1、第一节第一节 数学期望数学期望 第二节第二节 方差方差第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数返回返回基本要求基本要求:1.1.深刻理解数学期望与方差的定义深刻理解数学期望与方差的定义;2.2.熟练掌握期望与方差的性质熟练掌握期望与方差的性质;3.3.能熟练地运用期望与方差的定义或性质求一些常能熟练地运用期望与方差的定义或性质求一些常见的随机变量的期望与方差见的随机变量的期望与方差;4.4.理解独立与相关的概念理解独立与相关的概念,会求协方差与相关系数会求协方差与相关系数;5.5.了解高阶矩的概念了解高阶矩的概念.学时数学时数 6返回返回一、数学期望的定义一、数学期望的定义1.1.离散型
2、离散型定义定义1 1 设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为:),2,1(,ipxXPii若级数若级数 绝对收敛绝对收敛,则称则称:1iiipx1)(iiipxXE为为X X的数学期望的数学期望(简称期望简称期望)或均值或均值.返回返回2.2.连续型连续型定义定义2 2 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的分布密度为的分布密度为f(x),f(x),若若()x fxd x 绝对收敛绝对收敛,则称则称dxxxfXE)()(为为X X的数学期望或均值的数学期望或均值.返回返回注注 意：意：（1 1）期望的定义是结构型的）期望的定义是结构型的,定义本身给出了求定义本身给出了求期
3、望的公式期望的公式,但需知道分布律或分布密度但需知道分布律或分布密度.（2 2）并不是任何随机变量的数学期望都存在）并不是任何随机变量的数学期望都存在;（3 3）n n维随机变量的数学期望是指维随机变量的数学期望是指n n个数学期望的个数学期望的总体总体,即即:),(),(2121nnEXEXEXXXXE返回返回 例例4.1 4.1 设设X X服从服从(0-1)(0-1)分布分布,即即PX=1=p,PXPX=1=p,PX=0=q,=0=q,求求EX.EX.解解:p 例例4.2 4.2 设设x(),x(),求求EX.EX.解解:因因X X的分布律为的分布律为:),2,1,0(,!ieiiXPi0
4、!iiiei0()!nxnxen11(1)!iiei0!kkekEX100(1)1iiippp EXee返回返回 例例 4.3 4.3 设设XB(n,P),XB(n,P),求求EX.EX.解解:X X的分布律为的分布律为:),2,1,0(,)1(nippCiXPiniinnp0niin inii C p q0!()!nin iinip qi n i1(1)(1)1(1)!(1)!(1)(1)!niniinnpp qini 1(1)0(1)!(1)!nknkknnpp qknk(1)ki EX1()nnp Pq返回返回 例例4.4 4.4 设设X X在在a,ba,b上服从均匀分布上服从均匀分布,
5、求求X X的均值的均值.解解:因因X X的分布密度为的分布密度为:bxaabxf,1)(0,0,其它其它1baxdxba()xf x dxEX2a b返回返回 例例 4.5 4.5 的数学期望，求设XNX),(2解解:因因X X的分布密度为的分布密度为:xexfx,21)(222)()xf x dx22()212xxedx 222tedt221()2ttedt)x(令tEX1返回返回 例例 4.6 4.6 设设X X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布,求求 EX.EX.解解:因因X X的分布密度为的分布密度为:0,)(xexfx0,x 00,x 0),DX(0),引入新随机变量引入新随
6、机变量:*XEXXDX试证试证:*()0,()1E XD X证证:1*()XEXE XEDX01()E XEXDX*()XEXD XDDX1()D XEXDX1DXDX返回返回注注 意意:从上面的一些例子中可以看出从上面的一些例子中可以看出,只要知道只要知道上述这些随机变量的均值与方差上述这些随机变量的均值与方差,就可以唯一决就可以唯一决定它的分布定它的分布,这就体现了数字特征的重要意义这就体现了数字特征的重要意义.返回返回 下面的定理说明下面的定理说明,由随机变量的数学期望和方差由随机变量的数学期望和方差,也可以对随机变量取值的统计规律提供一些信息也可以对随机变量取值的统计规律提供一些信息.
