1、数学与创新思维数学与创新思维北京航空航天大学北京航空航天大学 李心灿李心灿 恩格斯指出：恩格斯指出：“一个民族要想站在科学的最高峰，就一一个民族要想站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。刻也不能没有理论思维。”因此我认为：数学教学不但应该传授数学知识，还应该培养学生的创新思维。著名数学家拉普拉斯指出：著名数学家拉普拉斯指出：“分析和自然哲学中许多重大的发现，都分析和自然哲学中许多重大的发现，都归功于归纳方法归功于归纳方法牛顿二项式定理和万有引牛顿二项式定理和万有引力原理，就是归纳方法的成果。力原理，就是归纳方法的成果。”“在数在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和学里，发现真理的主要
2、工具和手段是归纳和类比。类比。”著名数学家高斯曾说：著名数学家高斯曾说：“我的许多发现都是靠归纳取得的。我的许多发现都是靠归纳取得的。”著名数学家沃利斯著名数学家沃利斯说：说：“我把（不完全的）我把（不完全的）归纳和类比当作一种很归纳和类比当作一种很好的考察方法，因为这好的考察方法，因为这种方法的确使我很容易种方法的确使我很容易发现一般规律发现一般规律”归纳的方法这是显然的。但是（逆向思维）这是显然的。但是（逆向思维）任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之任何一个偶数，都能分解为两个奇素数之和吗？和吗？60=7+53（7和和53都是素数）都是素数）.宋朝数学家杨辉宋朝数学家杨辉1261年写的年写
3、的详解九章算法详解九章算法*就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾宪用此术。宪用此术。杨辉三角形杨辉三角形.)(,)1ln()(1)(xfxxfn：例xxf11)(解解2)1(1)(xxf.,)1(!3)1()(,)1(!2)1()(43)4(32xxfxxf 从而归纳出nnnxnxf)1()!1()1()(1)(并且，有任意阶的导数设函数例)(:2xf2)()(xfxf.)()(xfn求解解因为因为32)(2)()(2)()(2)(xfxfxfxfxfxf,)(!3)()(32)(42xfxfxfxf .)(!)(1)(nnxfnxf因而归纳得到.?11
4、97531?97531,47531,3531,231,112222 他的这个发现，后来被刊登在他的这个发现，后来被刊登在春燕春燕杂志上。杂志上。.2nn 个奇数的和等于前33333333436427161514131211103227898765218143210101 按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当数学式子表示出来，而且试证明它。数学式子表示出来，而且试证明它。，三边形内角和)23()24(四边形内角和问题：下述结论是否成立？问题：下述结论是否成立？?)2(nn边形内角和等于 著名天文学、数学家开普勒著名天文学、数学家开普勒说：说：“我珍视类
5、比胜于任何我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的别的东西，它是我最可信赖的老 师 它 能 揭 示 自 然 的 奥老 师 它 能 揭 示 自 然 的 奥秘秘。”著名数学家、教育学家波利亚著名数学家、教育学家波利亚说：说：“类比是一个伟大的引路人，类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题几何中的类比问题。”1xyab;1czbyax 222121()()yyxx222212121()()()yyxxzz(n)(n)(n-1)(n-2)()u v)u vu v,u v)u v2u vu v ,u v)u v3u v3u v u v ,
6、(1)u v)u vuvu v .2!kn knn nnC u 因为（从而可以归纳出（()0.nkkv莱布尼茨公式莱布尼茨公式将他们比较可以看出将他们比较可以看出:把把中右端中右端K次幂换成次幂换成K阶导数阶导数(零阶导数理解为函数本身零阶导数理解为函数本身),把把中中u+v换成换成uv,n次幂换成次幂换成n阶导数既为阶导数既为.(拉格朗日拉格朗日17岁岁)牛顿二项式展开公式牛顿二项式展开公式1222332230()()2()33()Cnnkn kknkuvuvuvuuvvuvuu vuvvuvuvZZ=XX+YY52=32+42Z3=x3+Y3 (X,Y,Z 为正整数)=zxy+公元972年
