1、1第四章第四章 小结小结 kxF 一、一、简谐振动的特征方程简谐振动的特征方程1.1.回复力回复力0222 xdtxd2.简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程)(2xa （动力学方程）（动力学方程）)cos(tAx)sin(tAv)cos(2 tAa3.3.简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程（振动方程）（振动方程）Avm Aam2 掌握证明一种振动是简谐振动的一般步骤掌握证明一种振动是简谐振动的一般步骤2二、描述简谐振动的物理量二、描述简谐振动的物理量1.振幅：振幅：2.2.周期周期（T T）：）：21T 2 2T)cos(tAx（A）频率频率（)、圆频率圆频率（）弹弹簧簧振振子子mk km
2、T 22mkT 2112020)(vxA 求振幅有求振幅有三种方法三种方法22)(vxA kEA/2（1）已知初始位速）已知初始位速（3）已知总机械能）已知总机械能（2）已知任意位速）已知任意位速3求求圆圆频频率率的的方方法法(1)(1)建立振动系统的微分方程建立振动系统的微分方程T 22022 Bxdtxd 动系统的固有圆频率前的系数的开方就是振x（2 2）利用公式求）利用公式求（3 3）利用速度和加速度幅值求）利用速度和加速度幅值求Avm Aam2 3.3.位相和初相位相和初相 已知状态求位相已知状态求位相（表示物体运动状态的物理量）（表示物体运动状态的物理量）已知位相求状态已知位相求状态
3、 已知位相差求时间差已知位相差求时间差 tAx0cos Av 0sin00 xvtg (1)(1)位相位相（2 2）求初）求初相方法相方法 解析法解析法（利用初始条件）（利用初始条件）旋转矢量法旋转矢量法4动动 能能)(sin2121222 tkAmvEK三、简谐振动的能量三、简谐振动的能量能能 势势)(cos2121222 tkAkxEP221kAEEEpk mmv221 机械能机械能结论结论（2 2）动能和势能变化的周期相同）动能和势能变化的周期相同（为振动周期的一半）（为振动周期的一半）（1 1）动能和势能的幅值相等，等于）动能和势能的幅值相等，等于 （3）动能和势能变化的步调相反）动能
4、和势能变化的步调相反mmvkA222121或或=常量常量5四、同方向、同频率简谐振动的合成四、同方向、同频率简谐振动的合成(1)解解 析析 法法)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA )cos(tAx1.合振动是简谐振动合振动是简谐振动(a)合振动的频率与分振动的频率相同合振动的频率与分振动的频率相同(b)(b)合振动的振幅合振动的振幅(c)(c)合振动的初相合振动的初相(2)(2)旋转矢量法旋转矢量法2.合振动加强、减弱的条件合振动加强、减弱的条件合振动加强，并与分振动同相合振动加强，并与分振动同相21AAA k212),2,1,0(k
5、(1)(1)合振动减弱，初相与大振幅者相同合振动减弱，初相与大振幅者相同21AAA 当当 A1=A2 )12(12k),2,1,0(k(2)(2)A=061 1、一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为、一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m m的重物，其自由振动的重物，其自由振动的周期为的周期为T T今已知振子离开平衡位置为今已知振子离开平衡位置为x x时时，其振动速度为其振动速度为v v，加，加速度为速度为a a则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是：则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是：(A)2max2max/xmkv(B)xmgk/(C)22/4Tmk(D)xmak/22mkmk22
6、2maxmax)(AAxv22)2(T2xa(B)72 2、一长为、一长为l l的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上，（如图所示），成一复摆（如图所示），成一复摆已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量已知细棒绕通过其一端的轴的转动惯量 此摆作微小振动的周期为此摆作微小振动的周期为 231mlJ(A)gl2(B)gl22(C)gl322(D)gl3Olmg mglmglM21sin21 22231dtdmlJM 02322 lgdtdglT3222 C83 3、轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，、轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原
