1、2020 届高考文科数学模拟黄金卷（全国卷）（一）届高考文科数学模拟黄金卷（全国卷）（一） 1、已知集合 2 4260MxxNx xx ，则MN=（ ） A 43xx B 42xx C 22xx D 23xx 2、已知 ,Rx y ，i 为虚数单位，且 2 i-15ixy ，则 1 i x y ( ) A. 2 B. 2i C.2 D. 2i 3、已知 , A B是过抛物线 2 2ypx(0)p 焦点 F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点， 且满足 2AFFB , 2 | 3 OAB SAB ,则抛物线的标准方程为（ ） A 2 4yx B 2 1 4 yx C 2 8yx D 2 1 8
2、 yx 4、设向量( , 4)ax,(1,)bx,若向量a与b同向,则x ( ) A.2 B.-2 C. 2 D. 0 5、已知函数 2 2 log,2f xx g xx ，则函数 yfxg x 的图像只可能是( ) 6、若, x y满足约束条件 230 0 1 xy xy y ,则3zxy的最大值为( ) A.-6, B.-2 C.2 D.4 7、执行如图的程序框图,若9p ,则输出的 S= （ ） A 9 10 B 7 18 C 8 9 D 2 5 8、如图，线段MN是半径为 2 的圆 O 的一条弦，且MN的长为 2.在圆 O 内，将线段MN绕 点 N 按逆时针方向转动，使点 M 移动到圆
3、 O 上的新位置，继续将新线段MN绕新点 M 按 逆时针方向转动，使点 N 移动到圆 O 上的新位置，依此继续转动点 M 的轨迹所围成的区 域是图中阴影部分.若在圆 O 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ） A.46 3 B. 3 3 1 2 C. 3 3 2 D. 3 3 2 9、函数( )sin()(0,0)f xx 的部分图象如图所示,给出下列四个结论: 3 4 12 ( ) 22 f 当 5 1, 2 x时,( )f x的最小值为-1 ( )f x在 117 , 44 上单调递增 其中所有正确结论的序号是( ) A. B. C. D. 10、若关于x的方程0 x eaxa没有
4、实数根，则实数a的取值范围是（ ） A 2,0 e B 2 0,e C ,0e D 0,e 11、在ABC中，若sin 2sin602 3AC Bb, , ，则 ABC的面积为（ ） A.8 B.2 C. 2 3 D.4 12、 已知双曲线 2 2 1(0) y xm m 的焦点为 12 ,F F,渐近线为 12 ,l l,过点 2 F且与 1 l平行的直线交 2 l于 M,若 12 0FMF M,则 m 的值为( ) A.1 B.3 C.2 D.3 13、 某单位有 840 名职工， 现采用系统抽样方法抽取 42 人做问卷调查， 将 840 人按 1， 2， ， 840 随机编号，则抽取的
5、42 人中，编号落入区间 481,720的人数为_. 14、已知函数 1 e,1 ( ) (2)2,1 x x f x f xx 把函数( )yf x的图象与直线yx交点的横坐标按 从小到大的顺序排成一个数列 n a则数列 n a的前 n 项和 n S _. 15、已知直线 3yx 为曲线 x f xae的一条切线，则实数 a 的值为 . 16、在正方体 1111 ABCD ABC D中，E 为棱 1 CC的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正 切值为_. 17、已知各项都不相等的等差数列 n a , 6 6a ,又 124 ,a aa成等比数列. 1.求数列 n a 的通项公式 2.
