1、 三湘名校教育联盟三湘名校教育联盟 2019 届高三第三次大联考届高三第三次大联考 理科数学理科数学 第第卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1.已知全集为实数集R，集合 2 30Ax xx， 21 x Bx，则()AB R A. (03,)， B. (0,1 C. 3 ， D. 1)， 【答案】C 【详解】根据题中条件可求得=x|0x0A，所以 |030 |3 R C ABx
2、xxx xx x或，故选 C. 2.已知i为虚数单位，若复数 2 2 ai zaR i 的实部与虚部相等，则a的值为（ ） A. 2 B. 3 2 C. 2 3 D. 2 【答案】C 【分析】先化代数形式，再根据实部与虚部相等列方程，解得结果. 【详解】 2(4)(22) 25 aiaai z i 4222 =, 553 aa a ,选 C. 【点睛】本题考查复数除法运算以及复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗， 店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终
3、输出的0x，则 一开始输入的 x 的值为( ) A. 3 4 B. 7 8 C. 15 16 D. 31 32 【答案】B 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算输入时变量 x的值，模拟程序的运行 过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得到答案. 【详解】本题由于已知输出时 x 的值，因此可以逆向求解： 输出0x,此时4i ； 上一步： 1 210, 2 xx ,此时3i ； 上一步： 13 21, 24 xx ,此时2i ； 上一步： 37 21, 48 xx ,此时1i ；故选：B 【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题
4、. 4.已知向量0,2OA，1,OBt，且OA OB OA，则OA与AB的夹角为( ) A. 6 B. 3 4 C. 3 D. 5 12 【答案】B 【分析】由OA OBOA结合数量积的坐标公式和模长公式，可得到1t ，再利用公式求OA与AB的夹 角. 【详解】向量0,2OA，1,OBt， 所以 2OA OBt ，2OA 由OA OBOA，即22t ，所以1t 所以1,1OB 1, 1ABOBOA 22 cos, 222 OA AB OA AB OAAB 又OA与AB的夹角在0，内,所以OA与AB的夹角为 3 4 . 故选：B 【点睛】本题考查利用向量的数量积的坐标公式求向量的夹角，注意向量夹
5、角的范围，属于基础题. 5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ） A. 2 3 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4 【答案】B 分析：先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果. 详解：几何体如图 S-ABCD，高为 1，底面为平行四边形，所以四棱锥的体积等于 2 11 1 1 = 33 ， 选 B. 点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几 何模型，在几何模型中进行判断求解. 6.已知 1 2017 2017a ， 2018 log2019b， 2019 log2018c ，则a，b，c的大小关系为( ) A. abc B
6、. acb C. bac D. cba 【答案】A 【分析】 由条件有1a ， 20182018 11 log2019log2019 22 b 且 2018 log20191b，而 2019 11 log2018 22 c ， 从而得到答案. 【详解】 1 0 2017 201720171a 201820182018 111 log2019log2019log2018 222 b ，且 20182018 log2019log2018 1b 20192019 111 log2018log2019 222 c 所以 1 1 2 abc 故选：A 【点睛】本题考查利用指数、对数函数的单调性比较大小，
7、注意找准中间量，属于中档题. 7.函数 cosx f x x 的部分图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 由 fxf x 得 f x为奇函数排除选项 C，由函数值的变化趋势可以排除选项 A，B 得到答案. 【详解】函数 f x的定义域为00 +，. coscosxx fxf x xx ,所以 f x为奇函数，故排除选项 C. 由当0x且0x时， f x ，故排除选项 B. 由当x 时， 0f x ，故排除选项 A 故选：D 【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是利用函数的奇偶性、函数值的变化趋势进行判断，属于基础题. 8.直线l： 1ykx与圆O： 22 4xy交于A
