1、 第 1 页（共 18 页） 2020 年北京市高考数学模拟试卷（年北京市高考数学模拟试卷（9） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 2 （4 分）若复数 z 满足 z（1i）2i（i 是虚数单位） ，则|z|为（ ） A1 3 B1 2 C1 4 D1 5 3 （4 分）已知定义在m5，12m上的奇函数 f（x） ，满足 x0 时，f（x）2x1，则 f（m）的值为（ ） A15 B7 C3 D15 4
2、（4 分）已知数列an为等差数列，且 a55，则 S9的值为（ ） A25 B45 C50 D90 5 （4 分）在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 B，C 的坐标分别为（2，0） ， （2，0） ， 中线 AD 的长度是 4，则顶点 A 的坐标满足的方程是（ ） Ax2+y216（y0） Bx2+y216（x0） Cx2+y24（y0） Dx2+y24（x0） 6 （4 分）下列不等式中，正确的是（ ） A若 ab，cd，则 a+cb+d B若 ab，则 a+cb+c C若 ab，cd，则 acbd D若 ab，cd，则 7 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三
3、棱锥外接球的表 面积为（ ） A23 B23 4 C64 D64 3 第 2 页（共 18 页） 8 （4 分）已知向量 =（x22x，1） ， =（1，3） ，则“1x3”是“ ， 的夹角为 钝角”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 9 （4 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B C D 10（4分） 函数yf （x） 满足f （x+ 2） f （x） ， 且当x 0， 2时， f （x） = 2， 2， ， 则函数 yf（x）lgx 的零点个数为（ ） A10 B11 C12 D13 二填空题（共二填空题（共 5 小题，
4、满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）已知多项式（x+2）5a5（x+1）5+a4（x+1）4+a3（x+1）3+a2（x+1）2+a1（x+1） +a0，则 a2+a4 12 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，AD1则 的值为 13（5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知双曲线 2 3 2 2 =1 的两条渐近线与直线 x= 3围 成正三角形，则双曲线的离心率为 14 （5 分）函数 f（x）sin（2x 4）的最小正周期为 ，单调递增区间为 15 （5 分）如图，M 点在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 CC1上（不含端点）
5、 ，给出下列五 个命题： 第 3 页（共 18 页） 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，AD1都是异面直线； 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，AD1都相交； 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，AD1都垂直； 过 M 点有无数个平面与直线 AB，AD1都相交； 过 M 点有无数个平面与直线 AB，AD1都平行； 其中真命题是 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 85 分）分） 16 （14 分）如图，四棱锥 PABCD 中，AP平面 PCD，ADBC，DAB= 2，APAB BC= 1 2AD，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O （）求证：PO
6、平面 ABCD； （）求直线 AB 与平面 PBD 所成角的正弦值 17 （14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a7，A60 （1）若ABC 的周长为 20，求 b，c； （2）求ABC 周长的取值范围 18 （14 分）某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的 用时作了记录，得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了 9 个数据作为样本， 得到如图所示的茎叶图（单位：分钟） 若用时不超过 40（分钟） ，则称这个工人为优秀 员工 第 4 页（共 18 页） （1）求这个样本数据的中位数和众数； （2）以这 9 个样本数据中优秀员