7、210,()()().XD XP XE XChebyshev定理设随机变量 的方差D(X)存在,则对任何有该不等式称为不等式证明:就X为连续型随机变量进行证明,设X分布密度为f(x)()P XE X()()x E Xf x dx22()()()x E XxE Xf x dx221()()xE Xf x dx2()D X返回返回2()0,()1,()1D XXE XP XE X定理若方差则随机变量 取常数值的概率等于 即证明:11()0()nXE XXE Xn,Chebyshev由不等式 有11()0()nP XE XPXE Xn11()nP XE Xn21()01()nD Xn0()00P X
8、E X()()0P XE XP XE X于是1()0P XE X 1返回返回一、协方差一、协方差定义定义1 1 设设X,YX,Y是二个随机变量是二个随机变量,如果如果()()EXEXYEY存在存在,则称它为则称它为X X与与Y Y的协方差的协方差,记为记为Cov(X,YCov(X,Y).).即即(,)()()Cov X YE XE XYE Y(,)()()()Cov X XE XE XXE XD X特别地返回返回协方差的性质协方差的性质 设设X,Y,ZX,Y,Z是随机变量是随机变量,a,b,a,b是常数是常数,则则:(1)Cov(X,Y)=Cov(Y(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);,
9、X);(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);(3)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y);(5)Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY;(6)Cov(X,a)=0;(7)如果如果X,Y独立独立,则则C0v(X,Y)=0.返回返回证明:(2)0(,)()()C v aX bYE aXE aXbYE bY()()abE XE XYE Y(,)abCov X Y(5)(,)()()Cov X YE XE XYE Y()()()()E XYXE YYE XE X E Y()()()()()()()E XYE Y E XE
10、 X E YE X E Y()()()E XYE X E Y返回返回4.25)3,(,).Cov 例设=5+6,D(求:(,)(,)CovCov 解(56,)Cov(5,)(6,)CovCov 5()D15返回返回1()02,024.26(,)(,)80(1)(,)(2)()xyxyf x yCovD 例设其它求求解:2()(,)RExf x y dxdy22001()8dxxxy dy220()44xxdx76(1)同理可得:27()(,)6REyf x y dxdy24()(,)3RExyf x y dxdy0(,)()()()C vEEE 47 7136 636 返回返回(2)222()
11、(,)REx f x y dxdy22001()8dxxyxy dy3220()44xxdx5322()()()DEE25711()3636()()()2(,)DDDCov 1111152()3636369 11:()36D同理可得返回返回(,)(0,0)XYCov X YDXDYDXDY为为X与与Y的相关系数或标准协方差的相关系数或标准协方差.二、相关系数二、相关系数定义定义2 设设X，Y为两个随机变量，称为两个随机变量，称0,;XYXY如果则称 与 不相关0,.XYXY如果则称 与 相关定义定义3 返回返回注注 意意:（i i）X X与与Y Y的协方差就是的协方差就是X X与与Y Y的函数
12、的函数 g(X,Y)=(X-EX)(Y-EY)g(X,Y)=(X-EX)(Y-EY)的数学期望的数学期望;（ii ii）X X与与Y Y的相关系数就是标准化随机的相关系数就是标准化随机变量的乘积的数学期望，即变量的乘积的数学期望，即()0(,)0XYiiiCov X Y*()()()()()XYXE XYE YEE X YD XD Y返回返回三、有关相关系数的定理三、有关相关系数的定理22222,(),(),()()()YE XE YE XYE XE Y 引理(Cauchy-Schwarz不等式)设X为任意两个随机变量则2()0,.E X当时等号成立2()()f tE tXYtR证明：构造22
