1、11.2 11.2 无穷积分的无穷积分的Dirichlet和和Abel收敛判别法收敛判别法20100228一、一、柯西收敛原理柯西收敛原理证：证：5.11定理定理收敛收敛xxfad)(,00aA 对对总有总有只要只要,0AAA.d)(xxfAA收敛收敛xxfad)(存在存在)(limd)(limAAFxxfAaA ,00aA 对对总有总有只要只要,0AAA )()(AFAF.d)(xxfAA二、二、绝对收敛绝对收敛6.11定理定理收敛收敛xxfad)(收敛收敛xxfad)(证：证：收敛收敛xxfad)(xxfAAd)(.,00aA 对对总有总有只要只要,0AAA xxfAAd|)(|xxfAA
2、d|)(|).)()(21)(xfxfx 令令,)()(0)(xfxx ，且，且,)(收敛收敛dxxfa .)(也收敛也收敛dxxa ,)()(2)(xfxxf 但但,)()(2)(bababadxxfdxxdxxf.)()(2)(aaadxxfdxxdxxf 即即收敛收敛.法法证证明明可可用用构构造造辅辅助助函函数数的的方方 aadxxfdxxf)(,)(称称收敛收敛如如.绝对收敛绝对收敛)(,)(发散，发散，但但收敛收敛如如 aadxxfdxxf adxxf)(称称.条件收敛条件收敛绝对收敛绝对收敛收敛收敛收敛收敛.绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛反例：反例：dsin 1xxx fx ,
3、a 在在x fx 1fx dx 1xfx dx 例：设例：设在在连续可微函数连续可微函数，递减趋于于递减趋于于0 0，则，则 收敛的充分必要条件收敛的充分必要条件。收敛收敛 1fx dx 220,0,2lim02AAAAAAAA Af x dxf A dxf AAf A 证明：若证明：若收敛，收敛，221121212211122211,3AAAAAAAAxfx dxA fAA fAfx dxA AAA fAA fAfx dxxfx dx 而而有，有，1xfx dx 11afx dxxfxxfx dx limxxfx 0,0,AAAAAAAA AAxfx dxAfx dxAf AAf Axfx
4、dx limxxfx另一方面另一方面收敛，则收敛，则因此问题归结为证明因此问题归结为证明存在存在 存在，得证存在，得证 AAfA 上式中令，上式中令，三、三、第二积分中值定理第二积分中值定理证证明明略略去去127.11定理定理,非负递减非负递减gbaRf ;d)()()d()(xxfagxxgxfaba ,非负递增非负递增gbaRf .d)()()d()(xxfbgxxgxfbba 使得使得则则,ba 使得使得则则,ba （推广的第二积分中值定理）（推广的第二积分中值定理）8.11定理定理使得使得则则中单调中单调在在设设,babagbaRf xxfbgxxfagxxxfbabad)()(d)(
5、)()dg()(非负递减非负递减令令单调减时单调减时当当),()()(,bgxgxhg xxfahxxhxfabad)()(d)()(xxfbgagad)()()(xxfbgxxfagaad)()(d)()(证：证：.)()()(,可得可得令令单调增时单调增时当当xgbgxhg 第二积分中值定理的特点就在于它将两第二积分中值定理的特点就在于它将两个函数的乘积的积分化为一个函数的积个函数的乘积的积分化为一个函数的积分来处理分来处理.xxgxfAA)d()(xxfAgxxfAgAAd)()(d)()(xxfAgxxfAgxxgxfAAAAd)()(d)()()d()(,AA?d)()(xxfAFA
6、a?)(xg 收敛收敛xxgxfa)d()(四、四、Dirichlet判别法判别法 9.11定理定理;),(d)()(1有界有界在在 axxfAFAa,0)(lim,),2 xgagx且且上单调上单调在在:满足下面两个条件满足下面两个条件和和设设gf.)d()(收敛收敛则则xxgxfa 证明：证明：xxfAgxxfAgxxgxfAAAAd)()(d)()()d()(,AA 由推广的第二积分中值定理由推广的第二积分中值定理xxfAgxxfAgxxgxfAAAAd)()(d)()()d()(MAFFxxfA2)()(d)(,1 由由MFAFxxfA2)()(d)(,0,200AAAaA 由由.)(
7、,)(AgAg总有总有,4)d()(,0 MxxgxfAAAAA 时时当当收敛原理知收敛原理知由由Cauchy.)d()(收敛收敛xxgxfa 例例1证证1满满足足条件收敛条件收敛dsin1xxx ,21coscosdsin1 AxxA2,0,1)(满足满足递减趋向于递减趋向于xxg.dsin1收敛收敛xxx xxxxxxxxx22cos21sinsinsin2 11,d21 ,d22cos发散发散收敛收敛xxxxx.dsin1发散发散xxx 例例2 2证证的敛散性？的敛散性？判断判断 d 1cos1xxxx ,21sinsindcos 1 AxxA,0)(递减趋向于递减趋向于所以所以xg,1
8、)(,cos)(xxxgxxf 设设,0)1()1(121)1()1(121)(22 xxxxxxxxg.2满足满足.d 1cos 1收敛收敛判别法知判别法知由由xxxxDirichlet .1满足满足五、五、Abel判别法判别法 10.11定理定理:满足下面两个条件满足下面两个条件和和设设gf,d)(1收敛收敛xxfa ,),)(2上单调有界上单调有界在在axg.)d()(收敛收敛则则xxgxfa 证明：证明：总有总有时时当当由由,0,100AAAA ,)(,2Mxg 由由xxfAgxxfAgxxgxfAAAAd)()(d)()()d()(,d)(xxfAA MMM2 ,AA 收敛原理知收敛原理知由由Cauchy.)d()(收敛收敛xxgxfa )0(arctansin21 pdxxxxp讨论敛散性讨论敛散性例例时，时，解：当解：当1 p绝对收敛绝对收敛,2arctansinppxxxx ,10 p收敛，收敛，1sinpxx单调有界单调有界，在在 1arctan x判判别别法法知知，积积分分收收敛敛由由Abel.sinarctan1敛敛发散，所以此时条件收发散，所以此时条件收dxxxxp 时时但当但当10 p作业作业 (习题集习题集)习题习题11.2 1、偶、偶;2、偶、偶;4.