7、工的频率作为概率，任意调查 4 名工人，求被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x 分布列和数学期望 19 （14 分）设函数 f（x）x3+3|xa|，aR （1）若 a1，求曲线 yf（x）在 x2 处的切线方程； （2）当 x1，1时，求函数 f（x）的最小值； （3）已知 a0，且对任意的 x1，+） ，都有 f（x+a）f（1+a）15a2lnx，求实数 a 的取值范围 20 （15 分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆” 过椭 圆第一象限内一点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点 Q，当点 Q 在点 P 的上方时，称点 Q 为点 P 的“上辅点” 已知
8、椭圆 E： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）上的点（1， 3 2 ）的上辅 点为（1，3） （1）求椭圆 E 的方程； （2）若OPQ 的面积等于1 2，求上辅点 Q 的坐标； （3）过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T，判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系，并 证明你的结论 21 （14 分）给定数列An，若对任意 m，nN*且 mn，Am+An也是An的项，则称An 为“C 数列” 记数列an的前 n 项和为 Sn 第 5 页（共 18 页） （1）若 Snn2+n，试判断an是否为“C 数列” ，并说明理由； （2）设“C 数列”an满足对任意 nN*，有 n（a1+an
9、）2Sn，若 a16，a2N*且 a2 6，求 a2所有可能的取值； （3）设an为公差为 d（d0）的等差数列，且对任意 nN*，Sn是an中的项，求1 的 取值集合并证明an为“C 数列” 第 6 页（共 18 页） 2020 年北京市高考数学模拟试卷（年北京市高考数学模拟试卷（9） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 40 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2，
10、AB0，1，2 故选：B 2 （4 分）若复数 z 满足 z（1i）2i（i 是虚数单位） ，则|z|为（ ） A1 3 B1 2 C1 4 D1 5 【解答】解：由 z（1i）2i，得 z= (1)2 = 2 = 1 2， |z|= 1 2 故选：B 3 （4 分）已知定义在m5，12m上的奇函数 f（x） ，满足 x0 时，f（x）2x1，则 f（m）的值为（ ） A15 B7 C3 D15 【解答】解：由奇函数的对称性可知，m5+12m0， m4， x0 时，f（x）2x1， 则 f（m）f（4）f（4）15 故选：A 4 （4 分）已知数列an为等差数列，且 a55，则 S9的值为（
11、） A25 B45 C50 D90 【解答】解：数列an为等差数列，且 a55，则 S9= 9(1+9) 2 = 925 2 =9a545， 故选：B 5 （4 分）在平面直角坐标系中，ABC 的顶点 B，C 的坐标分别为（2，0） ， （2，0） ， 中线 AD 的长度是 4，则顶点 A 的坐标满足的方程是（ ） Ax2+y216（y0） Bx2+y216（x0） 第 7 页（共 18 页） Cx2+y24（y0） Dx2+y24（x0） 【解答】解：设 A 的坐标： （x，y） ，由题意可得 B，C 的中点坐标为： （0，0） ，y0 再由椭圆可得：x2+y216， （y0） ； 故选：A
12、 6 （4 分）下列不等式中，正确的是（ ） A若 ab，cd，则 a+cb+d B若 ab，则 a+cb+c C若 ab，cd，则 acbd D若 ab，cd，则 【解答】解：对于 A 选项，若 ab，cd，由不等式的基本性质可得 a+cb+d，A 选项 正确；对于 B 选项，若 ab，则 a+cb+c，B 选项错误；对于 C 选项，取 a2，b1， c2，d3，则 acbd，C 选项错误；对于 D 选项，取 a2，b1，c2，d 3，则 ，D 选项错误 故选：A 7 （4 分）某三棱锥的三视图如图所示，其中主视图是等边三角形，则该三棱锥外接球的表 面积为（ ） A23 B23 4 C64
13、D64 3 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：所以设外接球的球心为 O， 第 8 页（共 18 页） 故：A（2，4，0（ ）B（1，4，3） ，O（1，2，z） ， 由于| | = | |， 所以1 + 4 + 2= 4 + ( 3)2，解得 z= 1 3， 故2= 1 + 4 + 1 3 = 16 3 所以 = 4 16 3 = 64 3 故选：D 8 （4 分）已知向量 =（x22x，1） ， =（1，3） ，则“1x3”是“ ， 的夹角为 钝角”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解： =x22x3（x3）
14、（x+1） ， 当1x3 时， 0，此时 ， 的夹角为钝角或平角，即充分性不成立， 若 ， 的夹角为钝角，则 0，得1x3，即必要性成立， 则“1x3”是“ ， 的夹角为钝角”的必要不充分条件， 故选：B 9 （4 分）函数 f（x）x2+e|x|的图象只可能是（ ） A B 第 9 页（共 18 页） C D 【解答】解：因为对于任意的 xR，f（x）x2+e|x|0 恒成立，所以排除 A，B， 由于 f（0）02+e|0|1，则排除 D， 故选：C 10（4分） 函数yf （x） 满足f （x+ 2） f （x） ， 且当x 0， 2时， f （x） = 2， 2， ， 则函数 yf（x）
