1、 第 1 页(共 17 页) 2020 年陕西省高考数学(理科)模拟试卷(年陕西省高考数学(理科)模拟试卷(4) 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)已知全集 UR,Ax|x40,Bx|x2,则 A(UB)( ) A2,+) B (2,+) C4,+) D (4,+) 2 (5 分)已知复数 = 5 2 + 5,则|z|( ) A5 B52 C32 D25 3 (5 分)已知集合 Ax|2x2,集合 B 为函数 f(x)lg(mx)的定义域,且 AB R,那么 m 的值可以是( ) A1 B0 C1 D2 4 (5 分)
2、 “m1,2“是“lnm1”成立的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 5 (5 分)古代数字著作九章算术有如下问题: “今有女子善织,日自倍,五日五尺, 问日织几何?”意思是: “一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天 共织布 5 尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺 数不少于 50 尺,该女子所需的天数至少为( ) A7 B8 C9 D10 6 (5 分)设长方体的长、宽、高分别为3、2、a,其顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为( ) A3a2 B6a2 C12a2 D24a2 7 (5
3、分)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示,为了了解该地区中 小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 4%的学生进行调查,则样本容量和抽取 的初中生近视人数分别为( ) 第 2 页(共 17 页) A600,72 B1200,90 C1200,300 D600,80 8 (5 分)若(5 8 ) = 1 6 ,则(2 + 3 4 )的值为( ) A17 18 B 17 18 C18 19 D 18 19 9 (5 分)若 a= 0 ,则二项式(a 1 ) 6 的展开式中含 x 项的系数是( ) A210 B210 C240 D240 10 (5 分)设 l 是直线, 是两个不
4、同的平面,则下列命题为真命题的是( ) A若 l,l,则 B若 l,l,则 C若 ,l,则 l D若 ,l,则 l 11 (5 分)函数() = 2| 21的图象大致为( ) A B C D 12 (5 分)斜率为 2 的直线 l 过双曲线 C: 2 2 2 2 =1(a0,b0)的右焦点,且与双 第 3 页(共 17 页) 曲线的左右两支都相交,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A2,+) B (1,3) C(1,5) D (5,+) 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13(5 分) 若函数() = ,0 + , 0且 f
5、(0) 3, f (1) 4, 则 f (f (3) ) 14 (5 分)记等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a2+a86,则 S9 15 (5 分)计算 lg 1 100 ln +2 1:23的结果是 16(5 分) 已知函数 f (x) 的导函数为 f (x) , 且满足 f (x) 2xf (1) +lnx, 则 f (1) 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12 分)分) 17 (12 分)已知函数() = 4( 2) ( 3) 1 (1)求函数 yf(x)的最小正周期; (2)已知ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c
6、,且 a,b,c 成等比数列,求 f (B)的范围 18 (12 分)高二某班选出甲乙两位学生参加数学素养知识竞赛,在决赛前举行了预赛: (1)若预赛共进行了 12 次测试,甲乙两人成绩分别如表: 甲 58 76 92 67 89 56 85 75 68 75 84 75 乙 85 70 92 81 92 68 73 75 56 65 51 92 完成答题卡中的茎叶图,分别答出甲乙两人成绩的众数,中位数,平均数; 比较两人的方差,S甲 2 与 S乙 2 哪个较大?(只答出结论) 若已经知道决赛成绩至少 92 分才能获奖,你判断选谁参加决赛更合适?请说明理由 (2)若预赛命题组只准备八道题目,每