13、2()()2()()f tE XtE XYtE Y 2222,()0()0,2()4()()0tRf tE XE XYE XE Y由于对任意有当时222()()()E XYE XE Y返回返回1,(1)|1;(2)|1,1XYXYXYX Ya bP YaXb 定理设为随机变量的相关系数 则有存在常数使得22()()1111()()E XEX YEYE XEXE YEY 即2221)()()()E XYE XE Y证明(：由引理22()11()()E XYE XE Y(),(),XEXYEYX Y以代替上式的有返回返回（2）1如果222(1):()()()E XYE XE Y由的证明可得0 即2
14、方程 E(tX+Y)=0 有唯一实根(记为-a)2()0EaXY即22()()()DaXYEaXYEaXY2()EaXY,()0DaXY另一方面由方差的定义,()0DaXY从而()1PaXYb某常数 记为()1P YaXb即返回返回(,)0()aCov X Xa D X()1()aD Xa D X 2(,)()()Cov X aXbD Xa D X2()()()D YD aXba D X()1P YaXb如果返回返回定理定理2 如果如果X与与Y相互独立相互独立,则则X与与Y不相关不相关.cov00XYXYXY证明：因为 与 独立，由协方差性质（，）即 与 不相关。但是，逆命题不成立但是，逆命题
15、不成立.返回返回证明证明:(X,Y)(X,Y)的联合分布密度为的联合分布密度为:)()(2)()1(21exp121),(2222212121212221yyxxyxf由前面的例知由前面的例知:221122221212(,)(,);,XNYNEXEYDXDY 3,.X定理设(X,Y)服从二维正态分布 则X与Y独立与Y不相关返回返回221212221112212()1()22(1)1()()21xyxxyeedxdy 12(,)()()Cov X YE XY12()()(,)xyf x y dxdy 返回返回1212222 12121211,(),1xyxuv令则22222120()12uvC
16、v XYuuvedudv ，（）22222212122222122uvuvu eduedvueduvedv X与Y的相关系数为0XY与 独立()即X与Y不相关返回返回 例例 4.27 4.27 设设(X,Y)(X,Y)等可能地取等可能地取(-2,0),(0,-2),(2,0),(0,2),(-2,0),(0,-2),(2,0),(0,2),试问试问X X与与Y Y是否独立是否独立?是否相关是否相关?解解:X,YX,Y的联合分布律和边缘分布律如下的联合分布律和边缘分布律如下:YX2022020410410410410 ipjp414241414241返回返回121(2)020444EX (,)(
17、)()()0Cov X YE XYE X E Y即即X与与Y不相关不相关.2,20P XY12216P XP Y所以所以X与与Y也不相互独立也不相互独立.由此可得XP-2021/42/41/4同理可得()0E Y XYP01()0 10E XY 0则返回返回四、原点矩与中心矩四、原点矩与中心矩设设X X的分布律的分布律(密度密度)为为p pi i(f(x),(f(x),(1)k(1)k阶原点矩定义为阶原点矩定义为:()kkvE X1()()()kiiikx px f x dx离散连续(1,2,)k(2)k(2)k阶中心矩定义为阶中心矩定义为:()kkuE XEX1()()()()()kiiik
18、xEXpxEXf x dx离散连续返回返回五、混合矩与协方差矩阵五、混合矩与协方差矩阵 (1)(1)混合原点矩混合原点矩:),2,1),(kYXElk（(2)(2)混合中心矩混合中心矩:(3)(3)若若X,YX,Y的四个二阶中心矩存在的四个二阶中心矩存在,分别记为分别记为:.)(),()(),()()(2222112211DYEYYECXYCovEXXEYYECYXCovEYYEXXECDXEXXEC),2,1,(,)()(lkEYYEXXElk返回返回则协方差矩阵定义为则协方差矩阵定义为:22211211CCCCC返回返回 例例 4.29 4.29 设设(X,Y)(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布,试写出试写出(X,Y)(X,Y)的协方差矩阵的协方差矩阵.解解:212221),(,YXCovDYDX21122122(,)(,)DXCov X YCCov Y XDY 可见可见,二维正态随机变量的联合分布密度可借助二维正态随机变量的联合分布密度可借助于它的协方差矩阵将指数写成矩阵形式于它的协方差矩阵将指数写成矩阵形式,以便推广到以便推广到n n维正态随机变量的情形维正态随机变量的情形.