6、设 22 n a n bn,求数列 n b 的前 n 项和为 n S. 18、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB 平面ABCD, ,PBPA PBPA, 90DABABC , / /ADBC， 8,6,10ABBCCD,M 是 PA的中点 (1)求证：/ /BM平面PCD ； (2)求三棱锥BCDM的体积 19、 为喜迎元旦,某电子产品店规定的买超过 5 000 元电子产品的顾客可以今与抽奖活动， 中 奖者可获得扫地机器人一台.现有甲品牌和乙品牌的扫地机器人作为奖品.从这两种品牌的扫 地机器人中各随机抽取 6 台,检侧它们充满电后的工作时长(单位:分).相关数据如下表所示. 机器序号 1
7、2 3 4 5 6 甲品牌扫地机器 人工作时长/分 220 180 210 220 200 230 乙品牌扫地机器 人工作时长/分 200 190 240 230 220 210 (1)根据所提供的数据分别计算抽取的甲、乙两种品牌扫地机器人充润电后工作时长的平均 数与方差. (2)从甲品牌被抽中的 6 台扫地机器人中随机抽出 2 台.求抽出的 2 台扫地机器人充满电后工 作时长之和小于 420 分钟的概率 (3)下表是一台乙品牌扫地机器人的使用次效与当次充满电后工作时长的相关欲据.求该扫地 机器人工作时长 y 与使用次数 x 之间的回归直线方程， 并估计该扫地机舒人使用第 200 次时 间充满
8、电后的工作时长 使用次 数 x 20 40 60 80 100 120 140 工作时 长 y/分 210 206 202 196 191 188 186 附 y bxa , 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx ,aybx 20、 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的四个顶点围成的菱形的面积为4 3， 椭圆的一个焦点为 圆 22 20xyx的圆心 (1)求椭圆的方程. (2)若M N,为椭圆上的两个动点， 直线OM ON ,的斜率分别为 12 k k, ， 当 12 3 4 k k 时，MON 的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值
9、，请说明理由 21、设( )e(1) x f xa x. (1)若0,( )0af x对一切Rx恒成立,求 a 的最大值; (2)是否存在正整数 a,使得 e 13.(21)() e1 nnnn nan 对一切正整数 n 都成立？若存在, 求 a 的最小值;若不存在,请说明理由. 22、 在直角坐标系xOy中,以O为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程 为x t yat (t为参数),曲线 1 C的方程为 (4sin )12 ,定点6,0A,点P是曲线 1 C上的动点, Q为AP的中点. （1）求点Q的轨迹 2 C的直角坐标方程; （2）直线l与直线 2 C交于,A B两点,
10、若 2 3AB ,求实数a的取值范围. 23、设函数 133f xxxaa ，Rx (1)当1a 时，求不等式 7fx 的解集. (2)对任意Rm ，Rx恒有 4 9f xm m ，求实数 a 的取值范围 答案以及解析答案以及解析 1 答案及解析：答案及解析： 答案：C 解析： | 42Mxx ， 2 |60| 23Nx xxxx ， | 22MNxx 2 答案及解析：答案及解析： 答案：B 解析： ,Rx y,i 为虚数单位,且i-1ix y , 1 1 y x ，解得 1,1xy. 则 2 1 i1 i2i x y . 故选：B. 3 答案及解析：答案及解析： 答案：A 解析：设 1122
11、 (,),(,)A xyB xy , 2AFFB ，则 12 2yy，又由抛物线焦点弦性质， 2 12 y yp ， 所以 22 2 2yp ， 得 21 2 ,2 2 yp yp， 1132 2AFBFBFp ， 得 339 , 424 BFp AFp ABp。 2 12 13 22 9 (|) 2 2834 OAB p Syypp ， 得 2p ，抛物线的标准方程为 2 4yx ，故选 A 4 答案及解析：答案及解析： 答案：A 解析：由题意得 4 1 x x 且0x ,所以2x ,故选 A. 5 答案及解析：答案及解析： 答案：C 解析：函数 2 logfxx 是偶函数, 2 2g xx
