1、 宜昌市 2020 届高三年级 4 月线上统一调研测试 数学（理科）数学（理科） 本试卷共 4 页，23 题（含选考题）.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 2 23Axxx， 21, x Bx yxR，则AB （ ） A.1,3 B.1, C.1,3 D.3, 2.复数 z 满足122i zi，则z （ ） A.1 i B.1 i C.22i D.22i 3.设 1 3 1 2 x ， 5 1 log 6 y ， 1 4 log 3z ，则（ ）
2、A.xyz B.yzx C.zxy D.zyx 4.运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A.0 B.1 C.3 D.2 3 5.已知函数 sin3cosf xxx，下列命题： f x关于点,0 3 对称； f x的最大值为 2； f x的最小正周期为 2 ； f x在区间0,上递增. 其中正确命题的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 6.设正项等比数列 n a的前 n 项和为 n S，且 1 1 9 nn n a a ，则 6 3 S S （ ） A. 28 27 B.28 C. 26 27 D. 9 8 7.已知箱中装有 6 瓶消毒液，其中 4 瓶合格品，2 瓶不合格品，
3、现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液被 抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用 A 表示“第一次取到不合格消毒液” ，用 B 表示“第二次仍取 到不合格消毒液” ，则|P B A （ ） A. 1 6 B. 1 5 C. 1 4 D. 1 3 8.我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二 斤.问次一尺各重几何？”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤.问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时， 其重量从粗到细构成等差数列.若将该金杖截成长
4、度相等的 20 段，则中间两段的重量和为（ ） A. 6 5 斤 B. 4 3 斤 C. 3 2 斤 D. 5 4 斤 9.四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一.四色定理的内容是“任何一张地图最 多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算 对该地图的五个区域涂色，每个区域只使用一种颜色，现有 4 种颜色可供选择（4 种颜色不一定用完） ，满 足四色定理的不同的涂色种数为（ ） A,96 B.72 C.108 D.144 10.已知抛物线 2 :8C yx的焦点为 F，M 是抛物线 C 上一点，N 是圆 22 (6)(3)
5、9xy上一点，则 MNMF的最小值为（ ） A.4 B.5 C.8 D.10 1l.某几何体的三视图如图所示， 俯视图为正三角形， 1 M为正视图一边的中点， 且几何体表面上的点 M、 A、 B 在正视图上的对应点分别为 1 M、 1 A、 1 B，在此几何体中，平面过点 M 且与直线AB垂直.则平面截 该几何体所得截面图形的面积为（ ） A. 6 2 B. 6 4 C. 3 2 D. 3 4 12.定义在 R 上的偶函数 f x满足53fxf x，且 2 24 ,01 2ln ,14 xxx f x xxx ，若关于 x 的不 等式 2 10fxaf xa在20,20上有且仅有 15 个整数
6、解，则实数 a 的取值范围是（ ） A.1,ln22 B.2ln3 3,2ln22 C.2ln3 3,2ln22 D.22ln2,3 2ln3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.填错位置， 书写不清，模棱两可均不得分. 13.若向量1,2a ，2,bm，且(2 )aba，则m_. 14.某种品牌汽车的销量 y （万辆） 与投入宣传费用 x （万元） 之间具有线性相关关系， 样本数据如下表所示： 宣传费用 x 3 4 5 6 销量 y 2.5 3 4 4.5 经计算得回归直线方程 ybxa的斜率为 0.7，若投入宣传费用为 8 万元
7、，则该品牌汽车销量的预报值为 _万辆. 15.如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，ABCD是菱形， 3 ABC ， 2 3PAAB， E 是PD上的一动点，（1） 当点 E 满足_时，ADEC；（2） 在 （1） 的条件下， 三棱锥EACD 的外接球的体积为_. 16.已知双曲线 2 2 :1 2 y C x 的左，右焦点分别为 1 F、 2 F，点 G 位于第一象限的双曲线上，若点 H 满足 12 12 (0) | GFGF OHOG GFGF ，且直线GH与 x 轴的交点为 3 ,0 3 P ，则 G 点的坐标为 _. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
8、算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本题满分 12 分）在ABC中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且3(cos)sinabCcB. （1）求角 B 的大小； （2）若ABC的面积为2 3，2 6b ，求ABC的周长. 18.（本题满分 12 分）如图 1，直角梯形ABCD中，/AD BC，ABAD，E、F 分别是AD和BC上的 点，且/AB EF，2AE ， 1 3 2 ABDECF，沿EF将四边形ABFE折起，如图 2，使AE与FC所 成的角为 60. （1）求证：/B