7、阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi)Zn=n+Yn(n2)(Wiles 1994)欧拉猜想：欧拉猜想：下述方程没有整数解：下述方程没有整数解：4444wzyx没有人能够证明它是对的，但是在他提出这个猜想之后的200年内大家都相信它是正确的.但是在1998年，诺姆艾利克斯的举出一个反例：44442061567318796760153656392682440后来人们又发现了一个更简单的例子：444442248141456021751995800200000()()000001()()()()()().2!11()()()()!ninninnif xf xf xx xfxx xfxx xRxf
8、xxRni其中其中)10()()!1(100)1(xxxfnRnn00000020000000000000(,)(,)()()(,)11()()(,).()()(,)2!1()()(,)!nnninif x yf x yxyf x yyxxyxyf x yxyf x yRyyxxxynxyxyf x yRyxixy 10000001()()(),()(01)(1)!nnRxyf xxyyyyxxnxy 又如，在学完了积分学后应将定积分、又如，在学完了积分学后应将定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分进行类比，包括它们的定义、性质、计分进行类比，包括它
9、们的定义、性质、计算方法、物理意义、算方法、物理意义、等。等。()000000001()()!1()()(,)!niinininixfxxRixyf xyRyxixy 特别应该将牛顿特别应该将牛顿莱布尼茨公式、格林莱布尼茨公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。公式、高斯公式、斯托克斯公式进行类比。若将牛顿若将牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 视为，它建立了一元函数视为，它建立了一元函数f f(x)在一个区间的在一个区间的定积分与其原函数定积分与其原函数F F(x)在区间边界的值之间的在区间边界的值之间的联系；联系；通过类比，就可将格林公式通过类比，就可将格
10、林公式LDQdyPdxdxdyyPxQ 视为，它建立了二元函数在一个平面区域视为，它建立了二元函数在一个平面区域D上的二重积分与其上的二重积分与其“原函数原函数”在区域边界在区域边界L L的的曲线积分之间的联系；曲线积分之间的联系；通过类比，就可将高斯公式通过类比，就可将高斯公式RdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxPS 视为，它建立了三元函数在一个空间区域视为，它建立了三元函数在一个空间区域 上的三重积分与其上的三重积分与其“原函数原函数”在区域边界在区域边界曲面曲面S S上的曲面积分之间的联系；上的曲面积分之间的联系；通过类比，就可将斯托克斯公式通过类比，就可将斯托克斯公式R
11、dzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyRLS 视为，它建立了三元函数在一个空间曲面视为，它建立了三元函数在一个空间曲面S S上的曲面积分与其上的曲面积分与其“原函数原函数”在区域边界曲线在区域边界曲线L L上上的曲线积分之间的联系。的曲线积分之间的联系。若引入若引入“外微分运算外微分运算”，就可将格林公，就可将格林公式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛顿式、高斯公式和斯托克斯公式都看作牛顿-莱布尼茨公式的高维推广莱布尼茨公式的高维推广.并都可以用一个并都可以用一个简单的形式统一表示为简单的形式统一表示为DDwwd上的积分边界在区域的低一维空间的“微分形式”上的积分等于低一
12、次的在区域一次的“微分形式”此公式深刻地表明：高DD 高 斯 被 誉 为：高 斯 被 誉 为：“能从九霄云外的高能从九霄云外的高度按某种观点掌握星度按某种观点掌握星空和深奥数学的天才空和深奥数学的天才”和和“数学王子数学王子”。第一个证明是用归纳法；第一个证明是用归纳法；第二个证明是用二次型理论；第二个证明是用二次型理论；第三个和第五个证明是用高斯引理；第三个和第五个证明是用高斯引理；第四个证明是用高斯和；第四个证明是用高斯和；第六个和第七个证明是用分圆理论；第六个和第七个证明是用分圆理论；第八个证明是用高次幂剩余理论。第八个证明是用高次幂剩余理论。他的每一种证明思路都导致数论的新方向。其他的