8、，B两点，当AOB的面积最大时，弦AB所对的劣弧 长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 5 6 【答案】C 【分析】 圆心O到直线l的距离 2 1 1 d k ,则 2 22 2 3+4 22 1 k ABrd k ，所以 2 2 3+ 1+ 4 AOB k S k ，设 2 3+4=3kt 可得当3t ，即0k 时 AOB S有最大值，从而求出答案. 【详解】直线l：1ykx与圆O： 22 4xy交于A，B两点. 则圆心O到直线l的距离 2 1 1 d k . 所以 2 22 2 3+4 22 1 k ABrd k 2 2 2 2 22 11 4 21+ 1 3+43+4
9、1 AOB k SABddd k k k k . 设 2 3+4=3kt 则 2 44 1 1 AOB t S t t t ， 由函数 1 yx x 可知在 3 + ，上单调递增， 所以当3t ，即0k 时， 1 t t 有最小值， AOB S有最大值. 此时 2 22 2 3+4 222 3 1 k ABrd k ，又2OAOB 所以 222 44 121 cos 282 OAOBAB AOB OA OB AOB为弦AB所对的劣弧所对的圆心角. 所以此时 2 3 AOB 时，所以弦AB所对的劣弧长为 24 33 lr 故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，弦长公式，点到直线的距离，
10、面积的最值，属于中档题. 9.已知函数 sin0,0, 2 f xAxA 的部分图象如图所示，则函数 cosg xAx图象的一个对称轴方程可能为( ) A. 0x B. 2x C. 10x D. 14x 【答案】D 【分析】 根据函数 sin0,0, 2 fxAxA 的图象，先求出A， ， 的值，然后再求 cosg xAx的对称轴方程. 【详解】根据函数 sin0,0, 2 f xAxA 的图象可得 2 3A , 12 816 2 ，TT ,则 8 . 又 62 3sin60 8 f 结合函数 sinyx 的图象有62, 8 kkZ . 所以 3 2, 4 kkZ ，由 2 ，则可以取 3 4
11、 则 3 2 3c 48 osg xx 的对称轴方程为 3 =, 84 xkkZ 即86,xkkZ，当1k 时，14x 故选：D 【点睛】本题考查根据 sinf xAx的图象求表达式，利用表达式研究三角函数的对称性，属于 中档题. 10.小姜同学有两个盒子A和B，最初盒子A有 6 枚硬币，盒子B是空的.在每一回合中，她可以将一枚硬币 从A盒移到B盒，或者从A盒移走K枚硬币，其中K是B盒中当前的硬币数.当A盒空时她获胜.则小姜可 以获胜的最少回合是( ) A. 三回合 B. 四回合 C. 五回合 D. 六回合 【答案】B 【分析】 根据题意，前两回合只能是将一枚硬币从A盒移到B盒，从第三回合要分
12、情况讨论，是将一枚硬币从A盒 移到B盒，还是从A盒移走K枚硬币，从而得到答案. 【详解】第一回合：将一枚硬币从A盒移到B盒，此时A盒有 5 枚硬币，盒子B有 1 枚硬币. 第二回合：将一枚硬币从A盒移到B盒，此时A盒有 4 枚硬币，盒子B有 2 枚硬币. 此时第三回合分为两种情况: (1)第三回合：将一枚硬币从A盒移到B盒，此时A盒有 3 枚硬币，盒子B有 3 枚硬币. 第四回合：将三枚硬币从A盒移走，此时A盒有 0 枚硬币. 从而小姜获胜. (2) 第三回合：将 2 枚硬币从A盒移走，此时A盒有 1 枚硬币. 第四回合：将一枚硬币从A盒移到B盒，此时A盒有 0 枚硬币. 从而小姜获胜. 所以
13、小姜要获胜，至少要四回合. 故选：B 【点睛】本题考查简单的推理问题，属于基础题. 11.定义“穿杨二元函数”如： ( , )248 n C a naaaa 个 .例如：3,43 6 12 2445C .若 aZ ，满足 ,C a nn，则整数n的值为( ) A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 不存在满足条件的n 【答案】B 分析】 由 ( , )248 n C a naaaa 个 ， 得 1 2 ,21 1 2 n n C a naa ,然后根据,C a nn结合条件分析 得出答案. 【详解】由 ( , )248 n C a naaaa 个 ，得 1 2 ,21 1 2 n n C
14、a naa 由,C a nn，可得21 n an. 当0n时，对任意aZ 都满足条件. 当0n 时, 21 n n a ,由aZ ，当1n 时， 1a 满足条件. 当2n且nZ时，设 21 x f xx ，则 2 ln2 1 x fx在2x上单调递增. 所以 24ln2 10fxf ，所以 f x在2x上单调递增. 所以 24 1 20f xf ，即当2n且nZ时，恒有21 n n . 则0,1 21 n n a 这与aZ 不符合.所以此时不满足条件. 综上：满足条件的n值为 0或 1. 故选：B 【点睛】本题考查新定义，根据定义解决问题，关键是理解定义，属于中档题. 12.正方体 1111
