1、 第 1 页(共 24 页) 2020 年山东省高考数学模拟试卷(年山东省高考数学模拟试卷(5) 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 40 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)已知集合 = * | +2 0+,则集合 A 子集的个数为( ) A3 B4 C7 D8 2 (5 分)若复数 z12+i,z2cos+isin(R) ,其中 i 是虚数单位,则|z1z2|的最大值 为( ) A5 1 B5;1 2 C5 + 1 D5:1 2 3 (5 分)若( 2 2) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 ( ) A210 B180 C160 D1
2、75 4 (5 分)区块链作为一种革新的技术,已经被应用于许多领域,包括金融、政务服务、供 应链、版权和专利、能源、物联网等在区块链技术中,若密码的长度设定为 256 比特, 则密码一共有 2256种可能, 因此, 为了破解密码, 最坏情况需要进行 2256次哈希运算 现 在有一台机器,每秒能进行 2.51011次哈希运算,假设机器一直正常运转,那么在最坏 情况下, 这台机器破译密码所需时间大约为 ( ) (参考数据 lg20.3010, lg30.477) A4.51073秒 B4.51065秒 C4.5107秒 D28 秒 5 (5 分)已知函数 f(x)xsinx+cosx+2020,g
3、(x)是函数 f(x)的导函数,则函数 yg (x)的部分图象是( ) A B C D 6 (5 分)已知 a0,设函数() = 2020 2020+1(xa,a)的最大值为 M,最小值为 N, 那么 M+N+f(2020)+f(2020)( ) A1 B2 C3 D4 第 2 页(共 24 页) 7 (5 分)函数 y= 1的定义域是( ) A B 2 Cx|x= 2 + , Z Dx|x= 2 + 2, 8(5 分) 已知数列an的通项公式为 an2n+2, 将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵, 记 bn为数阵从左至右的 n 列,从上到下的 n 行共 n2个数的和,则数列* +的前 20
4、20 项 和为( ) A1011 2020 B2019 2020 C2020 2021 D1010 2021 二多选题(共二多选题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 9 (5 分)下列几个命题 若方程 x2+ax+a0 的两个根异号,则实数 a0 函数 = 2 4 + 4 2是偶函数,但不是奇函数; 函数 f(x)x2+2(a1)x+2 在(,4上是减函数,则实数 a 的取值范围是 a 3 方程(m+1)x+4m30 的根 x0满足1x02,则 m 满足的范围1 6 4 3 其中不正确的是( ) A B C D 10 (5 分)下列说法正确的是( ) A椭
5、圆 2 2 + 2 2 =1 上任意一点(非左右顶点)与左右顶点连线的斜率乘积为 2 2 B过双曲线 2 2 2 2 =1 焦点的弦中最短弦长为2 2 C抛物线 y22px 上两点 A(x1,y1) B(x2,y2) ,则弦 AB 经过抛物线焦点的充要条 件为 x1x2= 2 4 D若直线与圆锥曲线有一个公共点,则该直线和圆锥曲线相切 第 3 页(共 24 页) 11 (5 分)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别为 BB1,CD 的中 点,则( ) A直线 AD1与 BD 的夹角为 60 B平面 AED平面 A1FD1 C点 C1到平面 AB1D1的距离为
6、3 2 D若正方体每条棱所在直线与平面 所成的角相等,则 截此正方体所得截面只能是 三角形和六边形 12 (5 分)已知函数 f(x)2sin(2x 3)+1,则下列说法正确的是( ) Af( 6 x)2f(x) Bf(x 6)的图象关于 x= 12对称 C若 0x1x2 2,则 f(x1)f(x2) D若 x1,x2,x3 3, 2,则 f(x1)+f(x2)f(x3) 三填空题(共三填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)已知椭圆 2 9 + 2 4 = 1的左、右焦点分别为 F1、F2,若椭圆上的点 P 满足|PF1| 2|PF2|
