1、3.2 边缘分布边缘分布 1.边缘分布函数边缘分布函数 2.二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布3.二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布二维随机变量(X,Y)的分量X和Y是一维随机变量,它们各有其分布，称为(X,Y)分别关于X和Y的边缘分布.本节主要讨论二维离散型随机变量(X,Y)分别关于X和Y的边缘分布律和二维连续型随机变量(X,Y)分别关于X和Y的边缘概率密度函数.设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，关于X和Y的边缘分布函数分别记为FX(x)和FY(y).注意：注意：由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由边缘分布决定不了联合分布。但当分
2、量独立时就可以决定。联合分布可以确定边缘分布1.边缘分布函数边缘分布函数),(lim),(),()()(),(lim),(),()()(yxFyFyYXPyYPyFyxFxFYxXPxXPxFxYyX0.50.50.5()0.5()(,)lim(,)lim1010.0000Yxxyx yyxFyFyF x yeeeyeyyy 解解 (X,Y)关于Y的边缘分布函数 对于二维离散型随机变量(X,Y),分量X,Y的分布列（律）称为二维随机变量(X,Y)的关于X和Y的边缘概率分布或分布列（律）.设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为P(X=xi,Y=yj)Pij ,i,j=1,2,.,则 P(X=
3、xi)=jjiyYxXP)()()()(jjiyYxXPjjiyYxXP),(jijp2.二维离散型随机变量的边缘分布二维离散型随机变量的边缘分布(i=1,2,.)同理:iijjpyYP)(一般地,记:P(X=xi)Pi.P(Y=yj)P.j(j=1,2,.)其分布表如下:XY.jyyy21ixxx21ijiijjppppppppp212222111211.ip.2.1ipppjp.jppp.2.1.解解 P(X=i,Y=j)=P(Y=j|X=i)P(X=i)=(1/i)(1/4),(ij)于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为.3,2,1,0,3231)()(33iCiYPiXPi
4、ii)()(),(jYPiXPjYiXP3,2,1,0,323132313333jiCCjjjiii例例:把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中.记落入第1号盒子的白球个数为X,落入第2号盒子的红球个数为Y.求(X,Y)的分布律和关于X和Y的边缘分布律.解解 显然有又因为事件X=i与事件Y=j相互独立,所以有用表格可如下表示解解 在不放回抽样下（上节课例题），列表如下：在放回抽样下，两次抽取相互独立，故P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=3/5 3/5=9/25 类似地可有 P(X=0,Y=1)=6/25，P(X=1,Y=0)=6/25，P(X=1,Y=1)=
5、4/25，列表如下 注：注：由此例可见，不同的联合分布可有着相同的边缘分布，从而边缘分布不能唯一确定联合分布！3.二维连续型随机变量的边缘分布二维连续型随机变量的边缘分布对于二维连续型随机变量(X,Y),设其概率密度函数为f(x,y)，分布函数为F(x,y)，则有dudyyufdudyyufxFxFxxX),(),(),()(dvdxvxfdxdvvxfyFyFyyY),(),(),()(dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(分别称fX(x),fY(y)为二维连续型随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数，简称密度函数。记边缘密度函数完全由联合密度函数所决定.例例 设随机变
6、量(X,Y)服从区域D上的均匀分布,其中 D=(x,y),x2+y21,求X,Y的边缘密度函数fX(x)和fY(y).解解 (1)由题意得:其它其它011),(22yxyxf dyyxfxfX),()(XY-1121xy 21xy 当|x|1时,f(x,y)=0,所以,f X(x)=0当|x|1时,22221111),()(xxxxXdyyxfxf 22111xxdy 212x 所以,1|01|12)(2xxxxfX 注意注意:均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布 1|01|12)(2yyyyfY 同理,例例 设(X,Y)的概率密度是其它,00,10),2(),(xyxxcyyxf求(1)c的
7、值；（2）两个边缘概率密度.dxdyyxf),(解解 (1)1245 2/)2(102cdxxxc所以，c=24/5xy01y=x 100)2(xdxdyxcy(2)xXdyxydyyxfxf0)2(524),()(),2(5122xx10 x注意积分限注意取值范围同理1)2(524)(yYdxxyyf),2223(5242yyy10 y其它,010),2223(524)(2yyyyyfY其它,010),2(512)(2xxxxfX即注意：注意：在求二维连续型随机变量的边缘概率密度时，往往要对联合概率密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度函数是分段函数的时候，在计算积分时应特别注意积分限
8、.其它,0,6),(2xyxyxf其它,010),(66),()(22xxXxxxdydyyxfxf例例 设随机变量X和Y具有联合概率密度求边缘概率密度fX(x)和fY(y).解解其它,010),(66),()(yyYyyydxdxyxfyf例例 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 其其他他,00,),(yxeyxfy 求随机变量X的边缘密度函数；求概率P(X+Y1).解解 (1)x0时,fX(x)=0;x0时,fX(x)=dyyxf),(dyexyxe ye 所以,000)(xxexfxX P(X+Y1)=y=xx+y=11/22/101 xxydyedx21121 ee例例 求二维正态随
9、机变量的边缘密度函数.解解 已知已知)(2)()1(21exp121),(22222112112221yyxxyxf为了计算方便，设ux11vy22dveedvvuvuuudvvuvuuvu)21(22)(2221222222221222222112121)2()()1(21exp121)2()1(21exp121积分中的被积函数恰好是服从正态分布 的随机变量的密度函数则(X,Y)关于X的边缘密度函数为 xex,212122)1(1)1(,(22uNdyyxfxfX),()(由此可见：二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，而且这两个边缘分布与其中的参数无关。即同理，(X,Y)关于Y的边缘密度函数为 2221()221()(,),2yYfyf x y dxey 211(,)XN 222(,)YN 这表明，仅仅由X和Y的边缘分布，一般不能完全确定二维随机变量(X,Y)的联合分布。