15、ABCDABC D的棱长为 1，动点M在线段 1 CC上，动点P在平面 1111 DCBA上，且AP 平 面 1 MBD.线段AP长度的取值范围为( ) A. 1,2 B. 1, 3 C. 3 ,2 2 D. 6 , 2 2 【答案】D 【分析】 以 1 ,DA DC DD分别为 , ,x y z建立空间直角坐标系，设 , ,1P x y，0,1,Mt，由AP 平面 1 MBD，可 得 +1 1 xt yt ，然后用空间两点间的距离公式求解即可. 【详解】以 1 ,DA DC DD分别为 , ,x y z建立空间直角坐标系， 则 1 1,0,0 ,1,1,0 ,0,1,0,0,1ABMtD，,
16、 ,1P x y. 1, ,1APxy, 1 1, 1,1BD ,1,0,0,1，BMtt 由AP 平面 1 MBD，则 0BMAP 且0 1 BDAP 所以10xt 且110xy 得+1xt，1yt . 所以 2 2 2 13 112 22 APxyt 当 1 2 t 时， min 6 2 AP，当0t 或1t 时， max 2AP ， 所以 6 2 2 AP 故选：D 【点睛】本题考查空间动线段的长度的求法，考查线面垂直的应用，对于动点问题的处理用向量方法要简 单些，属于中档题. 第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 90 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题
17、小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.把答案填在答题纸上把答案填在答题纸上. 13.设关于 , x y的不等式组 , 4, 2 yx x ykx 表示的平面区域为，若( ,), ( , ), ( ,)ABC1 23 023中有且仅有两个点 在内，则k的最大值为_ 【答案】0 【分析】 先画出平面区域，结合点的位置求解. 【详解】如图， 直线 0 l符合题意，此时0k . 【点睛】本题主要考查线性约束条件表示的平面区域.利用不等式准确表示出区域是求解关键. 14.数学老师准备命制一道解三角形的练习题，完成了题目部分信息如下：在ABC中，a、b、c分别是 角A、B、C的对边，已知45A， 2
18、 2b ，求边c.显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c 只有一解，那么a的可能取值是_.（只需填写一个合适的答案） 【答案】2a或 2 2a 【分析】 先计算出 2 sin452 22 2 b ，然后作出图象，可得当2a或ab时，满足条件. 【详解】由45A， 2 2b ，若补充a的大小，使得c只有一解，即满足条件的三角形只有一个. 则 2 sin452 22 2 b 当2a时，即以C为圆心2a为半径作圆，与射线AB边相切于点B,如图 1. 此时满足条件的三角形ABC只有一个. 当以C为圆心2 2rBC rb为半径作圆，与射线AB只有一个交点B,如图 2. 此时满足条件的三角形ABC只
19、有一个. 所以满足条件的a的可能取值是2a或 2 2a . 故答案为：2a或 2 2a . 【点睛】本题考查满足条件的三角形的解得个数问题，注意作图分析条件，属于基础题. 15.过抛物线C： 2 2xy焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，点P在抛物线C的准线上，若PMN 是等边三角形，则PMN的面积为_. 【答案】9 3 【分析】 设直线MN的方程为 1 2 yk x，与抛物线方程联立得到 12=2 xxk，表示出MN的中点坐标，利用 PMN是等边三角形， 则 3 , 2 QPMN PQMN， 求出k的值， 进一步得到MN的长度， 可得PMN 的面积. 【详解】 设 11 ,M x y， 22
20、 ,N x y， 1 , 2 P m ，MN的中点为 00 ,Q x y直线MN的方程为 1 2 yk x， 显然0k 由 1 2 ykx, 2 2xy联立得 2 210xkx 所以 12=2 xxk，则 12 0 = 2 xx xk ， 2 00 11 22 yk xk， 2 1212 221yypk xMNxk PMN是等边三角形，则 3 , 2 QPMN PQMN . 0 0 1 12 PQ y k xmk ，即 2 0 11 122 k xmk 所以 3 2mkk， 22 2 22 11 1+2 3322 21 22 11 k m kk PQMNk kk 设 2 11kt ，所以 11
21、1 3 tt t t ，解得3，t 即 2 2k . 所以 2 216MNk ， 21 sin609 3 2 MNP SMN 故答案为：9 3 【点睛】本题考查抛物线中国焦点的直线的性质，考查抛物线中与三角形的面积有关的问题，方程联立， 韦达定理处理问题的基本方法，属于中档题. 16.已知集合,|1 40,140,N,NAs tstst .若BA， 且对任意的, a bB，, x yB， 均有0axby，则集合B中元素个数的最大值为_. 【答案】79 【分析】 由题意集合B中元素是将, a b, x y看成平面直角坐标系上的点， 点, x y与点, a b的相对位置为一个 点在另一个点的正下方