13、每一种证明思路都导致数论的新方向。其后后19世纪多位数论大家如狄里克雷、雅可比、世纪多位数论大家如狄里克雷、雅可比、艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人都给艾森斯坦、库默、戴德金、希尔伯特等人都给出了新的证明并发展了该理论。出了新的证明并发展了该理论。dxxx231)(121122223xdxxdxxxI)1(11121222xdxx22221)1(21)1(121xxdxdx212232)1()1(31xxCxx)2(13122第一类换元积分法dxxx231 dxxxxxdxxxI232311 dxxxxx221)1(dxxxdxxx2211Cxx )2(13122第一类换元积分法 dxxx
14、231 dxxxI231 22221)11(1xdxxdx 22211)1(xdxdxCxx )2(13122第一类换元积分法 dxxx23121tx dtttdtttdxxxxI)1(112222Ctt 331Cxx )2(13122第一类换元积分法 dxxx231txtan dttttdtttI4323cossinsecsectan Ctttdtt342cos131cos1)(coscos1cosCxx 2322)1(311Cxx )2(13122第二类换元积分法 dxxx231shtx )()1()()(233chtdtchdtshtchtdtchtshtICchttch 331Cxx
15、)2(13122第二类换元积分法 dxxx231 )1(12223xdxdxxxI )1(112222xdxxxCxxx 23222)1(321Cxx )2(13122分部积分法和第一类换元积分法 dxxx231 dxxxxdxxxI42323111 )1(12142xdx )1(111212422xdxxx )1(1211)1(212222xdxxx分部积分法和第一类换元积分法Cxx )2(13122 dxxx231xtx 21CttttdtttI 3343224183832418)1(Cxxxxxxxx322232)1(241)1(83)1(83)1(241 dxxx231112 xtx
16、CttdtttI3222423)1(38)1(4)1(16Cxxxx 326224)11(3)11(xxxxsincos1lim320 1sinlim0 xxxl可以用函数单调性；可以用函数单调性；l用中值定理；用中值定理；l 用泰勒公式；用泰勒公式；等等。等等。0,)1ln(1 xxxxxxydydxydxx222 02)(22 xydydxyxy2xQyP xydydxydxx222 )(2)(12xyxydxdy 得知它是齐次微分方程，从而用齐次微得知它是齐次微分方程，从而用齐次微分方程的解法求出其通解；分方程的解法求出其通解；xydydxydxx222 yxyxdxdy1221 化化为
17、线性微分方程，然后用线性微分方程的为线性微分方程，然后用线性微分方程的解法求出其通解。解法求出其通解。高等数学一题多解高等数学一题多解200200例选编例选编 （产品：手表、收音机、电视机等）（产品：手表、收音机、电视机等）一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给雨雨伞伞店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。后来
18、有一位聪明的人劝她：后来有一位聪明的人劝她：老太太，你老太太，你真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆；真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆；大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都有好消息啊。有好消息啊。这么一说，老太太生活的色这么一说，老太太生活的色彩竟焕然一新。彩竟焕然一新。一则小一则小故事故事:（1）如果遇到某些问题顺推不行，可以考）如果遇到某些问题顺推不行，可以考虑逆推。虑逆推。（2）如果遇到某些问题直接解决困难，想）如果遇到某些问题直接解决困难，想法间接法间接 解决。解决。（3）正命题研究过后，研究逆命题。）正命题研究过后，研究逆命题。（4）探讨可
