1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）设集合 A= *| +2 1 0+，Bx|ylog2（x22x3），则 AB（ ） Ax|2x1 Bx|1x1 Cx|2x1 Dx|1x1 2 （4 分）在复平面内，复数 5 1+2对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （4 分）已知命题 p：x0，ln（x+1）0；命题 q：x38 是|x|2 的充要条件，下列命 题为真命题的是（ ） Apq B （p）
2、q Cp（q） D （p）（q） 4 （4 分）若直线 yax+2a 与不等式组 + 6 0 3 + 3 0 表示的平面区域有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A0，9 5 B0，9 C0，+ D，9 5 （4 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B C D 6 （4 分）已知 ca，随机变量 ，n 的分布列如表所示，则（ ） 4 3 2 P a b c 2 3 4 第 2 页（共 18 页） P a b c AEE，DD BEE，DD CEE，DD DEE，DD 7 （4 分）在三棱锥 PABC 中，二面角 PABC、PACB 和 PBCA 的大小均等 于 3，A
3、B：AC：BC3：4：5，设三棱锥 PABC 外接球的球心为 O，直线 PO 与平面 ABC 交于点 Q，则 =（ ） A1 4 B2 C3 D4 8 （4 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的左、右顶点分别为 A，B，左焦点 为 F，P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M（异于 P，F） ， 与 y 轴交于点 N，直线 MB 与 y 轴交于点 H，若 = 3 （O 为坐标原点） ，则 C 的 离心率为（ ） A2 B3 C4 D5 9 （4 分）已知关于 x 的方程 9xa3x+40 有一个大于 2log32 的实数根，则实
4、数 a 的取值 范围为（ ） A （0，5） B （4，5） C （4，+） D （5，+） 10 （4 分）已知数列an的各项都是正数且满足 2an23anan1（nN*，n2） ，Sn是数 列an的前 n 项和，则下列选项中错误的一项是（ ） A若an单调递增，则 0a12 B若 a11，则2 3 432 C若 a12，则(22+ 1)(23+ 1)(2+ 1) = 12 2 ( 2) D若 a13，则 3(3+1) 4 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 36 分）分） 11 （6 分）在 log20.2，20.2，0.20.3三个数中，则最大的数为 12 （6 分）如图
5、所示为某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长均为 1，则该几何体的 体积为 ，表面积为 第 3 页（共 18 页） 13 （6 分）若 x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020，则1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = 14 （6 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若3 = 1，a2， 则ABC 的面积的最大值为 15 （4 分）圆心在曲线 = (0，0)上的圆中，存在与直线 2x+y+10 相切且面积为 5 的圆，则当 k 取最大值时，该圆的标准方程为 16 （4 分）某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有 6
