1、3.4 导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用宿迁青华中学宿迁青华中学 徐守高徐守高1 1、实际问题中的应用、实际问题中的应用.在日常生活、生产和科研中在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的常常会遇到求函数的最大最大(小小)值的问题值的问题.建立目标函数建立目标函数,然后利用导数的方法然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路求最值是求解这类问题常见的解题思路.在建立目标函数时在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域一定要注意确定函数的定义域.在实际问题中在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个有时会遇到函数在区间内只有一个点使点使 的情形的情形,如果函数在这个点
2、有极大如果函数在这个点有极大(小小)值值,那么不与端点值比较那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大也可以知道这就是最大(小小)值值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间这里所说的也适用于开区间或无穷区间.0)(xf满足上述情况的函数我们称之为满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数单峰函数”.3、求最大（最小）值应用题的一般方法、求最大（最小）值应用题的一般方法(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步。(2)确定函数定义域，并求出极值点。确定函数定义域，并求出极值点
3、。(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实结合实际，确定最值或最值点。际，确定最值或最值点。2、实际应用问题的表现形式，常常不是、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来。以纯数学模式反映出来。首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质。其次，建立相应的数学模型其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题将应用问题转化为数学问题,再解。再解。4.4.问题类型问题类型1.1.几何方面的应用几何方面的应用2.2.物理方面的应用物理方面的应用.3.3.经济学方面的应用经济学方面的应用(面
4、积和体积等的最值面积和体积等的最值)(利润方面最值利润方面最值)(功和功率等最值功和功率等最值)6060解解:设箱底边长为设箱底边长为x cm，箱子容积为箱子容积为V=x2 h例例1 在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？则箱则箱高高260 xh 26032xx xxV =60 x3x/2令令V =0，得，得x=40,x=0(舍去舍去)得得V(40)=
5、16000答：当答：当箱底边长为箱底边长为x=40时时,箱子容积最大，箱子容积最大，最大值为最大值为16000cm3)600(x;0()40,0(）时，时，当当xVx.0()60,40(）时，时，当当xVx。为为极极大大值值，且且为为最最大大值值)40(V 在实际问题中，如果函数在实际问题中，如果函数 f(x)在某区间内在某区间内只有一个只有一个x0 使使f (x0)=0,而且从实际问题本身又可而且从实际问题本身又可以知道函数在以知道函数在 这点有极大这点有极大(小小)值，那么不与端点值，那么不与端点比较，比较，f(x0)就是所求的最大值或最小值就是所求的最大值或最小值.(所说区间的也适用于开
6、区间或无穷区间所说区间的也适用于开区间或无穷区间)11年应用题是全卷的焦点年应用题是全卷的焦点请你设计一个包装盒，如图所示，请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设端点，设AE=FB=xcm（1）若广告商要求包装盒侧
7、面积）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问）最大，试问x应取何值？应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。课本例题的改编导数解决放到课本例题的改编导数解决放到17题位置相对简单。题位置相对简单。练习练习2:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它如何确定它的高与底半径的高与底半径,使得所用材料最省使得所用材料最省?Rh解解 设圆柱的高为设圆柱的高为h,底面半径为底面半径为R.则表面积为则表面积为 S(R)