7、人随机抽出四道题目回答,若至少答对三道题目 者方可参加决赛,已知甲只能答对其中六道题,乙答对每题的概率都为3 4,试求出甲,乙 答对题目数的期望,方差及答对至少三道题目的概率 (结果保留最简分数) 19 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,AD平面 ABP,BCAD,PAB90PA AB2,AD3,BCm,E 是 PB 的中点 ()证明:AE平面 PBC; ()若二面角 CAED 的余弦值是 3 3 ,求 m 的值; ()若 m2,在线段 AD 上是否存在一点 F,使得 PFCE若存在,确定 F 点的位 第 4 页(共 17 页) 置;若不存在,说明理由 20 (12 分)椭圆 C: 2
8、 2 + 2 2 = 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 3 2 , 过焦点 F2且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 ()求椭圆 C 的方程; ()已知点 M(0,1) ,直线 l 经过点 N(2,1)且与椭圆 C 相交于 A,B 两点(异 于点 M) ,记直线 MA 的斜率为 k1,直线 MB 的斜率为 k2,证明:k1+k2为定值,并求出 该定值 21 (12 分)设函数 f(x)(mx)ex(mZ) (1)当 m0 时,求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)当 x0 时,f(x)x+3 恒成立,求整数 m 的最大值 四解答题(共四
9、解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小题分,每小题 10 分)分) 22 (10 分)在极坐标系中,过曲线 L:sin22acos(a0)外的一点(25, + )(其 中 tan2, 为锐角)作平行于 = 4 ( )的直线 l 与曲线分别交于 B,C () 写出曲线 L 和直线 l 的普通方程(以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建系) ; ()若|AB|,|BC|,|AC|成等比数列,求 a 的值 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23 (1)解关于 x 不等式2;1 1; 1 (2)若函数() = 2 6 + ( + 8)的定义域为 R,求实数 k 的取值范围 第
10、5 页(共 17 页) 2020 年陕西省高考数学(理科)模拟试卷(年陕西省高考数学(理科)模拟试卷(4) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题(共一选择题(共 12 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 5 分)分) 1 (5 分)已知全集 UR,Ax|x40,Bx|x2,则 A(UB)( ) A2,+) B (2,+) C4,+) D (4,+) 【解答】解:因为 UR,Bx|x2,所以UBx|x2, 又 Ax|x4, 所以:A(UB)x|x2, 故选:A 2 (5 分)已知复数 = 5 2 + 5,则|z|( ) A5 B52 C32 D25 【解答】解: = 5
11、2 + 5 = 5(2+) 5 + 5 = 1 + 7, | = (1)2+ 72= 52 故选:B 3 (5 分)已知集合 Ax|2x2,集合 B 为函数 f(x)lg(mx)的定义域,且 AB R,那么 m 的值可以是( ) A1 B0 C1 D2 【解答】解:Ax|2x2x|x1, 由 mx0,得 xm, Bx|xm, ABR,m1, 则 m 的值可以是 2 故选:D 4 (5 分) “m1,2“是“lnm1”成立的( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【解答】解:lnm10me, 1,2(0,e) , m1,2“是“lnm1”成立的充分非必要条
12、件, 第 6 页(共 17 页) 故选:A 5 (5 分)古代数字著作九章算术有如下问题: “今有女子善织,日自倍,五日五尺, 问日织几何?”意思是: “一女子善于织布,每天织的布都是前一天的 2 倍,已知她 5 天 共织布 5 尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺 数不少于 50 尺,该女子所需的天数至少为( ) A7 B8 C9 D10 【解答】解:设该女子所需的天数至少为 n 天,第一天织布 a1尺, 则由题意知:5= 1(125) 12 =5,解得 a1= 5 31, = 5 31(12 ) 12 50, 解得 2n311,由 29512,28256,
13、要使织布的总尺数不少于 50 尺,该女子所需的天数至少为 9 天 故选:C 6 (5 分)设长方体的长、宽、高分别为3、2、a,其顶点都在一个球面上,则该球的 表面积为( ) A3a2 B6a2 C12a2 D24a2 【解答】解:设长方体的外接球的半径为 R,则 R= 1 2 (3)2+ (2)2+ 2= 6 2 , 外接球的表面积为:4R2= 4 6 4 2=6a2 故选:B 7 (5 分)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示,为了了解该地区中 小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 4%的学生进行调查,则样本容量和抽取 的初中生近视人数分别为( ) A600,72 B