6、个节目的节目单，要求歌曲 A 和舞蹈 A 相邻，且歌曲 A 要排在舞蹈 A 的前面；歌曲 B 和舞蹈 B 不相邻，且歌曲 B 和舞 蹈 B 均不排在最后，则这 6 个节目的排法有 种 17 （4 分）如图，在ABC 中，D，E 是 BC 上的两个三等分点， = 2 ，则 cosADE 的最小值为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 74 分）分） 18 （14 分）已知函数() = 2 ( + 3) （1）求函数 f（x）在区间,0， 4-上的取值范围； （2） 设ABC的三个内角A， B， C所对的边长分别为a， b， c 若A为锐角， 且() = 3 2 ， b 2，c3，
7、求 cos（AB）的值 19 （15 分）已知ABC 的各边长为 3，点 D，E 分别是 AB，BC 上的点，且满足 = 1 2， D 为 AB 的三等分点（靠近点 A） ， （如图（1） ） ，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置， 第 4 页（共 18 页） 使二面角 A1DEB 的平面角为 90，连接 A1B，A1C（如图（2） ） （1）求证：A1D平面 BCED； （2）在线段 BC 上是否存在点 P，使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60？若存在， 求出 PB 的长；若不存在，请说明理由 20 （15 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11，且 S4a4
8、+a5 （1）求 an； （2）求数列* 2+的前 n 项和 Tn 21 （15 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的右焦点为 F，左顶点为 A，离心率 = 2 2 ， 且经过圆 O： x2+y22y0 的圆心 过点 F 作不与坐标轴重合的直线 1 和该椭圆交于 M、 N 两点，且直线 AM、AN 分别与直线 x2 交于 P、Q 两点 （）求椭圆的方程； （）证明：PFQ 为直角三角形 22 （15 分）已知函数 f（x）ex 1 2x 2+x证明： （1）函数 f（x）在 R 上是单调递增函数； （2）对任意实数 x1，x2，若 f（x1）+f（x2）2，则 x1+x20 第
9、 5 页（共 18 页） 2020 年浙江省高考数学模拟试卷（年浙江省高考数学模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）设集合 A= *| +2 1 0+，Bx|ylog2（x22x3），则 AB（ ） Ax|2x1 Bx|1x1 Cx|2x1 Dx|1x1 【解答】解：Ax|2x1，Bx|x22x30x|x1 或 x3， ABx|2x1 故选：A 2 （4 分）在复平面内，复数 5 1+2对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解答】解： 5
10、 1+2 = 5(12) (1+2)(12) = 2 + ， 在复平面内，复数 5 1+2对应的点的坐标为（2，1） ，位于第一象限 故选：A 3 （4 分）已知命题 p：x0，ln（x+1）0；命题 q：x38 是|x|2 的充要条件，下列命 题为真命题的是（ ） Apq B （p）q Cp（q） D （p）（q） 【解答】解：命题 p：当 x0 时，x+11，所以 ln（x+1）ln10，故命题 p 为真，所 以p 为假； 命题 q：因为 x38 即 x2，而|x|2 即 x2 或 x2，所以 x38 是|x|2 的充分不必 要条件，故命题 q 为假，所以q 为真 则 pq 假，pq 假，
11、pq 真，pq 假 故选：C 4 （4 分）若直线 yax+2a 与不等式组 + 6 0 3 + 3 0 表示的平面区域有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A0，9 5 B0，9 C0，+ D，9 【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示 第 6 页（共 18 页） + 6 = 0 + 3 = 0 = 3 2 = 9 2 ； C（ 3 2， 9 2） ， 直线 ya（x+2）过定点 A（2，0） ， 直线 ya（x+2）经过不等式组表示的平面区域有公共点 则 a0，kAC= 9 20 (3 2)(2) =9， a0，9 故选：B 5 （4 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只
