1、 教学目的和要求：通过本章内容的教学，使学生能够对测量数据合理的、通过本章内容的教学，使学生能够对测量数据合理的、正确进行测量不确定度的评正确进行测量不确定度的评 定与表示。要求学生清楚测量不确定度的概念，明定与表示。要求学生清楚测量不确定度的概念，明了不确定度的分类，掌握标准不确定度了不确定度的分类，掌握标准不确定度 A类和类和B类评定方法、合成标准不确定度和扩展不确类评定方法、合成标准不确定度和扩展不确定度的评定方法；正确进行测量不确定度的评定方法；正确进行测量不确 定度的报告和表示。定度的报告和表示。主要内容：主要内容：1.1.测量不确定度的基本概念：产生背景、测量不确定度的定义及分类、
2、测测量不确定度的基本概念：产生背景、测量不确定度的定义及分类、测量误差与测量不确定度、产生测量不确定度的原因、测量过程的数学模量误差与测量不确定度、产生测量不确定度的原因、测量过程的数学模型的建立、测量不确定度传播规律。型的建立、测量不确定度传播规律。2.2.标准不确定度的标准不确定度的A A类评定：单次测量结果实验标准差与算术平均值实验类评定：单次测量结果实验标准差与算术平均值实验标准差、测量过程的合并样本标准差、不确定度标准差、测量过程的合并样本标准差、不确定度A A类评定的独立性。类评定的独立性。3.3.标准不确定度的标准不确定度的B B类评定：类评定：B B类不确定度评定的信息来源、类
3、不确定度评定的信息来源、B B类不确定度类不确定度的评定方法、的评定方法、B B类不确定度评定的自由度及其意义、类不确定度评定的自由度及其意义、B B类标准不确定度评类标准不确定度评定的流程。定的流程。4.4.合成标准不确定度的评定：输入量不相关时不确定度合成、输入量相关合成标准不确定度的评定：输入量不相关时不确定度合成、输入量相关时不确定度合成、合成标准不确定度的自由度、合成标准不确定度的计时不确定度合成、合成标准不确定度的自由度、合成标准不确定度的计算流程。算流程。5.5.扩展不确定度的评定：输出量的分布特征、扩展不确定度的含义、包含扩展不确定度的评定：输出量的分布特征、扩展不确定度的含义
4、、包含因子的选择、评定流程。因子的选择、评定流程。6.测量不确定度的报告与表示：测量结果及其不确定度的报告、测量不确测量不确定度的报告与表示：测量结果及其不确定度的报告、测量不确定度的报告方式、测量不确定度评定的总流程。定度的报告方式、测量不确定度评定的总流程。第一节 研究不确定度的意义 一、研究不确定度的必要性一、研究不确定度的必要性误差概念和误差分析在用于评定测量结果时,有时显得既不完备，也难于操作。一种更为完备合理、可操作性强的评定测量结果的方法。寻求寻求诞生诞生测量不确定度 二、不确定度的由来二、不确定度的由来 v1927年德国物理学家海森堡提出测不准关系，也称为不确定度关系。v195
5、3年Y.Beers在误差理论导引一书中给出实验不确定度。v1970年C.F.Dietrich出版了不确定度、校准和概率。v1973年英国国家物理实验室的J.E.Burns等指出，当讨论测量准确度时，宜用不确定度。v1978年国际计量局发出不确定度征求意见书，征求各国和国际组织的意见。v1980年，国际计量局提出了实验不确定度建议书INC-1（1980）。不确定度的由来不确定度的由来(续续)v1981年10月国际计量委员会提出了建议书（CI-1981），同意INC-1。v1986年组成国际不确定度工作组，负责制定用于计量、生产、科学研究中的不确定度指南。v1993年出版了测量不确定度表示指南（G
6、uide to the Expression of Uncertainty in Measurement，简称GUM）。v1999年中国人民解放军总装备部批准发布了GJB 3756-99 测量不确定度的表示及评定。v1999年国家质量技术监督局批准发布了JJF 1059-1999 测量不确定度评定与表示,这规范原则上等同采用了GUM的基本内容。三、不确定度的应用领域三、不确定度的应用领域（1）一些产品生产过程中的质量检测、质量保证与控制，以及商品流通领域中的商品检验等有关质量监督、质量控制和建立质量保证体系的质量认证活动；（2）建立、保存、比较溯源于国家标准的各级标准、仪器和测量系统的校准、检