15、lgx 的零点个数为（ ） A10 B11 C12 D13 【解答】解：f（x+ 2）f（x） ，函数 f（x）为周期为 2， 根据图象当 x10 时，ylgx1， 当 x= 7 2 10，f（x）最大值为 1， 从 0 到 10，f（x）有前 6 个周期有 11 个交点，第七个周期，没有交点， 所以共有 11 个， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 5 小题，满分小题，满分 25 分，每小题分，每小题 5 分）分） 11 （5 分）已知多项式（x+2）5a5（x+1）5+a4（x+1）4+a3（x+1）3+a2（x+1）2+a1（x+1） +a0，则 a2+a4 15 【解答】解：令 x1
16、，解得 a01 第 10 页（共 18 页） 令 x2 （2+2）5a5+a4a3+a2a1+1 令 x0 可得（0+2）5a+a4+a3+a2+a1+1 +2（a2+a4）30 a2+a415 故答案为：15 12 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB2，AD1则 的值为 3 【解答】解：AB2，AD1， = ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) = 2 2 14 3 故答案为：3 13（5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知双曲线 2 3 2 2 =1 的两条渐近线与直线 x= 3围 成正三角形，则双曲线的离心率为 23 3 【解答】解：双曲线 2 3 2 2
17、 = 1的两条渐近线与直线 = 3围成正三角形， 所以双曲线的渐近线的倾斜角为 30和 150， 所以 3 = 3 3 ，所以 b1， 所以双曲线的离心率为：e= = 2 3 = 23 3 故答案为：23 3 14（5 分） 函数 f （x） sin （2x 4） 的最小正周期为 ， 单调递增区间为 8 + ， 3 8 + 第 11 页（共 18 页） （kZ） 【解答】解：对于函数 f（x）sin（2x 4） ，它的最小正周期为 2 2 =， 令 2k 2 2x 4 2k+ 2， 求得 k 8 xk+ 3 8 ， 可得它的增区间为k 8， k+ 3 8 ， kZ， 故答案为：；k 8，k+
18、3 8 ，kZ 15 （5 分）如图，M 点在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 CC1上（不含端点） ，给出下列五 个命题： 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，AD1都是异面直线； 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，AD1都相交； 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB，AD1都垂直； 过 M 点有无数个平面与直线 AB，AD1都相交； 过 M 点有无数个平面与直线 AB，AD1都平行； 其中真命题是 【解答】解：连接 BC1，AD1，由题意可得 BC1AD1， 所以 ABC1D1共面，MCC1， （不含端点） ，所以 M 不在面 ABC1D1，在面 ABC1D1任取 一点 E
19、 不在直线 AB，AD1，得到的直线 ME 与直线 AB，AD1都是异面直线； 所以不正确； 只有过 A， 即只有 MA 是过 M 点有且只有一条直线与直线 AB， AD1都相交； 所以正确； 第 12 页（共 18 页） 过 M 做面 ABC1D1的垂线垂足为 Q，即仅有一条过 M 点有且只有一条直线与直线 AB， AD1都垂直；所以正确； 过 M 由无数多个平面与面 ABC1D1相交，所以过 M 点有无数个平面与直线 AB，AD1都 相交，所以正确； 而过 M 点仅有一个平面与面 ABC1D1平行，所以过 M 点有无数个平面与直线 AB，AD1 都平行不正确，即不正确； 故答案为： 三解答
20、题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 85 分）分） 16 （14 分）如图，四棱锥 PABCD 中，AP平面 PCD，ADBC，DAB= 2，APAB BC= 1 2AD，E 为 AD 的中点，AC 与 BE 相交于点 O （）求证：PO平面 ABCD； （）求直线 AB 与平面 PBD 所成角的正弦值 【解答】解： （I）证明：由已知 AP平面 PCD，可得 APPC，APCD， 由题意得，ABCD 为直角梯形，如图所示， BC =DE，BCDE 为平行四边形，BECD，APBE 又BEAC，且 ACAPA，BE面 APC， PO平面 APC，BEPO， 在直角梯形中，AC= 2A