7、点，平衡位置为原点，位移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位置时刻有一个位移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位置时刻有一个小物体不变盘速地粘在盘上，设新的平衡位置相对原平衡位置向下小物体不变盘速地粘在盘上，设新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅，且以小物体与盘相碰为计时零点，那么以移动的距离小于原振幅，且以小物体与盘相碰为计时零点，那么以新的平衡位置为原点时，新的位移表示式的初相在新的平衡位置为原点时，新的位移表示式的初相在 (A)20(B)2(C)23(D)223x因为振幅变大，故原振幅处不足因为振幅变大，故原振幅处不足以提供最大向上加速度，所以质以提供最大向上加速度
8、，所以质点继续下移点继续下移（D）94 4、把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向、把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度成一微小角度 ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为(A)(B)2(C)0(D)解：由题意知解：由题意知lg )cos(0 t000时时当当 tC105 5、两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同第一、两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同第一个质点的振动方程为个质点的振
9、动方程为 当第一个质点从相对于其平衡当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处则第二个质点的振动方程为则第二个质点的振动方程为 )cos(1tAx)cos(2tAx)21cos(2tAx)21cos(2tAx)23cos(2tAx(A)(B)(C)(D)12解：由图看出，振动解：由图看出，振动2比振动比振动1位相落后位相落后90度度2 B116 6、轻弹簧上端固定，下系一质量为、轻弹簧上端固定，下系一质量为 的物体的物体,稳定后在稳定后在 下边下边又系一质量为又系一质量为 的物体，于是弹簧又伸长了的
10、物体，于是弹簧又伸长了 若将若将 移去，移去，并令其振动，则振动周期为并令其振动，则振动周期为 1m2m1m2mxgmxmT122gmxmT212gmxmT2121gmmxmT)(2212(A)(B)(C)(D)xgmk2121xmgmmkgmxmT2122(B)12 k1 m k2 7 7、劲度系数分别为、劲度系数分别为 和和 的两个轻弹簧串联在一起，下面的两个轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为挂着质量为m m的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的物体，构成一个竖挂的弹簧振子，则该系统的振动周期为的振动周期为 1k2k21212)(2kkkkmT)(221kkmT2121)(2kkkkmT
11、2122kkmT(A)(B)(C)(D)弹簧串联弹簧串联21111kkk2121kkkkk2121)(22kkkkmkmT(C)13km 8 8、一劲度系数为、一劲度系数为k k的轻弹簧截成三等份，的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为质量为m m的物体，如图所示。则振动系统的的物体，如图所示。则振动系统的频率为频率为 mk3mkmk3mk6(A)(B)(C)(D)kkkkkk311111111弹簧并联弹簧并联kkkk6112mkmk621212（D）149 9、一质量为、一质量为m m的物体挂在劲度系数为的物体挂在劲度系数为k k的
12、轻弹簧下面，振动角频率的轻弹簧下面，振动角频率为为 ,若把此弹簧分割成二等份，将物体若把此弹簧分割成二等份，将物体m m挂在分割后的一根弹簧挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是上，则振动角频率是 2222(A)(B)(C)(D)解：解：设分割后的一根弹簧的倔强系数为设分割后的一根弹簧的倔强系数为 ，由弹簧串联公式：，由弹簧串联公式：1k11111kkk 222111 mkmkkkB151010、如图所示，一质量为、如图所示，一质量为m m的滑块，两边分别与劲度系数为的滑块，两边分别与劲度系数为 和和 的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上滑块的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上