9、C平面AED； （2）M 为CF上的点，01FMFC，若二面角BMDE的余弦值为 7 7 ，求的值. 19.（本题满分 12 分）已知 1 A、 2 A分别是离心率 2 2 e 的椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左右项点，P 是椭圆 E 的上顶点，且 12 1PA PA. （1）求椭圆 E 的方程； （2）若动直线l过点0, 4，且与椭圆 E 交于 A、B 两点，点 M 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直线AM恒 过定点. 20.（本题满分 12 分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防 控措施，某医院组织专家统计了该地区 500 名
10、患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如 下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者” ，潜伏期高 于平均数的患者，称为“长潜伏者”. （1）求这 500 名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，并计算出这 500 名 患者中“长潜伏者”的人数； （2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述 500 名患者 中抽取 300 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为潜伏期 长短与患者年龄有关： 短潜伏者 长潜伏者 合计 60 岁及以上
11、 90 60 岁以下 140 合计 300 （3）研究发现，有 5 种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有 2 种特别有效，现在要通过逐一试验直 到把这 2 种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是 500 元，设所需要的试验费用为 X，求 X 的分布列与数学期望 X. 附表及公式： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 21.（本题满分 12 分）已知函数
12、lnf xxaxb. （1）求函数 f x的极值； （2）若不等式 f xex恒成立，求 b ae 的最小值（其中 e 为自然对数的底数）. （二）选考题.共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修 44：坐标系与参数方程】 （本题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 2 2 4 2 xt yt （t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的 非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 sin2cos. （1）写出直线l的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）
13、已知定点2, 4M ，直线l与曲线 C 分别交于 P、Q 两点，求 | | MQMP MPMQ 的值. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 （本题满分 10 分） 已知正实数 a、b、c 满足9abc ，且 222 abc 的最小值为 t. （1）求 t 的值； （2）设 23f xxt x，若存在实数 x，使得不等式 2 23f xmm成立，求实数 m 的取值 范围. 宜昌市宜昌市 2020 届高三年级四月线上统一调研测试届高三年级四月线上统一调研测试 数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
14、12 答案 D D B C C A B C D B A B 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 1 4 14. 5.95 15.PEED（AEPD，BCEC， 222 BCCEBE等其它填法若正确也给分） ， 32 3 16. 3,2 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解： （1）由3(cos)sinabCcB，可得3sin3sincossinsinABCBC， 即3sin()sinsin3sincosBCBCBC， （2 分） 展开化简得3cossinsinsinBCBC， （4 分） 又在ABC中，sin0C ，所
15、以tan3B ， （5 分） 又0B，所以 3 B .（6 分） （2）因为ABC的面积 1 sin2 3 2 SacB，所以8ac ， （7 分） 由余弦定理得 22222 2cos()2()3bacacBacacacacac， （9 分） 因为2 6b ，可得 2 ()48ac，所以4 3ac， （11 分） 所以2 64 3abc ，即ABC的周长为2 64 3.（12 分） 18.（1）证明：在图 1 中，/AD BC，ABAD，又/AB EF，所以ABFE是矩形， 所以在图 2 中，/BF AE，又AE 平面AED，所以/BF平面AED， （2 分） 因为/ED FC，又ED 平面A
16、ED，所以/FC平面AED， （3 分） 又因为BFFCF，所以平面/BFC平面AED， （4 分） 而BC 平面BFC，所以/BC平面AED.（5 分） （2） 解： 因为/ED FC， 所以AED是AE与FC所成的角， 所以60AED， 因为EF 平面AED， 故平面CDEF 平面AED，作AOED于点 O，则AO 平面CDEF，以 O 为原点，平行于EF的直 线为 x 轴，OD所在直线为 y 轴，OA所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系Oxyz，则 0,0, 3A， 3,0, 3B ，3,5,0C，0,2,0D，0, 1,0E，3, 1,0F.（7 分） 3,2,3BD ，0,6,0FC
17、 ，0,6 ,0FMFC， 0,61,3BMBFFM， 设平面BMD的法向量为, ,mx y z， 则 3230 (61)30 m BDxyz m BMyz ，取3y ，得 32 3 , 3,61m.（9 分） 平面EMD的一个法向量为0,0,1n ， （10 分） 设二面角BMDE的平面角为， 所以 22 2 |61|61|7 |cos| |7 48247 32 33(61)1 m n m n ， 平方整理得 2 1750，因为01，所以 5 17 .（12 分） 19.解： （1）由题意得 1 ,0Aa， 2 ,0A a，0,Pb， 则 222 12 (,) ( ,)1PA PAababa