7、定、封缄和标记等计量确认活动；（3）基础科学和应用科学领域中的研究、开发和试验，以及实验室认可活动；（4）科学研究与工程领域内的测量，以及与贸易结算、医疗卫生、安全防护、环境与资源监测等有关的其他测量活动；（5）用于对可以用单值和非单值表征被测量的测量结果的评定，以及对测量和测量器具的设计和合格评定。不确定度的应用领域不确定度的应用领域(续续)第二节第二节 不确定度的基本概念不确定度的基本概念一、不确定度的定义一、不确定度的定义测量不确定度测量不确定度（uncertainty of measurement）测量结果带有的一个参数，用于表征合理地赋予被测量值的分散性。该参数是一个表征分散性的参数
8、。它可以是标准差或其倍数，或说明了置信水平的区间半宽度。该参数一般由若干个分量组成，统称为不确定度分量 该参数是通过对所有若干个不确定度分量进行方差和协方差合成得到。所得该参数的可靠程度一般可用自由度的大小来表示 该参数是用于完整地表征测量结果的 二、不确定度的来源二、不确定度的来源（1）对被测量的定义不完整或不完善（2）复现被测量定义的方法不理想（3）测量所取样本的代表性不够（4）对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善（5）对模拟式仪器的读数存在人为偏差（6）仪器计量性能上的局限性（7）赋予测量标准和标准物质的标准值的不准确（8）引用常数或其它参量的不准确（9）与测
9、量原理、测量方法和测量程序有关的的近似性或假定性（10）在相同的测量条件下，被测量重复观测值的随机变化 不确定度的来源（续）不确定度的来源（续）（11）对一定系统误差的修正不完善（12）测量列中的粗大误差因不明显而未剔除（13）在有的情况下，需要对某种测量条件变化，或者是在一个较长的规定时间内，对测量结果的变化作出评定。应把该相应变化所赋予测量值的分散性大小，作为该测量结果的不确定度。不确定度的来源（续）不确定度的来源（续）三、不确定度评定方法的分类三、不确定度评定方法的分类 A A类评定类评定（type A evaluation of uncertainty）指用对样本观测值的统计分析进行不
10、确定度评定的方法。B B类评定类评定（type B evaluation of uncertainty）指用不同于统计分析的其他方法进行不确定度评定的方法。不确定度评定方法的分类不确定度评定方法的分类（续）标准不确定度标准不确定度（standard uncertainty）用标准差表示测量结果的不确定度，一般用符号u来表示。对于不确定度分量，常在u上加小脚标进行表示，如u1，u2，un等。合成（标准）不确定度合成（标准）不确定度（combined standard uncertainty）当测量结果由若干个其他量的值求得时，测量结果的合成标准不确定度等于这些量的方差和（或）协方差加权和的正平方
11、根，其中权系数按测量结果随这些量变化的情况而定。用符号uc表示。扩展不确定度扩展不确定度（expanded uncertainty）规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含了合理赋予被测量值的分布的大部分。用符号U或UP表示。包含因子包含因子（coverage factor）为获得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘的倍数因子。常用符号k或kP来表示。在国内，有的也其称为覆盖因子，其取值一般在2与3之间。不确定度评定方法的分类不确定度评定方法的分类（续）四、测量误差于测量不确定度的主要区别测量误差于测量不确定度的主要区别续测量误差于测量不确定度的主要区别续第三节 标准不确定度A类评定 所以，
12、当测量结果取观测到的任一次xi时所对应的A类不确定度为 当测量结果取n次的算术平均值时，所对应的A类不确定度为 当测量结果取其中的m次的平均值时，所对应的A类不确定度 ，和的自由度是相同的，都是 n1 ixsxu nxsxui/mxsxuim/例题 例51 对一等标准活塞压力计的活塞有效面积进行检定。在各种压力下测得10次活塞有效面积S0与工作基准活塞面积Ss之比li如下：0.250 670 0.250 673 0.250 670 0.250 671 0.250 675 0.250 671 0.250 675 0.250 670 0.250 673 0.250 670 则其最佳估计值为 例题
