1、误差分析与数据处理 一、误差分析 由于实验方法的可靠程度，所用仪器的精密度和实验者感官的限度等各方面条件的限制，使得一切测量均带有误差测量值与真值之差。因此，必须对误差产生的原因及其规律进行研究，方可在合理的人力物力支出条件下，获得可靠的实验结果，再通过实验数据的列表、作图、建立数学关系式等处理步骤，就可使实验结果变为有参考价值的资料，这在科学研究中是必不可少的。1.误差的概念误差的概念 测量值与被测量真实值之间的偏离程度叫误差。由于被测量的真实值往往不易得到，因此常用测量结果的总的平均值来代替真实值，我们把测量值与测量结果总的平均值之间的偏离程度叫做偏差。如真实值用a表示，测量值用x表示，则
2、误差d为:d=|x-a|d值越小，则表示测量结果越接近于真实值，测量的准确度就越高。2.误差的分类误差的分类（1）系统误差）系统误差 在相同条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时，按某一确定规律变化的误差，产生的原因有：实验方法方面的缺陷。例如使用了近似公式。仪器药品不良引起。如电表零点偏差，温度计刻度不准，药品纯度不高等。操作者的不良习惯。如观察视线偏高或偏低。（2）偶然误差）偶然误差(随机误差随机误差)在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值时大时小，符号时正时负，但随测量次数的增加，其平均值趋近于零，即具有抵偿性，此类误差称为偶然误差。它产生的原因并不确定
3、，一般是由环境条件的改变(如大气压、温度的波动)，操作者感官分辨能力的限制(例如对仪器最小分度以内的读数难以读准确等)所致。（3）过失误差过失误差 3.3.误差的表示方法误差的表示方法（1）平均误差和相对误差 设xi、分别为第i次测量值和测量结果的平均值，di和d分别为第i次测量值误差和测量结果的平均误差，设测量结果为n次，则有：xnxxxxxnxninii2111niiniidnxxnd1111 平均误差可以说明测量结果的好坏，精确度的高低，但它反映不出单次测量结果与平均值的偏差程度即准确度。设dr为测量结果的相对平均误差，则相对平均误差定义为：%100rxdd（2）标准误差和相对误差 设s
4、和sr分别为标准误差和相对误差，并定义：112ndniis当n较大时，n1n niidn121sxssr4.偶然误差的统计规律和可疑值的舍弃偶然误差的统计规律和可疑值的舍弃 偶然误差符合正态分布规律，即正、负误差具有对称性。所以，只要测量次数足够多，在消除了系统误差和粗差的前提下，测量值的算术平均值趋近于真值。如果以误差出现次数N对标准误差的数值作图，得一对称曲线(误差分布图)。统计结果表明测量结果的偏差大于3的概率不大于0.3。因此根据小概率定理，凡误差大于3的点，均可以作为粗差剔除。yx23-2-3误差分布图 测量分为直接测量和间接测量两种，一切简单易得的量均可直接测量出。但对于较复杂不易
5、直接测得的量，可通过直接测定简单量，而后按照一定的函数关系将它们计算出来。因此，间接测量结果的误差必定与各个直接测量的误差必定与各个直接测量的误差有关。5.5.误差传递误差传递（1）平均误差和相对平均误差的传递（2）标准误差传递二、有效数字及计算 测量中能测量出来的数字叫有效数字。它包括测量中的全部准确数字和一位估计数字。1.1.有效数字的表示方法有效数字的表示方法(1)任何一个物理量的数据，其有效数字的最后一位，在位数上应与误差的最后一位对齐，如I2.l50.O2。(2)为了明确地表示有效数字，一般采用指数表示法。2 2、有效数字运算规则、有效数字运算规则(1)误差一般只取一位有效数字，最多
6、两位。(2)有效数字的位数越多，数值的精确度也越大，相对误差越小。(3)若第一位的数值等于或大于8，则有效数字的总位数可多算一位，如9.23虽然只有三位，但在运算时，可以看作四位。(4)运算中舍弃过多不定数字时，应用“4舍6入，逢5尾留双”的法则，例如有下列两个数值：9.435、4.685，整化为三位数，根据上述法则，整化后的数值为9.44与4.68(5)在加减运算中，各数值小数点后所取的位数，以其中小数点后位数最少者为准。例如：56.38+17.889+21.6=56.4+17.9+21.6=95.9(6)在乘除运算中，所得的有效数字应以各值中有效数字最低者为标准。(7)在乘方或开方运算中，
7、结果可多保留一位。(8)对数运算时，对数中的首数不是有效数字，对数的尾数的位数，应与各数值的有效数字相当。(9)算式中，常数，e及乘子2和某些取自手册的常数，如阿佛加德罗常数、普朗克常数等，不受上述规则限制，其位数按实际需要取舍。三、数据处理三、数据处理 物理化学实验数据的表示法主要有如下三种方法:列表法、作图法和数学方程式法。1 1、列表法、列表法 表格的组成:表号、表题、项目、量纲、数据等。列表时须注意以下几点:（l）表格组成中的五项内容不可缺少。每一变量、项目应占一行。（2）通常选较简单、均匀变化的变量作主变量。（3）有效数字的位数应以各量的精度为准。为简便起见，常将指数放在行名旁，但此
8、时指数上的正、负号应慎重填写。（4）每行(或列)的开头一栏都要列出物理量的名称和单位，并把二者表示为相除的形式。因物理量的符号本身是带有单位的，除以它的单位，即等于表中的纯数字。（5）数字要排列整齐，小数点要对齐，公共的乘方因子应写在开头一栏与物理量符号相乘的形式，并为异号。2 2、图解法、图解法 将实验数据用一定的函数图形来表示的方法叫图解法。图解法优点是:直观简明。能方便找出各函数中间值。能显示出数据的特点。可在不知函数关系时，作切线微分、积分求面积。可求函数的外推值，内插值等。作图时的注意点：(1)图要有图名(2)要用市售的正规坐标纸，并根据需要选用坐标纸种类:直角坐标纸、三角坐标纸、半
9、对数坐标纸、对数坐标纸等。物理化学实验中一般用直角坐标纸，只有三组份相图使用三角坐标纸。(3)一般以横轴代表自变量，纵轴代表因变量，在轴旁须注明变量的名称和单位，10的幂次以相乘的形式写在变量旁。(4)适当选择坐标比例，以表达出全部有效数字为准，即最小的毫米格内表示有效数字的最后一位。(5)坐标原点不一定选在零，应使所作直线与曲线匀称地分布于图面中。(6)描点时，应用细铅笔将所描的点准确而清晰地标在其位置上，可用，等符号表示。（7）曲线必须细而光滑流畅，与测量点必须符合最小二乘法原理。3 3、方程式法、方程式法 将实验中各变量间的依赖关系用解析的形将实验中各变量间的依赖关系用解析的形式表示出来的方法叫方程式法。式表示出来的方法叫方程式法。它不但方式简单而且便于进一步求解，如积分、微分、内插等。此法首先要找出变量之间的函数关系，然后将其线性化，进一步求出直线方程的系数斜率m和截距b，即可写出方程式。也可将变量之间的关系直接写成多项式，通过计算机曲线拟合求出方程系数。