22、，正右方，或右下方，由此推出答案. 【详解】集合A,|140,140,N,NAs tstst ，BA，将集合,A B中的元素看成点. , a b, x y看成平面直角坐标系上的点，0axby. 即点, x y与点, a b的相对位置为一个点在另一个点的正下方，正右方，或右下方. 要使得集合B中元素尽可能的多，首先选1,40B，则下一个点选在1,40的右方或下方. 依次类推，向下和向右各最多有 39 个选择. 所以集合B中元素最多有 39+39+1=79. 故答案为：79. 【点睛】本题考查集合的包含关系，考查推理能力，理解转化的能力，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算
23、步骤，解答过程书写在答题纸的对应位三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位 置置.本大题共本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分. 17.设数列 n a满足 1 123 242n n aaaan . （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列 2 log nn aa的前n项和. 【答案】 （1） 1 1 2 n n a ； （2） 2 1 1 2 222 n nn 试题分析： 1根据题意求出当2n时， 2 1231 2421 n n aaaan 求出 n a的表达式，然后验证当1n 时是否成立(2)先给出通项 2 1 1 log1 2 nn n
24、aan ，运用分组求和法 求前n项和 解析:（1）数列 n a满足 1 123 242n n aaaan 当 2n时， 2 1231 2421 n n aaaan ，当2n时， 1 21 n n a ，即 1 1 2 n n a 当1n 时， 1 n a 满足上式 1 1 2 n n a ，数列 n a的通项公式 1 1 2 n n a （2）由（1）知， 2 1 1 log1 2 nn n aan 12 12223232 loglogloglog nn aaaaaaaa 21 111 1 0121 222n n 21 111 11231 222n n 2 1 1 2 222 n nn 18.
25、如图 1，在矩形ABCD中，2AB ，4BC ，E为AD的中点，O为BE中点将ABE 沿BE折起 到ABE ，使得平面ABE 平面BCDE（如图 2） （1）求证：AOCD ； （2）求直线AC与平面A DE 所成角的正弦值； （3）在线段AC上是否存在点P，使得/ /OP平面A DE ? 若存在，求出 A P A C 的值；若不存在，请说明 理由 【答案】 （1）见解析； （2） 2 3 ； （3）见解析 【分析】 （1）先证明AO平面BCDE再证明AOCD .(2) 以O为原点，,OF OG OA所在直线分别为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系 （如图） ,利用向量法求直线AC 与平面
26、A DE所成角的正弦值 2 sin 3 为.(3) 假设在线段AC上存在点P， 使得/ /OP平面A DE.设 000 ,P x y z， 且01 A P A C ， 根据/ /OP 平面A DE求得 1 0,1 2 ，所以当 1 2 A P A C 时，/ /OP平面A DE 【详解】（1）由已知2ABAE， 因为O为BE中点，所以AOBE 因为平面A BE平面BCDE，且平面A BE平面BCDEBE， AO平面A BE，所以AO平面BCDE 又因为CD平面BCDE，所以AOCD （2）设F为线段BC上靠近B点的四等分点，G为CD中点 由已知易得OFOG 由（1）可知，AO平面BCDE， 所
27、以AOOF，AOOG. 以O为原点，,OF OG OA所在直线分别为 , ,x y z轴 建立空间直角坐标系（如图） 因为2A B，4BC ， 所以0 02 ,1, 10 ,130 ,130 ,110ABCDE ， ， ， ， ， 设平面A DE的一个法向量为 111 ,mx y z， 因为132 ,02 0ADDE ， ， ， 所以 0, 0, m A D m DE 即 111 1 320, 20. xyz y 取 1 1z ，得 2,0, 1m 而AC 1,3,2. 所以直线AC与平面A DE所成角的正弦值 2 22 sin. 32 33 （3）在线段AC上存在点P，使得/ /OP平面A
28、DE . 设 000 ,P x y z，且01 A P A C ，则AP AC ，0,1 因为0 02 ,130AC ， ， ，所以 000 ,2,3 ,2xy z， 所以 000 ,3 ,22xyz， 所以,3 , 22P，,3 , 22OP 若/ /OP平面A DE，则OP m .即 0OP m . 由（2）可知，平面A DE的一个法向量2,0, 1m ， 即 2220 ，解得 1 0,1 2 ， 所以当 1 2 A P A C 时，/ /OP平面A DE 【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的求法和直线和平面所成的角的求 法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和