7、,则|PF1| 14 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a4,b4,c6I 是ABC 内切 圆的圆心,若 = + ,则 x ;y 15 (5 分)直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABACAA12,且 = 2 3 ,若该三棱柱的 所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 16 (5 分)已知 F1、F2分别为双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0,0)的左、右焦点,过 F1 第 4 页(共 24 页) 作直线l与圆x2+y2a2相切于点T, 且直线l与双曲线C的右支交于点P, 若41 = 1 , 则 双曲线 C 的离心率为 四解答题(共四解答题(共 6 小题,满分小题,满
8、分 70 分)分) 17 (10 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,; ; = : (1)求角 A 的大小; (2)若 a2,求 b+c 的取值范围 18 (12 分)已知数列an的各项都为正数,a12,且+1 = 2 +1 + 1 ()求数列an的通项公式; ()设 bnlg(log2an),其中x表示不超过 x 的最大整数,如0.90,lg991, 求数列bn的前 2020 项和 19 (12 分)四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的菱形,PA面 ABCD,BAD 120,E,F 分别是 CD,PC 的中点 (1)求证:平面 AEF平面 PAB;
9、 (2)M 是 PB 上的动点,EM 与平面 PAB 所成的最大角为 45,求二面角 FAED 的 余弦值 20 (12 分)新型冠状病毒属于 属的冠状病毒,人群普遍易感,病毒感染者一般有发热咳 嗽等临床表现,现阶段也出现无症状感染者基于目前的流行病学调查和研究结果,病 毒潜伏期一般为 114 天,大多数为 37 天为及时有效遏制病毒扩散和蔓延,减少新 型冠状病毒感染对公众健康造成的危害,需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行 检查某地区对与确诊患者有接触史的 1000 名人员进行检查,检查结果统计如下: 发热且咳嗽 发热不咳嗽 咳嗽不发热 不发热也不咳嗽 确诊患病 200 150 80 3
10、0 第 5 页(共 24 页) 确诊未患病 150 150 120 120 (1)能否在犯错率不超过 0.001 的情况下,认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终 确诊患病有关 临界值表: P(K2k) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.645 7.879 10.828 (2)在全国人民的共同努力下,尤其是全体医护人员的辛勤付出下,我国的疫情得到较 好控制,现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者(即无相关临床表现但 核酸检测或血清特异性免疫球蛋白 M 抗体检测阳性者) 根据防控要求,无症状感染者 虽然还没有最终确诊患 2019 新
11、冠肺炎, 但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观 察 14 天,已知某人曾与无症状感染者密切接触,而且在家已经居家隔离 10 天未有临床 症状,若该人员居家隔离第 k 天出现临床症状的概率为(1 2) ;10, (k11,12,13,14) , 两天之间是否出现临床症状互不影响,而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并 采取必要治疗,若 14 天内未出现临床症状则可以解除居家隔离,求该人员在家隔离的天 数(含有临床症状表现的当天) 的分布列以及数学期望值 (保留小数点后两位) 21 (12 分)设点 A,B 的坐标分别为(1,0) , (1,0) ,直线 AP,BP 相交于点 P,且它
12、们的斜率之积为2,设点 P 的轨迹是曲线 E (1)求曲线 E 的方程; (2)已知直线 l:ykx+m 与曲线 E 相交于不同两点 M、N(均不在坐标轴上的点) ,设 曲线 E 与 y 轴的正半轴交于点 C,若 CHMN,垂足为 H 且 2 = ,求证:直 线 l 恒过定点 22 (12 分)已知函数 f(x)lnx+ (+)2 2 (aR) ()若函数 h(x)f(x)x(a+1)lnx,讨论 h(x)的单调性; () 若函数 f (x) 的导数 f (x) 的两个零点从小到大依次为 x1, x2, 证明: f (x2) 1+2 2 第 6 页(共 24 页) 2020 年山东省高考数学模
13、拟试卷(年山东省高考数学模拟试卷(5) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 8 小题,满分小题,满分 40 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)已知集合 = * | +2 0+,则集合 A 子集的个数为( ) A3 B4 C7 D8 【解答】解: = * | +2 0+ =1,0, 则集合 A 子集的个数为 4, 故选:B 2 (5 分)若复数 z12+i,z2cos+isin(R) ,其中 i 是虚数单位,则|z1z2|的最大值 为( ) A5 1 B5;1 2 C5 + 1 D5:1 2 【解答】解:z12+i,z2cos+isin(R) , z2