13、滑块m m可在光滑的水平面上滑动，可在光滑的水平面上滑动，0 0点为系统平衡位置将滑块点为系统平衡位置将滑块m m向右向右移动到移动到 ,自静止释放，并从释放时开始计时取坐标如图所示，自静止释放，并从释放时开始计时取坐标如图所示，则其振动方程为：则其振动方程为：1k2k0 xmx0k1k2x0cos210tmkkxx)(cos21210tkkmkkxxcos210tmkkxx)(cos21210tkkmkkxxcos210tkkmxx(A)(B)(C)(D)(E)0 xA 由题由题0 xkkxkxkF)(21212221)(dtxdmxkkmaF02122xmkkdtxdmkk21解解)cos
14、(tAx（A）161111、如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为、如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m m的物体，再用的物体，再用此弹簧改系一质量为此弹簧改系一质量为4 4m m的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹的物体，最后将此弹簧截断为两个等长的弹簧并联后悬挂质量为簧并联后悬挂质量为m m的物体，则这三个系统的周期值之比为的物体，则这三个系统的周期值之比为 m4mm(A)1 22/1(B)121 2(C)1 221(D)1 2 1/4 kmT2kkk21kk4321:2:14:4:321kmkmkmTTT（C）171212、如图所示，质量为、如图所示，质量为m m的物体由劲度系
15、数为的物体由劲度系数为k k1 1和和k k2 2的两个轻弹簧的两个轻弹簧连接在水平光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动频率为连接在水平光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动频率为 m k1 k2 mkk212mkk2121212121kmkkk)(212121kkmkk(A)(B)(C)(D)（B）181313、如图所示，质量为、如图所示，质量为m m的物体由劲度系数为的物体由劲度系数为k k1 1和和k k2 2的两个轻弹簧的两个轻弹簧连接，在水平光滑导轨上作微小振动，则系统的振动频率为连接，在水平光滑导轨上作微小振动，则系统的振动频率为 mkk212mk1k2mkk2121212121km
16、kkk)(212121kkmkk(A)(B)(C)(D)（B）xkkxkxkF)(21212221)(dtxdmxkkmaFmkk21191414、如图所示，质量为、如图所示，质量为m m的物体，由劲度系数为的物体，由劲度系数为k k1 1和和k k2 2的两个轻弹的两个轻弹簧连接到固定端，在水平光滑导轨上作微小振动，其振动频率为簧连接到固定端，在水平光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 mkk212mkk2121212121kmkkk)(212121kkmkk(A)(B)(C)(D)2k1km经受力分析可得弹簧串联公式：经受力分析可得弹簧串联公式：21111kkk 2121kkkkk )(21
17、2122121kkmkkmk D2015、一质点作简谐振动其运动速度与时间的曲线如图所示若质、一质点作简谐振动其运动速度与时间的曲线如图所示若质点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为 v(m/s)t(s)Ovmmv2166565632(A)(B)(C)(D)(E)解：解：)2cos()sin(ttMM)cos(tAx设设)2cos(2100 MMt时时，3221)2cos(6 65 65 0cos 00 Maat时时，C211T2T1616、一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的、一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固
18、有振动周期分别为固有振动周期分别为T T1 1和和T T2 2将它们拿到月球上去，相应的周期分将它们拿到月球上去，相应的周期分别为别为和和则有则有 11TT 22TT 11TT 22TT 11TT 22TT 11TT 22TT (A)(B)(C)(D)弹簧振子弹簧振子kmT211TT 单摆单摆glT222TT（D）2217、一质点沿、一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为轴作简谐振动，振动方程为从从t=0时刻起，到质点位置在时刻起，到质点位置在x=-2 cm处，且向处，且向x轴正方向运动的轴正方向运动的最短时间间隔为最短时间间隔为)312cos(1042txs81s61s41s31s21(A)(B
19、)(C)(D)(E)解解：x32st21(E)231818、一弹簧振子，重物的质量为、一弹簧振子，重物的质量为m m，弹簧的劲度系数为，弹簧的劲度系数为k k，该振子作，该振子作振幅为振幅为A A的简谐振动当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动的简谐振动当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时则其振动方程为：时，开始计时则其振动方程为：)21/(costmkAx)21/cos(tmkAx)21/(costkmAx)21/cos(tkmAxtm/kAxcos(A)(B)(C)(D)(E)x由题知由题知mk21)21cos(tmkAx（B）241919、一劲度系数为、一劲度系数为k k的
