2020年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（6）.docx

1、 第 1 页（共 22 页） 2020 年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（6） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 = 2020+3 1+ ，则 z 的虚部是（ ） Ai B2i C1 D1 2 （5 分） 已知集合 = *| = ( + 2)+， = *| = 2+ 1+， 则 A （RB） （ ） A B1，+） C （2，1 D （2，1） 3 （5 分）已知等差数列an，其前 n 项和为 Sn，且 a1+3a5+a9m，则26;7 9 =（ ） A 5 B 9 C1 5 D1

2、 9 4 （5 分） “关于 x 的不等式 x22ax+a0 的解集为 R”的一个必要不充分条件是（ ） A0a1 B0a 1 3 C0a1 Da0 或 a 1 3 5 （5 分）如图所示，半径为 2 的圆内有一个内接正方形，现往该圆内任投一点，此点落在 阴影部分的概率为（ ） A2 4 B1 2 C;2 4 D1 1 6 （5 分） 宋元时期， 中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶） 、 李（冶） 、杨（辉） 、 朱（世杰）四大家” ，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学教育家朱 世杰平生勤力研习九章算术 ，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承 了前人数学成果，既吸

3、收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法 及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为 宗旨的算学启蒙 ，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半， 竹日自倍，松竹何日而长等如图，是源于其思想的一个程序框图若输入的 a，b 分别 为 3，1，则输出的 n（ ） 第 2 页（共 22 页） A2 B3 C4 D5 7 （5 分） （x22x3） （2x1）6的展开式中，含 x3项的系数为（ ） A348 B88 C232 D612 8 （5 分）函数 f（x）x2+xsinx 的图象大致为（ ） A B C D 9 （5 分）若函

4、数() = 3 + 2 + 3有零点，则 a 的取值范围是（ ） A1 2 5 2 Ba 1 2 Ca 5 2 D 5 2 1 2 10 （5 分）已函数 f（x）sin2x+cosx，x0，a的值域为,1， 5 4-，则实数 a 的取值范围是 （ ） A(0， 6- B(0， 3- C, 6 ， 2- D, 3 ， 2- 第 3 页（共 22 页） 11 （5 分）已知直线 ya 与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线交于点 P， 双曲线C的左、 右顶点分别为A1， A2， 若|2| = 5 2 |12|， 则双曲线C的离心率为 （ ） A2 B 10 3 C2 或 10

5、3 D 10 3 或2 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1，点 P 是棱 CC1的中点，设直线 AB 为 a，直线 A1D1为 b，对于下列两个命题：过点 P 有且只有一条直线 l 与 a、b 都相交；过点 P 有且只有一条直线 l 与 a、b 都成 45角，以下判断正确的是（ ） A为真命题，为真命题 B为真命题，为假命题 C为假命题，为真命题 D为假命题，为假命题 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 = (1，2)， = (0， 3)，则向量 在向量 方向上的投影为 14 （5 分）某地开展名

6、优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 A、B、C 三个不同 的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名 优教师，则不同的分配方案共有 种 15 （5 分）已知直线 l 过抛物线 y28x 的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，与其准线交于 点 C若点 F 是 AC 的中点，则线段 BC 的长为 16 （5 分）已知函数1() = 21 +1 ，对于 nN*，定义 fn+1（x）f1（fn（x） ） ，则 f2019（x） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）ABC 中，角 A

7、，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的外接圆半径为 R，面 积为 S，已知 A 为锐角，且（b2+c22R2）tanA4S （1）求 A； （2）若 a1，求 S 的最大值 18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD120，PA 第 4 页（共 22 页） 2，PBPCPD，E 是 PB 的中点 （1）证明：PA平面 ABCD； （2）设 F 是直线 BC 上的动点，当点 E 到平面 PAF 距离最大时，求面 PAF 与面 EAC 所 成二面角的正弦值 19 （12 分）某学校为进一步规范校园管理， 强化饮食安全， 提出了 “远离外卖，健康

8、饮食” 的口号 当然， 也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求 在学期末， 校学生会为了调研学生对本校食堂 A 部和 B 部的用餐满意度， 从在 A 部和 B 部都用过餐 的学生中随机抽取了 200 人，每人分别对其评分，满分为 100 分随后整理评分数据， 将分数分成 6 组：第 1 组40，50） ，第 2 组50，60） ，第 3 组60，70） ，第 4 组70，80） ， 第 5 组80，90） ，第 6 组90，100，得到 A 部分数的频率分布直方图和 B 部分数的频数 分布表 分数区间 频数 40，50） 7 50，60） 18 60，70） 21 70，80）

