1、 9.1 分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理问题问题 1.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有可以乘轮船。一天中，火车有4 班班,汽车有汽车有2班，轮船有班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法少种不同的走法?分析分析:从甲地到乙地有从甲地到乙地有3类方法类方法,第一类方法第一类方法,乘火车，有乘火车，有4种方法种方法;第二类方法第二类方法,乘汽车，有乘汽车，有2种方法种方法;第
2、三类方法第三类方法,乘轮船乘轮船,有有3种方法种方法;所以所以 从甲地到乙地共有从甲地到乙地共有 4+2+3=9 种种方法。方法。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 2.如图如图,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3条，由条，由B村去村去C村的道路村的道路有有2条。从条。从A村经村经B村去村去C村，共有多少种不同的走法村，共有多少种不同的走法?A村村B村村C村村北北南南中中北北南南 分析分析:从从A村经村经 B村去村去C村有村有2步步,第一步第一步,由由A村去村去B村有村有3种方法种方法,第二步第二步,由由B村去村去C村有村有3种方法种方法,所以所以 从从A村经村经 B村去村
3、去C村共有村共有 3 2=6 种不同的方法。种不同的方法。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理分类计数原理分类计数原理 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有n类办法类办法,在在第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方种不同的方法。那么完成这件事共有法。那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn种不同的方法。种不同的方法。分步计数原理分步计数原理 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n个步骤个步骤，做第一步有，做第一步有m1种不同
4、的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同种不同的方法，的方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成这件事有这件事有 N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 例题例题 1.某班级有男三好学生某班级有男三好学生5人人,女三好学生女三好学生4人。人。(1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈 会会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？分析分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领
5、奖这件事完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有共有2类类 办法办法,第一类办法第一类办法,从男三好学生中任选一人从男三好学生中任选一人,共有共有 m1=5 种种 不同的方法不同的方法;第二类办法第二类办法,从女三好学生中任选一人从女三好学生中任选一人,共有共有 m2=4 种种 不同的方法不同的方法;所以所以,根据分类计数原理根据分类计数原理,得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有N=5+4=9 种。种。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 例题例题 1.某班级有男三好学生某班级有男三好学生5人人,女三好学生女三好学生4人。人。(1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖,有多
6、少种不同的选法？有多少种不同的选法？(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？分析分析:(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事座谈会这件事,需分需分2步完成步完成,第一步第一步,选一名男三好学生选一名男三好学生,有有 m1=5 种方法种方法;第二步第二步,选一名女三好学生选一名女三好学生,有有 m2=4 种方法种方法;所以所以,根据分步计数原理根据分步计数原理,得到不同选法种数共得到不同选法种数共有有 N=5 4=20 种。种。点评点评:解题的关键是从总
7、体上看做这件事情是解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完分类完成成”,还是还是“分步完成分步完成”。“分类完成分类完成”用用“分类计数原分类计数原理理”;“分步完成分步完成”用用“分步计数原理分步计数原理”。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理2.在所有的两位数中在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？两位数共有多少个？分析分析1:按个位数字是按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成分成8类类,在每一在每一类中满足条件的两位数分别是类中满足条件的两位数分别是 1个个,2个个,3个个,4个个,5个个,6个个,7 个个,8 个个.则根
8、据分类计数原理共有则根据分类计数原理共有 1+2+3+4+5+6+7+8=36(个个).分析分析2:按十位数字是按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成分成8类类,在每一类中在每一类中满足条件的两位数分别是满足条件的两位数分别是 8个个,7个个,6个个,5个个,4个个,3个个,2个个,1个个.则根据分类计数原理共有则根据分类计数原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个个)9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 3.一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码可以设置多