29、空间想象分析推理转化能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方 法一： （几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形） ，其关键是找到直线在平面内的 射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二： （向量法） sin AB n AB n ，其中AB是直线l的方向向 量，n是平面的法向量，是直线和平面所成的角. 19.为迎接 2022 年冬奥会，某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记X表示学生的考核成绩，并规定85X 为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生 中随机抽取了 30名学生的考核成绩，并作成如图所示的茎叶图： （1）从参加培训的学生
30、中随机选取 1 人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率； （2）从图中考核成绩满足70,79X 的学生中任取 3 人，设Y表示这 3 人中成绩满足8510X 的人 数，求Y的分布列和数学期望； （3）根据以往培训数据，规定当 85 10.5 10 X P 时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训 活动是否有效，并说明理由. 【答案】 （1） 7 30 ； （2）分布列见解析， 15 8 ； （3）有效，理由见解析. 【分析】 (1) 由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有 7名同学考核优秀,则概率可求. (2) Y的所有可能取值为 0，1，2，3,然后求出概率，列出分布列，
31、计算期望. (3) 根据表格中的数据，满足 85 1 10 X 的成绩有 16 个，可求解其概率，从而判断. 【详解】 （1）设该名学生考核成绩优秀为事件A. 由茎叶图中的数据可以知道，30 名同学中，有 7 名同学考核优秀. 所以所求概率 P A约为 7 30 . （2）Y的所有可能取值为 0，1，2，3. 因为成绩70,80X 的学生共有 8人，其中满足7510X 的学生有 5人. 所以 3 3 3 8 1 (0) 56 C P Y C ， 21 35 3 8 15 (1) 56 C C P Y C . 12 35 3 8 30 (2) 56 C C P Y C ， 3 5 3 8 10
32、(3) 56 C P Y C . 随机变量Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 1 56 15 56 30 56 10 56 115301015 ( )0123 565656568 E Y . （3）根据表格中数据，满足 85 1 10 X 的成绩有 16 个. 所以 85168 10.5 103015 X P . 所以可以认为此次冰雪培训活动有效. 【点睛】本题考查茎叶图和概率的求法，概率分布列以及期望的求法，考查转化思想，属于中档题. 20.已知椭圆 22 22 :1(0) xy Nab ab 经过点 (0,1)C ，且离心率为 2 2 . （1）求椭圆N的方程； （2）若点A、B在椭圆N
33、上，且四边形CADB是矩形，求矩形CADB的面积S的最大值. 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y（2）矩形CADB面积S的最大值为 32 9 . 【分析】 （1）由椭圆过点0,1C，且离心率为 2 2 ，得到1b， 2 2 c a ，进而可求出结果； （2）先由题意知直线AB不垂直于x轴，设直线:AB ykxm，联立直线与椭圆方程，设 11 ,A x y， 22 ,B x y，根据韦达定理和题中条件可求出m；再求出 12 xx的最大值即可得出结果. 【详解】解： （1）因为椭圆 22 22 :1(0) xy Nab ab 经过点 0,1C，且离心率为 2 2 ， 所以1b， 2 2 c
34、a ，又因为 222 acb， 可解得1c， 2a ，焦距为22c . 所求椭圆的方程为 2 2 1 2 x y. （2）由题意知直线AB不垂直于x轴，可设直线:AB ykxm， 由 2 1 2 ykxm x y 得 222 124220kxkmxm， 0 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 21 12 m x x k 又因为 11 ,1CAx y， 22 ,1CBxy， 所以 1212 11CA CBx xyy 1 212 11x xkxmkxm 2 2 1 212 111kx xk mxxm 2 2 2 22 21 4 1
