|AB|2a23，|CD|= 22 = 43 3 ， 解得 a= 3，b= 2， 可得
27、椭圆的方程为 2 3 + 2 2 =1； （2）证明：当直线 l1或 l2斜率不存在时，P 点坐标为（1，0）或（1，0） 当直线 l1、l2斜率存在时，设斜率分别为 m1，m2 l1的方程为 ym1（x+1） ，l2的方程为 ym2（x1） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，C（x3，y3） ，D（x4，y4） ， 联立 = 1( + 1) 22+ 32= 6，得到（2+3m1 2）x2+6 m12x+3m1260， x1+x2= 612 2+312，x1x2= 3126 2+312 同理 x3+x4= 622 2+322，x3x4= 3226 2+322 （*） k1= 1 1
28、= 1(1+1) 1 =m1+ 1 1，k2m1+ 1 2， k3m2 2 3，k4m2 2 4 又满足 k1+k2k3+k4 第 14 页（共 15 页） 2m1+m11:2 12 =2m2m23:4 34 ， 把（*）代入上式化为：2m1+m1;21 2 12;2 =2m2m2 222 22;2 （m1m2） 化为 m1m22 设点 P（x，y） ，则 :1 ;1 = 2， （x1） 化为 2 2 +x21 由当直线 l1或 l2斜率不存在时，P 点坐标为（1，0）或（1，0）也满足， 点 P 在椭圆上，则存在点 E1，E2的坐标分别为（1，0） ， （1，0） ， |PE1|+|PE2|
29、2 2为定值 20已知函数() = 2+1 + 1 （）求 f（x）的单调区间； （）当 x0 时，0f（x）1，求 a 的取值范围 【解答】解： （）f（x）= (+1)(2) ， 当 a0 时，f（x）= (+1 )(2) ， 令 f（x）0，解得：x1= 1 ，x22，且 x1x2， 当 x（， 1 ）（2，+）时，f（x）0， 当 x（ 1 ，2）时，f（x）0， 故 f（x）在（ 1 ，2）递增，在（， 1 ） ， （2，+）递减， 当 a0 时，f（x）= 2 ， 故 f（x）在（，2）递增，在（2，+）递减， 当 1 2 a0 时，令 f（x）0，解得：x12，x2= 1 且 x
30、1x2， 故 f（x）在（，2） ， （ 1 ，+）递增，在（2， 1 ）递减， 当 a= 1 2时，f（x）= (2)2 2 0， 故 f（x）在 R 递增， 当 a 1 2时，x1= 1 ，x22 且 x1x2， 第 15 页（共 15 页） 故 f（x）在（， 1 ） ， （2，+）递增，在（ 1 ，2）递减； （）由 f（0）0 及（）知： a0 时，f（2）= 4+1 2 +11，不合题意， 1 2a0 时，a 需满足条件： ()极大值= (2) = 4+1 2 + 1 1() ()极小值= ( 1 ) = 1 1 1;20() 1 时，() 1() ， 由（i）得 a 1 4， 由（iii）知，当 x 1 时，ax 2+x10，a (1 1 2) 2 1 4， 故 a 1 4， 故 1 2 a 1 4， a= 1 2时，f（x）在0，+）递增，f（x）f（0）0， f（x）= (1)2+1 2 +11， 故 a= 1 2， a 1 2时，f（x）极大值f（ 1 ）1 1 1， f（x）极大值f（2）= 4+1 2 +10， 由中（iii）知 f（x）1，解得：a 2+1 4 ， 故 2+1 4 a 1 2， 综上，a 的范围是 2+1 4 ， 1 4
