1、【教师版】第 1 页 共 14 页 泉州市泉州市 2023 届高中毕业班质量检测（二）届高中毕业班质量检测（二）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合A y|y1，B x|2x1，则AB （）A(,0)B 1,0)C DR 1【答案】B【解析】|21|0 xBxx x，所以 1,0)AB 2已知向量a，b满足abab，则ab在a方向上的投影向量为 （）Aa Bb C2a D2b 2【答案】A【解析】由abab，两边平方，可得0a b，则ab在a方向上的投影向量为222()abaaaaaaa 3记等差数列na的前n项和
2、为nS若3139aaa，则下列一定成立的是（）A68SS B68SS C130S D140S 3【答案】C【解析】因为数列na是等差数列，所以31397aaaa，又因为3139aaa，所以70a，所以 137130Sa 4萃取是有机化学实验室中用来提纯和纯化化合物的手段之一研究发现，用总体积相同的有机萃取液对某化合物进行萃取，采用少量多次的方法比全量一次的萃取率高已知萃取率E与萃取次数n满足 1+nVED VV水溶液水溶液有机萃取液，D为分配比，现欲用有机萃取液3CHCl对含四氧化锇4(OsO)的60 mL水溶液进行萃取，每次所用有机萃取液3CHCl的体积为10 mL，分配比为 14要使萃取率
3、达到99.7%以上，则至少需要经过的萃取次数为(参考数据：lg30.48)（）A4 B5 C6 D7 4【答案】B【解析】6010.314 10+60nnE，0.997E，0.30.003n，lg0.3lg0.003n，【教师版】第 2 页 共 14 页 lg0.003lg330.4834.85lg0.3lg3 10.48 1n，所以至少需要经过的萃取 5 次 5如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是 （）Ayx B221xyx C1ln1xyx D2222xxxxy 5【答案】D【解析】选项 A，yx是偶函数，排除 A；选项 B，当x 时，2201xyx，与图象不符，排除 B；选
4、项 C，1ln1xyx，由101xx，得11x，即函数的定义域为(1,1)，与图象不符，排除 C，故选 D 6已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为F，过F且斜率为3的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点P若2PFPA ，则C的离心率为 （）A312 B512 C31 D312 6【答案】C【解析】(,0)Fc，直线l的方程为3()yxc，令0 x，得3yc，(0,3)Pc，由2PFPA ，可知点A为FC的中点，3,22cAc，AFc，设右焦点为2(,0)F c，则23AFc 22(1+3)aAFAFc，离心率23113cea 7某停车场有两排空车位，每排 4 个现有甲、乙、丙、
5、丁 4 辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有 （）A288 种 B336 种 C384 种 D672 种 7【答案】D【解析】由甲、乙两车停泊在同一排，分两种情况讨论，第一种情况为丙、丁两车停泊在同一排，不同的停车方案有244244AAA288种；第二种情况为丙、丁两车停泊在不同排，不同的停车方案有11312244AAAA384种 综上，则不同的停车方案有288384672种 8若2021log2022a，2022log2023b，20222021c，20232022d，则a，b，c，d中最小的是（）Aa Bb Cc Dd 8【答案】B【教师版】第 3
6、 页 共 14 页【解析】20221120212021c ，20231120222022d ，cd，设ln(1)()lnxf xx，则2lnln(1)1()0(ln)xxxxfxx，所以()f x单调递减，(2021(2022)ff，即ab 设ln()xg xx，则21 ln()xg xx，当ex 时，()0g x，()g x单调递减，所以ln2022ln202320222023，20222023ln2023log20232022ln2022，即db所以b最小 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0
7、 分，部分选对的得 2 分 9已知函数()cos()(0,0)f xx，4是()f x的一个极小值点，2是与其相邻的一个零点，将()yf x的图象向左平移6个单位长度得到函数()yg x的图象，则（）A2 B3 C66fg D124gg 9【答案】ACD【解析】4244T，T，2A 正确；当4x时，2,2xkkZ，又0，2，B 错误；()cos 2sin22f xxx，()sin 263g xfxx，3sin632f ，23sin632g ，66fg，C 正确；sin1122g ，51sin462g ，124gg，D 正确 10 在正三棱柱111ABCABC中，12ACCC，,M N P分别为
8、棱111,BC BB AC的中点，则（）A1/C P平面AMN B1BC 平面AMN C三棱锥BAMN的体积为36 D平面PMN截该正三棱柱所得的截面图形为五边形 10【答案】CD【解析】取11AC的中点Q，连接AQ，1AB，1BQ，易证得平面1/ABQ平面1BC P，而平面1ABQ与平【教师版】第 4 页 共 14 页 面AMN相交，所以平面1BC P与平面AMN也相交，所以 A 错误；选项 B，若1BC 平面AMN，则1BCAN，取AB中点O，连接AO，易证得CO 平面11ABB A，ANCO，又1BCCOO，AN平面1BCO，1ANBO，而AN与1BO显然不垂直，所以 B 错误；1132
