1、 第 1 页（共 17 页） 2020 年天津市高考数学模拟试卷（年天津市高考数学模拟试卷（4） 一选择题（共一选择题（共 9 小题，满分小题，满分 27 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x10，则R（AB）（ ） A （，1）3，+） B （，13，+） C （，1）（3，+） D （1，3） 2 （3 分）设 aR，bR则“ab”是“|a|b|”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3 （3 分）某校数学兴趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩（满分 100 分）进行数据 分析，
2、将全部的分数按照50，60） ，60，70） ，70，80） ，80，90） ，90，100分成 5 组， 得到如图所示的频率分布直方图若成绩在 80 分及以上的学生人数为 360，估计该校高 二年级学生人数约为（ ） A1200 B1440 C7200 D12000 4 （3 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 5 （3 分） 若直线 xy+10 与圆 （xa） 2+y22 有公共点， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A3，1 B1，3 第 2 页（共 17 页） C3，1 D （，11，+） 6（3分） 已知函数f （x） = 1 2 (; )， 设
3、= (0.312)， = (1 2 0.31)， = (22)， 则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Babc Cbca Dbac 7 （3 分）已知函数 f（x）Acos（x+） （0，0）的部分图象如图所示，则 f（x）的解析式为（ ） A() = 2( 5 12) B() = 2(2 3) C() = 2(2 5 6 ) D() = 2(3 5 6 ) 8 （3 分）已知点 A 是抛物线 y24x 与双曲线 2 3 2 2 =1（b0）的一个交点，若抛物线 的焦点为 F，且|AF|4，则点 A 到双曲线两条渐近线的距离之和为（ ） A26 B4 C23 D2 9 （3 分）对任
4、意实数 k（0， 1 16） ，曲线 y1+与曲线 ykx+lnx 的交点共有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 10 （3 分）设 aR，a2a2+（a+1）i 为纯虚数（i 为虚数单位） ，则 a 11 （3 分） （1+ax2） （x3）5的展开式中 x7系数为 2，则 a 的值为 12 （3 分）在四面体 ABCD 中，ABC 和ABD 都是边长为 22的等边三角形，该四面体 的外接球表面积为 12，则该四面体 ABCD 的体积为 13 （3 分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各
5、射击三次，甲三次射击命中率均为4 5；乙 第一次射击的命中率为7 8，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为 3 4， 如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为1 2乙若射中，则不再继续射击则 甲三次射击命中次数 5 的期望为 ，乙射中的概率为 第 3 页（共 17 页） 14 （3 分）已知存在正数 a，b 使不等式4:2 2 2:3 2(1 )成立，则 x 的取值范 围 15 （3 分）若ABC 中，AB= 2，BC8，B45，D 为ABC 所在平面内一点且满 足（ ） ( ) = 4，则 AD 长度的最小值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 75 分
6、）分） 16 （14 分）已知在ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 17 （15 分）已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 1 的正方体 （1）求异面直线 BC1与 B1D1所成的角 （2）求直线 BC1与平面 ABCD 所成的角 （3）求二面角 C1BDA 的正切值 18 （15 分）已知数列an的前 n 项和 Sn= 2+ 2 数列bn满足：b1b22，bn+1bn2n+1 （nN*） （）求数列an，bn的通项公式； （）求 1 (2;1 1 2)( ) 19 （15 分）如