14、1200,90 C1200,300 D600,80 第 7 页(共 17 页) 【解答】解:由扇形图得样本容量为: n(18500+7500+4000)4%1200, 由扇形图和频率分布直方图得样本容量和抽取的初中生近视人数为: 75004%30%90 故选:B 8 (5 分)若(5 8 ) = 1 6 ,则(2 + 3 4 )的值为( ) A17 18 B 17 18 C18 19 D 18 19 【解答】解:sin(5 8 )sin(3 8 +)= 1 6, cos(2+ 3 4 )122( + 3 8 ) =12 1 36 = 34 36 = 17 18, 故选:A 9 (5 分)若 a
15、= 0 ,则二项式(a 1 ) 6 的展开式中含 x 项的系数是( ) A210 B210 C240 D240 【解答】解:a= 0 = cosx|0 =2 (a 1 ) 6(2 1 ) 6 展开式的通项为 Tr+1(1)r26 rC 6rx3 r 令 3r1 得 r2, 故展开式中含 x 项的系数是 16C62240 故选:C 10 (5 分)设 l 是直线, 是两个不同的平面,则下列命题为真命题的是( ) A若 l,l,则 B若 l,l,则 C若 ,l,则 l D若 ,l,则 l 【解答】解:由 l 是直线, 是两个不同的平面,知: 在 A 中,若 l,l,则 与 相交或平行,故 A 错误
16、; 在 B 中,若 l,l,则由面面垂直的判定定理得 ,故 B 正确; 在 C 中,若 ,l,则 l 与 相交、平行或 l,故 C 错误; 在 D 中,若 ,l,则 l 与 相交、平行或 l,故 D 错误 故选:B 11 (5 分)函数() = 2| 21的图象大致为( ) 第 8 页(共 17 页) A B C D 【解答】解:函数的定义域为x|x1,易知函数 f(x)为偶函数,其图象关于 y 轴对 称,故排除 CD; 又(1 2) = 2 3 4 0,故排除 A 故选:B 12 (5 分)斜率为 2 的直线 l 过双曲线 C: 2 2 2 2 =1(a0,b0)的右焦点,且与双 曲线的左右
17、两支都相交,则双曲线的离心率 e 的取值范围是( ) A2,+) B (1,3) C(1,5) D (5,+) 【解答】解:依题意,斜率为 2 的直线 l 过双曲线 C: 2 2 2 2 =1 的右焦点 且与双曲线的左右两支分别相交, 结合图形分析可知,双曲线的一条渐近线的斜率 必大于 2,即 b2a, 第 9 页(共 17 页) 因此该双曲线的离心率 e= = 2+2 2 =1 + 2 2 1 + 4 = 5 故选:D 二填空题(共二填空题(共 4 小题,满分小题,满分 20 分,每小题分,每小题 5 分)分) 13 (5 分) 若函数() = ,0 + , 0且 f (0) 3, f (1
18、) 4, 则 f (f (3) ) 1 【解答】解:函数() = ,0 + , 0且 f(0)3,f(1)4, f(0)a0+b3,解得 b2, f(1)a 1+b4,解得 a=1 2, f(3)a 3+b23+210 f(f(3) )f(10)lg101 故答案为:1 14 (5 分)记等差数列an的前 n 项和为 Sn,若 a2+a86,则 S9 27 【解答】解:由等差数列的性质可得,a2+a8a1+a96, 则 S9= 9(1+9) 2 =27 故答案为:27 15 (5 分)计算 lg 1 100 ln +2 1:23的结果是 7 2 【解答】解:原式(2) 1 2 + 226= 5
19、 2 +6= 7 2, 故答案为:7 2 16 (5 分)已知函数 f(x)的导函数为 f(x) ,且满足 f(x)2xf(1)+lnx,则 f(1) 第 10 页(共 17 页) 1 【解答】解:f(x)2xf(1)+lnx, f(x)2f(1)+ 1 , f(1)2f(1)+1, f(1)1 故答案为:1 三解答题(共三解答题(共 5 小题,满分小题,满分 60 分,每小题分,每小题 12 分)分) 17 (12 分)已知函数() = 4( 2) ( 3) 1 (1)求函数 yf(x)的最小正周期; (2)已知ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a,b,c 成等比数列
20、,求 f (B)的范围 【解答】解: (1)() = 4(1 2 3 2 ) 1 = (1 22) 23 = 2 32 = 2(2 + 6) 可得:函数 yf(x)的最小正周期 = 2 2 (2)因为 a,b,c 成等比数列,可得:b2ac, 在ABC 中,由余弦定理有: = 2+22 2 = 2+2 2 2 2 = 1 2, 又由 0B,得0 3 又() = 2(2 + 6), 由0 3,得2 + 6 ( 6 , 5 6 ), 则(2 + 6) 1 2,1, 故() = 2(2 + 6) 2, 1, 故 f(B)的取值范围是2,1 18 (12 分)高二某班选出甲乙两位学生参加数学素养知识竞