12、可能是（ ） A B C D 【解答】解：因为对于任意的 xR，f（x）x2+e|x|0 恒成立，所以排除 A，B， 由于 f（0）02+e|0|1，则排除 D， 故选：C 6 （4 分）已知 ca，随机变量 ，n 的分布列如表所示，则（ ） 第 7 页（共 18 页） 4 3 2 P a b c 2 3 4 P a b c AEE，DD BEE，DD CEE，DD DEE，DD 【解答】解：E2a+3b+4c， E4a+3b+2c， EE2（ca）0， 由 +6，所以 DD（6）D， 故选：B 7 （4 分）在三棱锥 PABC 中，二面角 PABC、PACB 和 PBCA 的大小均等 于 3
13、，AB：AC：BC3：4：5，设三棱锥 PABC 外接球的球心为 O，直线 PO 与平面 ABC 交于点 Q，则 =（ ） A1 4 B2 C3 D4 【解答】解：依题意，点 P 在平面 ABC 内的射影为三角形 ABC 内切圆的圆心 N，设内 切圆的半径为 r，则1 2 3 4 = 1 2 (3 + 4 + 5)，解得 r1， 又二面角 PABC、PACB 和 PBCA 的大小均等于 3，故 = 3 = 1 3 = 3， 设ABC 的外接圆圆心为 M，易知 OM平面 ABC， 又 PN平面 ABC，故 OMPN，则点 O，M，P，N 四点共面，且平面 ABC平面 OMPN MN， 又 Q 在
14、平面 APC 内，且 Q 在平面 OMPN 内， Q 在 MN 上，即 Q，M，N 三点共线； 现在研究 NM 的长度，如图， 第 8 页（共 18 页） 易 知 ， = 2， = = 5 2 2 = 1 2 ， 故 =1 + (1 2) 2 = 5 2 ， 显 然 = = 5 2 ， 设 OMx，由 OPOB，即2+ 2= 2+ 2可知，(3 + )2+ ( 5 2 )2= 2+ (5 2) 2，解得 = 3 3 ， = = 3 3 3 = 1 3， = 4 1 = 4 故选：D 8 （4 分）已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1（a0，b0）的左、右顶点分别为 A，B，左焦点 为 F，
15、P 为 C 上一点，且 PFx 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M（异于 P，F） ， 与 y 轴交于点 N，直线 MB 与 y 轴交于点 H，若 = 3 （O 为坐标原点） ，则 C 的 离心率为（ ） A2 B3 C4 D5 【解答】解：不妨设 P 在第二象项，|FM|m，H（0，h） （h0） ， 由 = 3 知 N（0，2h） ， 由AFMAON，得 2 = （1） ， 由BOHBFM，得 = +（2） 第 9 页（共 18 页） （1） ， （2）两式相乘得1 2 = +， 即 c3a，离心率为 3 故选：B 9 （4 分）已知关于 x 的方程 9xa3x+40 有一
16、个大于 2log32 的实数根，则实数 a 的取值 范围为（ ） A （0，5） B （4，5） C （4，+） D （5，+） 【解答】解：令 3xt； 因为 x2log32log34t334=4； 即 f（t）t2at+4 有一个大于 4 的零点； 故 f（4）424a+40a5； 故选：D 10 （4 分）已知数列an的各项都是正数且满足 2an23anan1（nN*，n2） ，Sn是数 列an的前 n 项和，则下列选项中错误的一项是（ ） A若an单调递增，则 0a12 B若 a11，则2 3 432 第 10 页（共 18 页） C若 a12，则(22+ 1)(23+ 1)(2+ 1
17、) = 12 2 ( 2) D若 a13，则 3(3+1) 4 【解答】解：数列an的各项都是正数且满足 2an23anan1（nN*，n2） ， 若an单调递增，可得 anan1， 即为 anan14an2an20，可得 0an2， （n2 且 nN*） ， 由 a1a2，可得 0a12，故 A 正确； 若 a11，可得 2a223a2a11，解得 a2= 3+17 4 （负值已舍去） ， 由 2a323a3a2= 3+17 4 ， （*） ， 3+17 4 （1.75，1.8） ， 而 2a323a32（a3 3 4） 29 8在（2 3 4，2）的范围是（42 32 3 4，2） ， 而
