1、一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容三、典型例题三、典型例题第二章随机变量及其分布第二章随机变量及其分布习习 题题 课课一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律分布、二项分布和泊松分布的分布律正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、密度函数及有关区间概率的计算密度函数及有关区间概率的计算2.难点难点连续型随机变量的概率密度函数的求法连续型随机变量的概率密度函数的求法二、主要内容二、主要内容随随 机机 变变 量量离离 散散 型型随机变量随机变量连连 续续 型型随机变量随机变量分分 布布 函函 数数分
2、分 布布 律律密密 度度 函函 数数均均匀匀分分布布指指数数分分布布正正态态分分布布两两点点分分布布二二项项分分布布泊泊松松分分布布随机变量随机变量的函数的的函数的 分分 布布定定义义 随机变量是一个函数随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着但它与普通的函数有着本质的差别本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而随机而随机变量是定义在样本空间上的变量是定义在样本空间上的(样本空间的元素不一样本空间的元素不一定是实数定是实数).),(,)(,.,随机变量随机变量称称上的单值实值函数上的单值实值函数样就得到一个定义在样就得到一个定义在这这与之对应与之对应有一个实数有一个
3、实数果对于每一个果对于每一个如如它的样本空间是它的样本空间是是随机试验是随机试验设设定义定义eXSeXSeeSE (1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同随机变量随机变量 随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此因此随机变量的取值也有一定的概率规律随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系 随机事件包容在随机变量这个范围更广的概随机事件包容在随机变
4、量这个范围更广的概念之内念之内.或者说或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机事件是从静态的观点来研究随机现象随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象机现象.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型非离散型非离散型其它其它随机变量所取的可能值是有限多个或无限随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个可列个,叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.随机变量所取的可能值可以连续地充满某个随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.,2,1,),2,1(的分布律的分布律称此为离散型随机变量
5、称此为离散型随机变量为为的概率的概率即事件即事件取各个可能值的概率取各个可能值的概率所有可能取的值为所有可能取的值为设离散型随机变量设离散型随机变量XkpxXPxXXkxXkkkk 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律(1)定义定义 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21;,2,1,010 kpk;1210 kkp(2)说明说明律也可表为律也可表为离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布03设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值,它的分它的分布律为布律为Xkp0p 11p则称则称 X 服从服从(0-1)分布分布或或两点分布两点分布.两点分布两点
6、分布 称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为).,(pnbX的分布律为的分布律为X)10,2,1,0(pnk二项分布二项分布1 n两点分布两点分布二项分布二项分布nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110).(,.0,2,1,0,!e,2,1,0 XXkkkXPk记为记为布布的泊松分的泊松分服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中各个值的概率为各个值的概率为而取而取的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取 泊松分布泊松分布 (2)说明说明.)(,的分布函数的分布函数称为称为函数函数是任意实数是任意实数是一个随机变量是一个随机变量设设XxXPxFxX