9、 132362MABNB AMNVV，C 正确；延长MN与CB的延长线交于点D，连接DP交AB于点E，连接NE，过点M作DP的平行线，交11AC于点F，连接FP，所以平面PMN截该正三棱柱所得的截面图形为如图所示的五边形MNEPF，D 正确 AECA1B1C1PMNBDABA1B1C1MNCOABA1B1C1MNCOABCA1B1C1PMNQABCA1B1C1PMNQF 11已知抛物线2:4C yx的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，P为MN的中点，则下列说法正确的是 （）AMN的最小值为 4 BMFNF的最大值为 4 C当PFNF时，8MN D当43PF 时，163MN 11【答案
10、】AD【解析】设MFx，则1 cospMF，1 cospNF，22sinpMNMFNF，所以当90时，MN取得最小值为24p，A 正确；22sinpMFNF，所以当90时，MN取得最小值为24p，B 错误；当PFNF时，3MFNF，31 cos1cospp，1cos2，60，2216=sin3pMN，C 错误；当43PF 时，22cos2cos42sinsin3MFNFpPF，22sin3cos，22cos3cos20，(2cos1)(cos2)0，解得1cos2，60，2216=sin3pMN，【教师版】第 5 页 共 14 页 D 正确 12已知12,x x是函数()(ee)xxf xxa
11、 的零点，34,x x是函数1()lng xxxax的零点，且12xx，34xx，则下列说法正确的是 （）(参考数据：ln31.099)A0a B若3a ，则34103xx C存在实数a，使得2x，3x，4x成等比数列 D存在实数a，使得23xx，且1x，2x，4x成等差数列 12【答案】ABC【解析】()f x为偶函数，且当0 x 时，ee0 xxy且单调递增，所以()(ee)xxf xxa 在(0,)上单调递增，在(,0)上单调递减 所以min()(0)f xfa，因为函数()f x有两个零点12,x x，所以0a，又12xx，所以10 x，20 x，且120 xx 1()(ee)elne
12、ee()xxxxxxf xagxa，12()(ee)0 xxgg，又34()()0g xg x，12xx，34xx，可得13exx，24exx，341x x，()g x在(0,1)上递减，在(1,)上递增 当3a 时，8ln38 1.099(3)033gaa，4()0g x，43x，又函数1yxx在(1,)上单调递增，34441101333xxxx，B 正确；若2x，3x，4x成等比数列，则2x，2ex，2ex成等比数列，则2222eexxx，223exx，方程3exx有正数解，所以存在实数a，使得2x，3x，4x成等比数列，C 正确；若23xx，且1x，2x，4x成等差数列，则22exx，2
13、24211eexxxx，且2x，2x，21x成等差数列，则22212xxx，2213x，233x，此时22exx不成立，故 D 错误 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知复数z满足(1 i)(0)za a，2z，则a 13【答案】2【解析】由(1 i)(0)za a，可得1 i222az 【教师版】第 6 页 共 14 页 14已知圆222:(3)(4)Cxyr，(1,0)A，(1,0)B若C上存在点P，使得90APB，则正数r可以是 (只要写出一个符合条件的r即可)14【答案】填写 4 到 6 之间的任意一个数，均可得 5 分【解析】满足
14、90APB的点P在以AB为直径的圆上，即单位圆22:1O xy上，所以圆O与圆C有公共点，又5OC，所以151rr，解得46r 15已知函数()1lnf xxax 的最小值为 0，则a的取值范围为 15【答案】0,1【解析】当0a 时，当0 x，且0 x 时，()1lnf xxax ，不符合题意；当0a 时，()1f xx，最小值为 0，符合题意；当0a 时，(1)0f，且()1ln0f xxax 恒成立，即1ln1xxa恒成立，因为函数lnyx在1x 处的切线方程为1yx，所以11a，即01a 综上可知，实数a的取值范围为0,1 16RtABC中，90A，3AB，1AC，D是边AB上的一动点
15、，沿CD将ACD翻折至A CD，使二面角ACDB为直二面角，且四面体A BCD的四个顶点都在球O的球面上当线段A B的长度最小时，球O的表面积为 16【答案】163【解析】如图，设ACD，过A作AECD于E，过B作BFCD交CD的延长线于F2BC，3ACB，则sinAE，cosCE，2sin3cossin3BF，2cos3CF，2coscos3sin3EFCFCE，折叠成直二面角后，222222224sin+(3cossin)3cos5sin2 3sincosA BAEEFBF 4cos23sin242sin 26，当262，即6时，A B取得最小值，此时ACD外接圆的圆心为CD的中点，在平面
16、BCD内，且平面ACD 平面BCD，所以BCD的外接圆即为四面体A BCD外接球的大圆面此时6CBDB，23CDB，1BDCD，设外接球半径为R，则4223sin3BCR，23R，球O的表面积21463SR【教师版】第 7 页 共 14 页 FECABD 17(10 分)在梯形ABCD中，/ADBC，ADCD，3BC，sin3cosACBCAABABC（1）若ABC的面积为3 3，求AC；（2）若3CD，求tanBAC【解析】（1）在ABC中，由正弦定理，得sinsinACABABCACB，1 分【正弦定理】化简得sinsinACACBABABC，代入sin3cosACACBABABC，得到s