18、bc ，所以1c， （2 分） 又 222 2 2 c e a abc ，所以2a ，1b，所以椭圆 E 的方程为 2 2 1 2 x y.（4 分） （2）当直线l的斜率存在时，设直线:4l ykx， 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 22 ,Mxy， 由 2 2 1 2 4 x y ykx ，消去 y 得 22 1216300kxkx.由 22 ( 16 )120 120kk ， 得 2 15 2 k ，所以 12 2 16 12 k xx k ， 12 2 30 12 x x k .（6 分） 12 1212 121212 44 AM k xxyykxkx k xxxxxx
19、， 直线AM的方程为 12 11 12 k xx yyxx xx ， （7 分） 即 1212112121 1111 121212 4 4 k xxk xxkxxxk xxxx yyxxkxxx xxxxxx 12121212 12 121212 242 4 kx xxxkx xxk xxkx x x xxxxxx ， （9 分） 因为 12 2 16 12 k xx k ， 12 2 30 12 x x k ，所以 2 12 12 2 30 2 21 12 44 16 4 12 k kx x k k xx k ， 直线AM的方程为可化为 12 12 1 4 k xx yx xx ，则直线AM
20、恒过定点 1 0, 4 .（11 分） 当直线l的斜率不存在时，直线AM也过点 1 0, 4 ，综上知直线AM恒过定点 1 0, 4 .（12 分） 20.解： （1）平均数0.02 1 0.08 3 0.15 50.18 70.03 90.03 11 0.01 1326x ， （2 分） 这 500 名患者中“长潜伏者”的频率为 0.180.03 0.03 0.0120.5 ，所以“长潜伏者”的人数为500 0.5250人.（3 分） （2）由题意补充后的列联表如下， 短潜伏者 长潜伏者 合计 60 岁及以上 90 70 160 60 岁以下 60 80 140 合计 150 150 300
21、 则 2 k的观测值为 2 300 (90 8060 70)75 5.3575.024 150 150 160 14014 k ， 经查表，得 2 5.0240.025P k ，所以有 97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关.（7 分） （3）由题意知所需要的试验费用 X 所有可能的取值 为 1000，1500，2000，因为 2 2 2 5 1 (1000) 10 A P X A ， 23 233 5 1 2 3 3 (1500) 10 l C C AA P X A ， 1121 2332 4 5 3 (2000) 5 C A A C P X A （或 112 233 3 5 363 (2
22、000) 605 C C A P X A ） （10 分） 所以 X 的分布列为 X 1000 1500 2000 P 1 10 3 10 3 5 133 ()1000150020001750 10105 E X （元）.（12 分） 21.（1）解 11 (0) ax fxax xx ， 当0a时， 0fx恒成立，函数 f x在0,上单调递增，无极值.（2 分） 当0a时，由 0fx，得 1 0x a ，函数 f x在 1 0, a 上单调递增，由 0fx，得 1 x a ， 函数 f x在 1 , a 上单调递减， f x极大值为 11 ln1ln1fbab aa ， 无极小值. （4 分
23、） 综上所述，当0a时， f x无极值； 当0a时， f x极大值为ln1ab ，无极小值.（5 分） （2）由 f xex可得 lnf xxaxbex， 设( )ln()h xxea xb，所以 1 ( )h xea x ，0x， 当ae时，( )0h x， h x在0,上是增函数，所以 0h x 不可能恒成立， 当ae时，由 1 ( )0h xea x ，得 1 x ae ， （7 分） 当 1 0,x ae 时，( )0h x， h x单调递增，当 1 ,x ae 时，( )0h x， h x单调递减， 所以当 1 x ae 时， h x取最大值， 1 ln()10haeb ae ， （
24、8 分） 所以ln()10aeb ，即1 ln()bae ，所以 1 ln() () bae ae aeae ， 令 1 ln() ( )() xe F xxe xe ， 22 1 () 1 ln() ln() ( ) ()() xexe xe xe F x xexe ， 当1,xe时，( )0F x，( )F x单调递增， 当,1xe e时，( )0F x，( )F x单调递减， 所以当1xe 时，( )F x取最小值，即( )(1)1F xF e ，所以 b ae 的最小值为-1.（12 分） 22.解： （1）由 2 2 2 2 4 2 xt yt 消去参数 t 得直线l的普通方程为20
25、xy.（2 分） 由 2 sin2cos得曲线 C 的直角坐标方程为 2 2yx.（5 分） （2）将 2 2 2 2 4 2 xt yt 代入 2 2yx得 2 5 2200 2 t t.（6 分） 设方程的两根为 1 t， 2 t，则0 ， 12 10 2tt， 1 2 40t t ， （7 分） 故 2 222 121 2 12 1 21 2 2|(10 2)2 40 3 |40 ttt tttMQMP MPMQt tt t .（10 分） 23.解： （1）因为9abc ， 所以 2221 2221222222 ()6 99 bacacb abc abcabcabacbc （3 分） 1222222 62222 9 bacacb abacbc ， 即 222 2 abc ，所以 222 abc 的最小值2t .（5 分） （2）当2t 时， 8(3) |2| 2|3|34( 32) 8(2) xx f xxxxx xx ，可得 5f x ， （7 分） 存在实数 x，使不等式 2 23f xmm有解，则 2 max 23f xmm， 从而 2 523mm，即 2 280mm，解得24m . 所以实数 m 的取值范围是24m .（10 分）