18、22 3 42，则 42 32 3 4（42 6，2） ，故方程（*）的解在（2 3 4，2）内， 故 B 正确； 由 2an23anan1，可得 2an23an2an12，即（2an+1） （an2）an12， 即 2an+1= 12 2 ， 可得 （2a2+1）（2a3+1） （2an+1） = 12 22 22 32 12 2 = 12 2 （a1 2） ，故 C 正确； 若 a13，可得 2a223a2a13，解得 a2= 3+33 4 ，S23+ 3+33 4 ， 由3(32+1) 4 = 21 4 ，3+ 3+33 4 21 4 = 336 4 0，可得 S2 3(32+1) 4
19、，故 D 错误 故选：D 二填空题（共二填空题（共 7 小题，满分小题，满分 36 分）分） 11 （6 分）在 log20.2，20.2，0.20.3三个数中，则最大的数为 20.2 【解答】解：log20.2log210，log20.20， 20.2201，20.21， 00.20.30.201，00.20.31， 20.2最大， 故答案为：20.2 12 （6 分）如图所示为某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长均为 1，则该几何体的 第 11 页（共 18 页） 体积为 4 ，表面积为 8+35 + 13 【解答】解：由正视图和俯视图均为三角形可知该几何体是锥体，再结合侧视图可以确
20、定是一个四棱锥如图所示： 可以将该四棱锥 OABCD（图中蓝线部分对应的四棱锥）置于长、宽都为 2，高为 3 的 长方体 ABCDMNPQ 中，其中 O 为 MN 的中点 故 = 1 3矩形 = 1 3 2 3 2 = 4 易知AOD，COB 是全等的直角三角形， = = 22+ 12= 5， = = 1 2 5 3 = 35 2 COD 底边 CD 上的高为 DM= 32+ 22= 13， = 1 2 = 1 2 2 13 = 13 = 1 2 = 1 2 2 2 = 2 底面矩形 ABCD 的面积为 ABAD236 故该四棱锥的表面积为 SAOB+SCOB+SCOD+SAOD+S矩形ABC
21、D= 8 + 35 + 13 故答案为：4，8 + 35 + 13 13（6 分） 若 x2020a0+a1（x1） +a2（x1） 2+a2020 （x1） 2020， 则1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = （4 3） 20201 【解答】解：x2020a0+a1（x1）+a2（x1）2+a2020（x1）2020， 第 12 页（共 18 页） 令 x1 得：a01； 令 x= 4 3得： （4 3） 2020a0+1 3 + 2 32 + + 2020 32020； 1 3 + 2 32 + + 2020 32020 = (4 3) 2020 1； 故答案为：(4 3
22、) 2020 1 14 （6 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若3 = 1，a2， 则ABC 的面积的最大值为 3 【解答】解：ABC 中，由3 = 1， 得 3 2 sinA 1 2cosA= 1 2， 所以 sin（A 6）= 1 2； 又 A（0，） ，所以 A 6（ 6， 5 6 ） ， 所以 A 6 = 6，解得 A= 3； 又 a2，由余弦定理得， a2b2+c22bccosA， 即 4b2+c22bccos 3； 所以 42bcbcbc， 所以 bc4，当且仅当 bc 时“”成立； 所以ABC 面积的最大值为 S= 1 2bcsinA 1 2 4 3
23、2 = 3 故答案为：3 15 （4 分）圆心在曲线 = (0，0)上的圆中，存在与直线 2x+y+10 相切且面积为 5 的圆，则当 k 取最大值时，该圆的标准方程为 （x1）2+（y2）25 【解答】解：设圆的半径为 r，由题意可得 r25，所以 r= 5， 由题意设圆心 C（a， ）由题意可得 a0，由直线与圆相切可得 |2+ +1| 5 =r= 5，所 以|2a+ +1|5 第 13 页（共 18 页） 而 k0，a0，所以 52a+ +1 22 +1，即 2 2，解得 k2，所以 k 的最 大值为 2， 这时当且仅当 2a= = 2 时取等号，可得 a1， 所以圆心坐标为： （1，2
