1、第八节第八节 多元函数的极值及求法多元函数的极值及求法二、条件极值拉格朗日乘数法二、条件极值拉格朗日乘数法一、多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义一、多元函数的极值和最值一、多元函数的极值和最值 设函数设函数),(yxfz=在点在点),(00yx的某邻域的某邻域内有定义，对于该邻域内异于内有定义，对于该邻域内异于 的点的点),(yx若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf 则称函数在则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点
2、),(00yx(1)(2)(3)例例1 1例例例例处有极小值处有极小值在在函数函数)0,0(4322yxz+=处有极大值处有极大值在在函数函数)0,0(22yxz+-=处无极值处无极值在在函数函数)0,0(xyz=2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件),(yx),(00yx证证 不妨设不妨设定理定理1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz=在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零：0),(00=yxfx，0),(00=yxfy.),(yxfz=在点在点),(0
3、0yx处有极大值处有极大值,则对于则对于),(00yx的某邻域内任意的某邻域内任意都有都有),(yxf),(00yxf,类类似似地地可可证证 0),(00=yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu=在点在点),(000zyxP具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000=zyxfx，0),(000=zyxfy，0),(000=zyxfz.说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx=处有极大值处有极大值,必有必有 0),(00=yxfx;故当故当0yy=，0 xx 时，时，有有 -BAC时具有极值，时具有
4、极值，当当0 A时有极小值；时有极小值；（2 2）02 =-BAC,0 A;5)0,1(-=f)2,1(在点在点 处，处，又又所以函数在所以函数在处有极小值处有极小值)2,1(,06122 -=-BAC,0)6(122 -=-BAC,0 +=yxyxxyA求偏导数得求偏导数得,0)2(22=-=xyAx.0)2(22=-=yxAx例例5 某工厂要用铁板做成一个体积为某工厂要用铁板做成一个体积为 的有盖长方的有盖长方体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用体水箱，问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。料最省。解这方程组，得解这方程组，得,23=x.23=y 根据题意可知，水箱所
5、用材料面积得最小值一定存在，根据题意可知，水箱所用材料面积得最小值一定存在，并在开区域并在开区域 0,0),(=yxyxD内取得。又函数在内取得。又函数在内只有唯一的驻点内只有唯一的驻点D),2,2(33因此当因此当,23=x32=y时，时，A取得最小值。取得最小值。即当水箱的长为即当水箱的长为、m32宽为宽为、m23高高为为m2222333 时，水箱所用的材料最省。时，水箱所用的材料最省。24-xaax例例6 6 有一宽为有一宽为24cm的长方体铁板，把它两边折起来做成一断面的长方体铁板，把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽。问怎样折法才能使段面的面积最大。为等腰梯形的水槽。问怎样折法才
6、能使段面的面积最大。24xcm倾角为倾角为 则则各边长如图示，所求面积各边长如图示，所求面积sin)224cos2224(21xxxxA-+-=0)2222(cos2cos24,0cossin2sin4sin24=-+-=+-=nssicoxxxAxxAyx解解方程组得方程组得由由题义知这就是极大值点题义知这就是极大值点)(8,6030cmx=实例：实例：小王有小王有200200元钱，他决定用来购买两种急需物元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买 磁盘，磁盘，盒盒录音磁带达到最佳效果，效果函数录音磁带达到最佳效果，效果函数为为 设每张
7、磁盘设每张磁盘8 8元，每盒磁带元，每盒磁带1010元，问他如何分配这元，问他如何分配这200200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxUlnln),(+=问题的实质：求问题的实质：求 在条件在条件 下的极值点下的极值点yxyxUlnln),(+=200108=+yx条件极值：条件极值：对自变量有附加条件的极值对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz=在条件在条件0),(=yxj j下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxFljlj+=，其中其中l l为某一常数，可由为某一常数，可由 =+=+.0)
8、,(,0),(),(,0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxxj jljljljlj解出解出l l,yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu=在条件在条件 0),(=tzyxj j，0),(=tzyxy y下的极值，下的极值，先构造函数先构造函数+=),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyxy yl lj jl l+其中其中21,l ll l均为常数，可由均为常数，可由偏导数为零及条件解出偏导数为零及条件解出 tzy
9、x,，即得极值点的坐标即得极值点的坐标.解解2a设长方体的三棱长为设长方体的三棱长为,zyx则问题就是在条件下则问题就是在条件下0222),(2=-+=axzyzxyzyxj j求函数求函数)0,0,0(=zyxxyzV的最大值。作拉格朗日函数的最大值。作拉格朗日函数),222(),(2axzyzxyxyzzyxL-+=l l求其对求其对 的偏导数，并使之为零，解方程组的偏导数，并使之为零，解方程组zyx,0)(2=+zyyzl l0)(2=+zxxzl l例例7 7 求表面积为求表面积为 而体积为最大的长方体的体积。而体积为最大的长方体的体积。0)(2=+xyxyl l0222),(2=-+
10、=axzyzxyzyxj j得到得到,66azyx=这是唯一可能的极值点。因此表面积为这是唯一可能的极值点。因此表面积为 的长方体中，的长方体中，以棱长为以棱长为 的正方体的体积为最大，最大体积的正方体的体积为最大，最大体积2aa66.3663aV=解解令令1),(222222-+=czbyaxzyxF,则则202|axFPx=，202|byFPy=，202|czFPz=例例8 8 在第一卦限内作椭球面在第一卦限内作椭球面1222222=+czbyax的的切平切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积体积最小最小，求切点坐标，求切点坐标.设设),(00
11、0zyxP为椭球面上一点为椭球面上一点,过过的切平面方程为的切平面方程为),(000zyxP+-)(020 xxax+-)(020yyby0)(020=-zzcz,02xax=，02yby=，02zcz=,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为所围四面体的体积所围四面体的体积 000222661zyxcbaxyzV=,化简为化简为 1202020=+czzbyyaxx,在条件在条件1220220220=+czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu+=),(000zyxG+=000lnlnlnzyx)1(220220220-+czbyaxl
12、l,由由,010,0,0220220220000 =-+=cybyaxGGGzyx =-+=+=+=+01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxxl ll ll l可得可得即即30ax=30by=，30cz=四面体的体积最小四面体的体积最小abcV23min=.当切点坐标为当切点坐标为(3a，3b，3c)时时,例例9求函数求函数xyzu=在附加条件在附加条件)0,0,0,0(1111 =+azyxazyx下的极值。下的极值。解解作拉格朗日函数作拉格朗日函数).1111(),(azyxxyzzyxL-+=l l02=-=xyzLxl l02=-=yxzLyl l多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值