19、能性发生困难时，转而探讨不）探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。可能性。下面举几个高等数学中的例子下面举几个高等数学中的例子:求解微分方程：求解微分方程：)2(12yxydxdy若将若将 x 视为自变量，视为自变量，y 视为未知函数，解此方视为未知函数，解此方程就比较困难。因为它既不是可分离变量方程就比较困难。因为它既不是可分离变量方程，也不是齐次方程，也不是全微分方程，程，也不是齐次方程，也不是全微分方程，也不是线性方程和伯努里方程。也不是线性方程和伯努里方程。但是，如果利用逆向思维，即反过来将但是，如果利用逆向思维，即反过来将 x 视视为未知函数为未知函数,y 视为自变量，将方程变为视
20、为自变量，将方程变为)2(2yxydydx它就是未知函数x 的线性微分方程。很容易求出其通解。)1(21222Ceyexyy若直接解决困难，若直接解决困难，想法间接解决。想法间接解决。?!limnnnn例例1 1：试求试求解法：用间接的方法，即转化为判断级数解法：用间接的方法，即转化为判断级数1!nnnn11)11(1limlim1enuunnnnn.!1收敛故知级数nnnn级数收敛的必要条件是通项趋向于零，于是级数收敛的必要条件是通项趋向于零，于是0!limlim nnnnnnu解法解法:利用夹逼定理利用夹逼定理!1!11!1 ,nnnnnnnnnnnnnnn 即即11!lim0,lim0,
21、lim0.nnnnnnnnn而故而故 0,)(31 I :22222233的下侧。为半球面其中计算例RyxRzdxdyyxzdzdxydydzRxx20403422022216732)(,022222211RdrrdRdxdyyxRdvIRyxzRRyxyxRz则则,的的上上侧侧；利利用用高高斯斯公公式式补补充充平平面面用用间间接接方方法法，用用封封口口法法直直接接计计算算很很麻麻烦烦，故故采采：例3：将y=xarctanx展成x的幂级数。若用直接方法，先得求出此函数的各阶导数，还得讨论余项Rn(x)。若用间接方法，就很简便。1,121)1()1()1(11)arctan(arctan ,1,
22、)1(11 0120200020200 xxndxxdxxdxxdxxxxxxnnnnnxnxnnnxxnnn故由于。从而得1,121)1(arctan 022xxnxxynnn 欧几里得欧几里得几何原本几何原本第一卷中给出第一卷中给出了五个公设，其中前四个简单明了，（前了五个公设，其中前四个简单明了，（前三个是作图的规定，第四个是三个是作图的规定，第四个是“凡直角都凡直角都相等相等”），符合亚里士多德公理），符合亚里士多德公理“自明性自明性”的要求，唯独第五公设不仅文字啰嗦，而的要求，唯独第五公设不仅文字啰嗦，而且所肯定的事实也不明显。且所肯定的事实也不明显。而且只有第而且只有第5 5公设涉
23、及到无限公设涉及到无限,这是人们经验之外的东西这是人们经验之外的东西.lm0180 lml欧欧高斯高斯(1799,1813)(1799,1813)罗巴切夫斯基罗巴切夫斯基 (1826,1829)(1826,1829)鲍耶鲍耶 （18321832）罗巴切夫斯基把欧氏几何的命题按是否罗巴切夫斯基把欧氏几何的命题按是否依赖于第五公设（平行公设）分为两部分：依赖于第五公设（平行公设）分为两部分：不依赖于第五不依赖于第五公设得到证明的命公设得到证明的命题（绝对几何）。题（绝对几何）。依赖于第五依赖于第五公设才能证明的公设才能证明的命题。命题。“在一个平面上，过直线在一个平面上，过直线AB外一点至少可以作
24、一条直线与外一点至少可以作一条直线与AB不相交不相交”。1.仅可作一条（第五公设）仅可作一条（第五公设）欧氏几何；欧氏几何；2.可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾的可作不止一条，若能由此推出与绝对几何定理相矛盾的命题，这就无异于证明了第五公设。命题，这就无异于证明了第五公设。可是他不但没有发现任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙可是他不但没有发现任何矛盾，反而推导出了一连串奇妙的结果，构成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但的结果，构成了逻辑上既无矛盾，又与绝对几何不相冲突，但又和欧氏几何不同的新的几何体系。又和欧氏几何不同的新的几何体系。l罗罗l黎黎 现在人们把现在人们把“罗巴