8、=2Rh+2R2.又又V=R2h(定值定值),.2RVh则2222)(RRVRRS.222RRV.042)(2RRVRS由.23VR 解得3222VRVh从而即即h=2R.可以判断可以判断S(R)只有一个极值点只有一个极值点,且是最小值点且是最小值点.答答 罐高与底的直径相等时罐高与底的直径相等时,所用材料最省所用材料最省.200817如图，某地有三家工厂，分别位于矩形如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点的两个顶点A，B及及CD的中点的中点P处处AB20km，BC10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与上（含边
9、界）且与A，B等距的一点等距的一点O处，建造一个污水处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO记铺设管记铺设管道的总长度为道的总长度为ykm（1）按下列要求建立函数关系式：）按下列要求建立函数关系式：（i）设）设 （rad），将表示成的函数；），将表示成的函数；（ii）设）设 （km），将表示成的函数；），将表示成的函数；（2）请你选用（）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。位置，使铺设的污水管道的总长度最短。【解析】本小题主要考查函数最值的应用BCDAOPBAOOPx10
10、1010 10tancoscosyOAOBOP20 10sin10cosy042220200 010yxxxx2210coscos20 10sin10 2sin1coscossinymin10 10 36y时例例3.已知某商品生产成本已知某商品生产成本C与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为C=100+4q,价格价格p与产量与产量q的函数关系式为的函数关系式为 求产量求产量q为何值为何值时时,利润利润L最大。最大。.8125qp 分析分析:利润利润L等于收入等于收入R减去成本减去成本C,而收入而收入R等于产量乘价格等于产量乘价格.由此可得出由此可得出利润利润L与产量与产量q的函数关系式的函
11、数关系式,再用导数求最大利润再用导数求最大利润.281258125qqqqpqR解：收入)2000(1002181)4100(812522 qqqqqqCRL利润利润2141qL021410 qL，即，即令令求得唯一的极值点求得唯一的极值点84q因为因为L只有一个极值点只有一个极值点,所以它是最大值所以它是最大值.答答:产量为产量为84时时,利润利润L最大最大.xy练习练习1:如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个内接围成的图形中有一个内接矩形矩形ABCD,求这求这 个矩形的个矩形的最大面积最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2),
12、则则 A(x,4x-x2).从而从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面积的面积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).16246)(2 xxxS令令 ,得得.3322,33220)(21 xxxS),2,0(1 x所以当所以当 时时,.9332)(3322max xSx因此当点因此当点B为为 时时,矩形的最大面积是矩形的最大面积是)0,3322(.9332 例4，如图，设铁路，如图，设铁路AB之间距离为之间距离为50km，C到到AB的距离为的距离为10km，现将，现将货物从货物从A运往运往C，已知单位距离铁路，已知单位距离铁路费
13、用为费用为2a元，公路费用为元，公路费用为4a元，问在元，问在AB上何处修筑公路至上何处修筑公路至C，可使运费由，可使运费由A至至C最省？最省？._:CA3310310 0310 x ,0310 x)(310,310 010042)500(1004a)50(2CA1004aMCx),-2a(50AMx,MB21222答最省。至千米时运费由所以时，当时，又当舍解得：令从而的总费用为：至所以上的运费为上的运费为则解：设xyyxxyxaxayxxxayx练习练习2、如图、如图,铁路线上铁路线上AB段长段长 100km,工厂工厂C到铁路的到铁路的 距离距离CA=20km.现在要现在要 在在AB上某一处