12、 是偶函数， 故排除 A. D， 当0x 时, 0,0f xg x ， 故选 C. 6 答案及解析：答案及解析： 答案：D 解析： 作出可行域如图阴影部分所示,由图可知当直线3zxy经过点(1,1)A时,z 取得最大值 max 314z,选 D 7 答案及解析：答案及解析： 答案：D 解析：根据题意，本程序框图为求和运算，程序执行如下： 第 1 次循环： 1 02 23 Sn 第 2 次循环： 11 3 2334 Sn 第 8 次循环： 11 9 239 10 Sn = 此时， 9n ，输出 112 2105 S 8 答案及解析：答案及解析： 答案：B 解析：圆 O 的面积为4，阴影部分的面积
13、为 22 13 62246 3 234 ，则所求概 率为 46 33 3 1 42 . 9 答案及解析：答案及解析： 答案：C 解析：由题图得 4 5 2 4 ,得 3 4 ,所以 3 ( )sin( +) 4 f xx正确 1332 ( )sin()cos 22442 f ,所以正确 当 5 1, 2 x时, 371332 ,sin(),1 44442 xx ,所以( )f x的最小值是 2 2 ,所以 不正确;令 3 2 , 242 kxkZ,解得 51 2 2 , 44 kxkkZ ,所以( )f x的单调 递增区间为 51 2 ,2 , 44 kkkZ,当1k 时,( )f x的单调递
14、增区间为 139 , 44 ,所以 不正确,故选 C 10 答案及解析：答案及解析： 答案：A 解析： 方程0 x eaxa没有实数根，得方程(1) x ea x 没有实数根， 等价为函数 x ye与(1)ya x 没有交点， 当0a 时，直线(1)ya x 与 x ye恒有交点，不满足条件 当0a 时，直线0y 与 x ye没有交点，满足条件 当0a 时， 当过(1,0)点的直线 x ye相切时， 设切点为(,) m m e， 则( ) x fxe， 则( ) m fme， 则切线方程为() mmmm yeexme xme即 mmm ye xmee， 切线过(1,0)点，则0 mmm eme
15、e，得2m ，即切线斜率为 2 e， 要使 x ye与(1)ya x 没有交点，则满足 2 0ae ，即 2 0ea， 综上 2 0ea ，即实数a的取值范围是 2 -,0e 11 答案及解析：答案及解析： 答案：C 解析： ABC 中，sin 2sinAC ，则a = 2c， 又 602 3Bb, ， 222 2cosbacacB ， 22 1 1242 2 2 ccc c ， 2c ， 4a ， ABC 的面积为 113 sin422 3 222 S ABCacB . 12 答案及解析：答案及解析： 答案：D 解析： 不妨设 1212 :,:,(1,0),( 1,0)lymx lymx F
16、mFm ,所以过点 2 F且与渐近线 1 l 平行的直线方程为 (1)ym xm,由 (1) ymx ym xm ,解得 1 2 (1) 2 m x mm y ,所以 (1)1 , 22 mmm M ,所以 1 (1)3 1, 22 mm FMm , 2 (1)1 1, 22 mm F Mm .因为 12 0FMF M,所以 3(1) (1)0 44 mm m ,即 3 (1)()0 44 m m,解得3m 或1m (舍去).故选 D. 13 答案及解析：答案及解析： 答案：12 解析：采用系统抽样的方法,从 840 人中抽取 42 人,则分段间隔为 20,所以从编号落在区间 481,720内
17、的 240 人中抽取 12(人). 14 答案及解析：答案及解析： 答案： 2 n 解析：当1x 时 1 ( )exf x ; 当13x时, 3 121,( )e2 x xf x 当35x时, 5 123,( )e4 x xf x 当57x时, 7 325,( )e6 x xf x 当 * 2321(2,N )nxnnn时, 21 ( )e22 xn f xn 易知 21* ( )e22(N ) xn f xnn 所以 21 ( )e22 xn f xxnx 令21, ( )e1 t xnt g tt 又e10 t t 有唯一解0t 所 以 * 21(N )xnn,故 * 21(N ) n a