7、图，在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C： 2 2 + 2 3 =1（ab0）过点（22， 1 3） ，离心率为 22 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 D 为 x 轴上一点，过点 D 作 x 轴的垂线与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，再过点 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E，求BDE 与BDN 的面积之比 第 4 页（共 17 页） 20 （16 分）已知函数 G（x）ln（1+mx）mx，g（x）ax2，其中 0m1 （）当 m1 时，设 f（x）G（x）g（x） ，存在区间1，2 (0， 1 3，使得x1， x2t1，t2，都有(1);(2) 1;2 0，求实数 a 的取
8、值范围； （）若函数 g（x）ax2的图象在（1，g（1） ）处的切线与直线 x+y10 平行，试讨 论函数 f（x）G（x）g（x）的零点个数 第 5 页（共 17 页） 2020 年天津市高考数学模拟试卷（年天津市高考数学模拟试卷（4） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 9 小题，满分小题，满分 27 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）已知集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x10，则R（AB）（ ） A （，1）3，+） B （，13，+） C （，1）（3，+） D （1，3） 【解答】解：A（1，3） ，B1，+） ， AB1，3） ，
9、 R（AB）（，1）3，+） ， 故选：A 2 （3 分）设 aR，bR则“ab”是“|a|b|”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：若 ab，取 a1，b2，则|a|b|，则“ab”是“|a|b|”不充分条 件； 若|a|b|，取 a2，b1，则 ab，则“|a|b|”是ab”不必要条件； 则 aR，bR “ab”是“|a|b|”的既不充分也不必要条件， 故选：D 3 （3 分）某校数学兴趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩（满分 100 分）进行数据 分析，将全部的分数按照50，60） ，60，70） ，70，80） ，8
10、0，90） ，90，100分成 5 组， 得到如图所示的频率分布直方图若成绩在 80 分及以上的学生人数为 360，估计该校高 二年级学生人数约为（ ） A1200 B1440 C7200 D12000 第 6 页（共 17 页） 【解答】解：由频率分布直方图得成绩在 80 分以上的频率为：1（0.01+0.02+0.04） 100.3， 根据统计学的知识估计成绩在 80 分以上的人数约为：0.3n360n1200 故选：A 4 （3 分）函数() = (1 +1) 的部分图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：当 x时， 0:， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）0+，排
11、除 C， D； 因为 x+时， +， 1 +1 = 1 2 +1 1:，所以 f（x）+，因此排除 B， 故选：A 5 （3 分） 若直线 xy+10 与圆 （xa） 2+y22 有公共点， 则实数 a 的取值范围是 （ ） A3，1 B1，3 C3，1 D （，11，+） 【解答】解：根据题意，圆（xa）2+y22 的圆心为（a，0） ，半径 r= 2， 圆心到直线 xy+10 的距离 d= |+1| 2 ， 若直线 xy+10 与圆（xa）2+y22 有公共点，则必有 d 2，即|:1| 2 2， 变形可得：|a+1|2， 解可得：3x1，即 a 的取值范围为3，1； 故选：C 6（3分）
12、 已知函数f （x） = 1 2 (; )， 设 = (0.312)， = (1 2 0.31)， = (22)， 则 a，b，c 的大小关系是（ ） Aacb Babc Cbca Dbac 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：函数 f（x）= 1 2 (; )，f（x）= 1 2 ( ;) = f（x） ，f（x）为 奇函数 yex在 R 上为增函数，f（x）在 R 上为减函数 af（0.312） ， = (1 2 0.31) = (20.31)，cf（2ln2）f（ln4） 20.3100.31214， bac 故选：D 7 （3 分）已知函数 f（x）Acos（x+） （0，0）的部
