1、第四章第四章 随机变量数字特征随机变量数字特征 一维随机变量的数字特征一维随机变量的数字特征 随机向量的数字特征随机向量的数字特征4.1 一维随机变量的数字特征一维随机变量的数字特征 若当 时，则称 为随机变量X的数学期望或均值，记作EX，即有()kkkkkkEXx px P Xxkkkpxkkkpx()kkP Xxp1.1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望设随机变量X的分布律为4.1.1 4.1.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望()()()kkkEf Xf xP Xx()kkkkkP Xxpf xp 已知，当时，离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望
2、f(X)的数学期望为 例例 甲、乙两射手的稳定成绩分别为（甲中环数）8910概率0.30.10.6（乙中环数）8910概率0.20.40.4试比较甲、乙两射手谁优谁劣。解解 甲的平均环数3.96.0101.093.08E2.94.0104.092.08E因此，从某种角度说，甲比乙射击本领高。乙的平均环数 例例 XB(n,p)，求EX。解解011111nkkn knknkkn knknkkn knkEXkC p qkC p qnpCpq11knknnCkC)!1()1()1(!)1()1(11kknnnnCkknnnkkCknknnpqpnpqpCnpnniiniin11011)(例例 若X服从
3、泊松分布P()，试求EX。解解0!kkEXkek0!iiie11!1kkkeee几何分布的期望几何分布的期望pEkpqkPk1,2,11则若证明：证明：pqppkqEkk111211例例4 例例5 设想这样一种博彩游戏，博彩者将本金1元压注在1到6的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字出现i次（i=1，2，3），则下注者赢i元，否则没收1元本金，试问这样的游戏规则对下注者是否有利?解：解：用随机变量表示下注者1元注金带来的赢利，其可能取值是1，1，2，3。显然可以用考察E是否等于零来评价这一游戏规则对下注者是否有利。的分布列为03332232133003)65()61(C)65()61(C
4、)65)(61(C)65()61(C3211 216121615216752161253211即216172161321615221675216125)1(E由于平均赢利小于0，故这一游戏规则对下注者是不利的。例例6 设的分布律为1013概率81418341 求E2及 E(+2)。解解822413831410811E22222141238321412081212E2.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义定义 若随机变量X有概率密度函数f(x)，并且积分 收敛，则称积分 为X的数学期望，记为EX，即 dxxfx dxxxf EXxfx dx 例例7 设服从均匀分布，其分布密度为
5、其它,0bxa,ab1x解解2a2bab1dxab1xE22ba2ba 求E。若服从N(a,2)，求E。dxxxfEdxexax2222，则令axu例例8解：解：aadueadueuEuu102122222例例9 设服从参数为的指数分布，其分布密度为,00,0 xexf xx。，求E 0 xExfx dxxedx0000|11xxxxxdexeedxe 解：解：设服从柯西分布，即有密度函数 证明不存在数学期望。2x11x证证 因为022dxx1x2dxx11x2x02022x1ln1limx1ln1x1x1d1故E不存在。例例10连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望如X的密