14、上某一处D,向向C修修 一条公路一条公路.已知铁路每吨已知铁路每吨 千米与公路每吨千米的运费之比为千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料为了使原料 从供应站从供应站B运到工厂运到工厂C的运费最省的运费最省,D应修在何处应修在何处?B D AC解解:设设DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD=km.2220 x2400 x 又设铁路上每吨千米的运费为又设铁路上每吨千米的运费为3t元元,则公路上每吨千则公路上每吨千米的运费为米的运费为5t元元.这样这样,每吨原料从供应站每吨原料从供应站B运到工厂运到工厂C的总运费为的总运费为).1000()100(34005352 xxtx
15、tBDtCDty令令 ,在在 的范围内有的范围内有唯一解唯一解x=15.0)34005(2 xxty1000 x所以所以,当当x=15(km),即即D点选在距点选在距A点点15千米时千米时,总运总运费最省费最省.注注:可以进一步讨论可以进一步讨论,当当AB的距离大于的距离大于15千米时千米时,要找的要找的 最优点总在距最优点总在距A点点15千米的千米的D点处点处;当当AB之间的距离之间的距离 不超过不超过15千米时千米时,所选所选D点与点与B点重合点重合.练习练习1、把长为、把长为100cm的铁丝分为两段，各围的铁丝分为两段，各围成正方形，怎样分法才能使两个正方形面成正方形，怎样分法才能使两个
16、正方形面积之和最小？积之和最小？x100-4x4解解:设分成一段长为设分成一段长为4xcm,则则第一个正方形面积为另第一个正方形面积为另一个面积为一个面积为2x22100-4x()=(25-x)4所以面积之和为所以面积之和为222s=x+(25-x)=2x-50 x+625s=4 x-5 0所以所以4x-50=0得得x=12.5,当当x12.5时，时，s12.5时，时，s0,故当故当x=12.5时时s最大值为最大值为312.5平方厘米平方厘米答：当一段为答：当一段为4x50cm时，面积之和时，面积之和最小，此时另一段也为最小，此时另一段也为50cm 练习练习2、同一个圆的内接三角形中，等边三角
17、、同一个圆的内接三角形中，等边三角形面积最大。形面积最大。提示：设圆的半径为提示：设圆的半径为R（常数），等腰三角形的底（常数），等腰三角形的底的边心距为的边心距为x，则高为，则高为Rx,底边长为底边长为_等腰三角形的面积为等腰三角形的面积为22221s(x)=2R-x(R+x)=(R+x)R-x(0 x0)x2232x-256xs(x)=0,x=4xx令得因为因为s(x)只有一个极值，故高为只有一个极值，故高为4dm时最省料时最省料升升 立方分米立方分米4、设圆铁皮半径为、设圆铁皮半径为R，扇形的，扇形的圆心角为弧度，则圆锥底半圆心角为弧度，则圆锥底半径为径为R2Rr圆锥的高为圆锥的高为22
18、2242RhRr圆锥形容器的容积为圆锥形容器的容积为3222221()4(02)324RVr h323222R8-32 6V()=02434-令，得 因过小或过大都会使因过小或过大都会使V变小，故时，容器变小，故时，容器的容积最大。的容积最大。2 63rRhC2 r周L=R弧练习练习5、已知海岛、已知海岛A与海岸公路与海岸公路BC的距离的距离AB为为50KM，B、C间间的距离为的距离为100KM，从，从A到到C，先，先乘船，船速为乘船，船速为25KM/h，再乘车，再乘车，车速为车速为50KM/h，登陆点选在何处，登陆点选在何处所用时间最少？所用时间最少？ABC解：设登陆点选在解：设登陆点选在D
19、处，使处，使BDxKM，则乘船距离为，则乘船距离为，乘车距离为乘车距离为(100 x)KM2250+x所用时间所用时间2250+x100-xt(x)=+(0 x100)25502x1t(x)=-,t(x)=0,5025 x+50令得50 3x=3（舍去负值）（舍去负值）因为当因为当x 时，时，t 时，时，t0,故故当当登陆点选在距离登陆点选在距离BKM处时所用时间最少。处时所用时间最少。50 3350 3350 33练习练习4:已知已知x,y为正实数为正实数,且且x2-2x+4y2=0,求求xy的最大值的最大值.解解:由由x2-2x+4y2=0得得:(x-1)2+4y2=1.设设 ,由由x,y
20、为正实数得为正实数得:sin21,cos1 yx.0 .sin)cos1(21 xy.sin)cos1(21)(f设设).21)(cos1(coscos)cos1(sin21)(2 f令令 ,得得 又又 0)(f;21cos,1cos .3,0 ,又又f(0)=f()=0,833)3(f.833)(max f故当故当 时时,43,23 yx.833)(max xy练习练习5:证明不等式证明不等式:).0()1(321)1(211ln32 xxxxx证证:设设).0()1(32)1(211ln)(32 xxxxxxf则则,12)1()1(2)1(11)(2322xxxxxxxxf 令令 ,结合结合x0得得x=1.0)(xf而而0 x1时时,所以所以x=1是是f(x)的的极小值点极小值点.0)(xf0)(xf所以当所以当x=1时时,f(x)取最小值取最小值f(1)=1.从而当从而当x0时时,f(x)1恒成立恒成立,即即:成立成立.2)1(211ln xxx3)1(321x 小结 作业
