1、 宜昌市 2020 届高三年级 4 月线上统一调研测试 数学（文科） 本试卷共 4 页，23 题（含选考题）.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 2 23Axxx， 21, x Bx yxR，则AB （ ） A.1,3 B.1, C.1,3 D.3, 2.复数 z 满足122i zi，则z （ ） A.1 i B.1 i C.22i D.22i 3.已知tan2， 3 ,2 2 ，则cos（ ） A. 5 5 B. 2 5 5 C. 5 5 D. 5
2、 5 4.设 1 3 1 2 x ， 5 1 log 6 y ， 1 4 log 3z ，则（ ） A.xyz B.yzx C.zxy D.zyx 4.运行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ） A.0 B.1 C.3 D.2 3 6.某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元，下列说法中错误的是（注：月结余=月 收入一月支出） （ ） A.上半年的平均月收入为 45 万元支出 B.月收入的方差大于月支出的方差 C.月收入的中位数为 70 D.月结余的众数为 30 7.已知圆 22 :(1)4Cxy，过点2,0的直线l与圆 C 相交，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A.2,2
3、 B. 2 5 , 5 C. 2 5 2 5 , 55 D. 2 5 3 2 3 , 5 8.我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二 斤.问次一尺各重几何？”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤.问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的若干段时， 其重量从粗到细构成等差数列.若将该金杖截成长度相等的 20 段，则中间两段的重量和为（ ） A. 6 5 斤 B. 4 3 斤 C. 3 2 斤 D. 5 4 斤 9.对于函数 2 1 x fx e
4、的图象，下列说法正确的是（ ） A.关于直线1x 对称 B.关于直线yx对称 C.关于点1,0对称 D.关于点0,1对称 .ABC中，2AC ，3BC ，3AC BC，O 为该三角形的外心，则BA AO（ ） A.19 2 B. 19 2 C. 7 2 D. 7 2 . 1l.某几何体的三视图如图所示， 俯视图为正三角形， 1 M为正视图一边的中点， 且几何体表面上的点 M、 A、 B 在正视图上的对应点分别为 1 M、 1 A、 1 B，在此几何体中，平面过点 M 且与直线AB垂直.则平面截 该几何体所得截面图形的面积为（ ） A. 6 2 B. 6 4 C. 3 2 D. 3 4 12.若
5、函数 2 1 x f xexax在区间1,2内有且仅有一个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） A. 2 5 , 2 e B.,2e C. 2 5 ,2 2 e e D. 2 5 ,2 2 e e 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.填错位置， 书写不清，模棱两可均不得分. 13.已知函数 f x为 R 上的奇函数，0x时， 2 f xxx，则2f _. 14.若实数 x，y 满足约束条件 1 1 4 x y xy ，则2xy的最小值为_. 15.各项均为正数的等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 1 1a ， 33 7Sa，
6、则使 127 64 n S 成立的 n 的最小值 为_. 16 已知双曲线 22 1 97 xy 的左焦点为 F，点 P 在双曲线的右支上，若线段PF与圆 22 16xy相交于点 M，且FMMP，则直线PF的斜率为_. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本题满分 12 分）在ABC中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且3(cos)sinabCcB. （1）求角 B 的大小； （2）若ABC的面积为2 3，2 6b
7、，求ABC的周长. 18.（本题满分 12 分） 已知菱形ABCD的边长为 2，60ABC，对角线AC、BD交于点 O，平面外一点 P 在平面ABCD内 的射影为 O，PB与平面ABCD所成角为 30. （1）求证：BDPA； （2）点 N 在线段PB上，且 3 12 N PCD V ，求 PN PB 的值. 19.（本题满分 12 分） 目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织 专家统计了该地区 500 名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布 直方图（用频率作为概率）.潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏
8、者” ，潜伏期高于平均数的患者，称 为“长潜伏者”. （1）求这 500 名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ，并计算出这 500 名 患者中“长潜伏者”的人数； （2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述 500 名患者 中抽取 300 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为潜伏期 长短与患者年龄有关： 短潜伏者 长潜伏者 合计 60 岁及以上 90 60 岁以下 140 合计 300 （3）研究发现，某药物对新冠病毒有一定的抑制作用，需要在抽取的 300 人中分层选取 7 位
9、 60 岁以下的 患者做期临床试验， 再从选取的 7 人中随机抽取两人做期临床试验， 求两人中恰有 1 人为 “长潜伏者” 的概率. 附表及公式： 2 0 P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 20.（本题满分 12 分） 已知抛物线 2 :8C xy和直线:2l ykx，直线l恒过圆 P 的圆心，且圆 P 上的点到直线l的最大距离为 2. （1）求圆 P 的方程； （2）直线l
10、与抛物线 C 和圆 P 都相交，且四个交点自左向右顺次记为 A、B、C、D.如果16CDAB， 求直线l的方程. 21.（本题满分 12 分） 已知函数 2sinf xxx. （1）当0,2x时，求 f x的最小值； （2）若0,x时， 1cosf xa xxx ，求实数 a 的取值范围. （二）选考题.共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修 44：坐标系与参数方程】 （本题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 2 2 4 2 xt yt （t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的 非负半
11、轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 sin2cos. （1）写出直线l的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知定点2, 4M ，直线l与曲线 C 分别交于 P、Q 两点，求 | | MQMP MPMQ 的值. 23.【选修 4-5：不等式选讲】 （本题满分 10 分） 已知正实数 a、b、c 满足9abc ，且 222 abc 的最小值为 t. （1）求 t 的值； （2）设 23f xxt x，若存在实数 x，使得不等式 2 23f xmm成立，求实数 m 的取值 范围. 宜昌市宜昌市 2020 届高三年级四月线上统一调研测试届高三年级四月线上统一
12、调研测试 文科数学参考答案文科数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A B C C C C D C A D 二、填空题 13.2 14.5 15.8 16. 15 7 三、解答题 17.解： （1）由3(cos)sinabCcB，得3(sinsincos)sinsinABCCB， 3 sin()sincossinsinBCBCCB.2 分 3cossinsinsinBCBC.4 分 在ABC中，sin0C ，tan3B .5 分 又0B， 3 B .6 分 （2）面积 1 sin2 38 2 SacBac.7 分 222 22 1
13、cos24 22 acb Bacac ac .9 分 2 ()243244 3acacac.11 分 ABC的周长为4 32 6.12 分 18.（1）由题意PO面ABCD，POBD，2 分 菱形ABCD中，ACBD，又POACO，则BD 面PAC，4 分 所以BDPA；5 分 （2）因为PO面ABCD，所以PB与平面ABCD所成角为30PBO，6 分 又菱形边长为 2，60ABC，所以3BO ，1PO，2PB ，1CO，2PC .8 分 4242 cos 42 22 BPC ， 14 sin 4 BPC.设| 2PNPB，由 D PBCP DBC VV 得 D 到平面PCB的距离为 2 21