21、赛,在决赛前举行了预赛: (1)若预赛共进行了 12 次测试,甲乙两人成绩分别如表: 甲 58 76 92 67 89 56 85 75 68 75 84 75 第 11 页(共 17 页) 乙 85 70 92 81 92 68 73 75 56 65 51 92 完成答题卡中的茎叶图,分别答出甲乙两人成绩的众数,中位数,平均数; 比较两人的方差,S甲 2 与 S乙 2 哪个较大?(只答出结论) 若已经知道决赛成绩至少 92 分才能获奖,你判断选谁参加决赛更合适?请说明理由 (2)若预赛命题组只准备八道题目,每人随机抽出四道题目回答,若至少答对三道题目 者方可参加决赛,已知甲只能答对其中六道
22、题,乙答对每题的概率都为3 4,试求出甲,乙 答对题目数的期望,方差及答对至少三道题目的概率 (结果保留最简分数) 【解答】解: (1)预赛共进行了 12 次测试,由甲乙两人成绩表做出茎叶图如下: 甲的众数为 75,中位数为 75, 平均数为甲= 1 12(56+58+67+68+75+75+75+76+84+85+89+92)75 乙的众数为 92,中位数 74, 平均数为乙= 1 12(51+56+65+68+70+73+75+81+85+92+92+92)75 S甲 2S 乙 2 若已经知道决赛成绩 92 分以上才能获奖,选乙参加决赛更适合 理由如下: 乙 92 分以上的概率为 P乙=
23、3 12 = 1 4, 甲 92 分以上的概率为 P甲= 1 12, P乙P甲, 派乙参加决赛获奖概率大,故派乙较合适 (2)设甲答对题目数为 X,乙答对题目数为 Y, 由 X 的可能取值为 2,3,4, P(X2)= 6 2 2 2 8 4 = 3 14, P(X3)= 6 3 2 1 8 4 = 4 7, P(X4)= 6 4 2 0 8 4 = 3 14, X 的分布列为: X 2 3 3 第 12 页(共 17 页) P 3 14 4 7 3 14 EX= 2 3 14 + 3 4 7 + 4 3 14 =3, DX(23)2 3 14 + (3 3)2 4 7 + (4 3)2 3
24、14 = 3 7, P(X3)= 4 7 + 3 14 = 11 14 Y 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 YB(4,3 4) , EY4 3 4 = 3,DY= 4 3 4 1 4 = 3 4, P(Y3)= 4 3(3 4) 3(1 4) + 4 4(3 4) 4 = 189 256 19 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,AD平面 ABP,BCAD,PAB90PA AB2,AD3,BCm,E 是 PB 的中点 ()证明:AE平面 PBC; ()若二面角 CAED 的余弦值是 3 3 ,求 m 的值; ()若 m2,在线段 AD 上是否存在一点 F,使得 PFCE若存在,确定
25、 F 点的位 置;若不存在,说明理由 【解答】解: ()证明:因为 AD平面 PAB,BCAD, 所以 BC平面 PAB 第 13 页(共 17 页) 又因为 AE平面 PAB,所以 AEBC 在PAB 中,PAAB,E 是 PB 的中点,所以 AEPB 又因为 BCPBB,所以 AE平面 PBC ()解:因为 AD平面 PAB,所以 ADAB,ADPA 又因为 PAAB,所以,如图建立空间直角坐标系 Axyz 则 A(0,0,0) ,B(0,2,0) ,C(0,2,m) ,E(1,1,0) ,P(2,0,0) ,D(0,0, 3) , = (0,2,), = (1,1,0) 设平面 AEC
26、的法向量为 =(x,y,z) 则 = 0 = 0 即 2 + = 0, + = 0. 令 x1,则 y1, = 2 ,于是 =(1,1, 2 ) 因为 AD平面 PAB,所以 ADPB又 PBAE,所以 PB平面 AED 又因为 = (2,2,0),所以 取平面 AED 的法向量为 =(1,1,0) 所以|cos ,|=| | | |= 3 3 ,即 |;1;1| 22: 4 2 = 3 3 ,解得 m21 又因为 m0,所以 m1 ()解:结论:不存在理由如下: 证明:设 F(0,0,t) (0t3) 当 m2 时,C(0,2,2). = (2,0,), = (1, 1, 2) 由 PFCE
27、 知, = 0,22t0,t1这与 0t3 矛盾 所以,在线段 AD 上不存在点 F,使得 PFCE 第 14 页(共 17 页) 20 (12 分)椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,离心率为 3 2 , 过焦点 F2且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 ()求椭圆 C 的方程; ()已知点 M(0,1) ,直线 l 经过点 N(2,1)且与椭圆 C 相交于 A,B 两点(异 于点 M) ,记直线 MA 的斜率为 k1,直线 MB 的斜率为 k2,证明:k1+k2为定值,并求出 该定值 【解答】解: ()将 xc 代入方程 2 2