18、nn,所以 2 (121) 2 n nn Sn 15 答案及解析：答案及解析： 答案： 2 e 解析：设曲线 x f xae在点 0 () x x ae,处的切线为直线3yx. 由题意，得 x fxae ， 0 0 x fxae ， 则曲线 fx 在点 0 0 () x xae,处的切线方程为 00 0 xx yaeaexx . Q曲线 fx在点 0 0 () x xae,处的切线为直线3yx， 0 1 x ae， 0 1 1yxx ，即 0 1yxx ， 0 13x ，解得 0 2x . 0 2 1 x aeae，解得 2 ae. 16 答案及解析：答案及解析： 答案： 5 2 解析：如图，
19、连接 BE: 因为/ /ABCD，所以异面直线 AE 与 CD 所成的角等于相交直线 AE 与 AB 所成的角，即 EAB .不妨设正方体的棱长为 2，则12CEBC，由勾股定理得 5BE 又由AB 平面 BCC1B1 可得ABBE，所以 5 tan 2 BE EAB AB 17 答案及解析：答案及解析： 答案：1.因为 124 ,a aa成等比数列,所以 2 224 aaa , 设公差为 d,则 2 11 3ada ad,解得 2 1 0da d, 又因为各项都不相等,所以0d , 所以 1 ad, 由 61 61aad,所以 n an. 2.由 1 知, n 22 n bn,所以数列 n
20、b 的前 n 项和为 12nn Sbbb 231 2 12 1 22 +2 +22 12222+1 122 n nn n n nn n 解析： 18 答案及解析：答案及解析： 答案：(1)取PD中点 N 连接,MN NC, MN为PAD的中位线,/ /MNAD,且 1 2 MNAD， 又/ /BCAD且 1 2 BCAD,/ /MNBC，且MNBC， 则BMNC为平行四边形,/ /BMNC， 又NC 平面PCD，MB 平面PCD， / /BM平面PCD . (2)过 M 作AB的垂线,垂足为 M ，取AB中点 P ，连结 PP， 又平面PAB 平面ABCD,平面PAB平面,ABCDAB MM平
21、面PAB， MM平面ABCD. MM为三棱锥MBCD的高， PAPB， P 为AB 中点，PPAB ， 8,90ABBPA，PAB 为等腰直角三角形，4PP， 平面PAB 平面ABCD ,平面PAB平面,ABCDAB PP平面PAB， PP 平面ABCD./ /MMPP， M 为PA的中点, 1 2 2 MMPP， 过 C 作CHAD，交AD于点 H， / /ABCD,/ /BCAD，ABCH为平行四边形， 8CHAB， 12126824 BCD SBCCH ， 三棱锥BCDM的体积为： 11 24216 33 B CDMMBCDBCD VVSMM ， 解析： 19 答案及解析：答案及解析：
22、答案：(1) 220+180210220200230 =210 6 x 甲(分) 200190240230220210 215 6 x 乙(分) 222222 1800 =(220210)(180210)(210210) +(220-210) +(230-210) = 63 s 甲 2222222 1875 (200215)(190215)(240215)(230215)(220215)(210215) 63 s 乙 (2)记甲品牌中序号为 n 的扫地机器人为(,2,3,4,5,6) n A n ,则从这 6 台扫地机器人中随机抽取 2 台的所有情况为 12131415 ,A A A A A
23、A A A 16232425 ,A AA A A AA A 26343536 ,A A A AA A A A 454656 ,A A A AA A,共 15 种 其中满足条件的有 122324252635 ,A AA A A AA A A A A A共 6 种 记事件 C 为”抽出的 2 台扫地机器人充满电后工作时长之和不小于 420 分钟” 则 62 ( ) 155 P C (3)计算的 80,197xy , 1 2 1 ()() 238017 1120080 () n ii i n i i xxyy b xx 所以214aybx 所以线性回归方程为 17 200214171.5 80 y