6、度函数为f(x),若 dxxfxg E()g Xg x f x dx则g(X)的数学期望 例例11 若服从0，2 上均匀分布，求E(sin)。解解 0sin21sinsin20 xdxdxxxE 2,0,02,0,21xxx的密度函数为数学期望的性质数学期望的性质(1)常数c的数学期望等于这个常数，即Ecc。证证 随机变量X服从单点分布，即PXc=1，所以，EXEcc1c(2)设c是常数，若EX存在，则E(cX)也存在，并且有E(cX)=cEX。()()()()E f Xg YEf XEg Y(3),()X YE XYEX EY如相互独立，则()E XYEXEY()E aXbYcaEXbEYc
7、(4)特别地特别地(5),aXbEXaEXb如则存在，且 注：这些性质可以推广到多个随机变量上。11221122()nnnnE c Xc Xc Xc EXc EXc EX121212()nnnXXXE X XXEX EXEX如、相互独立，则 例例13 在n次重复独立试验中，每次成功的概率为p。设i 表示第i次试验成功的次数，则i有分布律i01概率1pppppEi110并且有n21设npEEEEEnn2121此外，我们可以推导出 B(n,p)则超几何分布的期望超几何分布的期望例例14NMENMPiiiii101次抽得正品第次抽得废品第抽样，令设有一个相应的不放回解：解：n21令NnMEEnii1
8、表示n次抽样抽出的废品数，服从超几何分布。并称 为X的标准差或均方差。4.1.2 随机变量的方差随机变量的方差Var X2Var XE XEX对随机变量X，若E(X-EX)2存在，则称E(X-EX)2为X的方差，记作VarX或DX，即定义定义由数学期望的性质，可导出计算方差的另一个公式：222222222Var XE XEXE XEX XEXEXEX EXEXEXEX1、对于离散型随机变量X，若有分布律p(xi)，则22()jjjVar XE XEXxEXp x2、对于连续型随机变量X，若有分布密度(x)，则2()Var XxEXx dx由方差的定义，有由方差的定义，有例例1 B(n,p)，求
9、D和 。D 解解nkknkknnkknkknnkknkknnkknkknqpknCqpkkCqpCkqpCkE111112022nkknkknqpkCnp111110111011niiniinniiniinqpCqpiCnp101111niiniinkiqpCinp11nqppnnpnpqnpqnpnppnnp2)(11 于是npqnpnpqnpEED2222npqD 例例2 设P()，试求D。解解ekkEkk022!12!kkkke12!)(kkkkkke112!)(kkkkkkekkke11222)!1()!2(kkkkekek22222)(EED几何分布的方差21,2,1pqDkpqkP
10、k则若证明：证明：pE1例例3ppqpqpqpkqqkkpqpqkkkpqkEkkkkkkkk12112()(23112221121122）2pqD 例例4 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4。证证 设表示事件在一次试验中发生的次数，即事件不发生事件发生,0,1qpPp10,1且412p1pp1ppp2222EED得pqpEpE22201，由 设随机变量服从a，b上的均匀分布，求D。例例5解：解：2222222)(121)(2)(3101abEEDbaEbabadxabxEbxaabxba而其他）（例例6解：解：设随机变量服从正态分布N(a，2)，求D。，得令axudxeaxdxx
11、ExDax222)(2221)(dueuDu222222222222222222212)(2)(2duedueueeuduuuuD设随机变量服从参数为的指数分布，求D。例例72220020()22xxxExedxx d exedx 解：解：22222211DEE分布名称分布名称数学期望数学期望方差方差二项分布B(n,p)npnpq泊松分布P()正态分布N(a,2)a 2均匀分布Ua,b指数分布(参数为)几何分布g(k;p)12)(2ab2ba12p12pqpqkPk 1方差的性质方差的性质 220Var cE cEcE cc证明：证明：（1）Varc=0 (c是常数)VarcVar（2）222