13、分图象如图所示，则 f（x）的解析式为（ ） A() = 2( 5 12) B() = 2(2 3) C() = 2(2 5 6 ) D() = 2(3 5 6 ) 【解答】解：易知 A2 3 4 = 5 12 ( 3) = 3 4 ，T， = 2 = 2 (2 5 12 + ) = 1， 5 6 + = 2， ，又0， k0 时，= 5 6 符合题意 故 f（x）2cos（2x 5 6 ） 故选：C 8 （3 分）已知点 A 是抛物线 y24x 与双曲线 2 3 2 2 =1（b0）的一个交点，若抛物线 的焦点为 F，且|AF|4，则点 A 到双曲线两条渐近线的距离之和为（ ） A26 B4
14、 C23 D2 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点为 F，且 FA4，可得 F（1，0） ，则 A（3，23） ， 第 8 页（共 17 页） 点 A 是抛物线 y24x 与双曲线 2 3 2 2 =1（b0）一个交点，a= 3， 可得9 3 12 2 = 1，解得 b= 6，则渐近线方程为 y2x， 不妨令 A（3，23） ， 则点 A 到这两条渐近线的距离之和 d= |3223| 3 + |32+23| 3 =26， 故选：A 9 （3 分）对任意实数 k（0， 1 16） ，曲线 y1+与曲线 ykx+lnx 的交点共有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【解答】解：y1+
15、与曲线 ykx+lnx 的交点即为： 1 + = + 根，即为 = + + 1的根，令 m= ，则 xm2， 问题即转化为研究 f（m）2lnm 与 g（m）km2+m+1， （m0）的交点个数问题 g（m）的对称轴为 = 1 2 8，开口向下，在（0， 1 2）递增，在（ 1 2 ，+ ）上递减， 且图象向右向下无限延伸 ()= ( 1 2) = 1 + 1 4，( 1 2) = 2 1 2， 令 t= 1 2 8， 所以( 1 2) ( 1 2) = 1 + 1 2 2，(8) 令 h（t）= 1 + 1 2 2，t8 () = 1 2 2 = 4 2 0， h（t）在（8，+）是增函数，
16、 h（t）h（8）52ln80 ( 1 2)( 1 2)， 因此同一坐标系做出函数 f（m） ，g（m）图象如下： 所以两函数图象只有一个交点，即曲线 y1+与曲线 ykx+lnx 的交点共有 1 个 故选：B 第 9 页（共 17 页） 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 10 （3 分）设 aR，a2a2+（a+1）i 为纯虚数（i 为虚数单位） ，则 a 2 【解答】解：a2a2+（a+1）i 为纯虚数， 2 2 = 0 + 1 0 ，解得 a2 故答案为：2 11 （3 分） （1+ax2） （x3）5的展开式中 x7系数为 2
17、，则 a 的值为 2 【解答】解：（1+ax2） （x3）5（1+ax2） （x515x4+90x3270x2+405x243）的展 开式中 x7系数为 a2， 则 a 的值为 2， 故答案为：2 12 （3 分）在四面体 ABCD 中，ABC 和ABD 都是边长为 22的等边三角形，该四面体 的外接球表面积为 12，则该四面体 ABCD 的体积为 8 3 【解答】解：如图， 设三角形 ABD 的中心为 G，三角形 ABC 的中心为 H， 第 10 页（共 17 页） 分别过 G 与 H 作平面 ABD 与平面 ABC 的垂线相交于 O， 则 O 为四面体 ABCD 的外接球的球心，连接 OA
18、， 由该四面体的外接球表面积为 12，得 OA= 3， 在 RtOGA 中，又 GA= 26 3 ，OG=3 8 3 = 3 3 在 RtOGE 中，OG= 3 3 ，GE= 6 3 ，则 OE1， sinOEG= 3 3 ，cosOEG= 6 3 ， sinCEG2 3 3 6 3 = 22 3 C 到底面 ABD 的距离 dCEsinCEG= 6 22 3 = 43 3 则该四面体 ABCD 的体积为 V= 1 3 1 2 22 6 43 3 = 8 3 故答案为：8 3 13 （3 分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为4 5；乙 第一次射击的命中率为7 8
19、，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为 3 4， 如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为1 2乙若射中，则不再继续射击则 甲三次射击命中次数 5 的期望为 12 5 ，乙射中的概率为 63 64 【解答】 解： 甲、 乙两名枪手进行射击比赛， 每人各射击三次， 甲三次射击命中率均为4 5， 则甲击中的次数 XB（3，4 5） ， 甲三次射击命中次数的期望为 E（X）3 4 5 = 12 5 ，乙第一次射击的命中率为7 8， 第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为3 4， 如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为1 2 乙若射中，则不再继续射击 则乙射中的概