20、轻弹簧，下端挂一质量为的轻弹簧，下端挂一质量为m m的物体，系统的的物体，系统的振动周期为振动周期为T T1 1若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为若将此弹簧截去一半的长度，下端挂一质量为m21的物体，则系统振动周期的物体，则系统振动周期T T2 2等于等于 12T1T21T21T41T(A)(B)(C)(D)(E)由题由题kk2212222122122TkmkmkmT（D）252020、一质点作简谐振动，周期为、一质点作简谐振动，周期为T T当它由平衡位置向当它由平衡位置向x x轴正方向运轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的动时，从二分之一最大位移处到最大位移
21、处这段路程所需要的时间为时间为 (A)T/12(B)T/8(C)T/6(D)T/4 6 xA2Ao 解：解：如图如图623TTtC262121、一质点作简谐振动，周期为、一质点作简谐振动，周期为T T质点由平衡位置向质点由平衡位置向x x轴正方向轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的时间为 (A)T/4(B)T/6(C)T/8(D)T/12 x6T2Tt121（D）272222、一简谐振动曲线如图所示则振动周期是、一简谐振动曲线如图所示则振动周期是 (A)2.62 s(B)2.40 s(C)2.20 s(D)2.0
22、0 s x(cm)t(s)O 4 2 1 解：如图解：如图65165 t40.25122 TB282323、一弹簧振子作简谐振动，总能量为、一弹簧振子作简谐振动，总能量为E E1 1，如果简谐振动振幅增加，如果简谐振动振幅增加为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量为原来的两倍，重物的质量增为原来的四倍，则它的总能量E E2 2变为变为 (A)E1/4(B)E1/2(C)2E1(D)4 E1 2121kAE 22)2(21AE（D）2424、当质点以频率、当质点以频率n n 作简谐振动时，它的动能的变化频率为作简谐振动时，它的动能的变化频率为 (A)4 n(B)2 n(C)n(D)
23、n21Tn1（B）29解：解：25、弹簧振子在光滑水平面上作谐振动时，弹性力在半个周期弹簧振子在光滑水平面上作谐振动时，弹性力在半个周期 内所作的功为内所作的功为：2kA A)(0 D)(241)(kA C221)(kA B dttAk)(2sin212 22)(2ddtdtdt 令令：dtkxkxdxW dttAtkA)sin()cos(22,2 2 0 时时；时时，Ttt0sin412222 dkAWD302626、一质点作简谐振动，已知振动频率为、一质点作简谐振动，已知振动频率为f f，则振动动能的变化频率，则振动动能的变化频率 是是 (A)4f.(B)2 f(C)f(D)2/f(E)f
24、/4 同24题 （B）2727、一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为、一弹簧振子作简谐振动，当位移为振幅的一半时，其动能为 总能量的总能量的 (A)1/4(B)1/2(C)2/1(D)3/4.(E)2/322283)21(2121kAAkkAEEEpk（D）312828、一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为、一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移的大小为振幅的振幅的1/41/4时，其动能为振动总能量的时，其动能为振动总能量的 (A)7/16(B)9/16(C)11/16(D)13/16(E)15/16 161521)4(211122 kAAkEEEEEEE
25、PPkE322929、一长度为、一长度为L L、劲度系数为、劲度系数为k k的均匀轻弹簧分割成长度分别为的均匀轻弹簧分割成长度分别为 和和 的两部分，且的两部分，且 ，n n为整数为整数.则相应的劲度系数则相应的劲度系数k k1 1和和k k2 2为为 1L2L21nLL 11nknk)1(2nkknnkk)1(112nkknnkk)1(1)1(2nkk11nknk12nkk(A)(B)(C)(D)21111kkk12nkk 11)11(1knknnkk)1(1)1(2nkk（C）333030、图中所画的是两个简谐振动的振动曲线若这两个简谐振动、图中所画的是两个简谐振动的振动曲线若这两个简谐振动 可叠加，则合成的余弦振动的初相为可叠加，则合成的余弦振动的初相为 x t O A/2 -A x1x2(A)23(B)(C)21(D)0 x（B）