21、B= 2AP， AP面 PCD，APPC， PAC 为等腰直角三角形，O 为斜边 AC 上的中点， POAC且 ACBEO，PO平面 ABCD （II）以 O 为原点，分别以 OB，OC，OP 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系 不妨设 BO1，则 A（0，1，0） ，B（1，0，0） ，P （0，0，1） ，D（2，1，0） ， =（1，0，1） ， =（1，1，0） ， =（3，1，0） ， 第 13 页（共 18 页） 设 =（x，y，z）是平面 PBD 的法向量 则 = = 0 = 3 + = 0 ，令 x1，得 =（1，3，1） ， 设直线 AB 与平面 PBD 所成角为 ，
22、 则直线 AB 与平面 PBD 所成角的正弦值为： sin= | | | | | = 222 11 17 （14 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a7，A60 （1）若ABC 的周长为 20，求 b，c； （2）求ABC 周长的取值范围 【解答】解： （1）ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a7，A60 所以 a2b2+c22bccosA，整理得 49b2+c2bc， 由于 a+b+c20，所以 b+c13 故（b+c）23bc49， 由得 b5，c8 或 b8，c5 （2）由于且 a7，A60所以2 = 143 3 ， 第 14 页
23、（共 18 页） 故三角形的周长La+b+c 7+ 143 3 sinB+ 143 3 = 7 + 143 3 ( + ) =7+ 143 3 + (2 3 ) =7+14( + 6) 由于0 2 3 ，所以 6 + 6 5 6 ，整理得1 2 ( + 6) 1 故所以三角形的周长 L（14，21 18 （14 分）某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的 用时作了记录，得到大量统计数据从这些统计数据中随机抽取了 9 个数据作为样本， 得到如图所示的茎叶图（单位：分钟） 若用时不超过 40（分钟） ，则称这个工人为优秀 员工 （1）求这个样本数据的中位数和众数； （
24、2）以这 9 个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查 4 名工人，求被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x 分布列和数学期望 【解答】解： （1）中位数为 43，众数为 47； （2）被调查的 4 名工人中优秀员工的数量 x0，1，2，3，4， 任取一名优秀员工的概率为1 3，故 xB（4， 1 3） ， P（xk）= 4 (1 3) (1 1 3) 4，k0，1，2，3，4， x 的分布列如下： x 0 1 2 3 4 P 16 81 32 81 24 81 8 81 1 81 故 E（x）= 132+224+38+41 81 = 4 3 19 （14 分）设函数 f（x）x3+3|
25、xa|，aR （1）若 a1，求曲线 yf（x）在 x2 处的切线方程； （2）当 x1，1时，求函数 f（x）的最小值； 第 15 页（共 18 页） （3）已知 a0，且对任意的 x1，+） ，都有 f（x+a）f（1+a）15a2lnx，求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）x3+3|x1|，则当 x1 时，f（x）x3+3x3，f （x）3x2+3 所以 f（2）8+6311，f（2）34+315， 则 f（x）在 x2 处的切线方程为：y1115（x2） ，即 15xy190； （2）当 a1 时，f（x）x3+3x3a，则 f（x）3x2+30， 所以
26、f（x）在1，1上单调递增，所以 f（x）minf（1）43a； 当 a1 时，f（x）x33x+3a，则 f（x）3x230， 所以 f（x）在1，1上单调递增，所以 f（x）minf（1）2+3a； 当1a1 时，f（x）= 3 + 3 3，1 3 3 + 3， 1 ， 由可知，函数 f（x）在（1，a）上单调递减，在（a，1）单调递增， 所以 f（x）minf（a）a3， 综上：当 a1 时，f（x）min43a；当1a1 时，f（x）mina3，当 a1 时， f（x）min2+3a； （3）当 a0 时，且对任意的 x1，+） ，都有 f（x+a）f（1+a）15a2lnx， 即对任
27、意 x1 有（x+a）3+3x15a2lna（a+1）330， 设 g（x）（x+a）3+3x15a2lna（a+1）33，则 g（1）0，g（x）3（x+a） 2+3152 ， 设 h（x）g（x）3（x+a）2+3 152 ，因为 a0，x1，所以 h（x）6（x+a） + 152 2 0， 所以 h（x）在1，+）上单调递增， 所以 h（x）h（1） ，即 g（x）g（1）3（1+a）2+315a2（a1） （2a+1） ， 1当 g（1）0 即 0a1 时，g（x）0 恒成立，所以 g（x）在1，+）上单 调递增，此时 g（x）g（1）0 满足题意； 2当 g（1）0 即 a1 时，因