13、0.250 672 由贝塞尔公式求得单次测量标准差s（li）为 2.05106 l由测量重复性导致的标准不确定度u1（l）为 0.65106 10iilnll11010381)()(122nlllsiinlslslui)()()(1例题上面u1（l）是表示一等标准活塞压力计活塞有效面积S0与工作基准活塞面积Ss之比l的由测量重复性引起的不确定度分量（还有其他分量，如工作基准活塞面积Ss的不确定度、加力砝码的质量、温度影响等），由 得到由测量重复性引起的S0的标准不确定度分量 u1（S0）Ssu1（l）0.65106 Ss 以相对不确定度表示 2.6106 sSSl0250672.01065.0
14、)()(61001luSSSusrel二、测量过程的合并样本标准差 对于一个测量过程，若采用核查标准或控制图的方法使其处于统计控制状态，则该测量过程的合并样本标准差sp为 式中si为每次核查时的样本标准差；k为核查次数。当每次核查，其自由度相同时，式（514）成立。合并样本标准差sp为测量过程长期的组内标准差的平方平均值的正平方根。在此情况下，由该测量过程对被测量X进行n次观测，以算术平均值作为测量结果时，其标准不确定度u（x）为 kssip2nsxup)(三、规范测量中的合并样本标准差 若m个被测量Xi在重复性条件下，均进行了n次独立观测，测值分别为xi，1，xi，2，xi，n，其平均值为，
15、则可得合并样本标准差sp为 自由度为m（n1）若 m个被测量重复的次数不完全相同，设各为 ni，Xi的标准差s（xi）的自由度分别为（ni1），通过m个si与可得sp为 自由度为 miipsms121miijinjxxnm12,1)()1(1iiipss2mii1四、A类不确定度评定的自由度和评定流程 四、A类不确定度评定的自由度和评定流程对于A类评定，各种情况下的自由度为：1用贝塞尔公式计算实验标准差时，若测量次数为n，则自由度 n1。2当同时测量t个被测量时，自由度 nt。3对于合并样本标准差sp，其自由度为各组的自由度之和。例如，对于每组测量n次，共测量m组的情况，其自由度为m（n1）。
16、表表5-35-3 几种几种A A类评定不确定度的自由度类评定不确定度的自由度 10.5134567891015201234567891419Bessel公式最大误差法极差法1.92.6 3.33.94.65.25.8 6.46.98.3 9.50.91.8 2.73.64.55.36.0 6.87.513.10.9nA类不确定度评定的流程图第四节 B类不确定度的评定 B类评定方法获得不确定度，不是依赖于对样本数据的统计，他必然要设法利用与被测量有关的其他先验信息来进行估计。因此，如何获取有用的先验信息十分重要，而且如何利用好这些先验信息也很重要 过去的测量数据 测量仪器的特性和其他相关资料等；
17、测量者的经验与知识；假设的概率分布及其数字特征。一、一、B B类评定的信息来源类评定的信息来源 校准证书、检定证书、测试报告及其他证书文件 生产厂家的技术说明书 引用的手册、技术文件、研究论文和实验报告中给出的参考数据及不确定度值等 二、B类不确定度的评定方法 1已知置信区间和包含因子 根据经验和有关信息或资料，先分析或判断被测量值落入的区间a，a，并估计区间内被测量值的概率分布，再按置信水准p来估计包含因子k，则B类标准不确定度u（x）为 式中：a置信区间半宽；k对应于置信水准的包含因子。kaxu)(2已知扩展不确定度U和包含因子k 如估计值xi 来源于制造部门的说明书、校准证书、手册或其他
18、资料，其中同时还明确给出了其扩展不确定度U（xi）是标准差s（xi）的k倍，指明了包含因子k的大小，则标准不确定度u（x）可取U（xi）k，而估计方差u2（xi）为其平方。例如校准证书上指出标称值为1kg的砝码的实际质量m 1000.000 32g，并说明按包含因子k3给出的扩展不确定度U0.24mg。则该砝码的标准不确定度为u（m）0.24mg380g，估计方差为u2（mi）（80g）2 6.4 109g2。相应的相对标准不确定度为 urel（m）u（m）/m80109 在这个例子中，砝码使用其实际值1000.000 32g，而不使用其标称值，即砝码是以“等”使用。评定出的标准不确定度80g
