1、1第第6 6章章 振振 动动6.1 简谐运动的描述简谐运动的描述6.2 简谐运动的动力学简谐运动的动力学6.3 简谐运动的能量简谐运动的能量6.4 阻尼振动阻尼振动6.5 受迫振动受迫振动 共振共振6.6 同一直线上同频率的简谐运动的合成同一直线上同频率的简谐运动的合成6.7 同一直线上不同频率的简谐运动的合成同一直线上不同频率的简谐运动的合成6.8 谐振分析谐振分析6.9 相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成2涉及的振动类别涉及的振动类别自由振动自由振动 free 受迫振动受迫振动forced 无阻尼振动无阻尼振动阻尼振动阻尼振动damped 简谐振动简谐振动 SHM Simpl
2、e harmonic motion 非谐振动非谐振动3一一.简谐振动简谐振动（重点重点）简谐振动是理想化模型简谐振动是理想化模型,许多实际的小振幅振动许多实际的小振幅振动都可以看成简谐振动。都可以看成简谐振动。例例.双原子分子双原子分子 两个原子之间的振动。两个原子之间的振动。简谐振动是简谐振动是最简单、最基本最简单、最基本的振动，的振动，可用来研究复杂的振动。可用来研究复杂的振动。(Simple Harmonic Motion)x0EPxx0omxA41.定义定义（判据判据）:kxF (2)弹性力弹性力 （x 为弹簧伸长量）为弹簧伸长量）)cos(tAxx 可作广义理解（位移、电流、场强、温
3、度可作广义理解（位移、电流、场强、温度）(1)运动学方程运动学方程 为什么物体在其稳定平衡位置附近的为什么物体在其稳定平衡位置附近的 无阻尼微小振动，总可以看成是无阻尼微小振动，总可以看成是简谐振动简谐振动？r0EPxx0 20000021)(!)()()(PPPPxxxE xxxExExE00 kxE)(P,)(p00 xE有有按台劳级数展开按台劳级数展开5xtx222 dd(3)动力学方程动力学方程 221kxEEEEPpkconst(弹性力是保守力弹性力是保守力)(4)能量特点能量特点 2241AkAEEEEEpkpk.const或或 200210)(!)()(PPxxkxExE）（有有
4、0 xxkxExFp dd)(例子例子6【思考【思考】设地球密度均匀，质点通过穿设地球密度均匀，质点通过穿过地球的直隧道的振动是过地球的直隧道的振动是SHM吗吗?72.特征量特征量mk 由系统本身固由系统本身固有情况决定有情况决定“与何时开始计时有关与何时开始计时有关!”xtT0000 /2 :相差与时间差的关系：相差与时间差的关系：tT 222020 vxA kEA02 或或(2)振幅振幅A00tanxv (3)初相初相 A、都可都可由初始条件和系统本身情况决定。由初始条件和系统本身情况决定。(1)角（圆）频率角（圆）频率 8例例.在匀加速上升的电梯中有一悬挂的摆在匀加速上升的电梯中有一悬挂
5、的摆,角位角位 移很小时移很小时,在电梯里是否可看成是简谐振动在电梯里是否可看成是简谐振动?lmamgsmaq q【解】【解】直接在电梯直接在电梯(非惯性系非惯性系)中中列牛顿方程。列牛顿方程。22tmlagmdd)(q qq q 切向切向:(应考虑惯性力应考虑惯性力-ma)q qq qq qlS ,sin22tSmmamgddsinsin q qq q9022 q qq qlagtdd对比简谐振动动力学方程对比简谐振动动力学方程0222 xtx dd 可知是简谐振动。可知是简谐振动。lag lmamgsmaq q22tmlagmdd)(q qq q 而且知道振动角频率为而且知道振动角频率为1
6、0例例.如图所示，质量为如图所示，质量为m 的刚体可在重力的力矩的刚体可在重力的力矩 作用下绕水平固定轴作用下绕水平固定轴o 来回摆动（复摆）。来回摆动（复摆）。已知刚体重心已知刚体重心 C 到轴到轴 o的距离为的距离为 ,对轴对轴 o的转的转 动惯量为动惯量为J。bCq qbo【解】【解】mg 刚体所受的对轴的力矩为刚体所受的对轴的力矩为 -mg bsinq q由转动定律由转动定律 JM 22sintJmgbd dd dq qq q 设逆时针转动为正，设逆时针转动为正，对小幅度自由摆动对小幅度自由摆动q qq q sin试证明：刚体作小幅度自由摆动时，偏角试证明：刚体作小幅度自由摆动时，偏角
7、q q 近似地按简谐振动变化。近似地按简谐振动变化。11q qq qmgbtJ 22d dd dxtx222 dd所以，所以，偏角偏角q q 近似地按简谐振动变化。近似地按简谐振动变化。振动周期为振动周期为 21 TmgbJJmgb22 思考：若一单摆的振动周期与此相同，单摆的思考：若一单摆的振动周期与此相同，单摆的 摆长应是多少？摆长应是多少？22sintJmgbd dd dq qq q q qq q sin12例例.已知：已知：U 形管内液体质量为形管内液体质量为m，密度为，密度为 ，管的截面积为管的截面积为S。有一定的高度差有一定的高度差，试判断液体柱振动的性质试判断液体柱振动的性质。忽