9、24 80，90） 70 90，100 60 定义： 学生对食堂的“满意度指数” 分数 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 满意度指 数 0 1 2 3 4 5 第 5 页（共 22 页） （1）求 A 部得分的中位数（精确到小数点后一位） ； （2）A 部为进一步改善经营，从打分在 80 分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽 取 8 人进行座谈，再从这 8 人中随机抽取 3 人参与“端午节包粽子”实践活动，在第 3 组抽到 1 人的情况下，第 4 组抽到 2 人的概率； （3） 如果根据调研结果评选学生放心餐厅， 应该评选 A 部还是 B 部

10、 （将频率视为概率） 20 （12 分）已知椭圆： 2 4 + 2 3 = 1的左焦点为 F，点 M（4，0） ，过 M 的直线与椭圆 E 交于 A，B 两点，线段 AB 中点为 C，设椭圆 E 在 A，B 两点处的切线相交于点 P，O 为坐标原点 （1）证明：O、C、P 三点共线； （2）已知 AB是抛物线 x22py（p0）的弦，所在直线过该抛物线的准线与 y 轴的交 点，P是弦 AB在两端点处的切线的交点，小明同学猜想：P在定直线上你认为小明猜 想合理吗？若合理，请写出 P所在直线方程；若不合理，请说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）x2ex （）求 f（x）的单调区间； （）

11、过点 P（1，0）存在几条直线与曲线 yf（x）相切，并说明理由； （）若 f（x）k（x1）对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 第 6 页（共 22 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系，曲线 C 的极坐标方程为 2（1+8sin2）9，直线 l 的参数方程为 = 1 + 4 = 1 （t 为 参数） （1）求 C 与 l 的交点的直角坐标； （2）求 C 上的点到直线 l 的距离的最大值 五解答题（共五解答题（共

12、1 小题）小题） 23 （1）解不等式|x+1|2x5|+3 220； （2）求函数 = 32 4 + 23 的最大值 第 7 页（共 22 页） 2020 年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（年湖北省高考数学（理科）模拟试卷（6） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）若 = 2020+3 1+ ，则 z 的虚部是（ ） Ai B2i C1 D1 【解答】解： = 2020+3 1+ = 1+3 1+ = (1+3)(1) (1+)(1) = 2 + ， z 的虚部是 1 故选：D 2

13、 （5 分） 已知集合 = *| = ( + 2)+， = *| = 2+ 1+， 则 A （RB） （ ） A B1，+） C （2，1 D （2，1） 【解答】解：集合 Ax|ylg（x+2）（2，+） ，By|y11，+） ， RB（，1） ； 则 A（RB）（2，1） ， 故选：D 3 （5 分）已知等差数列an，其前 n 项和为 Sn，且 a1+3a5+a9m，则26;7 9 =（ ） A 5 B 9 C1 5 D1 9 【解答】 解： 已知等差数列an， 其前 n 项和为 Sn， 且 a1+3a5+a9m， 则26;7 9 = 6; 95 = 5 95 = 1 9， 故选：D 4

14、（5 分） “关于 x 的不等式 x22ax+a0 的解集为 R”的一个必要不充分条件是（ ） A0a1 B0a 1 3 C0a1 Da0 或 a 1 3 【解答】解： ， “关于 x 的不等式 x22ax+a0 的解集为 R” ， 则4a24a0，解得 0a1； 所以“关于 x 的不等式 x22ax+a0 的解集为 R”的一个必要不充分条件是 0a1， 故选：C 5 （5 分）如图所示，半径为 2 的圆内有一个内接正方形，现往该圆内任投一点，此点落在 阴影部分的概率为（ ） 第 8 页（共 22 页） A2 4 B1 2 C;2 4 D1 1 【解答】解：圆的半径为 2， 圆的面积是 224

15、， 正方形的对角线长为：2r4，故其边长为：22； 正方形的面积 S正方形（22）28， 向圆内随机投一点，则该点落在阴影部分内的概率 P1 8 4 =1 2 ； 故选：B 6 （5 分） 宋元时期， 中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦（九韶） 、 李（冶） 、杨（辉） 、 朱（世杰）四大家” ，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学教育家朱 世杰平生勤力研习九章算术 ，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承 了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法 及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为 宗旨的算学启

