1、().,.,.,.上册我们研究了一元函数 一个自变量的函数 及其微分但在许多实际问题中 常常会遇到一个变量依赖于多个变量的情形 这就提出了多元函数的概念以及多元函数的微分和积分问题本章将在一元函数微分的基础上 讨论多元函数的微分法及其应用讨论中以二元为主 所得到的概念、性质和结论均可推广到二元以上的多元函数一、平面点集的基本知识一、平面点集的基本知识二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 9 91 1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 设设),(000yxP是是xoy平面上的一个点，
2、平面上的一个点，是某是某一正数，与点一正数，与点),(000yxP距离小于距离小于 的点的点),(yxP的全体，称为点的全体，称为点0P的的 邻域，记为邻域，记为),(0 PU，（1）点的邻域）点的邻域0P),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx一、平面点集的基本知识一、平面点集的基本知识（2）区域）区域.)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE.EE 的内点属于的内点属于EP.为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41
3、),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 从几何上看,所谓 E 是连通集,是指 E 是连成一片的.E 中的点都可用折线连接.x+y=0 xy
4、oxyo11x2+y2=1连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41|),(22 yxyx例如，例如，xyo0|),(yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正数对于点集对于点集EEPKAPKAPAEPKE 41|),(22 yxyx(3)聚点聚点若对任意给定的
5、 ,点P 的去心机动 目录 上页 下页 返回 结束),(PUE邻域内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 E 的边界点)内点一定是聚点；内点一定是聚点；设设D是平面上的一个点集，如果对于每个点是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量，变量z按照一定的法则总有确定的值和按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称它对应，则称z是变 量是变 量yx,的二元 函数，记 为的二元 函数，记 为),(yxfz （或记为（或记为)(Pfz ）.当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.多元函数中同样有定义域、值域、自变
6、量、多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数定义域定义域D；值域；值域z z=f(x,y),(x,y)D自变量自变量x,y；因变量；因变量z。二、二元函数定义二、二元函数定义,.每个二元函数都有定义域 对于从实际问题提出的函数 可以从实际问题的具体意义确定定义域.对于用数学式子表示的函数 我们约定其定义域就是使该数学式子有意义的那些自变量值的全体 与一元函数类似.就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.求 z=ln(x+y)的定义域 D,并画出D的图形.x+y 0.故 定义域 D=(x,y)|x+y 0 x
7、+y=0 xyo如图y xD(不包括直线x+y=0)例例2 2 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设函数设函数),(yxfz 的定义域为的定义域为D，对于任意，对于任意取定的取定的DyxP),(，对应的函数值为，对应的函数值为),(yxfz ，这样，以，这样，以x为横坐标、为横坐标、y为纵坐为纵坐标、标、z为竖坐标在空间就确定一点为竖坐标在空间就确定一点),(zyxM，当当x取遍取遍D上一切点时，得一个空间点
8、集上一切点时，得一个空间点集),(),(|),(Dyxyxfzzyx ，这个点集称，这个点集称为二元函数的图形为二元函数的图形.（如下页图）（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,左图球面左图球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:9 91 1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、一、二元函数的极限二元函数的极限说明：说明：（2）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（1）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二
9、重极限);,(lim00yxfyyxx 若当点若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于以不同方式趋于,),(000时yxP不存在不存在.例例.讨论函数函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习 证明证明 不存在不存在 证证26300limyxyxyx 取取,
10、3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2）找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的
11、极限运算法则与一元函数类似例例 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1 222yxyx x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续.设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(
12、Pf在在点点0P处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.二、多元函数的连续性二、多元函数的连续性定义定义3 3若若 f(P)在在 D 上每一点都连续上每一点都连续,则称则称 f(P)在在 D 上连续上连续,记为记为 f(P)C(D).注注1.二元函数二元函数 f(X)在在 X0 连续必须满足三个条件连续必须满足三个条件.在在 X0 有定义有定义,在在 X0 的极限存在的极限存在,两者相等两者相等,2.多元连续函数的和多元连续函数的和,差差,积积,商商(分母不为分母不为0)以以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数及多元连续函数的复合仍是多元连续函数.定义可推广到三元以
13、上函数中去.二元连续函数的几何意义二元连续函数的几何意义:定义在区域 D 上的二元连续函数z=f(X)=f(x,y)表示了在D上的一片没有 空洞,没有 裂缝 的连续曲面.这里条件 D 是一区域 是必要的.若D不是区域,z=f(X)可能不是通常意义下的连续曲面.例例7 7 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续多元初等函数：多元初等函数：由多元多
14、项式及基本初等函数由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例如例如:222222);2ln();sin(yxxyzyxxzxyz 分别在半平面分别在半平面 x 0；x2+y22；(x,y)(0,0)内连续。内连续。).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP
15、 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求.2arcsinlim;1coslim221030 yxyxeyxxyyx例例设设),(,23sin),(21limyxfxyeyxyxfyxxy求解解在其定义域内且点是初等函数由于)2,1(,),(yxf,)2,1(),(处连续在点故yxf因此232223sin)2,1(),(22221limeefyxfyx例例8 8.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 函数不连续的点称为
16、间断点。函数不连续的点称为间断点。间断点：间断点：.;极限值不存在的点极限值不存在的点点点极限值不等于函数值的极限值不等于函数值的无定义的点无定义的点闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最
17、小值定理（2）介值定理）介值定理多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）四、小结四、小结多元函数的定义多元函数的定义 若点若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 A，能否，能否断定断定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf )0,0(),(yx取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkx
18、xf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41例例6 6 讨论函数讨论函数 )0,0(),(,0)0,0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取,cos x sin y)0,0(),(fyxf)cos(sin33 2 2)0,0(),(fyxf故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0,0(),(lim)0,0(),(fyxfyx,0 ,2 当当 时时 220yx一、一、填空题填空题:1 1、若若yxxyyxyxftan),(22 ,则则
19、),(tytxf=_.2 2、若若xyyxyxf2),(22 ,则则 )3,2(f_;),1(xyf_.3 3、若若)0()(22 yyyxxyf,则则)(xf_.4 4、若若22),(yxxyyxf ,则则),(yxf_.函数函数)1ln(4222yxyxz 的定义域是的定义域是_.练练 习习 题题 6 6、函数、函数yxz 的定义域是的定义域是_.7 7、函数、函数xyzarcsin 的定义域是的定义域是_.8 8、函数、函数xyxyz2222 的间断点是的间断点是_.二二、求求下下列列各各极极限限:1 1、xyxyyx42lim00 ；2 2、xxyyxsinlim00；3 3、22222200)()cos(1limyxyxyxyx .三、三、证明：证明：0lim2200 yxxyyx.四、四、证明极限证明极限yxxyyx 11lim00不存在不存在.一、一、1 1、),(2yxft；2 2、1213,),(yxf；3 3、xx21；4 4、yyx 112；5 5、xyyxyx4,10),(222 ；6 6、yxyxyx 2,0,0),(；7 7、xyxxyx ,0),(xyxxyx ,0),(；8 8、02),(2 xyyx.二、二、1 1、41；2 2、0 0；3 3、.练习题答案练习题答案