8、略管壁和液体间的摩擦忽略管壁和液体间的摩擦。开始时，造成管两边液柱面开始时，造成管两边液柱面2p21)(kyygSyE 无损耗无损耗.const ESHM角频率角频率mSgmk 2 EP=0S y y-y0gSk 2 解法解法1.分析能量分析能量13解法解法2.分析受力分析受力（压强差压强差）ky 令令.const2 gSk SHM角频率角频率mSgmk 2 S y y-y0恢复力恢复力gSyF 2 14作简谐振动的物体，其速度，加速度作简谐振动的物体，其速度，加速度 也作简谐振动也作简谐振动:)cos(tAx (1)解析法解析法领先领先 或落后或落后232领先领先 或落或落后后蓝蓝领先于领先
9、于红，红红，红领先于领先于绿绿。)cos(2 tAa)2cos(tAvxot =/2 A-A =0 =/42T2T)cos(tAx3.表示法表示法 (2)振动曲线法振动曲线法 15xv0 00 x0A/2用旋转矢量法定用旋转矢量法定 很方便。很方便。20Ax 00 v例：例：?3 答：答：用旋转矢量法研究振动合成也用旋转矢量法研究振动合成也 很方便。很方便。(3)旋转矢量法旋转矢量法Atx0=0av 2 2 AA txx t0 016xAA A2*复数法复数法)i(e tAx17例例:一简谐振子，初始位置为一简谐振子，初始位置为-A/2，正朝负方向，正朝负方向运动，振动周期为运动，振动周期为2
10、s，1)确定初相位；确定初相位；2)求到达平衡位置的最短时间。求到达平衡位置的最短时间。解：解：1)o-A/2？A由振幅矢量图由振幅矢量图，得，得32 2)由初始位置到平衡位置由初始位置到平衡位置 振幅矢量需旋转振幅矢量需旋转6/5 s652 Tt 需时需时184.同一方向上同一方向上SHM 的合成的合成(1)(1)同频率同频率)cos()cos(222111 tAxtAx)cos(tAx合成仍为合成仍为S SHMHMxxx1x2 1 2 2A1AA)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintan AAAA 19重要的特例重要的特例:同相同相2112)2,
11、1,0()12(AAAkk 反相反相2112)2,1,0(2AAAkk xxx1x2 1 2 2A1AA20例例.已知：两个质点平行于同一直线并排作简已知：两个质点平行于同一直线并排作简 谐运谐运动，它们的频率、振幅相同。在振动过程中，每当它动，它们的频率、振幅相同。在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，且运动方向相反。们经过振幅一半的地方时相遇，且运动方向相反。求：它们的相差。求：它们的相差。【解解】()()212 tAtAAcoscos由由3,321 tt32,012?解析法解析法.x0A-A21旋转矢量法旋转矢量法.02A1A2Ax 3212 取取运动方向相反运动方向相反x0A
12、-A按题目的已知条件按题目的已知条件,画出两个画出两个旋转矢量。旋转矢量。很易可以看出很易可以看出32 22若有若有 n 个个SHM:振幅相等振幅相等,初相依次差常量初相依次差常量,)1(cos)2cos()cos()cos(321 ntaxtaxtaxtaxn合成合成 (仍是仍是SHM)cos(tAx 212sin2sin nnaA o oaA A 23aA Rn oR 22，nRAsin22 sinRa 又又22 sinsinnaA24重要的特例重要的特例:可得可得naA )2,1,0(2 kk 各分振动同相各分振动同相各分振动的初相差为各分振动的初相差为nk 2,k（为为 不不 等等 于
13、于 nk 的整数的整数)可得可得 封闭多边形封闭多边形!0 A例例.n4 4 时时7,6,5),4(,3,2,1),0(,kk=1=1k=3=3k=2=225（2 2）不同频率不同频率21AA，同向时，同向时，A=Amax=A1+A2反向时反向时，21AA，|21minAAAA （若（若 A1=A2 则则 A=0）0 x2A1AA2 21 1A 的大小在变化，的大小在变化，)cos()cos(22221111 tAxtAx合成的旋转矢量在合成的旋转矢量在 x 轴上的投影不是轴上的投影不是SHM26)cos()cos(2211 tAxtAx合成也是非简谐振动合成也是非简谐振动 ttAxxx2co
14、s2cos2121221变化快变化快变化慢变化慢(起调制作用起调制作用 信息信息)若若 1 1，2 2 均较大，而差值较小，则合振动均较大，而差值较小，则合振动的的 振幅振幅 时而大（为时而大（为 2A），时而小（为），时而小（为 0 0）当两个分振动的振幅相等而且在两个分振动矢量当两个分振动的振幅相等而且在两个分振动矢量重合的时刻开始计时重合的时刻开始计时27|21vvv 拍拍|2121 这种两个频率都较大但是相差又很小、同方向这种两个频率都较大但是相差又很小、同方向 简谐振动合成时，合振动有忽强忽弱的现象，简谐振动合成时，合振动有忽强忽弱的现象，称为称为“拍拍”。单位时间内振动加强（或减弱