16、蒙 ，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半， 竹日自倍，松竹何日而长等如图，是源于其思想的一个程序框图若输入的 a，b 分别 为 3，1，则输出的 n（ ） A2 B3 C4 D5 第 9 页（共 22 页） 【解答】解：模拟程序的运行，可得 a3，b1，n1 a= 9 2，b2 不满足条件 ab，执行循环体，n2，a= 27 4 ，b4， 不满足条件 ab，执行循环体，n3，a= 81 8 ，b8， 不满足条件 ab，执行循环体，n4，a= 243 16 ，b16， 满足条件 ab，退出循环，输出 n 的值为 4 故选：C 7 （5 分） （x22x3） （2x1）6的

17、展开式中，含 x3项的系数为（ ） A348 B88 C232 D612 【解答】解：解： （x22x3） （2x1） 6（x22x3） （ 6 0 （2x）661 （2x）5+62 （2x） 4+ 6 5 （2x）+66） ， 故展开式中，含 x3项的系数为（3） （6 323 ）+（2） 6422+1 （652）480+（ 120）12348， 故选：A 8 （5 分）函数 f（x）x2+xsinx 的图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：函数 f（x）x2+xsinx 是偶函数，关于 y 轴对称，故排除 B， 令 g（x）x+sinx， g（x）1+cosx0 恒成立， g（x）

18、在 R 上单调递增， 第 10 页（共 22 页） g（0）0， f（x）xg（x）0，故排除 D， 当 x0 时，f（x）xg（x）单调递增，故当 x0 时，f（x）xg（x）单调递减，故排 除 C 故选：A 9 （5 分）若函数() = 3 + 2 + 3有零点，则 a 的取值范围是（ ） A1 2 5 2 Ba 1 2 Ca 5 2 D 5 2 1 2 【解答】解：函数() = 3 + 2 + 3 =2sin（x+ 6）2a+3， 函数() = 3 + 2 + 3有零点，可得 2sin（x+ 6）2a3 有解， 可得22a32， 解得：1 2 5 2 故选：A 10 （5 分）已函数 f

19、（x）sin2x+cosx，x0，a的值域为,1， 5 4-，则实数 a 的取值范围是 （ ） A(0， 6- B(0， 3- C, 6 ， 2- D, 3 ， 2- 【解答】解：函数 f（x）sin2x+cosx1cos2x+cosx（cosx 1 2） 2+5 4， 当 cosx= 1 2时，取得最大值为 5 4； 当 cosx0 或 1 时，取得最小值为 1； 那么函数 ycosx， x0，a 当 x0 时，y1； 0y 1 2， 即 0cosa 1 2， 3 a 2； 故选：D 第 11 页（共 22 页） 11 （5 分）已知直线 ya 与双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的

20、一条渐近线交于点 P， 双曲线C的左、 右顶点分别为A1， A2， 若|2| = 5 2 |12|， 则双曲线C的离心率为 （ ） A2 B 10 3 C2 或 10 3 D 10 3 或2 【解答】 解： 双曲线： 2 2 2 2 = 1(0，0)的一条渐近线： y= ， 则 P （ 2 ， a） ， 因为|2| = 5 2 |12|，所以（ 2 a）2+a25a2，可得（ 1）24， 所以 =3，从而 e=1 + 2 2 = 10 3 ， 双曲线的渐近线为：y= x， 则 p（ 2 ，a） ，|2| = 5 2 |12|，所以（ 2 a）2+a25a2，可得（ +1）24， 所以 =1，可

21、得 e= 2 则双曲线 C 的离心率为：2或 10 3 故选：D 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1，点 P 是棱 CC1的中点，设直线 AB 为 a，直线 A1D1为 b，对于下列两个命题：过点 P 有且只有一条直线 l 与 a、b 都相交；过点 P 有且只有一条直线 l 与 a、b 都成 45角，以下判断正确的是（ ） A为真命题，为真命题 B为真命题，为假命题 C为假命题，为真命题 D为假命题，为假命题 【解答】解：直线 AB 与 A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点 P 不在这两异面直线中的 任何一条上，如图所示： 取 BB1的中点 Q， 则 PQA1D1， 且 P

22、QA1D1， 设 A1Q 与 AB 交于 E， 则点 A1、 D1、 Q、 E、P 共面， 第 12 页（共 22 页） 直线 EP 必与 A1D1 相交于某点 F，则过 P 点有且只有一条直线 EF 与 a、b 都相交，故 为真命题； 分别平移 a，b，使 a 与 b 均经过 P，则有两条互相垂直的直线与 a，b 都成 45角，故 为假命题 为真命题，为假命题 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知 = (1，2)， = (0， 3)，则向量 在向量 方向上的投影为 6 【解答】解： = (1，2)， =