14、对应的点在以原点为圆心,以 1 为半径的圆上,z12+i 对应的点为 Z1 (2,1) 如图: 则|z1z2|的最大值为5 + 1 故选:C 3 (5 分)若( 2 2) 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 ( ) A210 B180 C160 D175 【解答】解:若( 2 2) 的展开式中只有第六项的二项式系数5最大,故 n10, 则展开式的通项公式为 Tr+1= 10 (2)r5; 5 2,令 55 2 =0,求得 r2, 第 7 页(共 24 页) 可得展开式中的常数项为 10 2 (2)2180, 故选:B 4 (5 分)区块链作为一种革新的技术,已经被应用于
15、许多领域,包括金融、政务服务、供 应链、版权和专利、能源、物联网等在区块链技术中,若密码的长度设定为 256 比特, 则密码一共有 2256种可能, 因此, 为了破解密码, 最坏情况需要进行 2256次哈希运算 现 在有一台机器,每秒能进行 2.51011次哈希运算,假设机器一直正常运转,那么在最坏 情况下, 这台机器破译密码所需时间大约为 ( ) (参考数据 lg20.3010, lg30.477) A4.51073秒 B4.51065秒 C4.5107秒 D28 秒 【解答】解:设这台机器破译密码所需时间大约为 x 秒, 则:x2.510112256, 两边同时取常用对数得:lg(x2.5
16、1011)lg2256, lgx+lg2.5+lg1011256lg2, lgx+lg5lg2+11256lg2, lgx+1lg2lg2+11256lg2, lgx258lg2122580.3011265.658, x1065.6581065100.658, 而 lg4.5lg9 2 =2lg3lg20.653,100.6584.5, x4.51065, 故选:B 5 (5 分)已知函数 f(x)xsinx+cosx+2020,g(x)是函数 f(x)的导函数,则函数 yg (x)的部分图象是( ) A B C D 【解答】解:因为 f(x)xsinx+cosx+2020, 第 8 页(共
17、24 页) 所以 g(x)f(x)sinx+xcosxsinxxcosx, 可知 g(x)为奇函数,故排除 A,B; 当 0x 2时g(x)0,排除 C, 故选:D 6 (5 分)已知 a0,设函数() = 2020 2020+1(xa,a)的最大值为 M,最小值为 N, 那么 M+N+f(2020)+f(2020)( ) A1 B2 C3 D4 【解答】 解: 易知函数 f (x) 在a, a上单调, 且() + () = 2020 2020+1 + 2020 2020+1 = 2020(2020+1)+2020(2020+1) 2020+2020+2 = 2020+2020+2 2020+
18、2020+2 = 1, M+N+f(2020)+f(2020)2 故选:B 7 (5 分)函数 y= 1的定义域是( ) A B 2 Cx|x= 2 + , Z Dx|x= 2 + 2, 【解答】解:函数 y= 1中, 令 sinx10,得 sinx1, 所以 sinx1, 解得 x= 2 +2k,kZ; 所以函数 y 的定义域为x|x= 2 +2k,kZ 故选:D 8(5 分) 已知数列an的通项公式为 an2n+2, 将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵, 记 bn为数阵从左至右的 n 列,从上到下的 n 行共 n2个数的和,则数列* +的前 2020 项 和为( ) 第 9 页(共 24
19、 页) A1011 2020 B2019 2020 C2020 2021 D1010 2021 【解答】解:由题意,设数列an的前 n 项和为 Sn 数列an的通项公式为 an2n+2, 数列an是以 4 为首项,2 为公差的等差数列 第 1 行的所有项的和即为: a1+a2+anSn4n+ (1) 2 2n2+3n 则第 2 行的所有项的和为: a2+a3+an+1(a1+d)+(a2+d)+(an+d)Sn+nd; 第 3 行的所有项的和为: a3+a4+an+2(a1+2d)+(a2+2d)+(an+2d)Sn+2nd; 第 n 行的所有项的和为: an+an+1+a2n1a1+(n1)