28、+ 2 2 = 1中, 由 a2c2b2可得2= 4 2, 所以弦长为2 2 , 所以 2 2 = 1 = 3 2 2= 2+ 2 , 解得 = 2 = 1, 所以椭圆 C 的方程为: 2 4 + 2= 1; ()若直线 l 的斜率不存在,则直线的方程为 x2, 且直线与椭圆只有一个交点,不符合题意; 设直线 l 的斜率为 k,若 k0,则直线 l 与椭圆只有一个交点,不符合题意,故 k0; 所以直线 l 的方程为 y1k(x2) ,即 ykx2k+1, 直线 l 的方程与椭圆的标准方程联立得: 2 4 + 2= 1, = 2 + 1 , 第 15 页(共 17 页) 消去 y 得: (1+4
29、k2)x28k(2k1)x+16k216k0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则1+ 2= 8(21) 1+42 ,12= 16216 1+42 , 1= 1+1 1 ,2= 2+1 2 , k1+k2= 1+1 1 + 2+1 2 = (1+1)2+(2+1)1 12 = (12+1)2+(22+1)1 12 = 212+(22)2+(22)1 12 2k (22)(1+2) 12 , 把1+ 2= 8(21) 1+42 ,12= 16216 1+42 代入上式, 得1+ 2= 2 (22)8(21) 16216 = 1; 命题得证 21 (12 分)设函数 f(x)(mx)
30、ex(mZ) (1)当 m0 时,求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)当 x0 时,f(x)x+3 恒成立,求整数 m 的最大值 【解答】解: (1)当 m0 时,f(x)xex,f(x)exxex(x+1)ex, 所以 kf(1)2e,因为 f(1)e, 所以切线方程为 y+e2e(x1) ,整理得:2ex+ye0 (2) (mx)exx+3,因为 ex0,所以 +3 + (x0)恒成立, 设() = + +3 ,则() = 1 + (+3) 2 = 1 + 2 = (+2) , 设 s(x)ex(x+2) ,则 s(x)ex10, 所以 s (x) 在 (0, +)
31、 上单调递增, 又(1) = 30,(3 2) = 3 2 7 2 = 3 3.520, 所以存在0 (1, 3 2)使得 s(x0)0,x(1,x0)时,s(x)0;x(x0,+)时, s(x)0, 所以 h(x)在(1,x0)上单调递减, (x0,+)上单调递增, 第 16 页(共 17 页) 所以()= (0) = 0+ 0+3 0 , 又(0) = 0,0 0 2 = 0,0= 0+ 2, 所以()= (0) = 0+ 0+3 0 = 0+ 0+3 0+2 = 0+ 1 + 1 0+2, 当0 (1, 3 2)时,h(x0)= 1 1 (0+2)2 0,所以 h(x0)在(1, 3 2
32、)上单调递增, 所以(1)(0)(3 2),即 7 3 (0) 39 14, 因为 mZ,所以 m2,所以 m 的最大值为 2 四解答题(共四解答题(共 1 小题,满分小题,满分 10 分,每小题分,每小题 10 分)分) 22 (10 分)在极坐标系中,过曲线 L:sin22acos(a0)外的一点(25, + )(其 中 tan2, 为锐角)作平行于 = 4 ( )的直线 l 与曲线分别交于 B,C () 写出曲线 L 和直线 l 的普通方程(以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建系) ; ()若|AB|,|BC|,|AC|成等比数列,求 a 的值 【解答】解: ()根据极坐标的转化可得,
33、曲线的方程为: 2 2 = 2 即 y 22ax,A (2,4) 直线 L 的方程为 y+4x+2 即 yx2(3 分) ()直线 l 的参数方程为 = 2 + 2 2 = 4 + 2 2 (t 为参数) , 代入 y22ax 得到2 22(4 + ) + 8(4 + ) = 0,则有1+ 2= 22(4 + ),1 2= 8(4+ ) 因为|BC|2|AB|AC|,所以(t1t2)2(t1+t2)24t1t2t1t2 解得 a1(7 分) 五解答题(共五解答题(共 1 小题)小题) 23 (1)解关于 x 不等式2;1 1; 1 (2)若函数() = 2 6 + ( + 8)的定义域为 R,求实数 k 的取值范围 【解答】解: (1)不等式2;1 1; 1化为2;1 1; 10, 即3;2 ;1 0, 解得 x 2 3,或 x1, 第 17 页(共 17 页) 不等式的解集为x|x 2 3,或 x1; (2)若函数() = 2 6 + ( + 8)的定义域为 R, 则 kx26kx+(k+8)0 恒成立, 当 k0 时,不等式化为 80,显然成立; 当 k0 时,应满足0 0, 即0 362 4( + 8) 0,解得 0k1; 综上知,实数 k 的取值范围是 0k1