19、是1000.000 32 g 的标准不确定度。3已知扩展不确定度Up和置信水准p的正态分布 如xi的扩展不确定度不是按标准差s（xi）的k倍给出，而是给出了置信水准p和置信区间的半宽Up，除非另有说明，一般按正态分布考虑评定其标准不确定度u（xi）。ppikUxu)(4已知扩展不确定度Up以及置信水准p与有效自由度的t分布 若xi的扩展不确定度不仅给出了扩展不确定度Up和置信水准p，而且给出了有效自由度或包含因子kp，这时必须按t分布处理。这种情况提供给不确定度评定的信息比较齐全，常出现在标准仪器的校准证书上。)()(effppitUxu 6界限不对称的考虑 在输入量Xi可能值的下界a一和上界
20、a相对于其最佳估计值xi不对称的情况下，即下界a一xi一b，上界axib，其中bb。这时由于xi不处于a一至a区间的中心，Xi的概率分布在此区间内不会是对称的，在缺乏用于准确判定其分布状态的信息时，按矩形分布处理可采用下列近似评定 12)(12)()(222aabbxui 例如设手册中给出的铜膨胀系数a2 0（Cu）16.521061，但指明最小可能值为16.401061，最大可能值为16.921061。这时，b（16.5216.40）10610.121061 b（16.9216.52）10610.401061 由式（524）得u（a20）0.151061 7由重复性限或复现性限求不确定度 在
21、规定实验方法的国家标准或类似技术文件中，按规定的测量条件，当明确指出两次测量结果之差的重复性限r或复现性限R时，如无特殊说明，则测量结果标准不确定度为 u（xi）r2.83或u（xi）R2.83 这里，重复性限r或复现性限R的置信水准为95，并作为正态分布处理。8以“等”使用的仪器的不确定度计算 当测量仪器检定证书上给出准确度等别时，可接检定系统或检定规程所规定的该等别的测量不确定度的大小，按上述第2或第3的方法计算标准不确定度分量。当检定证书既给出扩展不确定度，又给出有效自由度时，按第4方法计算。以“等”使用仪器的不确定度计算一般采用正态分布或t分布。9以“级”使用仪器的不确定度计算 当测量
22、仪器检定证书上给出准确度级别时，可按检定系统或检定规程所规定的该级别的最大允许误差进行评定。假定最大允许误差为A，一般采用均匀分布，得到示值允差引起的标准不确定度分量3)(Axu三、B类不确定度的自由度 B类不确定度分量的自由度与所得到的标准不确定度以u（xi）的相对标准不确定度u（xi）u（xi）有关，其关系为：式中，u（xi）是u（xi）的标准差，即u（xi）是标准差的标准差，不确定度的不确定度。222)()(21)()(21iiiiixuxuxuxu 当不确定度的评定有严格的数字关系，如数显仪器量化误差和数据修约引起的不确定度计算，自由度为。当计算不确定度的数据来源于校准证书、检定证书或
23、手册等比较可靠资料时，可取较高自由度。当不确定度的计算带有一定主观判断因素，如指示类仪器的读数误差引起的不确定度，可取较低的自由度。当不确定度的信息来源难以用有效的实验方法验证，如量块检定时标准量块和被检量块的温度差的不确定度，自由度可以非常低。四、B类标准不确定度评定的流程 第四节 合成标准不确定度的评定一、一、A A类评定方法类评定方法采用统计分析的方法评定标准不确定度，用实验标准差或样本标准差表示。单次测量值作为被测量的估计值 x()()u xs x当用n次测量的平均值作为被测量的估计值()()s xu xn 单次测量的实验标准差()s x n次测量的实验标准差()s x计算实验标准差的