20、率为：P= 7 8 + 1 8 3 4 + 1 8 1 4 1 2 = 63 64 故答案为：12 5 ，63 64 14 （3 分）已知存在正数 a，b 使不等式4:2 2 2:3 2(1 )成立，则 x 的取值范围 第 11 页（共 17 页） （12，1） 【解答】解：4 + 22= 2(2 + ) 2+2+ 2 = 2+3 2 ，由于 a0，b0，则 2a+3b0， 4:2 2 2:3 1 2，当且仅当 2b2a+3b 时， 4:22 2:3 有最大值1 2，又存 在正数 a，b 使不等式4:2 2 2:3 2(1 )成立， 则 log2（1x） 1 2，即 01x2 1 2，12x1
21、 故答案为： （12，1） 15 （3 分）若ABC 中，AB= 2，BC8，B45，D 为ABC 所在平面内一点且满 足（ ） ( ) = 4，则 AD 长度的最小值为 2 【解答】解：建立如图的平面坐标系如图， 则 B（1，1） ，C（7，1） ，设 D（x，y） ， 则 =（1，1） ， =（7，1） ， 则 =（x，y） ， = xy， =7xy， （ ） ( ) = 4，（xy） （7xy）4， 即（x+y） （y7x）4， 设 + = 7 = 得 mn4，且 = 1 8 ( ) = 1 8 (7 + ) ， 则 |AD|= 2+ 2= 1 8( ) 2+ (7 + )2 = 1 8
22、50 2+ 22+ 12 1 8 250 222+ 12 4 = 1 820 4 + 48 = 128 8 = 82 8 = 2， 当且仅当 50m22n2，即 5mn 时取等号， 即 AD 长度的最小值为2， 故答案为：2 第 12 页（共 17 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 75 分）分） 16 （14 分）已知在ABC 中， 角 A，B， C 所对的边分别为 a， b，c，且; ; = :， （1）求角 C 的大小； （2）若 c3，求 a+b 的取值范围 【解答】解： （1）由; ; = :， 则; ; = :，可得：a 2+b2c2ab， 所以： = 2+
23、22 2 = 2 = 1 2， 而 C（0，） ， 故 = 3 （2）由 a2+b2c2ab，且 c3， 可得： （a+b）22ab9ab， 可得：( + )2 9 = 3 3(+ 2 )2， 可得： （a+b）236， 所以 a+b6， 又 a+bc3， 所以 a+b 的取值范围是（3，6 17 （15 分）已知 ABCDA1B1C1D1是棱长为 1 的正方体 （1）求异面直线 BC1与 B1D1所成的角 （2）求直线 BC1与平面 ABCD 所成的角 （3）求二面角 C1BDA 的正切值 第 13 页（共 17 页） 【解答】解： （1）ABCDA1B1C1D1是棱长为 1 的正方体 B1
24、D1BD， DBC1是异面直线 BC1与 B1D1所成的角， BDBC1DC1， BDC1是等边三角形， DBC160， 异面直线 BC1与 B1D1所成的角为 60 （2）CC1平面 ABCD， C1BC 是直线 BC1与平面 ABCD 所成的角， 在 RtBCC1中， BCCC1，BCC190， C1BC45， 直线 BC1与平面 ABCD 所成的角为 45 （3）以 D 为原点，DA，DC，DD1分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 D（0，0，0） ，B（1，1，0） ，C1（0，1，1） ， =（1，1，0） ，1 =（0，1，1） ， 设平面 DBC1的法向量 = (，
25、)，则 = 0， = 0， + = 0 + = 0，取 x1，得 =（1，1，1） ， 又平面 BDA 的法向量 =（0，0，1） ， 设二面角 C1BDA 的平面角为 ， 则 coscos ， = 1 3 = 3 3 ，sin=1 ( 3 3 )2= 6 3 ， tan= = 2 第 14 页（共 17 页） 二面角 C1BDA 的正切值为2 18 （15 分）已知数列an的前 n 项和 Sn= 2+ 2 数列bn满足：b1b22，bn+1bn2n+1 （nN*） （）求数列an，bn的通项公式； （）求 1 (2;1 1 2)( ) 【解答】解： （）当 n2 时，anSnSn1= 2+