24、） ，半径为5，即圆的标准方程为： （x1）2+（y2）25， 故答案为： （x1）2+（y2）25 16 （4 分）某单位在庆祝新年的联欢晚会中，要安排一个有 6 个节目的节目单，要求歌曲 A 和舞蹈 A 相邻，且歌曲 A 要排在舞蹈 A 的前面；歌曲 B 和舞蹈 B 不相邻，且歌曲 B 和舞 蹈 B 均不排在最后，则这 6 个节目的排法有 36 种 【解答】解：因为歌曲 A 和舞蹈 A 相邻，且歌曲 A 要排在舞蹈 A 的前面，可捆绑； 因为歌曲 B 和舞蹈 B 不相邻，且歌曲 B 和舞蹈 B 均不排在最后，可插空 有3 3 3 2 =36， 故答案为：36 17 （4 分）如图，在ABC
25、 中，D，E 是 BC 上的两个三等分点， = 2 ，则 cosADE 的最小值为 4 7 【解答】解：由 D，E 是 BC 上的两个三等分点可得 = = ， 由图形可得 = = ， = =2 ， 又因为 = 2 即（ ） ( ) =2（2 ） ( )， 整理可得：7 = 2 + 2 2，即 7| | | |cosADE| |2+4| |2， 由基本不等式可得 cosADE= | |2+4| |2 7| | | 2| |24| |2 7| | | = 4 7， 故 cosADE 的最小值为：4 7 故答案为：4 7 第 14 页（共 18 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满
26、分 74 分）分） 18 （14 分）已知函数() = 2 ( + 3) （1）求函数 f（x）在区间,0， 4-上的取值范围； （2） 设ABC的三个内角A， B， C所对的边长分别为a， b， c 若A为锐角， 且() = 3 2 ， b 2，c3，求 cos（AB）的值 【解答】解： （1）函数() = 2 ( + 3)， 2cosx（1 2sinx+ 3 2 cosx） ， = 1 2sin2x+3 1+2 2 ， sin（2x+ 3）+ 3 2 ， 由于 x,0， 4-， 所以：2x+ 3 3， 5 6 ， sin（2x+ 3） 1 2，1， 故 f（x）sin（2x+ 3）+ 3
27、2 1+3 2 ，2+3 2 ， （2）由于 f（x）= (2 + 3) + 3 2 ， 所以 f（A）sin（2A+ 3）+ 3 2 = 3 2 ，由于 A 为锐角，所以 = 3， 利用余弦定理 a2b2+c22bccosA， 由于 = 3 ， = 2， = 3，解得 a= 7 所以 = ，解得 sinB= 3 7，cosB= 2 7（由于 ab） ， 所以 cos（AB）cosAcosB+sinAsinB= 2 7 1 2 + 3 2 3 7 = 5 27 = 57 14 19 （15 分）已知ABC 的各边长为 3，点 D，E 分别是 AB，BC 上的点，且满足 = 1 2， 第 15
28、页（共 18 页） D 为 AB 的三等分点（靠近点 A） ， （如图（1） ） ，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置， 使二面角 A1DEB 的平面角为 90，连接 A1B，A1C（如图（2） ） （1）求证：A1D平面 BCED； （2）在线段 BC 上是否存在点 P，使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60？若存在， 求出 PB 的长；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）正ABC 的边长为 3，且 = = 1 2，AD1，AE2， ADE 中，DAE60，由余弦定理，得 DE= 12+ 22 2 1 2 60 = 3， AD2+DE24AE2，ADDE 折叠后，仍有
29、 A1DDE 二面角 A1DEB 成直二面角，平面 A1DE平面 BCDE， 又平面 A1DE平面 BCDEDE，A1D平面 A1DE，A1DDE， A1D平面 BCED； （2）假设在线段 BC 上存在点 P，使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60 如图，作 PHBD 于点 H，连接 A1H、A1P， 由（1）得 A1D平面 BCED，而 PH平面 BCED， A1DPH A1D、BD 是平面 A1BD 内的相交直线， PH平面 A1BD 由此可得PA1H 是直线 PA1与平面 A1BD 所成的角，即PA1H60 设 PBx（0x3） ，则 BHPBcos60= 2，PHPBsin