23、(0， 3)， 在向量 方向上的投影为：| | ， = | |= 32 3 = 6 故答案为：6 14 （5 分）某地开展名优教师支教活动，现有五名名优教师被随机分到 A、B、C 三个不同 的乡镇中学，现要求甲乙两位名优老师同时分到一个中学，可以有乡镇中学不分配到名 优教师，则不同的分配方案共有 81 种 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，在三个中学中任选 1 个，安排甲乙两人，有 C313 种情况， ，对于剩下的三人，每人都可以安排在 A、B、C 三个不同的乡镇中学中任意 1 个，则 剩下三人有 33327 种不同的选法， 则有 32781 种不同的分配方法； 故答案为：81 1

24、5 （5 分）已知直线 l 过抛物线 y28x 的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，与其准线交于 点 C若点 F 是 AC 的中点，则线段 BC 的长为 16 3 第 13 页（共 22 页） 【解答】解 由题意可得抛物线的焦点 F 坐标为（2，0） ，准线方程为 x2， 设直线 AB 的方程为 xmy+2，作 AM，BN，FD 垂直于准线分别于 M，N，D， 由 F 为 AC 的中点，所以 AM2DF4，即 A 的横坐标 xA+28，所以 xA6，代入抛物 线的方程为 y= 48 =43， 所以 kAB= 43 62 = 3，所以直线 AB 的方程 y= 3（x2） 联立直线与抛物线的方

25、程： = 3( 2) 2= 8 ，整理可得 3x220x+120， 所以 6xB4，可得 xB= 2 3，则 BFBN= 2 3 +2= 8 3， CBCFBFAFBF8 8 3 = 16 3 ， 故答案为：16 3 16 （5 分）已知函数1() = 21 +1 ，对于 nN*，定义 fn+1（x）f1（fn（x） ） ，则 f2019（x） ;2 2;1 【解答】解：函数对于 nN*，定义 fn+1（x）f1fn（x）， f2（x）f1f1（x）f1（2;1 :1 ）= 221 +1 1 21 +1+1 = 1 f3（x）f1f2（x）f1（;1 ）= 21 1 1 +1 = 2 21，

26、f4（x）f1f3（x）f1（ ;2 2;1）= 2 2 211 2 21+1 = 1 1， f5（x）f1f4（x）f1（ 1 1;）= 2 1 11 1 1+1 = +1 2， f6（x）f1f5（x）f1（:1 2;）= 2+1 21 +1 2+1 =x， 第 14 页（共 22 页） f7（x）f1f6（x）f1（x）= 21 +1 =f1（x） 从 f1（x）到 f6（x） ，每 6 个一循环周期为 6， 20193366+3， f22019（x）f3（x）= 2 21， 故答案为： ;2 2;1 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12

27、分）分） 17 （12 分）ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的外接圆半径为 R，面 积为 S，已知 A 为锐角，且（b2+c22R2）tanA4S （1）求 A； （2）若 a1，求 S 的最大值 【解答】解： （1）（b2+c22R2）tanA4S， (2+ 2 22) = 4 1 2 ， 即 b2+c22R22bccosA，b2+c22bccosA2R2， 由余弦定理得 a22R2， 由正弦定理得（2RsinA）22R2，得 = 2 2 ， A 为锐角， = 4； （2） = 4，由余弦定理得 2 + 2 2 2 2 = 1，2+ 2= 2 + 1， b2+c

28、22bc，取等号的条件是 bc， 2+2 2 ， = 1 2 = 2 4 1 4 (2 + 1)， S 的最大值为1 4 (2 + 1) 18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD120，PA 2，PBPCPD，E 是 PB 的中点 （1）证明：PA平面 ABCD； （2）设 F 是直线 BC 上的动点，当点 E 到平面 PAF 距离最大时，求面 PAF 与面 EAC 所 成二面角的正弦值 第 15 页（共 22 页） 【解答】 （1）证明：取 BC 中点 M，连接 PM，AM， 因为四边形 ABCD 为菱形且BAD120 所以 AMBC， 因为