9、少种三位数的密码(各位各位上的数字允许重复上的数字允许重复)？首位数字不为？首位数字不为0的密码数是多的密码数是多少？首位数字是少？首位数字是0的密码数又是多少？的密码数又是多少？分析分析:按密码位数按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三从左到右依次设置第一位、第二位、第三位位,需分为三步完成需分为三步完成;第一步第一步,m1=10;第二步第二步,m2=10;第三步第三步,m2=10.根据分步计数原理根据分步计数原理,共可以设置共可以设置 N=101010=103 种种三位数的密码。三位数的密码。答答:首位数字不为首位数字不为0的密码数是的密码数是 N=91010=9102 种种,首
10、位数字是首位数字是0的密码数是的密码数是 N=11010=102 种。种。由此可以看出由此可以看出,首位数字不为首位数字不为0的密码数与首位数字是的密码数与首位数字是0的密码的密码数之和等于密码总数。数之和等于密码总数。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理3.一个三位密码锁一个三位密码锁,各位上数字由各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字十个数字组成组成,可以设置多少种三位数的密码可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复各位上的数字允许重复)？首位数字不为？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是的密码数是多少？首位数字是0的密码数又的密码数又是多少？
11、是多少？问问:若设置四位、五位、六位、若设置四位、五位、六位、十位等密码、十位等密码,密码数分密码数分别有多少种？别有多少种？答答:它们的密码种数依次是它们的密码种数依次是 104,105,106,种。种。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 点评点评:分类计数原理中的分类计数原理中的“分类分类”要全面要全面,不能遗漏不能遗漏;但也但也不能重复、交叉不能重复、交叉;“类类”与与“类之间是并列的、互斥的、独立类之间是并列的、互斥的、独立的的,也就是说也就是说,完成一件事情完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有的某一种方法
12、。若完成某件事情有n类办法类办法,即它们两两的交即它们两两的交为空集为空集,n类的并为全集。类的并为全集。分步计数原理中的分步计数原理中的“分步分步”程序要正确。程序要正确。“步步”与与“步步”之间是连续的之间是连续的,不间断的不间断的,缺一不可缺一不可;但也不能重复、交叉但也不能重复、交叉;若完若完成某件事情需成某件事情需n步步,则必须且只需依次完成这则必须且只需依次完成这n个步骤后个步骤后,这件这件事情才算完成。事情才算完成。在运用在运用“分类计数原理、分步计数原理分类计数原理、分步计数原理”处理具体应用题时处理具体应用题时,除要弄清是除要弄清是“分类分类”还是还是“分步分步”外外,还要搞
13、清楚还要搞清楚“分类分类”或或“分步分步”的具体标准。在的具体标准。在“分类分类”或或“分步分步”过程中过程中,标准必须标准必须一致一致,才能保证不重复、不遗漏。才能保证不重复、不遗漏。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 课堂练习课堂练习 1.如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多不同的涂色方案有多少种？少种？9.1 分类计数原理和分步计数原理分类计数原理和分步计数原理 课堂练习课堂练
14、习 1.如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同种不同颜色中的某一种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂但相邻区域必须涂不同的颜色不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？解解:按地图按地图A、B、C、D四个区域四个区域依次分四步完成依次分四步完成,第一步第一步,m1=3 种种,第二步第二步,m2=2 种种,第三步第三步,m3=1 种种,第四步第四步,m4=1 种种,所以根据分步计数原理所以根据分步计数原理,得到不同得到不同的涂色方案种数共有的涂色方案种数共有 N=3 2 11=6 种。种。9.
15、1 分类计数原理和分步计数原理分类计数原理和分步计数原理 课堂练习课堂练习 1.如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不同种不同颜色中的某一种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂但相邻区域必须涂不同的颜色不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？问问:若用若用2色、色、3色、色、4色、色、5色等色等,结果又怎样呢？结果又怎样呢？答答:它们的涂色方案种数分别是它们的涂色方案种数分别是 0,4322=48,5433=180种等。种等。2.如图如图,该电路该电路,从从A到到B共有多少条共有多少条不同的线
16、路可通不同的线路可通电？电？AB9.1 分类计数原理和分步计数原理分类计数原理和分步计数原理解解:从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类,第一类第一类,m1=3 条条 第二类第二类,m2=1 条条 第三类第三类,m3=22=4,条条 所以所以,根据分类计数原理根据分类计数原理,从从A到到B共有共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。当然当然,也可以把并联的也可以把并联的4个看成一类个看成一类,这样也可分这样也可分2类求解。类求解。.ABABmm1m2m2mmn点评点评:我们可以把我们可以把分类计数原理看成分类计数原理看成“并联电路并联电路