20、d+a2+(n1)d+an+(n1)dSn+(n1) nd; bn(a1+a2+an)+(a2+a3+an+1)+(a3+a4+an+2)+(an+an+1+a2n1) Sn+(Sn+nd)+(Sn+2nd)+Sn+(n1)nd nSn+1+2+(n1)nd n(n2+3n)+ (1) 2 n2 2n2(n+1) = 22(:1) = 1 2(:1) = 1 2( 1 1 :1) 数列* +的前 2020 项和为 第 10 页(共 24 页) 1 1 + 2 2 + + 2020 2020 = 1 2(1 1 2)+ 1 2( 1 2 1 3)+ 1 2( 1 2020 1 2021) = 1
21、 2(1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 2020 1 2021) = 1 2(1 1 2021) = 1010 2021 故选:D 二多选题(共二多选题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 9 (5 分)下列几个命题 若方程 x2+ax+a0 的两个根异号,则实数 a0 函数 = 2 4 + 4 2是偶函数,但不是奇函数; 函数 f(x)x2+2(a1)x+2 在(,4上是减函数,则实数 a 的取值范围是 a 3 方程(m+1)x+4m30 的根 x0满足1x02,则 m 满足的范围1 6 4 3 其中不正确的是( ) A B C D 【解答】解:
22、对于,由方程 x2+ax+a0 的两个根异号,得 2 40 12= 0,则 a0,故 正确; 对于,由 2 4 0 4 2 0,解得 x2, = 2 4 + 4 2 =0(x2) ,该函数 即是奇函数又是偶函数,故错误; 对于,函数 f(x)x2+2(a1)x+2 在(,4上是减函数,则其对称轴 x1a 4,得 a3,故错误; 对于,由(m+1)x+4m30,得 = 3 +4 = 1+ 7 +4,由1x2,得 1 6 m 4 3, 故正确 不正确的是 故选:BC 10 (5 分)下列说法正确的是( ) 第 11 页(共 24 页) A椭圆 2 2 + 2 2 =1 上任意一点(非左右顶点)与左
23、右顶点连线的斜率乘积为 2 2 B过双曲线 2 2 2 2 =1 焦点的弦中最短弦长为2 2 C抛物线 y22px 上两点 A(x1,y1) B(x2,y2) ,则弦 AB 经过抛物线焦点的充要条 件为 x1x2= 2 4 D若直线与圆锥曲线有一个公共点,则该直线和圆锥曲线相切 【解答】解:A正确;设椭圆的左右顶点分别为 A(a,0) ,B(a,0) , 椭圆上除左右顶点以外的任意一点 P(m,n) , kPAkPB= + = 2 22, 又点 P(m,n)在椭圆上, 2 2 + 2 2 = 1, n2(1 2 2 )b2代入,得 kPAkPB= 2 2, B错误;设双曲线 2 2 2 2 =
24、1 右焦点 F(c,0)直线与双曲线右支相交于 A(x1,y1) , B(x2,y2) , 当直线 AB 斜率不存在时,则直线 AB 方程为 xc,则|AB|= 22 当直线 AB 斜率存在时,则直线 AB 方程为 yk(xc) , 联立 2 2 2 2 = 1 = ( ) ,得(b2a2k2)x2+2a2ck2xa2k2c2a2b20 0 1+ 20 120 ,得 k 或 k , 由焦半径公式可得|AB|AF|+|BF|e(x1+x2)2a = 222 222 2a= 222 222 2a= 22 2 2 2 2 22 2a= 22 , 所以当直线 AB 与 x 轴垂直时,|AB|的长最小,
25、即最小值为2 2 特别的当直线 AB 斜率存在且为 0 时,|AB|2a, 第 12 页(共 24 页) 所以|AB|最小值为2 2 或 2a C正确;充分性:当直线 AB 斜率存在时,设直线 AB 的方程为:ykx+b, 由 = + 2= 2 ,得 k2x2+(2bk2p)x+b20, x1x2= 2 2, 又y22px(p0) ,x1x2= 2 4 , 2 2 = 2 4 , k= 2 ,或 k= 2 , 直线 AB 方程为 y= 2 x+b(舍)或 y= 2 x+b, 当 y0 时,x= 2 当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 方程为 xx1,此时 x1x2, 又因为 x1x2=
26、2 4 ,所以 x1x2= 2 x1x2= 2 4 弦 AB 经过焦点 必要性:当直线 AB 经过抛物线的焦点 F( 2,0)时, 设过焦点的直线 AB 的方程为 xmy+ 2,代入 y 22px,可得 y22pmyp20, 由韦达定理得,y1y2p2x1x2= 1222 42 = (12)2 42 = 2 4 弦 AB 经过焦点 x1x2= 2 4 抛物线 y22px 上两点 A(x1,y1) B(x2,y2) ,则弦 AB 经过抛物线焦点的充要条件 为 x1x2= 2 4 D错误;当直线和抛物线的对称轴平行时,满足只有一个交点,但此时直线和抛物线是 相交关系 故选:AC 11 (5 分)如