29、PBPC，所以 PMBC， 又 AMPMM， 所以 BC平面 PAM，因为 PA平面 PAM， 所以 PABC 同理可证 PADC， 因为 DCBCC， 所以 PA平面 ABCD （2）解：由（1）得 PA平面 ABCD， 所以平面 PAF平面 ABCD，平面 PAF平面 ABCDAF 所以点 B 到直线 AF 的距离即为点 B 到平面 PAF 的距离 过 B 作 AF 的垂线段， 在所有的垂线段中长度最大的为 AB2， 此时 AF 必过 DC 的中点， 因为 E 为 PB 中点，所以此时，点 E 到平面 PAF 的距离最大，最大值为 1 以 A 为坐标原点，直线 AF，AB，AP 分别为 x

30、，y，z 轴建立空间直角坐标系 Axyz 则(0，0，0)，(3，1，0)，(0，1，1)，(0，2，0)， 所以 = (3，1，0)， = (0，1，1)， = (0，2，0)， 平面 PAF 的一个法向量为 = (0，2，0)， 设平面 AEC 的法向量为 = (，)， 则 = 3 + = 0 = + = 0 ， 第 16 页（共 22 页） 取 y1，则 = ( 3 3 ，1， 1)， ， = | | | = 21 7 ， 所以 ， = 27 7 ， 所以面 PAF 与面 EAC 所成二面角的正弦值为27 7 19 （12 分）某学校为进一步规范校园管理， 强化饮食安全， 提出了 “远离

31、外卖，健康饮食” 的口号 当然， 也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求 在学期末， 校学生会为了调研学生对本校食堂 A 部和 B 部的用餐满意度， 从在 A 部和 B 部都用过餐 的学生中随机抽取了 200 人，每人分别对其评分，满分为 100 分随后整理评分数据， 将分数分成 6 组：第 1 组40，50） ，第 2 组50，60） ，第 3 组60，70） ，第 4 组70，80） ， 第 5 组80，90） ，第 6 组90，100，得到 A 部分数的频率分布直方图和 B 部分数的频数 分布表 分数区间 频数 40，50） 7 50，60） 18 60，70） 21 70

32、，80） 24 80，90） 70 90，100 60 定义： 学生对食堂的“满意度指数” 第 17 页（共 22 页） 分数 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100 满意度指 数 0 1 2 3 4 5 （1）求 A 部得分的中位数（精确到小数点后一位） ； （2）A 部为进一步改善经营，从打分在 80 分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽 取 8 人进行座谈，再从这 8 人中随机抽取 3 人参与“端午节包粽子”实践活动，在第 3 组抽到 1 人的情况下，第 4 组抽到 2 人的概率； （3） 如果根据调研结果评选学生放心餐厅， 应该评选 A 部

33、还是 B 部 （将频率视为概率） 【解答】解： （1）由频率分布直方图可知，0.05+0.05+0.10+0.15+0.45+10a1，解得 a 0.020， 设 A 部得分的中位数为 x（80x90） ，则 0.05+0.05+0.10+0.20+（x80）0.0450.5，解得 x82.2， A 部得分的中位数为 82.2 （2）第 1，2，3，4 组的人数分别为 10，10，20，40，从第 1，2，3，4 组采用分层抽样 方法抽取 8 人，则从第 1，2，3，4 组应分别抽取的人数为 1，1，2，4， 从 8 人中抽取 3 人，记第 3 组抽到 1 人为事件 A，第 4 组抽到 2 人

34、为事件 B，则 (/) = 2 142 8 3 2 1 6 2 8 3 = 2 5，即在第 3 组抽到 1 人的情况下，第 4 组抽到 2 人的概率为 2 5 （3）记对 A 部评价的满意度指数为随机变量 X，则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 0.05 0.05 0.1 0.2 0.45 0.15 E（X）00.05+10.05+20.1+30.2+40.45+50.153.4 第 18 页（共 22 页） 记对 B 部评价的满意度指数为随机变量 Y，则 Y 的分布列为 Y 0 1 2 3 4 5 P 7 200 18 200 21 200 24 200 70 200 60

35、200 E（Y）= 0 7 200 + 1 18 200 + 2 21 200 + 3 24 200 + 4 70 200 + 5 60 200 = 3.56 E（X）E（Y） ， 应该评选 B 部为学生放心餐厅 20 （12 分）已知椭圆： 2 4 + 2 3 = 1的左焦点为 F，点 M（4，0） ，过 M 的直线与椭圆 E 交于 A，B 两点，线段 AB 中点为 C，设椭圆 E 在 A，B 两点处的切线相交于点 P，O 为坐标原点 （1）证明：O、C、P 三点共线； （2）已知 AB是抛物线 x22py（p0）的弦，所在直线过该抛物线的准线与 y 轴的交 点，P是弦 AB在两端点处的切线