24、所以估计该扫地机器人使用第 200 次时冲满电后的工作时长为 171.5 分钟 解析： 20 答案及解析：答案及解析： 答案：(1)由题意可知，24 3ab ， 圆 22 20xyx的圆心坐标为(1 )0 ,，所以1c ， 因此 22 1ab，结合2 3ab 得 2 4a ， 2 3b ， 故椭圆的方程为 22 1 43 xy . (2)当直线MN的斜率存在时，设其方程为 ()0ykxm m ， 11 (,)M x y ， 22 (,)N xy ， 由 22 1 43 xy ykxm 消去 y 可得， 222 3 484120kkmxxm， 2222 644 3 4412k mkm 22 48
25、 430km，即 22 43mk， 12 2 8 34 km xx k ， 2 12 2 412 34 m x x k . 所以 2 12 1MNk xx 2 2 1212 14kxxx x 2 2 2 22 8412 14 3434 kmm k kk 2 22 2 4 3 1 43 34 k km k . 又点 O 到直线MN的距离 2 1 m d k ， 所以 1 2 MON SMN d 22 2 2 3 43 34 m km k ， 又 12 12 12 3 4 y y k k x x 所以 22 1212 12 k x xkm xxm x x 2 2 2 2 2 8 3 34 4124
26、 34 km kmm k k m k ， 化简可得 22 243mk，满足0 . 则 22 2 2 3 43 34 MON m Skm k 2 2 2 3 3 2 m m ， 当直线MN的斜率不存在时，由于 12 3 4 k k ，且OM ON,关于 x 轴对称， 不妨设 1 3 2 k ， 2 3 2 k 则易得 6 2, 2 M ， 6 2, 2 N 或 6 2, 2 M ， 6 2, 2 N ， 此时 1 263 2 MON S . 综上，MON的面积为定值，定值为3. 解析： 21 答案及解析：答案及解析： 答案：(1)( )e(1) x f xa x, ( )exfxa 令( )e0
27、 x fxa,解得 lnxa,令( )0fx , 则lnxa,令( )0fx ,则lnxa, min ( )(ln )(ln1)lnf xfaaaaaa , ( )0f x 对一切Rx恒成立, ln0aa, ln0aa ,01a a 的最大值为 1. (2)设( ) e1 x t xx, 则( )e1 x t x ,令( )0t x ,得 0x . 当0x 时,( )0,( )t xf x单调递减;当0x 时,( )0,( )t xf x单调递增, ( )t x的最小值为(0)0t,故e1 x x. 取,1,3,.,21 2 i xin n , 得 2 1 2 i n i e n ,即 2 2
28、 () 2 i n ni e n , 累加得 1 211 2 22 1 1321e(1e)e ()().()e.e 2221ee1 nn nnn n nnn . e 13.(21)(2 ) e1 nnnn nn . 故存在正整数2a ,使得 e 13.(21)() e1 nnnn nan . 假设当1a 时也符合题意,取2n ,有 4 e 10 e1 ,矛盾. 故 a 的最小值为 2. 解析： 22 答案及解析：答案及解析： 答案：（1）根据题意,得曲线 1 C的直角坐标方程为 22 412xyy, 设点 ( ,)P x y,( , )Q x y,根据中点坐标公式, 得 26 2 xx yy
29、代入 22 412xyy, 得点Q的轨迹 2 C的直角坐标方程为 22 314xy. （2）直线l的直角坐标方程为yax, 根据题意,得圆心3,1到直线的距离 2 2 231d , 即 2 31 1 1 a a ,解得 3 0 4 a. 实数a的取值范围为 3 0, 4 . 解析： 23 答案及解析答案及解析： 答案：（1）当1a 时， 72 ,1 5,13 21,3 x x f xx xx ， 7fx 的解集为04x xx或 (2) 133133313f xxxaaxaxaaa ， 又有 4 9945m m ， 由题意恒成立得，3 135aa ， 解得1a ，a 的取值范围为 1, 解析：