27、图,在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别为 BB1,CD 的中 点,则( ) 第 13 页(共 24 页) A直线 AD1与 BD 的夹角为 60 B平面 AED平面 A1FD1 C点 C1到平面 AB1D1的距离为 3 2 D若正方体每条棱所在直线与平面 所成的角相等,则 截此正方体所得截面只能是 三角形和六边形 【解答】解:在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别为 BB1,CD 的中点, 根据所求的结论, 建立空间直角坐标系:如图所示: 对于选项 A:连接 B1D1和 AB1,所以AB1D1为等边三角形,所以直线 AD1与 BD 的夹
28、角即为直线 AD1与 B1D1的夹角为 60,故正确 对于选项 B:根据建立的空间直角坐标系:D(0,0,0) ,E(1,1,1 2) ,A(1,0,0) , A1(1,0,1) ,D1(0,0,1) ,F(0,1 2,0) , 在平面AED中, 设该平面的法向量为 = (,), = (0,1, 1 2), = (1,0,0) 所以 = 0 = 0 ,解得: = (0, 1,2), 同理在平面 A1FD1中,设该平面的法向量为 = (,),则:11 = (1,0,0), 1 = (1, 1 2 , 1) 所以:11 = 0 1 = 0 ,解得: = (0,2, 1 2), 由于 = 0, 第
29、14 页(共 24 页) 所以平面 AED平面 A1FD1,故正确 对于选项 C:设点 C1到平面 AB1D1的距离为 h,利用1;11= ;111,整理得 1 3 1 2 1 1 1 = 1 3 1 2 2 2 3 2 , 解得 h= 3 3 故错误 对于选项 D:正方体每条棱所在直线与平面 所成的角相等,则 截此正方体所得截面 只能是位于 8 个顶点的 8 个等边三角形和三角形和加粗线部分的正六边形(如图所示) , 故正确 故选:ABD 12 (5 分)已知函数 f(x)2sin(2x 3)+1,则下列说法正确的是( ) Af( 6 x)2f(x) Bf(x 6)的图象关于 x= 12对称
30、 C若 0x1x2 2,则 f(x1)f(x2) D若 x1,x2,x3 3, 2,则 f(x1)+f(x2)f(x3) 【解答】解:A当 x0 时,f( 6 x)f( 6)2sin2 6 3+12sin0+11, 2f(0)22sin( 3)11+3,此时 f( 6 x)2f(x)不成立,故 A 错误, Bf(x 6)2sin2(x 6) 3+12sin(2x 2 3 )+1, 由 2x 2 3 =k+ 2得 x= 7 12 + 2 ,kZ, 当 k1 时,x= 7 12 2 = 12,即函数关于 x= 12对称,故 B 正确, 第 15 页(共 24 页) C当 0x 2时,02x, 3
31、2x 3 2 3 ,此时函数 f(x)不是增函数,故 C 错 误, D. 3 x 2时, 2 3 2x, 3 2x 3 2 3 , 则当 2x 3 = 3或 2 3 时,函数 f(x)取得最小值为 2sin 3 +1= 3 +1, 当当 2x 3 = 2时,函数 f(x)取得最大值为 2sin 2 +12+13, 则两个最小值之和为3 + 1 + 3 +123 +23,故 D 正确, 故选:BD 三填空题(共三填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分)已知椭圆 2 9 + 2 4 = 1的左、右焦点分别为 F1、F2,若椭圆上的点 P 满足
32、|PF1| 2|PF2|,则|PF1| 4 【解答】解:椭圆 2 9 + 2 4 = 1的左、右焦点分别为 F1、F2, 椭圆上的点 P 满足|PF1|2|PF2|, 因为|PF1|+|PF2|2a6,所以|PF1|4 故答案为:4 14 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a4,b4,c6I 是ABC 内切 圆的圆心,若 = + ,则 x 2 7 ;y 3 7 【解答】解: = + , = + , = + , 2x+y1 且 9x+8y6, = 2 7 , = 3 7 故答案为:2 7, 3 7 15 (5 分)直三棱柱 ABCA1B1C1中,ABACAA12,且 = 2
33、 3 ,若该三棱柱的 所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 20 【解答】解:如图底面三角形 ABC 的外心是 G,GAGBGCr, 在ABC 中 ABAC2,BAC= 2 3 , 第 16 页(共 24 页) 可得 BC= 2+ 2 2 =22+ 22 2 2 2 2 3 =23, 由正弦定理,2r= , 可得ABC 外接圆半径 r= 23 22 3 = 2, 设球心为 O,连接 OG,OB,BG, 在 RTOBG 中,求得球半径 R= 5, 此球的表面积为 4R220 故答案为:20 16 (5 分)已知 F1、F2分别为双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0,0)的左、右焦点,过