24、方法：贝塞尔公式，极差法 二、二、B B类评定方法类评定方法 B类评定方法获得不确定度，不是依赖于对样本数据的统计，他必然要设法利用与被测量有关的其他先验信息来进行估计。因此，如何获取有用的先验信息十分重要，而且如何利用好这些先验信息也很重要 过去的测量数据 测量仪器的特性和其他相关资料等；测量者的经验与知识；假设的概率分布及其数字特征。1 1、B B类评定的信息来源类评定的信息来源 校准证书、检定证书、测试报告及其他证书文件 生产厂家的技术说明书 引用的手册、技术文件、研究论文和实验报告中给出的参考数据及不确定度值等 2 2、B B类评定的方法类评定的方法（1）若由先验信息给出测量结果的概率
25、分布，及其“置信区间”和“置信水平”()pau xk置信区间的半宽度 置信水平的包含因子 p（2）若由先验信息给出的测量不确定度U为标准差的k倍时()Uu xk（3）若由先验信息给出测量结果的“置信区间”及其概率分布()Uu xk置信区间的半宽度 置信水平接近1的包含因子 几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计（1 1）舍入误差舍入误差 舍入误差的最大误差界限为0.5（末），按均匀分布考虑，故标准不确定度为 0.5()()0.3()3u x 末末（2 2）引用误差引用误差 测量上限为的级电表，其最大引用误差限（即最大允许不确定度）为 mxs()%mU xxs 按均匀分布考虑，故标准不确定度
26、为%()3mxsu x（3 3）示值误差）示值误差 某些测量仪器是按符合“最大允许误差”要求而制造的，经检验合格，其最大允许误差为 a按均匀分布考虑，故标准不确定度为()0.63au xa（4 4）仪器基本误差）仪器基本误差 设某仪器在指定条件下对某一被测量进行测量时，可能达到的最大误差限为 a按均匀分布考虑，故标准不确定度为()0.63au xa几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计（5 5）仪器分辨力）仪器分辨力 设仪器的分辨力为，则其区间半宽度为 按均匀分布考虑，故标准不确定度为（6 6）仪器的滞后）仪器的滞后 滞后引起的标准不确定度为 x2xa()0.332 3xxau x()0.
27、32 3xxu x几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计 设校准证书给出名义值10的标准电阻器的电阻，测量结果服从正态分布，置信水平为99。求其标准不确定度。【例【例7-17-1】【解【解】根据题意，该标准电阻器的置信区间半宽度 129a查表得992.576k计算129()50.0782.576Su R10.00074129sR三、自由度三、自由度研究自由度的意义研究自由度的意义 由于不确定度是用标准差来表征，因此，不确定度的评定质量就取决于标准差的可信赖程度。而标准差的信赖程度与自由度密切相关，自由度愈大，标准差愈可信赖。所以，自由度的大小就直接反映了不确定度的评定质量 不确定度的评定质
28、量标准差的可信赖程度自由度自由度的概念对于一个测量样本，自由度等于该样本数据中n个独立测量个数减去待求量个数1。对某量X进行n次独立重复测量，用贝塞尔公式估计实验标准差的自由度为n-1。按估计相对标准差来定义的自由度称为有有效自由度效自由度（或）eff2112()ss2112()uu情形1情形2情形3自由度自由度（degrees of freedom）计算总和中独立项个数，即总和的项数减去其中受约束的项数。A A类评定的自由度类评定的自由度 最常用的是按贝塞尔公式计算标准差的自由度公式 34567891015201234567891419Bessel公式最大误差法极差法1.92.6 3.33.
29、94.65.25.8 6.46.98.3 9.50.91.8 2.73.64.55.36.0 6.87.510.513.1表表7-3 7-3 几种几种A A类评定不确定度的自由度类评定不确定度的自由度 10.9n1 nvB B类评定的自由度类评定的自由度 对于B类评定的不确定度，其自由度一般通过相对标准不确定度来折算。00.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.5050 128632自由度表表7-47-4相对标准不确定度与自由度的关系相对标准不确定度与自由度的关系 相对标准不确定度四、应用举例用游标卡尺对某一试样的尺寸重复测量10次，得到的测量列如下（单位：mm）75.01，75.