12、()()()VarcEcEcEcEcEEVar证明证明 2Var cc Var 22222Var cE cE cE ccEc EEc Var（3）证明证明（4）VarVarVar当，相互独立时，证明证明222()()2()()VarEEEEEEEEEEE E 、独立 22()()()0EEEEEEE EEE EE EE EVarEEEEVarVar 12121,nnniiVarVar当，两两独立时，有性质4可以推广到如下情形。121212ov(,)nnniijiijnVarVarC 一般地，对 个随机变量、，有（5）01VarPc的充要条件是在n次重复独立试验中，每次成功的概率为p。设i 表示
13、第i次试验成功的次数，则i服从参数为p的（01）分布。求1+2+n 的方差。例例8解：解：121nniiVarVarnpq(1)iVarpppq4.1.3 随机变量的矩随机变量的矩定义定义设X为随机变量，c为常数，k为正整数，如则n1)E(Xc)k称为X关于c点的k阶矩。n2）当c0时,ak=E(Xk)称为X的k阶原点矩;n3）当c=EX时,k=E(XEX)k称为X的k阶中心矩。kEXc 显然：显然：EX是一阶原点矩VarX是2阶中心矩。偏度系数偏度系数2323用于衡量X的分布与正态分布(可以计算得偏度系数为0)的偏离程度。如偏度系数显著异于零，说明X的分布与正态分布有较大的偏离程度。峰度系数
14、峰度系数224用于衡量X的分布密度在均值附近的陡峭程度,可以计算得正态分布的峰度系数为3。因此峰度系数越大，说明X的密度曲线在均值附近越陡峭。反之，越平坦。大于3比正态分布更陡峭,反之平坦于正态分布.N(0,2)，求Ek。例例解解为偶数为奇数kkkkdxexEEkxkk13)3)(1(020222二维随机向量函数的数学期望二维随机向量函数的数学期望,1,2,ijijP Xx Yypi j,(,)ijiji jfx ypf X Y如果绝对收敛，则的数学期望存在，且有1、离散型随机向量函数的数学期望、离散型随机向量函数的数学期望 设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为,ijiji jEfX Yf
15、x yp4.2 随机向量的数字特征随机向量的数字特征iijiijiiijijiEXx pxpx p特别有特别有jijjijjjijjijEYy pypy p,EfX Yfx yx y dxdy 设二维连续型随机向量(X,Y)的密度函数为 ,如果 dxdyyxyxf,绝对收敛，则f(X,Y)的数学期望存在，且有 2、连续型随机向量函数的数学期望、连续型随机向量函数的数学期望,x y特别有特别有,XEXxx y dxdyxx y dy dxxx dx ,YEYyx y dxdyyy dy 例例12设(,)服从半圆域内的均匀分布，求、和3的数学期望。01:22yyxD解：解：其他且）（：的联合分布密
16、度函数为0012,),(22yyxyx022)(3422022111033310111011222dxydyxdxdyyxEydydxdxdyyExdydxdxdyxExDxDxD则二维随机变量(X,Y)，其协方差定义为ov(,)()()CX YE XEX YEY4.2.1 二维随机向量的协方差二维随机向量的协方差由定义由定义1)ov(,)ov(,)CX YCY X2)ov(,)Var XCX X 3)ov(,)Var YCY Yov(,)()()CX YEXEXYEYE XYXEYYEXEXEYE XYEXEYEXEYEXEYE XYEXEY4)ov(,)()CX YE XYEXEY证明证明
17、5)ov(,)ov(,)ov(,)CaXbY cZacCX ZbcCY Z(,)()()(,)(,)Cov aXbY cZEaXbYcZE aXbY E cZacE XZbcE YZacEXEZbcEYEZacCov X ZbcCov Y Z证明证明定理定理1对二维随机变量(X,Y)，2(2)ov(,)CX YVar X Var Y(1)若X,Y独立，则Cov(X,Y)0(1)ov(,)0XYE XYEXEYCX YE XYEXEYEXEYEXEY、独立证明证明相关系数相关系数随机变量X,Y的相关系数r(X,Y)(简记为r)ov(,)CX YrVar XVar Yr=0表示X,Y不（线性）相关