7、.)(的一个普通实函数的一个普通实函数是是分布函数分布函数xxF随机变量的分布函数随机变量的分布函数(1)定义定义分布函数主要研究随机变量在某一区间内取分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况值的概率情况.);,(,1)(0 10 xF);(),()(221210 xxxFxF ,0)(lim)(30 xFFx;1)(lim)(xFFx);(),()(lim40000 xxFxFxx即任一分布函数处处即任一分布函数处处右连续右连续.(3)性质性质),()(aFbFbXaP ).(1aFaXP 离散型随机变量的分布函数离散型随机变量的分布函数.)(xxkipxXPxF(4)重要公式重要
8、公式.,)(,d)()(,),(简称概率密度简称概率密度率密度函数率密度函数的概的概称为称为其中其中为连续型随机变量为连续型随机变量则称则称有有使对于任意实数使对于任意实数非负函数非负函数存在存在的分布函数的分布函数如果对于随机变量如果对于随机变量XxfXttfxFxxFXx 连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度(1)定义定义;0)(1o xf.1d)(2o xxf)()(31221oxFxFxXxP .d)(21xxfxx .)()(,)(4oxfxFxxf 则有则有处连续处连续在点在点若若(2)性质性质.0 aXP若若X是连续型随机变量是连续型随机变量，X=a 是不是不可能事件
9、可能事件,则有则有,0 aXP若若是是不不可可能能事事件件aX .0 aXP若若 X 为离散型随机变量为离散型随机变量 连连续续型型离离散散型型是是不不可可能能事事件件则则不不能能确确定定aX (3)注意注意).,(,),(,0,1)(baUXbaXbxaabxfX记为记为区间上服从均匀分布区间上服从均匀分布在区间在区间则称则称其它其它具有概率密度具有概率密度设连续型随机变量设连续型随机变量 均匀分布均匀分布(1)定义定义 .,1,0)(bxbxaabaxaxxFxo)(xF a b 1(2)分布函数分布函数.,0.0,0,0,e1)(分布分布的指数的指数服从参数为服从参数为则称则称为常数为常
10、数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量 XxxxfXx 分布函数分布函数 .0,0,0,e11)(xxxFx指数分布指数分布).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx记为记为正态分布或高斯分布正态分布或高斯分布的的服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量 正态分布正态分布(或高斯分布或高斯分布)(1)定义定义txFxtde21)(222)(2)分布函数分布函数).1,0(,1,0),(2NN记为记为态分布态分布的正态分布称为标准正的正态分布称为标准正这样这样时时中的中的当正态分布当正态分布
11、 标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布的概率密度表示为,e21)(22 xxx 标准正态分布的分布函数表示为标准正态分布的分布函数表示为.,de21)(22 xtxxt(3)标准正态分布标准正态分布标准正态分布的图形标准正态分布的图形).1,0(),(120NXZNX 则则若若.20 cddXcP ).(1)(30 xx (4)重要公式重要公式随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布(1)离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布的分布律为的分布律为若若也是离散型随机变量也是离散型随机变量其函数其函数是离散型随机变量是离散型随机变量如果如果XXgYX.)(,Xkpkxxx21kp
12、pp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg(2)连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布.)(,也是连续型随机变量也是连续型随机变量其函数其函数是连续型随机变量是连续型随机变量如果如果XgYX 的分布函数的分布函数求出求出数数的密度函的密度函的概率密度通常是根据的概率密度通常是根据计算计算YxfXYX)()()(yXgPyYPyFY ,)(d)()(xxxfyxgX.)(的密度函数的密度函数求导得到求导得到再对再对YyFY.)()(,)(),(max(),(),(min(的反函数的反函数是是其中其中xgyhgggg .,0
13、,)()()(,)(),0)(0)()(,R),(其他其他率密度为率密度为其概其概是连续型随机变量是连续型随机变量则称则称或恒有或恒有处处可导且恒有处处可导且恒有又设函数又设函数的具有概率密度的具有概率密度设随机变量设随机变量yyhyhfyfxgYxgxgxgxxfXXYX定理定理.02,87,45,23,1,5,2,0,2 XXPaaaaX试求概率试求概率相应的概率依次为相应的概率依次为的可能取值为的可能取值为已知离散型随机变量已知离散型随机变量思路思路 首先根据概率分布的性质求出常数首先根据概率分布的性质求出常数 a 的的值值,然后确定概率分布律的具体形式然后确定概率分布律的具体形式,最后