35、110 1212 m km kk mm kk 化简可得 1 3 m . 所以 2 2 12121 2 494 4 321 k xxxxx x k 设 2 94kt ，2t ，则 2 2 4 9 t k ， 所以 2 12 2 49412 32121 kt xx kt . 令 2 12 2 21 t f tt t ，因为 2 2 2 1224 0 21 t ft t 所以 2 12 21 t f t t 在2,上单调递减，所以 12max 8 |2 3 xxf. 设直线 1 : 3 AB ykx与y轴交于点E， 因为矩形CADB面积 1212 4 2 3 ABC SSCExxxx 所以矩形CAD
36、B面积S的最大值为 32 9 . 此时直线 1 : 3 AB y . 【点睛】本主要考查椭圆的方程以及椭圆中的最值问题，熟记椭圆方程以及椭圆的简单性质，联立直线与 椭圆方程，结合韦达定理等求解，属于常考题型. 21.已知函数 2 lnf xaxxax . （1）若 f x在其定义域上单调递减，求a的取值范围； （2）证明： f x在区间0,1恰有一个零点. 【答案】 （1）,0； （2）证明见解析. 【分析】 (1) 2 2 1ax f x x x ,如果 f x单调递减，则当 0x时， 2 210axx 恒成立,可求出答案. (2) 当0a 时，由于 f x在区间0,单调递减，且 110f
37、， 2 11 10 a fa eee ，命题 成立. 当0a时，由于 2 2 1ax f x x x ,方程 2 210axx 在区间 0,有唯一的实根 0 x，从而 f x在区间 0 0,x单调递减，在区间 0, x 单调递增，可以讨论得到命题的证明. 【详解】（1） 由于 f x的定义域为0,， 且 2 2 1ax f x x x ， 所以如果 f x单调递减， 则当0x 时， 2 210axx 恒成立，解得 0a ，即a的取值范围为,0. （2） （i）当0a 时，由于 f x在区间0,单调递减，且 110f ， 2 1111 11110 a faa eeeee ，所以 f x区间0,1
38、恰有一个零点； （ii）当0a时，由于 2 21 f a x x x ， 由 2 210axx ，设 2 21g xaxx ， 对称轴为 1 0 2 x a ，1 40a ，且 010g . 所以方程 2 210axx 在区间 0,有唯一的实根 0 x， 从而 f x在区间 0 0,x单调递减，在区间 0, x 单调递增，注意到 110f ， 所以 f x区间0,1的零点个数不超过 1个. 当01a时，由于 2422 111 220 a faa eeee ，所以 f x区间0,1恰有一个零点； 当1a 时，由于 2422 111 20 aaaa a faaa eeee ，所以 f x区间0,1
39、恰有一个零点. 综上， f x在区间0,1恰有一个零点. 【点睛】本题考查利用单调性求参数的范围，可证明函数的零点个数问题，属于中档题. 选考题，共选考题，共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答. 选修选修 4- -4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系xOy中，直线l的方程是 2 2x ，曲线C的参数方程为 2cos , 22sin x y （为参数） ， 以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）射线OM：（其中 5 0 12 ）与曲线C交于O，P两点，与直线l交于点M，求 | |
40、 OP OM 的 取值范围 【答案】 （1）cos2 2，4sin； （2） 2 (0, 2 【解析】 （1）利用 , , xcos ysin 可得直线l的极坐标方程，由 2, 22, xcos ysin 消参数得普通方程 从而可得曲线C的极坐标方程是4sin；（2）将分别代入4sin，cos2 2，得 4sinOP， 2 2 cos OM ， 2 sin2 2 OP OM ，由 5 0 12 得 5 02 6 ，利用正弦函数的单 调性可得结果. 详解：（1） , , xcos ysin 直线l的极坐标方程是cos2 2， 由 2, 22, xcos ysin 消参数得 2 2 24xy， 曲
41、线C极坐标方程是4sin （2）将分别代入4sin，cos2 2，得4sinOP， 2 2 cos OM ， 2 sin2 2 OP OM ， 5 0 12 ， 5 02 6 ， 22 0sin2 22 ， |OP OM 的取值范围是 2 0, 2 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如 22 cossin1等三角恒等式）消去参数化为普通 方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式 cos sin x y ，等可以把极坐标方 程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相 应问题 选修选修 4- -5：不等式选讲：不等式选讲 23.已知0a，0b，0c .若函数 f xxaxbc的最小值为 2. (1)求a b c 的值； (2)证明： 1119 4abbcca . 【答案】(1)2；(2)证明见解析. 【解析】 (1)先根据绝对值三角不等式得 f x的最小值为abc ，再根据0a，0b，得结果.(2)先构造 1111111 4 abbcca abbccaabbcca