25、切夫斯基几何与黎曼罗巴切夫斯基几何与黎曼几何统称为几何统称为“非欧几里得几何非欧几里得几何”。黎曼黎曼(1854)(1854)“19世纪最富启世纪最富启发性和最值得注意的成就是发性和最值得注意的成就是非欧几里得几何的发现非欧几里得几何的发现”。非欧几里得几何的创立是几何学上的革命，非欧几里得几何的创立是几何学上的革命，它不仅使数学家大开眼界，引起一些重要数它不仅使数学家大开眼界，引起一些重要数学分支的产生，它的重要意义还在于使数学学分支的产生，它的重要意义还在于使数学哲学的研究进入一个崭新的历史时期，它使哲学的研究进入一个崭新的历史时期，它使人们对空间的认识更深刻，更完全了。例如，人们对空间的
26、认识更深刻，更完全了。例如，它对爱因斯坦的相对论提供了最合适的数学它对爱因斯坦的相对论提供了最合适的数学工具。因此许多人采用非欧几何学作为宇宙工具。因此许多人采用非欧几何学作为宇宙的几何模型。的几何模型。(太平洋太平洋)欧几里得：欧几里得：三角形内角和三角形内角和 =两直角两直角 ,2r=c，a2+b2=c2 罗巴切夫斯基：三角形内角和罗巴切夫斯基：三角形内角和 两直角两直角 ,2rc，a2+b2 两直角两直角 ,2rc ，a2+b2c2 后来许多几何理论都建立在改变和推广欧后来许多几何理论都建立在改变和推广欧几里得几何概念的基础之上。例如：几里得几何概念的基础之上。例如：18441844年格
27、年格拉斯曼建立的拉斯曼建立的n n维仿射空间和度量空间几何。维仿射空间和度量空间几何。18711871年克来因年克来因 在在16世纪之前，数学家们就成功地找到世纪之前，数学家们就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。如：如：aacbbxcbxax24,022,12 那么，一般五次及五次以上的代数方程是那么，一般五次及五次以上的代数方程是否也存在根式解法呢？否也存在根式解法呢？这个问题吸引着众多的数学家，他们相这个问题吸引着众多的数学家，他们相信这种解法一定存在，包括：
28、卡当信这种解法一定存在，包括：卡当（Cardano）、韦达）、韦达(Viete)、笛卡儿、牛顿、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了两百多年的努力都未能找到解法。两百多年的努力都未能找到解法。韦达韦达拉格朗日拉格朗日 经过无数次的失败之经过无数次的失败之后后,直到直到19世纪初，一些数世纪初，一些数学家产生了逆向思维：首学家产生了逆向思维：首先是鲁非尼（先是鲁非尼（Ruffini）和）和拉格朗日，接着是阿贝尔拉格朗日，接着是阿贝尔(Abel)，把问题的提法倒，把问题的提法倒了过来，去思考它的反问了过来，去思考它的反问题：一般五次及五次以上题：一
29、般五次及五次以上的方程不存在根式求解法。的方程不存在根式求解法。阿贝尔阿贝尔(Abel)几何的三大难题：几何的三大难题：1.1.三等分任意角三等分任意角;2.2.化圆为方化圆为方;3.3.倍立方倍立方.(只用圆规、直尺只用圆规、直尺)从已有思路的反方向去思考问题。顺推不从已有思路的反方向去思考问题。顺推不行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接解决解决;正命题研究过后，研究逆命题；探讨正命题研究过后，研究逆命题；探讨可能发生困难时，考虑探讨不可能性。它有可能发生困难时，考虑探讨不可能性。它有利于克服思维定势的保守性，它对解放思想、利于克服思维定势的保守性，它
30、对解放思想、开阔思路、发现新生事物，开辟新的方向，开阔思路、发现新生事物，开辟新的方向，往往能起到积极作用。往往能起到积极作用。桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。（诸葛亮草船借箭、20只船）著名教育家苏霍姆林斯基说：“思维就像一棵花，它是逐渐地积累生命汁液的，只要我们用这种汁液浇灌它的根，让它受到阳光照射，它的花朵就会绽开。”我讲得不当之处,请大家谅解并指正.谢谢大家!匈牙利数学家，匈牙利数学家，1913年生于布年生于布达佩斯，达佩斯，1984年获沃尔夫奖，年获沃尔夫奖，时年时年71岁。岁。主要专长与成就：数论、集主要专长与成就：数论、集合、概论、组合数学等，特别合、概论、组合数学等，特别是与美籍挪威数学家塞尔贝格是与美籍挪威数学家塞尔贝格分别独立地用初等到方法成功分别独立地用初等到方法成功地证明了数论中的素数定理。地证明了数论中的素数定理。