14、再计算最后再计算条件概率条件概率.利用概率分布律的性质利用概率分布律的性质解解,1 iip三、典型例题三、典型例题例例1因此因此 X 的分布律为的分布律为XP5202 37837123710377aaaapii87452311 有有,837a,837 a故故从而从而00,202 XPXXPXXP52020 XPXPXPXPXP.2922.,212.2,21,32,11,1,0)(的分布律的分布律并求并求试确定常数试确定常数且且的分布函数为的分布函数为设离散型随机变量设离散型随机变量XbaXPxbaxaxaxxFX 思路思路 首先利用分布函数的性质求出常数首先利用分布函数的性质求出常数 a,b,
15、再用已确定的分布函数来求分布律再用已确定的分布函数来求分布律.解解:)(的性质的性质利用分布函数利用分布函数xF例例2),0()(iiixFxFxXP,1)(F221 XP知知)32()(aba ,322 ba.1 ba且且.65,61 ba由此解得由此解得 .2,1,21,21,11,61,1,0)(xxxxxF因此有因此有从而从而 X 的分布律为的分布律为XP211 213161.)3();()2(;)1(.,e)(2的概率密度的概率密度求求的分布函数的分布函数求求求系数求系数的概率密度为的概率密度为已知随机变量已知随机变量XYxFXAxAxfXx 解解有有由概率密度的性质由概率密度的性质
16、,)1(xAxxfxded)(1 0de2xAx,2A.21 A故故例例3,de21)()2(xxxxF有有时时当当,0 xxxFxxde21)(;e21x 有有时时当当,0 xdede21)(00 xxxxxxF;e211x 所以所以 X 的分布函数为的分布函数为 .0,e211,0,e21)(xxxFxx,0)3(2 XY由于由于;0)(,0 yYPyFyY有有时时故当故当有有时时当当,0 y)(2yXPyYPyFY yXyP yyxxde21,de2120 yxx),()(yfyFYY 由于由于有有时时故当故当,0 ydedd)(dd0 yxYxyyFy,21eyy 的概率密度为的概率密
17、度为从而从而 Y,.0,00,e21)(yyyyfyY.2100,cm182)2(?01.0,)1()cm:()6,170(2的概率的概率顶碰头的人数不多于顶碰头的人数不多于个成年男子与车门个成年男子与车门求求若车门高为若车门高为车门顶碰头的几率小于车门顶碰头的几率小于使男子与使男子与车门的高度车门的高度问应如何设计公共汽车问应如何设计公共汽车单位单位高高设某城市成年男子的身设某城市成年男子的身NX思路思路.2,cm182100.,01.0,cm的概率的概率求其不超过求其不超过布律布律然后用此分然后用此分的人数的分布律的人数的分布律子中身高超过子中身高超过名男名男第二问首先要求出第二问首先要求
18、出确定确定那么按设计要求应有那么按设计要求应有设车门高度为设车门高度为llXPl 例例4解解),6,170()1(2NX由题设知由题设知1lXPlXP 617061701lXP)6170(1 l,01.0.99.0)6170(l 即即,33.26170 l查表得查表得).cm(98.183 l故故.cm182)2(p的概率为的概率为设任一男子身高超过设任一男子身高超过170 182 170182 1182166Xp P XP XP 则)2(1 .0228.0,cm182100的人数的人数个男子中身高超过个男子中身高超过为为设设 Y(100,0.0228),Yb则其中,9772.00228.01
19、00100 kkkkYP .100,1,0 k,28.2,0228.0,100 nppn其中其中布来计算布来计算故可用泊松分故可用泊松分较小较小较大较大由于由于从而从而!2e28.2!1e28.2!0e28.2228.2228.228.20 YP.6013.0,2102 YPYPYPYP所求概率为所求概率为.,200,6001,):(,a概率概率至少有一只元件损坏的至少有一只元件损坏的内内小时小时试求在仪器使用的最初试求在仪器使用的最初中参数中参数其其都服从同一指数分布都服从同一指数分布小时小时单位单位其寿命其寿命元件元件立工作的同型号电子立工作的同型号电子设某仪器上装有三只独设某仪器上装有三
20、只独 思路思路,200)3,2,1(的事件的事件小时内损坏”小时内损坏”使用的最初使用的最初“在“在分别表示三个电子元件分别表示三个电子元件以以 iAi321AAAPa 于是于是)(1321AAAP ),()()(1321APAPAP 例例5),3,2,1()(iAPpi令令.,便可得解便可得解由指数分布求出由指数分布求出 p解解的概率密度为的概率密度为由题设知由题设知个元件的使用寿命个元件的使用寿命表示第表示第用用)3,2,1(,)3,2,1(iXiiXii .0,0,0,e6001)(600 xxxfx,一分布一分布由三个电子元件服从同由三个电子元件服从同,)(200pAPXPii 又又因此所求概率为因此所求概率为)()()(1321APAPAP 31p 331)e(1 .e11 从而从而 200d)(200 xxfXPi 200600de6001xx,e31 .3,2,1 i备备 用用 例例 题题