30、04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08 求该重复测量中随机变化引起的标准不确定度分量及其自由度。【例【例7-27-2】【解【解】本例估计的是重复测量中随机变化引起的 标准不确定度分量，可根据已知样本数据进行类评定按极差法求取极差 maxmin0.09mmnxx查表3-1得，103.08d则标准差 0.0292mmnnwud查表7-3其自由度 7.5用两种方法估计得到的标准差很接近，但自由度有明显不同，可见用贝塞尔公式更好一些。210.008250.0303mm110 1niivusn由贝塞尔公式其自由度10 19 计算结果某激光管发
31、出的激光之波长，经检定为 后来又用更精确的方法，测得该激光管的波长为，试估计原检定波长的标准不确定度及其自由度。【例【例7-37-3】【解【解】查表7-3其自由度0.90.63299130m0.63299144m用了更精确的方法测量激光管的波长，故可认为约定真值为 则原检定波长的真误差为0.63299144m80.632991300.6329914414 10 m可用最大误差法进行类评定，因n=1，查表得 111.25k 则标准差即原检定波长的标准不确定度 8711.25 14 101.75 10nuskm第四节合成不确定度一、一、合成公式合成公式合成标准不确定度合成标准不确定度 当测量结果受
32、多个因素影响而形成若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度通过该多个标准不确定度分量合成得到的。2112mmciijijii juuuu 第个标准不确定度分量 第和第j个标准不确定度分量之间的相关系数 不确定度分量的个数 合成标准不确定度 cuijm1u间接测量的合成标准不确定度公式间接测量的合成标准不确定度公式 输出量估计值 的标准不确定度 y 输入量估计值 和 的标准不确定度 ixjx 函数 在 处的偏导数，称为灵敏系数灵敏系数，在误差合成公式中称其为传播系数传播系数；12(,.,)nF XXX12(,.)nx xxiiFax 和 在 处的相关系数 iXjX(,)ijx x()cuy(
33、)iu x()ju x22112211()()2()()()2()()mmciijijiijiijmmiiijijijiijFFFuyuxu x u xxxxa uxa a u x u x（）标准不确定度传播公式 ij不确定度分量合成公式22()()()iiiiiFFu yuxu xxx 直接测量的不确定度分量 直接测量的不确定度分量的合成公式 211()()2()()mmciijijii juyuyu y u y 记()iu y简单的合成公式当 和 相互独立时,ixjx221()()mciiiFuyuxx0ij标准不确定度传播公式 常见的间接测量函数模型常见的间接测量函数模型（1）设,各之间
34、互不相关，则有 iiiYa XiX22()()ciiiuya ux（2）设，各之间互不相关，则有 ipiiYaX2()()ciiiiuypu xyxiX 相对标准不确定度的表示形式()cuyy二、有效自由度二、有效自由度 合成标准不确定度的自由度称为有有效自由度效自由度，一般用 来表示。eff 设被测量有个影响测量结果的分量，记为 ，当各分量均服从正态分布，且相互独立时，可根据韦尔奇-萨特思韦特（Welch-Satterthwaite）公式来计算其合成标准不确定度的有效自由度。441()()ceffmiiiu Yvu Yv12mYYYYmiY合成标准不确定度的计算流程 三、应用举例例题例题某测
35、量结果含5个不确定度分量，每个分量的大小及自由度见下表，它们之间的协方差均为零，求其合成标准不确定度和有效自由度。来源序号12345合成结果基准尺读数电压表电阻表温度1.01.01.42.02.05104161不确定度符号数值符号数值自由度3.57.81u2u3u4u5ucu1v2v3v4v5veffv【解【解】2222212345222221.01.01.42.02.03.5cuuuuuu根据题意，按式(1)计算合成标准不确定度 有效自由度4444443.57.81.01.01.42.02.05104161effv计算结果被测电压的已修正结果为，其中重复测量6次的算术平均值=0.928571