30、60= 3 2 x， 在 RtPA1H 中，PA1H60，A1H= 2， 在 RtDA1H 中，A1D1，DH2 1 2， 由 A1D2+DH2A1H2，得 12+（2 1 2 ）2（1 2x） 2， 第 16 页（共 18 页） 解得 x= 5 2，满足 0x3 符合题意 在线段 BC 上存在点 P，使直线 PA1与平面 A1BD 所成的角为 60，此时 PB= 5 2 20 （15 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11，且 S4a4+a5 （1）求 an； （2）求数列* 2+的前 n 项和 Tn 【解答】解： （1）设公差为 d，由 S4a4+a5，得41+ 43 2 =
31、1+ 3 + 1+ 4，即 4+6d2+7d， 解得 d2，所以，an1+2（n1）2n1； （2） 2 = 21 2 ， 可得= 1 2 + 3 22 + 5 23 + + 21 2 ， 两边同乘以1 2， 有 1 2 = 1 22 + 3 23 + 5 24 + + 21 2+1 ， 两式相减，得 1 2 = 1 2 + 2 22 + 2 23 + 2 24 + + 2 2 21 2+1 = 1 2 + 2 1 4(1 1 21) 11 2 21 2+1 = 3 2 2+3 2+1 所以，= 3 2+3 2 21 （15 分）已知椭圆 2 2 + 2 2 = 1（ab0）的右焦点为 F，左
32、顶点为 A，离心率 = 2 2 ， 且经过圆 O： x2+y22y0 的圆心 过点 F 作不与坐标轴重合的直线 1 和该椭圆交于 M、 N 两点，且直线 AM、AN 分别与直线 x2 交于 P、Q 两点 （）求椭圆的方程； （）证明：PFQ 为直角三角形 【解答】解： （）解：由题意知，圆 O：x2+y22y0 的圆心为（0，1） 椭圆 2 2 + 2 2 = 1 （ab0） 的右焦点为 F， 左顶点为 A， 离心率 = 2 2 ， 且经过圆 O： x2+y22y0 的圆心 b1e= = 2 2 ，a2b2+c2，a22 第 17 页（共 18 页） 所求椭圆的方程为 2 2 + 2=1 （）
33、证明：设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，可设直线 l 的方程为 xmy+1， 联立 = + 1 2 2 + 2= 1，可得（m 2+2）y2+2my10 1+ 2= 2 2+2 12= 1 2+2 根据 A、M、P 三点共线可得 2+2 = 1 1+2 = 1(2+2) 1+2 同理可得= 2(2+2) 2+2 P、Q 的坐标分别为（2，1(2+2) 1+2 ） ， （2，2(2+2) 2+2 ） 设直线 FP 的斜率为 k1，直线 FQ 的斜率为 k2， 则 k1k2= 0 21 0 21 =yPyQ= 1(2+2) 1+2 2(2+2) 2+2 = 12(2+2)2 (1+1+2
34、)(2+1+2) = 12(2+2)2 212+(1+2)(1+2)+(1+2)2 = 1， PFQFPFQ 为直角三角形 22 （15 分）已知函数 f（x）ex 1 2x 2+x证明： （1）函数 f（x）在 R 上是单调递增函数； （2）对任意实数 x1，x2，若 f（x1）+f（x2）2，则 x1+x20 【解答】证明： （1）f（x）exx+1，f（x）ex1， 令 f（x）0，得 x0，即函数 f（x）在区间（0，+）上单调递增； f（x）0，得 x0，函数 f（x）在区间（，0）上单调递减； 所以 f（x）minf（0）20， 故函数 f（x）在 R 上是单调递增函数； （4 分） 第 18 页（共 18 页） （2）因 f（x1）+f（x2）2f（0）2，f（x）在 R 上是单调递增函数，不妨设 x10 x2， 构造 g（x）f（x）+f（x）ex+e xx2（x0） ， g（x）exe x2x， g（x）ex+e x20， 所以 yg（x）在（，0）上单调递增， 所以 g（x）g（0）0，所以 yg（x）在（，0）上单减， 因 x10，g（x1）f（x1）+f（x1）g（0）2f（x1）+f（x2） ，有 f（x1）f（x2） 由（1）知，f（x）在 R 上是单调递增函数，有x1x2，即 x1+x20 （12 分）