18、相关系数只是X与Y间线性关系程度的一种量度。相关系数的性质相关系数的性质对二维随机变量(X,Y)，r为X,Y的相关系数，则：（1）若X,Y独立，则r=0.（2）1r1，当且仅当X,Y间有严格线性关系时等号成立。定理定理2(,)1,0,P1r X YabYaXb如则存在常数和使得(,)1,0,P1r X YabYaXb 如则存在常数和使得20,1,X NXYXY设若令则 与 有确定的非线性关系 但是23232(,)102xCov X YE XYEXEYEXEX EXxedx例例 设(,)服从参数为1，2，1，2，r的二维正态分布，证明、的相关系数为r。由、独立的充要条件是r=0得：独立性与不相关
19、性是等价的。例例1证明证明 121212ov(,)()()()()(,)ov(,)CEEExayb f x y dxdyrCrrVarVar 若(X,Y)是二维随机变量，则（1）E(XY)=EX EY+Cov(X,Y)（2）VarX+Y=VarX+VarY+2Cov(X,Y)定理定理3例例2设二维随机向量（，）的联合密度为 其他010,08),(xxyxyyxf试求数学期望E，E，方差Var，Var，协方差Cov(,)，相关系数r，并求Var53。解：解：100100222120022212004858815428575811815225xxxxEdxxxydyEdxyxydyVarEEdxx
20、xydyVarEEdxyxydy 100ov(,)4848515225ov(,)0.49253532 ov(5,3)2592 5 3 ov(,)4375xCEE EdxxyxydyCrVarVarVarVarVarCVarVarC ),(),(),(22222212121222221111babaNbaNN，则独立，、，补充：补充：已知1,2相互独立，均服从正态分布N(0,2),1a1b2，2a1b2，其中a，b是常数。（1）求1，2的相关系数;（2）问1，2是否相关，是否独立;（3）当1，2独立时，求(1，2)的联合密度函数。例例3解：解：221211222222122122222212(1
21、)(0,)0,1,20()()iiiNEVariEEVarVar aba Db DabVarVar aba Varb Varab 12121222222222121222222122212ov(,)()()()()ov(,)CE ababE aba Eb EabCabrabVarVar （2）因为1，2都是正态分布随机变量，所以不相关与独立是等价的。故当|a|=|b|时，r=0，1,2相互独立，当|a|b|时，r0，1,2是不独立的。(3)当1，2相互独立时，即a 2=b 2 时，1 N（0，2a22），即 2222222144221)(221)(ataseatfeasf22222142221
22、41)()(),(),(atseatfsftsf的联合密度函数为：故4.2.3 条件数学期望条件数学期望离散型随机变量的条件数学期望离散型随机变量的条件数学期望1ijii ji jiP Xx Ybpx p 如，且，则称1jii jiE X Ybx p为为X X在在(Y=b(Y=bj j)发生条件下的条件数学期望，简称发生条件下的条件数学期望，简称条件期望。条件期望。连续型随机变量的条件数学期望连续型随机变量的条件数学期望()()X YX YXYyfx yx fx y dx 设随机变量 在发生的条件下的条件密度为，如，则称()X YE X Yyxfx y dx为X在(Y=y)发生条件下的条件数学
23、期望，简称条件期望条件期望。条件期望的性质条件期望的性质(1),aXbaE X Yyb如则(2)1212(1,2)iabE X YyiE aXbX YyaE X YybE X Yy，是常数，存在，则(3)()E E Y XEY特别地特别地E C YyCC为常数1,()(1,2,)()iiiiiXYXP XapiEYp E Y a设、均为离散型随机变量 且 的分布律为则(4)例例1 在求职过程中得到了三个公司的面试通知，为简化计算，假定每个公司都有三类不同的空缺职位:一般的、好的、极好的。其工资分别为2.5万元、3万元、4万元。估计能得到这些职位的概率分别为0.4，0.3，0.2，有0.1的概率