36、V，A类标准不确定度为 。修正值，修正值的标准不确定度由B类评定方法得到，估计的相对误差为25%。试求V的合成标准不确定度、相对标准不确定度及其自由度。【解【解】VVVV()12u V V0.01VV()8.7uVV由合成标准不确定度的计算公式得 22()()()128.715cVVu Vu VuVVV（）V例题例题自由度()6 15V 查B类评定自由度表得()8V444444()15()10.4()()128.7()()58cuVVu VuVVV有效自由度 相对标准不确定度为 66()15 1016 100.928571 0.01cu VV计算结果计算结果第五节扩展不确定度一、概述扩展不确定
37、度的两种方法表示扩展不确定度的两种方法表示 cUkuppcUk u 在传统场合多用合成标准不确定度 来表示测量结果的分散性，但在许多领域，常要求用扩展不确定度来表示 cu合成标准不确定度乘以包含因子 给定的置信概率或置信水平 p包含因子的确定方法自由度法 简易法 扩展不确定度表示方法中，关键是确定包含因子常用方法自由度法自由度法()ppeffktv 有效自由度 置信水平，常取95%或99%扩展不确定度近似按下两式表示 959923ccUuUu包含因子可取为 effvp当 足够大时,或 effv952k993k设，输入量、服从正态分布，分别用独立重复测量了=10、=5、=15次的算术平均值、和作
38、为它们的估计值，相对标准不确定度分别为=0.25%、=0.57%、=0.82%，试计算相对合成标准不确定度、有效自由度和扩展不确定度（置信水平为95%）。【例【例7-77-7】【解【解】根据合成标准不确定度的计算公式，得 231222()()(0.25%)(0.57%)(0.82%)1.03%ciiiuyu xyx123123(,)Yf XXXbX X X1X2X3X1n2n3n1x2x3x11()u xx22()u xx33()u xx由于()()iiiifyu xu xxx则根据有效自由度计算 4444444444333111()()()1.0319.0()()/0.250.570.82(
39、)10 15 115 1ccceffiiiiiiiiiiiuyyuyuyvuyu xxfu xvvxv查t分布表得 95192.09t（）最后得相对扩展不确定度 952.09 1.03%2.15%Uy计算结果计算结果简易法简易法 不知道自由度和有关合成分布的信息，被测量值的估计区间及其置信水平。怎么办？取包含因子k=2或3 简易法扩展不确定度评定的流程 例题例题用卡尺对某工件直径重复测量了三次，结果为15.125，15.124和15.127mm。试写出其测量的最佳估计值和测量重复性。已知该卡尺的产品合格证书上标明其最大允许误差为0.025mm，假设测量服从三角分布（置信因子取），估计其不可信赖
40、程度为25%。试表示其测量结果。6【解【解】（1）计算算术平均值和测量重复性 311115.125 15.12415.12715.12533iiddn（）因，用极差法估计s，有 3n 15.127 15.1240.00181.693s（2）用A类评定方法估计测量不确定度分量之一 计算算术平均值的标准偏差，即多次测量的重复性 10.00180.0013u（3）用B类评定方法估计测量不确定度分量之二 20.0250.0156u（4）求合成标准不确定度 220.0010.0150.015cu 合成不确定度的计算求扩展不确定度 自由度法自由度法 其不可信赖程度为25%，卡尺允许误差极限分量的自由度为
41、18重复测量分量的自由度为 23 12 则有效自由度 4440.01580.0010.01528v 扩展不确定度 999983.355 0.0150.049cUtu（）第六节测量不确定度的报告与表示一个完整的测量结果 被测量的最佳估计值，一般由算术平均值给出 有关测量不确定度的信息 一、测量结果报告的基本内容一、测量结果报告的基本内容 测量不确定度用合成标准不确定度表示 合成标准不确定度 cu自由度 测量不确定度用扩展不确定度表示 扩展不确定度U 合成标准不确定度 cu自由度 包含因子k置信水平 p二、二、测量结果的表示方式测量结果的表示方式、合成标准不确定度表示方式、合成标准不确定度表示方式
42、 某标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度，自由度 100.02147gm()0.35mgcu m 9(1)100.02147gm()0.35mgcu m，或()0.00035gcu m 9，(2)100.02147(35)gm 9(3)100.02147(0.00035)gm 9M括号内的数值按标准差给出，其末位与测量结果的最低位对齐括号内的数值按标准差给出，单位同测量结果一样 2 2、扩展不确定度表示方式、扩展不确定度表示方式 某标准砝码的质量，其测量的估计值合成标准不确定度，自由度100.02147gm()0.35mgcu m 9M2k()()0.00070gcU mku m包含