17、”;分分步计数原理看成步计数原理看成“串联电路串联电路”。如图。如图:9.1 分类计数原理和分步计数原理分类计数原理和分步计数原理3.如图如图,一蚂蚁沿着长方体的棱一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点从一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？少条？9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 解解:如图如图,从总体上看从总体上看,如如,蚂蚁从顶点蚂蚁从顶点A爬到顶点爬到顶点C1有三有三 类方法类方法,从局部上看每类又需两步完成从局部上看每类又需两步完成,所以所以,第一类第一类,m1=12=2 条条 第二类第二类,m2=12=2 条条 第三类第三类
18、,m3=12=2 条条 所以所以,根据分类计数原理根据分类计数原理,从顶点从顶点A到顶点到顶点C1最近路线最近路线共有共有 N=2+2+2=6 条。条。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 4.如图如图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙地到丙地有从乙地到丙地有3条路可条路可通通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条路可通条路可通,从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路可通条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地甲地乙地乙地丙地丙地丁地丁地 解解:从总体上看从总体上看,由甲到丙有由甲到丙有两类不同的走法两类不同的走法,第一类第
19、一类,由甲经乙去丙由甲经乙去丙,又需分两步又需分两步,所以所以 m1=23=6 种不同的走法种不同的走法;第二类第二类,由甲经丁去丙由甲经丁去丙,也需分两步也需分两步,所以所以 m2=42=8 种不同的走法种不同的走法;所以从甲地到丙地共有所以从甲地到丙地共有 N=6+8=14 种不同的种不同的走法。走法。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题:1.本节课学习了那些主要内容？本节课学习了那些主要内容？答答:分类计数原理和分步计数原理。分类计数原理和分步计数原理。2.分类计数原理和分步计数原理的共同点是什分类计数原理和分步计数原理的共同点
20、是什么？不同点什么？么？不同点什么？答答:共同点是共同点是,它们都是研究完成一件事情它们都是研究完成一件事情,共有多少共有多少种不同的方法。种不同的方法。不同点是不同点是,它们研究完成一件事情的方式不同它们研究完成一件事情的方式不同,分分类计数原理是类计数原理是“分类完成分类完成”,即任何一类办法中的任何即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步计数原理是一个方法都能完成这件事。分步计数原理是“分步完分步完成成”,即这些方法需要分步即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依各个步骤顺次相依,且每一且每一步都完成了步都完成了,才能完成这件事情。这也是本节课的重点才能完成这件事情。这也是本节课的
21、重点。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 请同学们回答下面的问题请同学们回答下面的问题:3.何时用分类计数原理、分步计数原理里呢何时用分类计数原理、分步计数原理里呢?答答:完成一件事情有完成一件事情有n类方法类方法,若每一类方法中的任若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算则计算完成这件事情的方法总数用分类计数原理。完成这件事情的方法总数用分类计数原理。完成一件事情有完成一件事情有n个步骤个步骤,若每一步的任何一种若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完并且必须且只需完成互
22、相独立的这成互相独立的这n步后步后,才能完成这件事才能完成这件事,则计算完则计算完成这件事的方法总数用分步计数原理。成这件事的方法总数用分步计数原理。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 结束语结束语 两大原理妙无穷两大原理妙无穷,茫茫数理此中求茫茫数理此中求;万万千千说不尽万万千千说不尽,运用解题任驰骋运用解题任驰骋。9.1分类计数和分步计数原理分类计数和分步计数原理 步置作业步置作业:p.222 练习 第3,4,6,7题33.如果咱们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么咱们索性就做得更好，来给人笑吧！48.成功的速度=品德+修养+成熟度。38.总要有一个人要
23、赢，为什么不能是我。34.如果你不能飞，那就奔跑；如果不能奔跑，那就行走；如果不能行走，那就爬行；无论你做什么，都要保持前行的方向。44.目光能看多远，你就能走多远。62.和他人攀比，会带来焦虑；和自己比较，则会产生成就感。成长的最佳动力：和自己比，超越自己，就是胜利！91.做人就要像花一样，不管有没有人欣赏，你一定要绽放；不为别人绽放，只为只我欣赏；不做别人陪衬，只做炫丽自我。86.生活比你想象的要容易得多，只要学会接受那些不可接受的，放弃那些不愿放弃的，容忍那些不可容忍的。100.谁要游戏人生，他就一事无成；谁不能主宰自己，永远是一个奴隶。39.多用心去倾听别人怎么说，不要急着表达你自己的
24、看法。13.有时候，没有下一次，没有机会重来，没有暂停继续。有时候，错过了现在，就永远永远的没机会了。116.立志宜思真品格，读书须尽苦功夫。97.只有好好学习了才能有欺负你讨厌的人的资本。41.了解过去，活在当下，为将来做好准备！19.心中有梦想就要一如既往，不能遇到困难说放就放，千锤百炼才能磨炼出好钢，饱经风霜才能更强。118.世界上最聪明的人是借用别人撞的头破血流的经验作为自己的经验；世界上最愚蠢的人是非用自己撞的头破血流的经验当经验。35.有一种懂得叫珍惜，有一种浪漫叫平淡，有一种幸福叫简单。13.生活中难免遭遇打击。但是，真正能把你击倒的是你的态度。23.一切都不是自己想怎样就怎样的，活着就要学会身不由己。8.莫怨时间够不够，莫叹机会有没有，自古成功靠努力，何必坐着等白头。37.人生要学会储蓄。你若耕耘，就储存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。41.灵魂在求知中净化，信念在事业中升腾。34.我宁愿不断犯错，也不愿什么都不做。56.信心源于实力,实力源于不断的努力。