26、2 (1)2(1) 2 =n； n1 时，a1S11 适合上式， 所以：ann； b1b22，bn+1bn2n+1； bnbn12n（n2） ； bn+12bn1， （n2） ； 数列bn的奇数项和偶数项都是首项为 2，公比为 2 的等比数列； bn= 2 +1 2，为奇数 2 2，为偶数 （）ai（b2i1 1 2）i2 i 21； 设 M1x+2x2+3x3+（n1） xn 1+nxn， （ x0，1） xM1x2+2x3+（n1） xn+nxn+1； 得（1x）Mx+x2+x3+xnnxn+1= (1) 1 nxn+1； M= +(1)+1 (1)2 ； 1 i2i= 2+(21)2+1
27、 (12)2 =（n1） 2n+1+2； 第 15 页（共 17 页） 1 2 = 1 2+( 21) 1 2+1 (11 2) 2 =2 +2 2 ； 1 ai（b2i1 1 2）（n1） 2 n+1+2 2 19 （15 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C： 2 2 + 2 3 =1（ab0）过点（22， 1 3） ，离心率为 22 3 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 D 为 x 轴上一点，过点 D 作 x 轴的垂线与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，再过点 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E，求BDE 与BDN 的面积之比 【解答】解： （1）椭圆过点(22， 1
28、3)， 8 2 + 1 92 = 1， 离心率为22 3 ， = 22 3 ， 8 2 + 1 92 = 1 = 23 3 2= 2+ 2 解得 = 3 = 1 = 22 ，椭圆 2 9 + 2= 1 （2）A（3，0） ，B（3，0） ，设 D（t，0） ，M（t，y0） ，N（t，y0） ， = 0 +3，kDE= +3 0 ， 直线 DE 方程：y= +3 0 （xt） ， = 0 3， 直线 BN 方程： = 0 3 ( 3)， 联立直线 DE 与直线 BN 方程 = +3 0 ( ) = 0 3 ( 3) ， 解得 E 点坐标 = (29)302 2902 = (92)0 2902
29、= 903 1002 = 9 10 0 ， 第 16 页（共 17 页） = 1 2| 1 2|;0| = 9 10 20 （16 分）已知函数 G（x）ln（1+mx）mx，g（x）ax2，其中 0m1 （）当 m1 时，设 f（x）G（x）g（x） ，存在区间1，2 (0， 1 3，使得x1， x2t1，t2，都有(1);(2) 1;2 0，求实数 a 的取值范围； （）若函数 g（x）ax2的图象在（1，g（1） ）处的切线与直线 x+y10 平行，试讨 论函数 f（x）G（x）g（x）的零点个数 【解答】解： （I）当 m1 时，设 f（x）ln（x+1）xax2， f（x）= 22(
30、2+1) +1 ， 由题意可得，f（x）在（0，1 3）上有单调递增区间，即2ax 2（2a+1）x0 在（0，1 3） 上有解， 即 2a（x2+x）+x0 在（0，1 3）上有解， x（0，1 3） ， 2+ = ( + 1 2) 2 1 4 0， 即当 x（0，1 3）时，2a（ 1 1+）min= 3 4， 3 8， （II）因为 g（x）2ax，所以 g（1）2a1， 所以 a= 1 2， 由题意 f（x）ln（1+mx）mx+ 1 2x 2， f（x）= (1 ) 1+ ， 令 f（x）0 可得 x0 或 xm 1 ， （i）当 m1 时，f（x）的定义域（1，+） ，此时 x1x
31、20，f（x）= 2 1+2， 所以当 x（1，+） ，f（x）0，f（x）单调递增， 又因为 f（0）0， 故 f（x）在（1，+）上有且仅有 1 个零点， 第 17 页（共 17 页） （ii）当 0m1 时，f（x）的定义域（ 1 ，+） ， 1 1 0， 当 x ( 1 ， 1 )， （0，+）时，f（x）0，f（x）单调递增， 当 x（m 1 ，0） ，f（x）0，f（x）单调递减， 故当 x（m 1 ，0）时，f（x）f（0）0，此时有且仅有 1 个零点， 当 x（0，+）时，f（x）f（0）0， 所以 f（x）在（m 1 ，+）上有且仅有 1 个零点 x0， 因为 x ( 1 ，0)，ymx+ 1 2 2单调递减， 故 f（x）ln（1+mx）+（mx+ 1 2 2）ln（1+mx）m（ 1 ）+ 1 22， ln（1+mx）+1+ 1 22， 当 ln（1+mx）+1+ 1 22 0 时，x 1 1 1 22 ， 因为 1 1 1 1 22 0， f（ 1 1 1 22 ）0， 由函数的零点判定定理可知，存在 x0 ( 1 ， 1 使得 f（x0）0， 综上可得，当 0m1 时，f（x）有 2 个零点， 当 m1 时，函数 f（x）有 1 个零点，