43、因子，扩展不确定度 ()(100.021470.00070)gMmU m2k 9100.02147gm()0.00070gU m 2k 92k()(100.021470.00070)gMmU m100.02147gm()0.00070gU m 2k 或或或()()0.00079ppcUmk u mg包含因子 95()(100.021470.00079)gMmUm100.02147gm 95()0.00079gUm()(100.021470.00079)gMmU m或或(9)2.26,0.95ppktp(9)2.26,0.95ppktp2.26k 90.95p(9)2.26,0.95ppktp扩
44、展不确定度表示方式扩展不确定度表示方式 扩展不确定度三、数字位数与数据修约规则三、数字位数与数据修约规则 在表示测量结果时，究竟取几位数字为好呢？总结以下几条原则(1)最后报告的不确定度有效位数一般不超过两位 当保留一位有效数字时，按“三分之一原则”进行修约。多余部分推荐多余部分推荐当保留两位有效数字时，按“不为零即进位”；0.001 1010.001 2 0.001 001 0.001 多余部分按“四舍六入、逢五取偶”的原则进行舍弃截断或进位截断。(2)被测量的估计值的位数也要进行相应的修约修约后的不确定度数值的位数对齐被测量的估计值 已修约的不确定度的数据修约的被测量的估计值20.000
45、54 0.001 2 20.000 5 20.000 56 0.001 2 20.000 6 20.000 55 0.001 2 20.000 6 四舍六入逢五取偶被测量的估计值的位数的修约在最终表示测量结果的场合，规范和完整的表示方式有以下两种：（1）区间半宽度表示方式：测量结果=最佳估计值 测不准部分（单位）（置信水平，自由度）（2）标准偏差表示方式：测量结果=最佳估计值（测不准部分）（单位）（自由度）测量结果的最终表示测量不确定度评定的总流程【例【例7-107-10】用数字电压表测量某直流电压问题 用数字电压表在标准条件下对10伏直流电压进行了10次测量，得到10个数据如下表所示。由该数
46、字电压表的检定证书给出，其示值误差按3倍标准差计算为3.510-6 V。同时，在进行电压测量前，对数字电压表进行了24小时的校准，在10V点测量时，24小时的示值稳定度不超过15V。试分析评定对该10伏直流电压量的测量结果。1234567891010.00010710.00010310.00009710.00011110.00009110.00010810.00012110.00010110.00011010.000094iixiiiixixix计算最佳估计值 10次电压测量的算术平均值 101110.00010410iixxV分析测量不确定度来源（3）数字电压表测量重复性引起的不确定度u3（
47、1）数字电压表示值稳定度引起的不确定度u1（2）数字电压表示值误差引起的不确定度u2【解【解】计算步骤不确定度评定（1）数字电压表示值稳定度引起的不确定度分量u1 24小时的示值稳定度不超过15V。按均匀分布考虑，其置信因子为，则得标准不确定度分量 31158.73uV给出示值稳定度的数据可靠，按不可靠性10%考虑，取其自由度 150（2）数字电压表示值误差引起的不确定度分量u2 示值误差按3倍标准差计算为 故在10V点测量时，由其引起的标准不确定度分量 63.5 10 V623.5 101011.73uV由检定证书给出的示值误差数据可靠，取其自由度 250不确定度评定（3）电压测量重复性引起
48、的不确定度分量u3 贝塞尔公式计算标准差 10211()910 1iiis xxxV（）算术平均值的标准差()9()2.81010is xs xV算术均值为测量结果重复性引起的不确定度分量 3()2.8us xV其自由度 319n 不确定度评定 2222221238.711.72.815cuuuuV（）（）（）计算合成标准不确定度 根据韦尔奇-萨特思韦特公式，其有效自由度为 4444444444312112315978.711.72.850509cceffmiiiuuvuuuuvvvv 由于不确定度分量u1、u2、u3相互独立，它们之间的相关系数为0。根据合成标准不确定度的计算公式得 计算扩展不确定度 取置信概率为99%，包含因子 9999972.626kt（）故该电压测量结果的扩展不确定度 99992.626 1540cUk uV测量结果报告 用数字电压表测量该直流电压的结果 10.0001040.000040VV（）99%p 97v 计算结果