36、的交点，小明同学猜想：P在定直线上你认为小明猜 想合理吗？若合理，请写出 P所在直线方程；若不合理，请说明理由 【解答】 （1）证明：设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 AB 的方程为 xty4，t0 联立 = 4 2 4 + 2 3 = 1，得（3t 2+4）y224ty+360 24t24（3t2+4）360，解得 t2 或 t2 1+ 2= 24 32+4，12 = 36 32+4 由题意对称性，设（x0，y0） ，y00 是椭圆在 x 轴上方的任意一点， 则由 =3 32 4 ，x（0，2） ，得 y= 3 4， 在（x0，y0） ，y00 处的切线的斜率为 k= 30

37、40， 第 19 页（共 22 页） 故在（x0，y0） ，y00 处的切线方程为 0= 30 40 ( 0)， 结合0 2 4 + 02 3 = 1，可得切线方程为0 4 + 0 3 = 1 切线 PA：1 4 + 1 3 = 1，PB：2 4 + 2 3 = 1 联立两切线方程消去 y 可得 x1 联立 = 1 1= 1 4 1 4 + 1 3 = 1 ，解得 P（1，3 4 ） ，则 = 3 4 由 AB 的中点 C（1:2 2 ， 1:2 2 ）及 12 4 + 12 3 = 1 22 4 + 22 3 = 1 ，可得 = 3 4 kOPkOC，即 O、C、P 三点共线； （2）合理P

38、在定直线 = 2上 证明如下：设 A（x3，y3） ，B（x4，y4） ，由题意直线 AB的斜率一定存在， 其方程为 = 2， 联立 = 2 2= 2 ，消去 y 得：x22pkx+p20 0，x3+x42pk，34= 2 由 x22py，得 y= 2 2， = 抛物线在 A（x3，y3）处的切线方程为 = 3 32 2 ，同理抛物线在 B处的切线方程 为 = 4 42 2 联立 = 3 32 2 = 4 42 2 34= 2 ，解得 y= 2，故 P在直线 y= 2上 21 （12 分）已知函数 f（x）x2ex （）求 f（x）的单调区间； （）过点 P（1，0）存在几条直线与曲线 yf（

39、x）相切，并说明理由； （）若 f（x）k（x1）对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 【解答】 （共 14 分） 第 20 页（共 22 页） 解： （）f（x）（x2+2x）exx（x+2）ex（1 分） f（x）0 得，x2 或 x0； f（x）0 得，2x0；（2 分） 所以 f（x）的单调增区间为（，2） ， （0，+） ；单调减区间为（2，0） （3 分） （）过（1，0）点可做 f（x）的三条切线；理由如下：（1 分） 设切点坐标为（x0，020） ，过切点的切线方程为 y020=（02+2x0）0（xx0）（2 分） 切线过（1，0）点，代入得020=（02+2x0）0

40、（1x0） ， 化简得 x0（x0+2） （x02）0=0，（3 分） 方程有三个解，x00，x0= 2，x0= 2，即三个切点横坐标，（4 分） 所以过（1，0）点可做 f（x）的三条切线 （）设 g（x）x2exk（x1） ，（1 分） 方法 1 1k0 时，x2exk（x1）成立；（1 分） 2k0 时，若 x，f（0）0k（01）不成立， 所以 k0 不合题意（2 分） 3k0 时，x1 时，h（x）0 显然成立，只需考虑 x1 时情况； 转化为 2 ;1 k 对任意 x（1，+）恒成立（3 分） 令 h（x）= 2 1（x1） ， h（x）= (2+2)(1)2 (1)2 = (+2

41、)(2) (1)2 ，（3 分） 当 1x2时，h（x）0，hx）单调减； 当 x2时，h（x）0，h（x）单调增； 所以 h（x）minh（2）= 2 2 21 =（2+22） 2 k，（4 分） 所以 k（2+22） 2 综上，k 的取值范围是0， （2+22） 2 （7 分） 方法 2：不用讨论 k，只讨论 x 1x1，成立；（1 分） 第 21 页（共 22 页） 2x1 转化为 2 ;1 k 对任意 x（1，+）恒成立（2 分） 令 h（x）= 2 1（x1） ， h（x）= (2+2)(1)2 (1)2 = (+2)(2) (1)2 ，（3 分） 当 1x2时，h（x）0，h（x）单调减； 当 x2时，h（x）0，h（x）单调增； 所以 h（x）minh（2）= 2 2 21 =（2+22） 2 k，（4 分） 所以 k（2+22）