1、数学广角-找次品吕尔芳 1986年1月28日，美国第二架航天飞机“挑战者”号在进行飞行时发生爆炸，价值12亿美元的航天飞机化作碎片坠入大西洋，造成世界航天史上最大的悲剧。据调查，这次灾难的主要原因是生产了一个不合格的零件引起的。A AB BC CD DE EA AB BC CD DE E打开瓶子数一数打开瓶子数一数 用手掂一掂，用手掂一掂，比较轻的就是比较轻的就是少的那一瓶。少的那一瓶。用秤用秤称称 像这种比较轻的物品，像这种比较轻的物品，我们一般借助天平来我们一般借助天平来测量它的重量。测量它的重量。在天平的左右两边各放在天平的左右两边各放1 1瓶钙片，瓶钙片，如果平衡说明这两个都不是次品如
2、果平衡说明这两个都不是次品.在天平的左右两边各放在天平的左右两边各放1 1瓶瓶钙片，如果不平衡，说明次钙片，如果不平衡，说明次品就在翘起来的那边。品就在翘起来的那边。平衡平衡不平衡不平衡3(3(1 1，1 1，1 1）（至少（至少1 1次次），像这类问题我们把它叫做，像这类问题我们把它叫做“找次品找次品”。这样称能找出次品吗？为什么这样称能找出次品吗？为什么？如果是四瓶呢，该怎么办？如果是四瓶呢，该怎么办？平衡平衡不平衡不平衡4(4(1 1，1 1，1,11,1）（至少（至少2 2次）次）4(14(1，1 1，1,11,1）不平衡不平衡4(4(2 2，2 2）2 2（1 1，1 1）（至少（至
3、少2 2次次）结论：四瓶要两次才可以找出次品。五瓶呢？怎么称？称几次可以？平衡平衡不平衡不平衡5(5(1 1，1 1，1,1,1,11,1）（至少（至少2 2次）次）5(15(1，1 1，1,1,1,1,1 1）在天平的两边各放在天平的两边各放2 2瓶钙片，天平不瓶钙片，天平不平衡，次品就在翘起来的那边。再平衡，次品就在翘起来的那边。再把翘起来的那边的把翘起来的那边的2 2个分一个到天平个分一个到天平的另一边，翘起来的那边就是次品的另一边，翘起来的那边就是次品。平衡平衡5(5(2 2，2 2，1 1）平衡平衡不平衡不平衡5(5(2 2，2 2，1 1）（至少（至少2 2次）次）2(12(1，1
4、 1）如果用如果用5 5（2 2，2 2，1 1），天平如果第一次就，天平如果第一次就平衡，那剩下的那个平衡，那剩下的那个就是次品，就只要称就是次品，就只要称1 1次。次。也就是说这是偶然情况，如果我们也就是说这是偶然情况，如果我们要保证一定能从要保证一定能从5 5个零件当中找到个零件当中找到1 1个次品，就需要个次品，就需要2 2次。次。1瓶数瓶数分成的份数分成的份数称几次就一定能找到称几次就一定能找到这个次品这个次品5 55 55（2，2，1）5（1，1，1，1，1）22把每次称的把每次称的过程记录下过程记录下来吧。来吧。每次拿每次拿1个称太慢了，能个称太慢了，能不能分成几份称呢不能分成几
5、份称呢?在一些零件里有在一些零件里有 1 个是次品个是次品(次品重一些次品重一些)，用天平称，至少称几次就一定能找出次品来用天平称，至少称几次就一定能找出次品来?2 2咱们从咱们从 9 个零件个零件开始实验吧开始实验吧!瓶数瓶数分成的分成的份数份数每份的个数每份的个数保证能找出保证能找出次品的次数次品的次数99999(9(1 1，1 1，1 1，1 1，1 1，1 1，1 1，1 1，1 1）至少至少4 4次次平衡平衡不平衡不平衡（2 2，2 2）平衡平衡不平衡不平衡 2 2（1 1，1 1）9(9(2 2，2 2，2 2，2 2，1 1）2 2（1 1，1 1）（至少（至少2 2次）次）平衡
6、平衡不平衡不平衡9(9(3 3，3 3，3 3）3 3（1 1，1 1，1 1）3 3（1 1，1 1，1 1）（至少（至少2 2次次）9(9(4 4，4 4，1 1）平衡平衡不平衡不平衡4 4（2 2，2 2）2 2（1 1，1 1）（至少（至少3 3次次）平衡平衡不平衡不平衡9(9(3 3，3 3，3 3）3 3（1 1，1 1，1 1）3 3（1 1，1 1，1 1）（至少（至少2 2次次）1 19(9(4 4，4 4，1 1）平衡平衡不平衡不平衡 4 4（2 2，2 2）2 2（1 1，1 1）（至少（至少3 3次）次）1 19(9(1 1，1 1，1 1，1 1，1 1，1 1，1
7、1，1 1，1 1）至少至少4 4次次平衡平衡不平衡不平衡（2 2，2 2）平衡平衡不平衡不平衡 2 2（1 1，1 1）9(9(2 2，2 2，2 2，2 2，1 1）（至少（至少3 3次）次）瓶数瓶数分成的分成的份数份数每份的个数每份的个数保证能找出次保证能找出次品的次数品的次数99993 33 35 59 94 4、4 4、1 13 3、3 3、3 32 2、2 2、2 2、2 2、1 11 1、1 1、1 1、1 1、1 1、1 1、1 1、1 1、1 13 32 23 34 4结论：九瓶也只要两次可以保证找出次品。平均分成平均分成 3 份称，份称，需要称的次数最少需要称的次数最少。平