24、将得不到任何职位，由于每家公司都要求在面试结束时表态接受或拒绝所提供的职位，那么应遵循什么策略来应答呢?求职面试问题求职面试问题解：解：极端的情况当然容易处理，假设有一家公司聘任求职者担任极好的职位，当然就无需再去下一家公司面试了。若一家公司不聘任，求职者必然要到下一家公司去面试的。对于其他情况，作任何决定都是要冒风险的，有效的办法是:采取使期望收益最大的行动。结 果概率一般：2.5万元0.4好的：3万元0.3极好：4万元0.2没有工作：0万元0.1将求职者的数据列成下表将求职者的数据列成下表:设去第i个公司应聘的收益为i，(i=1,2,3）。当用期望值准则对第一次面试作决策时就碰到了困难，因
25、为假设第一次面试落聘，但有可能在以后的面试中会获得职位，因而这个结果（落聘）是带有不确定性的。这几乎是复杂决策问题的共同特征:在将来的决策做出之前，当前决策的结果是不能在将来的决策做出之前，当前决策的结果是不能估算的，有一种避开这个困难的方法，那就是先估算的，有一种避开这个困难的方法，那就是先分析未来的决策，称这种方法为逆推解法。分析未来的决策，称这种方法为逆推解法。首先考虑尚未接受职位而要去进行最后一次（即第三次）面试，则可以确定公司提供工资的期望值为 E(3)=2.50.4+30.3+40.2+00.1=2.7(万元)知道了第三次面试的期望值，就能倒推，以决定第二次面试应采取的行动。若提供
26、极好的职位，肯定接受。若没有职位肯定去进行第三次面试。若提供一般的工作，那么就须在接受这一工作(期望值2.5万元）和不接受而去碰第三次面试的运气（期望值2.7万元）这两者间做出选择，由于后者具有较大的期望值，故这就是应采取的行动。若提供一个好职位，那么其期望值较高（3万元），故应接受这一工作且放弃第三次面试。现在考虑第二次面试：现在考虑第二次面试：综上所述，第二次面试的决策应是:接受好接受好的或极好的职位，拒绝一般的职位的或极好的职位，拒绝一般的职位。第二次面试的期望值可用下列数据求出:第二次面试结果工作期望值概率一般：进行第3次面试2.7万元0.4好的：接受3万元0.3极好：接受4万元0.2
27、没有工作：进行第3次面试2.7万元0.1E(2)=0.4E(2|2.5)+0.33+0.24+0.1E(2|0)=0.42.7+0.33+0.24+0.12.7 =3.05（万元）05.37.21.042.033.07.24.0)0(1.0)4(2.0)3(3.0)5.2(4.0)(01.0)0(42.0)4(33.0)3(5.24.0)5.2(222241224321EEEEaEpEaPaPaPaPiii表示选择职位的工资。设 现在考虑第一次面试：现在考虑第一次面试：如果提供一般职位，所面临的选择是接受（期望工资为2.5万元）或拒绝（进行下一次面试，期望工资为3.05万元），后者期望值较高。
28、故应采取拒绝一般的工作，对于好的职位，因其期望工资3万元低于下一次面试的期望工资3.05万元。故也应放弃好的职位。因此，第一次面试时应采取的行动是:只接受极好的职位，否则就进行下一次面试。由此得到：这个面试问题的总的应对策略是这个面试问题的总的应对策略是:第一次面试只接受极好的职位，否则进行第二次面试;第二次面试可接受好的或极好的职位，否则进行第三次面试;第三次面试则接受能提供的任何职位。第一次面试结果工作期望值概率一般：进行第二次面试3.05万元0.4好的：进行第二次面试3.05万元0.3极好：接受4万元0.2没有工作：进行第二次面试3.05万元0.1与这个策略相应的期望值，可用下列数据求出
29、与这个策略相应的期望值，可用下列数据求出:E(1)=0.4E(1|2.5)+0.3E(1|3)+0.24 +0.1E(1|0)=0.43.05+0.33.05+0.24+0.13.05 =3.24（万元）由此可看出，在求职时，收到三份面试通知由此可看出，在求职时，收到三份面试通知与只收到一份面试通知相比较，不仅提高了就业与只收到一份面试通知相比较，不仅提高了就业的机会，而且也提高了工资的期望值。的机会，而且也提高了工资的期望值。例例2221212(,)(,)X YN a a设服从分布的二维解解212211221222112121()211exp()2(1)(),(1)px yyaxaN aya这是YyEYy正态变量，如果已知，试求。11221122()()E X YyayaE X YaYa分布的密度函数，故作业：作业：2、8、13、21