17、in3cosABCABC，即tan3ABC 2 分【运算求解】因为(0,)ABC，所以3ABC 3 分 由1sin3 323ABCSAB BC，得到4AB 4 分【面积公式】在ABC中，由余弦定理，得222222cos434 3133ACABBCAB BC ，所以13AC 5 分【余弦定理】（2）设BAC，因为/ADBC，所以23CAD 6 分 在ABC中，由正弦定理，得sinsinACBCABC，所以3 32sinAC 7 分 在RtADC中，sinCDCADAC，所以32sin3AC 8 分 所以3 3322sinsin3，即23sin2sin3，所以313cossin2sin22，9 分
18、【两角差正弦公式】【教师版】第 8 页 共 14 页 得到tan3 3，即tan3 3BAC 10 分 ABCD 18(12 分)已知数列na满足132a ，11122nnnaa（1）求2a，3a及na的通项公式；（2）求数列na的前n项和nS 18【解析】（1）132a ，11122nnnaa，可得214a ，1 分 318a，2 分 由11122nnnaa，可得11222nnnnaa，3 分 所以数列2nna是以123a 为首项，公差为 2 的等差数列，4 分 于是23(1)225nnann ，5 分 所以*25()2nnnanN 6 分（2）252nnna，当1,2n 时0na，当3n时
19、，0na，于是132S，2317244S，7 分 当3n时，234513113527252222222nnnnnS，234561131135272522222222nnnnnS，两式相减得：24113(2)22250222222nnnnS，9 分 33111111112551255 212211224224212nnnnnnnnnS 10 分 所以521(3)22nnnSn，11 分【教师版】第 9 页 共 14 页 又274S 也符合上式，综上：3,1,2521,222nnnSnn 12 分 19(12 分)随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变，消费层次不断提升，“银发经济”成为社
20、会热门话題之一，被各企业持续关注某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在60,80)的老年人的年收入按年龄60,70)，70,80)分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在60,70)的老年人 500 人，年龄在70,80)的老年人 300 人 现作出年龄在60,70)的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）（1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在60,70)的老年人年收入的平均数及第 95 百分位数：（2）已知年龄在60,70)的老年人年收入的方差为 3，年龄在70,80)的老年人年收入的平均数和方差分别为 3.75 和 1.4，试估计年龄在60,80)的老年人年收入的方差 1
21、9【解析】（1）频率分布直方图中，该地年龄在60,70)的老年人年收入的平均数约为：0.04 20.08 30.18 40.26 50.20 60.15 70.05 80.04 95.35 ，2 分【列式与计算结果各 1 分】由频率分布直方图，年收入在 8.5 万元以下的老年人所占比例为1 0.04 10.96，年收入在 7.5 万元以下的老年人所占比例为1(0.05 10.04 1)0.91，3 分 因此，第 95 百分位数一定位于7.5,8.5)内，4 分 由0.950.917.5 18.30.05，5 分【列式或体现计算方法，1 分】可以估计该地年龄在60,70)的老年人年收入的第 95
22、 百分位数为 8.3 6 分（2）把年龄在60,70)的老年人样本的平均数记为x，方差记为2xs；年龄在70,80)的老年人样本的平均【教师版】第 10 页 共 14 页 数记为y，方差记为2ys；年龄在60,80)的老年人样本的平均数记为z，方差记为2s7 分 由（1）得，5.35x，由题意得，23xs，3.75y，21.4ys，则5003004.75500300500300zxy，9 分【列式与计算各 1 分】由222221500()300()800 xyssxzsyz，10 分 可得22215003(5.354.75)3001.4(3.754.75)3800s，【列式与计算结果各 1 分
23、】12 分 即估计该地年龄在60,80)的老年人的年收入方差为 3 12 分 20(12 分)如图，四棱锥PABCD中，BC 平面PAB，/ADBC，2PAABBC，1AD，E为AB的中点，且PEEC（1）求证：平面PBD 平面PEC；（2）求二面角DPCE的余弦值 PABDCE【解析】（1）BC 平面PAB，PE 平面PAB，BCPE 1 分 又PEEC，ECBCC，PE平面BCD 2 分 BD 平面BCD，PEBD 3 分 又1tantan2BADBCE，ABDBCE，90ABDCEB，即BDCE 4 分 PECEE，BD平面PEC 5 分 又BD 平面PBD，平面PBD 平面PEC 6