8、均分成平均分成 3 份份称的方法最好称的方法最好。如果零件是如果零件是 10 个，个，11 个个应该怎样称应该怎样称?分一分分一分称一称称一称想一想想一想瓶瓶 数数分成几份分成几份每份各是几个每份各是几个称的次数称的次数保证能找出次品保证能找出次品称的最少次数称的最少次数 53(2,2,1)2263(2,2,2)2273(2,2,3)2283(3,3,2)2293(3,3,3)2最佳分法最佳分法3 3最好是平均分最好是平均分或者使多的一份与少的一份个数只相差或者使多的一份与少的一份个数只相差1 12103(3,3,4)33113(4,4,3)33多的一份与少的一份只相差。如9（3，3，3）;不
9、能平均分成3份的，要使3份每份分得尽量平均，如7（2，2，3）。有有 10 瓶水，其中瓶水，其中 9 瓶质量相同，另有瓶质量相同，另有 1 瓶是盐瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水这瓶盐水?有有 10 瓶水，其中瓶水，其中 9 瓶质量相同，另有瓶质量相同，另有 1 瓶是盐瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水这瓶盐水?分成分成 3 份份(3，3，4)，则至少称，则至少称 3次可以保证找次可以保证找出这瓶盐水。出这瓶盐水。(1)(1)如果用天平称，称几次可以找出来如
10、果用天平称，称几次可以找出来?我吃了我吃了 2 个。个。这这 9 筐里你吃筐里你吃的是哪一筐的是哪一筐?300 g/筐筐(1)(1)如果用天平称，称几次可以找出来如果用天平称，称几次可以找出来?9 9（3,3,33,3,3）2 2 次。次。我吃了我吃了 2 个。个。这这 9 筐里你吃筐里你吃的是哪一筐的是哪一筐?300 g/筐筐(2)(2)如果天平两边各放如果天平两边各放 4 4 筐，称一次有可能称出来吗筐，称一次有可能称出来吗?(2)(2)如果天平两边各放如果天平两边各放 4 4 筐，称一次有可能称出来吗筐，称一次有可能称出来吗?9(9(4 4，4 4，1 1）平衡平衡不平衡不平衡4 4（2
11、 2，2 2）.2 2（1 1，1 1）（至少（至少3 3次次）有有 15 盒饼干，其中的盒饼干，其中的 14 盒质量相同，另有盒质量相同，另有 1 盒盒 少了几块，如果能用天平称，至少几次可以找出少了几块，如果能用天平称，至少几次可以找出 这盒饼干这盒饼干?有有 15 盒饼干，其中的盒饼干，其中的 14 盒质量相同，另有盒质量相同，另有 1 盒盒 少了几块，如果能用天平称，至少几次可以找出少了几块，如果能用天平称，至少几次可以找出 这盒饼干这盒饼干?3 次。次。4.小明和爸爸现在年龄的和是小明和爸爸现在年龄的和是 34 岁，岁，3 年后爸爸比年后爸爸比 小明大小明大 24 岁。今年小明和爸爸
12、各多少岁岁。今年小明和爸爸各多少岁?4.小明和爸爸现在年龄的和是小明和爸爸现在年龄的和是 34 岁，岁，3 年后爸爸比年后爸爸比 小明大小明大 24 岁。今年小明和爸爸各多少岁岁。今年小明和爸爸各多少岁?今年小明的年龄今年小明的年龄:(34-24)2=5(岁岁)今年爸爸的年龄今年爸爸的年龄:5+24=29(岁岁)答答:今年小明今年小明 5 岁，爸爸岁，爸爸 29 岁。岁。5.1 箱糖果有箱糖果有 12 袋，其中有袋，其中有 11 袋质量相同，另有袋质量相同，另有 1 袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋袋质量不足，轻一些。至少称几次能保证找出这袋 糖果来糖果来?你会用下面的图表示你会用
13、下面的图表示称的过程吗称的过程吗?把把 12 袋糖袋糖分成分成 3 份，份，每份每份 4 袋。袋。天平两边各天平两边各放放 4 袋。袋。平衡平衡不平衡不平衡 用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数有以下关系关系:(只含一个次品，已知次品比正品重或轻。只含一个次品，已知次品比正品重或轻。)要辨别的物品数目要辨别的物品数目 保证能找出次品需要测的次数保证能找出次品需要测的次数2349102728818224312345(1)(1)要保证要保证 6 6 次能测出次品，待测物品可能是多少个次能测出次品，待测物品可能是多少个?244 244729729。(2)(2)从上表你能发现什么规律从上表你能发现什么规律?为什么为什么?要辨别的物品数目要辨别的物品数目 保证能找出次品需要测的次数保证能找出次品需要测的次数2349102728818224312345Thanks