28、为 g（a）12a215a+33（a1） （4a1）0， 且 g（x）在1，+）上单调递增，所以存在唯一的 x01，使得 g（x0）0， 因此当 1xx0时，g（x）0，当 xx0时，g（x）0， 第 16 页（共 18 页） 所以 g（x）在（1，x0）单调递减， （x0，+）上单调递增， 所以 g（x0）g（1）0，不满足题意， 综上，0a1 20 （15 分）如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆” 过椭 圆第一象限内一点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点 Q，当点 Q 在点 P 的上方时，称点 Q 为点 P 的“上辅点” 已知椭圆 E： 2 2 + 2 2 =
29、 1（ab0）上的点（1， 3 2 ）的上辅 点为（1，3） （1）求椭圆 E 的方程； （2）若OPQ 的面积等于1 2，求上辅点 Q 的坐标； （3）过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T，判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系，并 证明你的结论 【解答】解： （1）椭圆 E： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）上的点（1， 3 2 ）的上辅点为（1， 3） ， 辅圆的半径为 = 1 + 3 = 2，椭圆长半轴为 aR2， 将点（1， 3 2 ）代入椭圆方程 2 4 + 2 2 = 1中，解得 b1， 椭圆 E 的方程为 2 4 + 2= 1； （2） 设点 Q（x0，y0） ，
30、则点 P （x0， y1） ， 将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得， 02+ 02= 4，0 2 4 + 12= 1， 故02= 412，即 y02y1， 又= 1 2 0(0 1) = 1 2，则 x0y11， 第 17 页（共 18 页） 将 x0y11 与0 2 4 + 12= 1联立可解得0= 2，则0= 2， 点 Q 的坐标为(2，2)； （3）直线 PT 与椭圆 E 相切，证明如下： 设点 Q（x0，y0） ，由（2）可知，(0， 1 2 0)， 与辅圆相切于点 Q 的直线方程为 0= 0 0 ( 0)，则点( 4 0 ，0)， 直线 PT 的方程为： 0 = 1 20 0
31、4 0 ( 4 0)，整理得 = 0 20 + 2 0， 将 = 0 20 + 2 0与椭圆 2 4 + 2= 1联立并整理可得， 1 02 2 20 02 + 02 02 = 0， 由一元二次方程的判别式= 402 04 402 04 = 0，可知，上述方程只有一个解，故直线 PT 与椭圆 E 相切 21 （14 分）给定数列An，若对任意 m，nN*且 mn，Am+An也是An的项，则称An 为“C 数列” 记数列an的前 n 项和为 Sn （1）若 Snn2+n，试判断an是否为“C 数列” ，并说明理由； （2）设“C 数列”an满足对任意 nN*，有 n（a1+an）2Sn，若 a1
32、6，a2N*且 a2 6，求 a2所有可能的取值； （3）设an为公差为 d（d0）的等差数列，且对任意 nN*，Sn是an中的项，求1 的 取值集合并证明an为“C 数列” 【解答】解： （1）若 Snn2+n，则an为“C 数列” 理由如下： 由 Snn2+n，得 an2n，对任意的 m，nN*，且 mn，都有 am+an2（m+n）am+n， an是“C 数列” （2）n（a1+an）2Sn，（n1） （a1+an1）2Sn1， （n2） ， 由，得 a1+nan（n1）an12an，即 a1+（n2）an（n1）an10， （n 2） ， 则 a1+（n3）an1（n2）an20， （
33、n3） ， 由，得： （n2）an2（n2）an1+（n2）an20， （n3） ， 整理得，an2an1+an20， （n3） ，即 anan1an1an2， （n3） ， 数列an为等差数列， 第 18 页（共 18 页） a16，an6+（n1） （a26） ， an是“C 数列” ，对任意 m，nN*，且 mn，存在 kN*，使得 am+anak， 6+（m1） （a26）+6+（n1） （a26）6+（k1） （a26） ， a26，k= 6 26 + + 1， kN*， 6 26为整数，2 ，且 a26，a261，2，3，6， a27，8，9，12 （3）根据条件，对任意 nN*，
34、存在 kN*，使得 Snak， 即1+ (1) 2 = 1+ ( 1)， d0，对任意 nN*，k1+ (1) 2 +（n1） 1 是正整数， 取 n2，k2+ 1 为正整数，则1 只可能是不小于1 的整数， 当1 = 1 时，k1+ (1) 2 + 1 1 = (3) 2 + 2， 当 n1，2，3 时，k 分别为 1，1，2，均为正整数， 当 n3 时，注意到 n 与 n3 奇偶性相反，则(3) 2 为正整数， k= (3) 2 也是正整数， 当1 时， = 1 + (1) 2 + ( 1) 1 是正整数， 1 的取值集合为 N1， 下面证明an是“C 数列” 设1 = ， （s1，且 sZ） ，则 a1sd， ansd+（n1）d（s+n1）d， 对任意 m，nN*，且 mn，有 m+n3， s1，sZ，rs+m+n1 必为正整数， am+an（s+m1）d+（s+n1）d（2s+m+n2）d， aras+m+n1（2s+m+n2）d，am+anar， 对任意 m，nN*，且 mn，存在 rs+m+n1N*，使得 am+anar， an为“C 数列”