15、）的次数叫单位时间内振动加强（或减弱）的次数叫拍频。拍频。28tx1 2=6tx2 1=7 =1-2 拍频拍频tx（可测频，或得到更低频的振动）（可测频，或得到更低频的振动）295.相互垂直的相互垂直的 SHM 的合成的合成(1)(1)同频率同频率)(cos)(cos2211 tAytAx将两式联立，消去将两式联立，消去t,可得可得)(sin)cos(21221221222212 AAxyAyAx1 1）合振动为合振动为线线振动。振动。,012 2 2）合振动为合振动为正椭圆正椭圆。212 3 3）一般情况下，合振动为一般情况下，合振动为斜椭圆斜椭圆且当且当 A1=A2 时时,即为即为圆圆30
16、轨迹的旋转矢量作图法轨迹的旋转矢量作图法:以以412 为例为例(y相位相位领先领先)1 12 23 34 45 56 67 78 80 00 00 01 11 12 22 23 33 34 44 45 55 56 66 67 77 78 88 8xyyxy相位领先相位领先,则为右旋则为右旋!相位领先相位领先,则为左旋则为左旋!x 在半个周期在半个周期里看，谁先里看，谁先达到最大值，达到最大值，谁领先。谁领先。31 =12 不同，椭圆形状、旋向也不同。不同，椭圆形状、旋向也不同。=3/2 =7/4 =/2 =/4PQ =0yx =3/4y 领先，右旋领先，右旋x 领先，左旋领先，左旋 =5/43
17、2合成运动又具有合成运动又具有稳定的封闭轨迹稳定的封闭轨迹,称为李萨如图称为李萨如图例如例如.)(cos)(cosyyyxxxtAytAx 右图：右图：23 yx yxAyAxo-Ax-Ay达达到到最最大大值值的的次次数数达达到到最最大大值值的的次次数数yxyxyx 具体的图形与具体的图形与yx ,有关有关,可以画出可以画出当两个频率有微小差别时当两个频率有微小差别时,位相在缓慢变化位相在缓慢变化,轨迹形状也会缓慢变化轨迹形状也会缓慢变化,不稳定不稳定(2)不同频率不同频率,但有简单整数比时但有简单整数比时33 利用付里叶分解，可将任意振动利用付里叶分解，可将任意振动 分解成若干分解成若干SH
18、M 的叠加。的叠加。对周期性振动：对周期性振动：)cos(2)(10kkktkAatx T=2 T 周期，周期，k=1 基频（基频（）（决定（决定音调）音调）k=2 二次谐频（二次谐频（2）k=3 三次谐频（三次谐频（3）（决定（决定音色）音色）高次高次谐频谐频二二.谐振谐振分析分析34 x0+x1tx0=a0/20 x3t0 x5t0 x0ta0Tx0+x1+x3+x5t0T例如：例如：对对方波方波35三三.阻尼振动阻尼振动)cos(e00 tAxt称为衰减因子称为衰减因子t e1.弱阻尼弱阻尼（0 0）3.3.临界阻尼（临界阻尼（=0 0 ）为非周期振动。为非周期振动。刚能作非周期振动，刚
19、能作非周期振动，且回到平衡位置的时间最短。（电表设计）且回到平衡位置的时间最短。（电表设计）音叉、钢琴弦音叉、钢琴弦-Q 103例例.无线电震荡回路无线电震荡回路-Q 102激光器光学谐振腔激光器光学谐振腔-Q 107过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼xt038三三.强迫振动强迫振动若系统受弹性力若系统受弹性力,阻力外阻力外,还受周期性策动力还受周期性策动力tHF cos 其稳定振动解为：其稳定振动解为：()tAxcostHtxkxtxm cosdddd 22,2m ,20mk mHh 39此此稳定稳定解与简谐振动很相似解与简谐振动很相似,但很不一样但很不一样:是策动力的角频率是策动力的
20、角频率(与系统本身的性质无关与系统本身的性质无关),A是是 ,0h的函数的函数 (与初始条件与初始条件 x0,v0无关无关)振幅振幅 A A为最大值为最大值,这称为这称为共振现象。共振现象。()()220212222202tan4cos hAtAx式式中中()tAxcos注意：注意：在弱阻尼（在弱阻尼（）情况下）情况下,当当 时，时，0 0 稳定振动稳定振动40共振时共振时,振动系统能最大限度地从外界获得能量。振动系统能最大限度地从外界获得能量。因为此时因为此时2tan 即策动力与速度同相即策动力与速度同相,策动力总是作正功策动力总是作正功,系统就能最大限度从外界获得能量系统就能最大限度从外界获得能量,振幅振幅可达最大值可达最大值2202tan tHF cos)cos()2cos(tAtAtxv d dd d有有41共振现象有利有弊。共振现象有利有弊。例如：例如：收音机收音机 乐器乐器 核磁共振等。核磁共振等。玻璃球泡因玻璃球泡因声共振而破裂声共振而破裂