34、F1 作直线l与圆x2+y2a2相切于点T, 且直线l与双曲线C的右支交于点P, 若41 = 1 , 则 双曲线 C 的离心率为 5 3 【解答】解:如图, 第 17 页(共 24 页) 由题意可知|OF1|OF2|c,|OT|a,则|F1T|b, 又1 = 41 ,|TP|3b,|F1P|4b, 又|PF1|PF2|2a,|PF2|4b2a, 作 F2MOT,可得|F2M|2a,|TM|b,则|PM|2b 在MPF2中,|2+ |2|2= |2|2,即 4b2+4a2(4b2a)2, 即 c2(2ba)2,可得 2ba+c 又c2a2+b2,化简可得 3c22ac5a20,得 3e22e50
35、, 解得 = 5 3 故答案为:5 3 四解答题(共四解答题(共 6 小题,满分小题,满分 70 分)分) 17 (10 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,; ; = : (1)求角 A 的大小; (2)若 a2,求 b+c 的取值范围 【解答】解: (1)ABC 中,由; ; = :, 利用正弦定理可得:; ; = :, 化为:b2+c2a2bc; 第 18 页(共 24 页) 由余弦定理可得: = 2+22 2 = 1 2,A(0,) ; = 3; (2)在ABC 中,由正弦定理得 3 = = , 又 a2,所以 = 43 3 , = 43 3 = 43 3 (2
36、 3 ), 所以 + = 43 3 + 43 3 (2 3 ) = 43 3 (3 2 + 3 2 ) = 4( + 6); 因为0 2 3 ,所以 6 + 6 5 6 , 所以1 2 ( + 6) 1, 所以 b+c(2,4, 即 b+c 的取值范围是(2,4 18 (12 分)已知数列an的各项都为正数,a12,且+1 = 2 +1 + 1 ()求数列an的通项公式; ()设 bnlg(log2an),其中x表示不超过 x 的最大整数,如0.90,lg991, 求数列bn的前 2020 项和 【解答】解: (I)由题意,且+1 = 2 +1 + 1,即:1 2 an+1an2 2 =0,
37、整理,得(an+1+an) (an+12an)0 数列an的各项都为正数, an+12an0,即 an+12an 数列an是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, an2n ()由(I)知,bnlg(log2an)lg(log22n)lgn, 故 bn= 0,1 10 1,10 100 2,100 1000 3,1000 2020 ,nN* 数列bn的前 2020 项的和为 190+2900+310214953 19 (12 分)四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的菱形,PA面 ABCD,BAD 第 19 页(共 24 页) 120,E,F 分别是 CD,PC 的中点 (1)
38、求证:平面 AEF平面 PAB; (2)M 是 PB 上的动点,EM 与平面 PAB 所成的最大角为 45,求二面角 FAED 的 余弦值 【解答】解: (1)证明:底面 ABCD 是边长为 a 的菱形,BAD120, 故ADE60,DE= 1 2 ,ADa, 由 AE2AD2+DE22ADDEcos60a2+ 1 4 2 2a 1 2 1 2 = 3 4 2, 所以 AE2+DE2AD2,故 RtADE,AEED, 又 ABCD,所以 AEAB, 又 PA平面 ABCD,AE平面 ABCD, 所以 AEPA,又 ABPAA, 所以 AE平面 PAB,又 AE平面 AEF, 故平面 AEF平面
39、 PAB; (2)连接 AM,则由(1)知,AE平面 PAB, 则AME 为直线 EM 与平面 PAB 所成的角, 在 RtAME 中,tanAME= , 当 AM 最小时,即 AMPB 时,AME 取得最大值 45,此时 AEAM, 设 PAx,则由 PAABPBAM 得, ax= 3 2 2+ 2,解得 = 3, 根据题意,以 AB,AE,AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 B (a, 0, 0) , E (0, 3 2 , 0) , C ( 2, 3 2 , 0) , P (0, 0, 3) , F ( 4 , 3 4 , 3 2 ) , = (0, 3 2 ,0), = ( 4, 3 4 , 3 2 ), 第 20 页(共 24 页) 设平面 AEF 的法向量为 = (,), 由 = 3 2 = 0 = 4 + 3 2 + 3 2 = 0 ,得 = (23,0,1), 又平面 AED 的法向量为 = (0,0,1), 由 cos , = 230+0+1 13 = 13 13 , 因为二面角 FAED 为钝角, 所以二面角 FAED 的余弦值为 13 13 20 (12 分)新型冠状病毒属于 属的冠状病毒,人群普遍易感,病毒感染者一般有发热咳 嗽等临床表