24、分（2）由（1）得PEAB，且E为AB的中点，2PBPAAB 7 分 以E为坐标原点，EP，EA所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，8 分 则(3,0,0)P，(0,1,0)A，(0,1,0)B，(0,1,1)D，(0,1,2)C，(3,1,2)PC ，(3,1,1)PD ，(3,0,0)PE ，9 分【教师版】第 11 页 共 14 页 设平面PCD的一个法向量为(,)nx y z由0PC n ，0PD n 得 320,30,xyzxyz令1y，则2z，3x，即(3,1,2)n，10 分 设平面PCE的一个法向量为(,)ma b c由0PC m ，0PE m ，得
25、320,30,abca令1c，可得(0,2,1)m 11 分 410cos,585m nm nmn 二面角DPCE的余弦值为105 12 分 PABDCEyxz 21(12 分)在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注这种起搏器体积只有传统起搏器的110，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，
26、且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为99100，9899，9798，设人工抽检的综合指标不达标率为(01)pp（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；（2）人工抽检 30 个芯片，记恰有 1 个不达标的概率为()p，求()p的极大值点0p；（3）若芯片的合格率不超过96%，则需对生产工序进行改良以（2）中确定的0p作为p的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良 21【解析】（1）每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为123,P P P，并记芯片智能检测不达标为事件A视指标的达标率为任取一件新产品，
27、该项指标达标的概率，【教师版】第 12 页 共 14 页 则有199100P，29899P，39798P 1 分【前述内容均未交代，此分必扣】根据对立事件的性质及事件独立性的定义得，2 分【公式成立的条件】1239998973()111009998100P APP P ，3 分【公式与计算，各占 1 分】所以，每个芯片智能检测不达标的概率为3100 4 分（2）人工抽检 30 个芯片恰有 1 个不合格品的概率为112930()C(1)ppp，6 分 因此129281283030()(1)29(1)(1)(1 30)pCpppCpp，7 分 令()0p，得130p 当10,30p时，()0p；当
28、1,130p时，()0p 8 分 所以()p有唯一的极大值点0130p 9 分（3）设芯片人工抽检达标为事件B，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件|B A，由（2）得，29(|)130P B Ap，10 分 由（1）得97()100P A，2997()()(|)93.8%96%30100P ABP AP B A，11 分【计算得93.8%，即得分】因此，该企业需对生产工序进行改良 12 分 22(12 分)已知点M为圆22:1O xy上的动点，点1(2,0)F，2(2,0)F，延长1FM至N，使得1MNFM，线段1FN的垂直平分线交直线2F N于点P，记P的轨迹为（1）
29、求的方程；（2）直线l与交于A，B两点，且OAOB，求OAB的面积的最小值 22【解析】（1）连结MO，1PF因为线段1FN的垂直平分线交直线2F N于点P，所以1PFPN 所以2122PFPFPFPNNF【若后续未得分，至此可回补 1 分】在12NFF中，1FMMN，12FOOF，所以222NFOM，即21122PFPFFF2 分【指出距离差绝对值为定值 2，给 2 分；未加绝对值扣 1 分】所以点P的轨迹是以1F，2F为焦点，实轴长为 2 的双曲线 3 分【指出双曲线 1 分】由已知1(2,0)F，2(2,0)F，故的方程为2213yx 4 分【方程正确 1 分】【教师版】第 13 页 共
30、 14 页 （2）当直线l的斜率不存在时，由双曲线的对称性，不妨设点A坐标为(,)t t，则2213tt，232t 所以232OABSt 5 分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxb，11(,)A x y，22(,)B xy 由22,1,3ykxbyx消去y，整理得222(3)2(3)0kxkbxb，6 分 当判别式222244(3)(3)0k bkb，即223bk时，由韦达定理，得12223kbxxk，212233bx xk 7 分 因为OAOB，所以12120 x xy y，即1212()()0 x xkxb kxb，因此221212(1)()0kx xkb xxb，所以2222232(1)033bkbkkbbkk，故22332kb 8 分 因为222222222121241()4()4(3)(1)33k bABkxxx xbkkk 222222222222()69(1)4(339)(1)966()63(3)3kkbkkkkkk，当且仅当0k 时，等号成立 10 分 点O到直线l的距离为2621dkb，11 分【教师版】第 14 页 共 14 页 所以116362222OABSAB d 综上，OAB的面积的最小值为32(面积取得最小值时，直线l的方程为62x 或62y )12 分【取得最值的条件，此次未写不扣分】