14、 7 ，D 到平面PNC的距离也为 2 21 7 .10 分 11142 2131 22 3247124 N PCDD PCN VV .11 分 所以 1 4 PN PB .12 分 19.（1）平均数0.02 1 0.08 30.15 50.18 70.03 90.03 11 0.01 1326x .2 分 “长潜伏者”即潜伏期时间不低于 6 天的频率为 0.5 所以 500 人中“长潜伏者”的人数为500 0.5250人.4 分 （2）由题意补充后的列联表如图： 短潜伏者 长潜伏者 合计 60 岁及以上 90 70 160 60 岁以下 60 80 140 合计 150 150 300 5
15、 分 所以 2 k的观测值为 2 300 (90 8060 70)75 5.3575.024 150 150 160 14014 k ，6 分 经查表，得 2 5.0240.025P k ，所以有 97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关.8 分 （3）由分层抽样知 7 人中， “短潜伏者”有 3 人，记为, ,a b c， “长潜伏者”有 4 人，记为 D，E，F， G，9 分 从中抽取 2 人， 共有, a b，, a c，, a D，, a E，, a F，, a G，, b c，, b D，, b E，, b F， , b G，, c D，, c E，, c F，, c G，,D E，
16、,D F，,GD，,E F，,E G，,F G21 种不同的结果，两人中恰好有 1 人为“长潜伏者”包含了 12 种结果.11 分 所以所求概率 124 217 P .12 分 20.（1）直线2ykx过定点0,2，圆心0,2P.2 分 因为圆 P 上的点到直线的最大距离为 2，所以2r ，3 分 所以圆 P 的方程为 22 (2)4xy. （2）由 2 8xy知0,2P为抛物线焦点 由图和16CDAB，知0k .5 分 2 22 8 8440 2 xy yky ykx ， 设 11 ,A x y， 22 ,D xy，则 2 12 84yyk， 12 4y y .7 分 由拋物线定义得 2 2
17、CDDPy， 1 2ABAPy9 分 所以 21 1616CDAByy，所以 1 1 2 y ， 2 8y ，从而有 2 1 848 2 k 所以 2 93 164 kk.所以直线l的方程为3480xy.12 分 21.（1） 1 2cosfxx ，0,2 x1 分 令 1 0cos 2 fxx，得 5 , 33 x ； 0fx ，得0, 3 x 和 5 ,2 3 所以 f x在0, 3 递减，在 5 , 33 递增，在 5 ,2 3 递减.3 分 所以最小值为min,(2 ) 3 ff . 又因为3 33 f ，(2 )2f，(2 ) 3 ff ， 所以0,2 x时， min ( )3 33
18、 f xf .5 分 （2） (1)cosf xa xxx ，即2sincos0xxxax 设( )2sincosh xxxxax，0, x ( )2coscossincossinh xxxxxaxxxa6 分 ( )cosh xxx，0, 2 x ，( )0h x，, 2 x ，( )0h x. ( ) 22 h xha ，又(0)1ha ，( )1ha .7 分 0 2 a 即 2 a 时，( )0h x，( )h x在0,上递减，( )0h x ，舍.8 分 0 2 a 即 2 a 时， （） 当10a ，10a即1 2 a 时， 0 0, 2 x ， 使得 0 0h x.且 0 0xx
19、， 0 0h x， ( )h x在 0 0,x内递减，( )(0)0h xh，矛盾，舍9 分 （） 当10a ，10a即11a 时， 0 , 2 x ， 使得 0 0h x， 且 0 0xx， 0 0h x， 0 xx， 0 0h x，( )h x在 0 0,x上递增，在 0, x上递减，又( )0h O ， ( )(1)0ha，所以( )0h x 成立.10 分 （）10a ，10a即1a时，( )0h x，( )h x在0,上递增，则( )(0)0h xh.满足题意. 综上，1a .12 分 22.（10 分） （1）直线l的普通方程为20xy.2 分 曲线 C 的直角坐标方程为 2 2y
20、x5 分 （2）将 2 2 2 2 4 2 xt yt 代入 2 2yx得 2 5 2200 2 t t6 分 设方程的两根为 1 t， 2 t，则0 ， 12 10 2tt， 1 2 40t t ，7 分 2 222 121 2 12 1 21 2 2|(10 2)2 40 3 |40 ttt tttMQMP MPMQt tt t 10 分 23.（1）因为, ,0a b c ，且9abc 所以 2221 2221222222 ()6 99 bacacb abc abcabcabacbc 3 分 1222222 62222 9 bacacb abacbc ，当且仅当3abc时等号成立 所以2t .5 分 （2）当2t 时， 8(3) |2| 2|3|34( 32) 8(2) xx f xxxxx xx ，可得 5f x 7 分 欲满足题意，则 2 52324mmm . 所以实数 m 的取值范围是2,410 分
