1、 第 1 页（共 16 页） 2020 年山西省高考数学（文科）模拟试卷（年山西省高考数学（文科）模拟试卷（3） 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足12 = 1 + ，则|z|（ ） A 5 2 B32 2 C 10 2 D3 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 3 （5 分）如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分 的高表示喜欢该项运动的频率已知该年级男生女生
2、各 500 名（假设所有学生都参加了 调查） ，现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取 32 人，则抽取的男生人 数为（ ） A8 B12 C16 D24 4 （5 分）设 a2 1 3，b（1 4） 2 3，clog21 2，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 5 （5 分）某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如 图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在90，100内的人数分别为（ ） A20，2 B24，4 C25，2 D25，4 6 （5 分）函数 f（x）sinx+x1 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C
3、第三象限 D第四象限 第 2 页（共 16 页） 7 （5 分）如果执行如图的程序框图，那么输出的 S（ ） A402 B440 C441 D483 8 （5 分）已知 sin2cos， 2 ，kZ，则 cos2（ ） A3 4 B 3 4 C1 2 D 1 2 9 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 10（5 分） 已知双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0)的一条渐近线与直线 3x2y50 垂直， 则此双曲线的离心率为（ ） A 13 3 B 13 2 C 15 3 D 15 2 11 （5 分）在ABC 中，内角 A，B
4、，C 所对的边分别是 a，b，c已知 A120，a7， c5，则 = A8 5 B5 8 C5 3 D3 5 12 （5 分）已知抛物线 M：x212y 和椭圆 N： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，直线 l 与抛物线 M 相切，其倾斜角为 4，l 过椭圆 N 的右焦点 F，与椭圆相交于 A、B 两点，|AF|= 2|BF|， 则椭圆 N 的离心率为（ ） A1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13（5 分） 已知函数 f （x） lnx， 0abc1， 则() ， () ， () 的大
5、小关系是 第 3 页（共 16 页） 14 （5 分）若数列an是正项数列，且1+2+ + = 2+ 3，则1 2 + 2 3 + 3 4 + + +1 = 15 （5 分）已知 0x2，则 f（x）cos2x+2sinx1 的最大值为 16 （5 分）在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为 4 的菱形，ABC60，AC BDO，AC1A1O，则三棱锥 A1ABD 的外接球的表面积为 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）为了解某地区某种农产品的年产量 x（单位：吨）对价格 y（单位：千元/吨） 和利润
6、z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表： x 1 2 3 4 5 y 7 6 5 4 2 （1）求 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ； （2）若每吨该农产品的成本为 2 千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少 时，年利润 z 取到最大值？（保留两位小数） 参考公式： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ， = 18 （12 分）设an是公比为正数的等比数列 a12，a3a2+4 （）求an的通项公式； （）设 anbn= 2 2+，求证：数列bn的前 n 项和 Tn1 19 （12 分）如图所示，在三棱锥 ABCD 中，ABD 与BCD 都是边
7、长为 2 的等边三角 形，E、F、G、H 分别是棱 AB、AD、CD、BC 的中点 （1）证明：四边形 EFGH 为矩形； （2）若平面 ABD平面 BCD，求点 B 到平面 EFGH 的距离 20 （12 分）过点（0，2）的直线 l 与抛物线 C：x22py（p0）交于 A，B 两点，且 OA OB（O 为坐标原点） 第 4 页（共 16 页） （1）求抛物线 C 的方程； （2）在 y 轴上是否存在定点 M，使得OMAOMB？并说明理由 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxax22x （I）若函数 f（x）在 x1 4，2内单调递减，求实数 a 的取值范围； （II）当 a= 1
8、4时，关于 x 的方程 f（x）= 1 2x+b 在1，4上恰有两个不相等的实数根， 求实数 b 的取值范围 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程； 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标； （2）设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值
9、 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|2|x| （1）求不等式 f（x）2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a+b+cm，求证：a2+b2+c23 第 5 页（共 16 页） 2020 年山西省高考数学（文科）模拟试卷（年山西省高考数学（文科）模拟试卷（3） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 12 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 5 分）分） 1 （5 分）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足12 = 1 + ，则|z|（ ） A 5 2 B32 2 C 10 2 D3 【
10、解答】解：由12 =1+i，得 z= 12 1+ = (12)(1) (1+)(1) = 1 2 3 2， |z|=( 1 2) 2+ (3 2) 2 = 10 2 故选：C 2 （5 分）已知集合 A0，1，2，3，集合 Bx|x|2，则 AB（ ） A0，3 B0，1，2 C1，2 D0，1，2，3 【解答】解：A0，1，2，3，Bx|2x2， AB0，1，2 故选：B 3 （5 分）如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分 的高表示喜欢该项运动的频率已知该年级男生女生各 500 名（假设所有学生都参加了 调查） ，现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式
11、抽取 32 人，则抽取的男生人 数为（ ） A8 B12 C16 D24 【解答】解：由等高条形图的女生喜欢篮球运动的频率为 0.2， 男生喜欢篮球运动的频率为 0.6， 从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取 32 人， 则抽取的男生人数为：32 0.6 0.2+0.6 =24 第 6 页（共 16 页） 故选：D 4 （5 分）设 a2 1 3，b（1 4） 2 3，clog21 2，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dbca 【解答】解：a2 1 3201，0b（1 4） 2 3(1 4) 0 = 1，clog21 2 log210， abc 故选：A 5 （5 分）某校高
12、二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如 图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在90，100内的人数分别为（ ） A20，2 B24，4 C25，2 D25，4 【解答】解：由频率分布直方图可知，组距为 10，50，60）的频率为 0.008100.08， 由茎叶图可知50， 60） 的人数为 2， 设参加本次考试的总人数为 N， 则， 所以 N= 2 0.08 =25， 根据频率分布直方图可知90，100内的人数与50，60）的人数一样，都是 2， 故选：C 6 （5 分）函数 f（x）sinx+x1 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三
13、象限 D第四象限 【解答】解：f（x）sinx+x1 f（x）cosx+10，函数 f（x）sinx+x1 在 R 上是单调增函数， 且 f（x）sinx+x1 的零点在原点的右侧，如图 函数 f（x）sinx+x1 的图象不经过第二象限 故选：B 第 7 页（共 16 页） 7 （5 分）如果执行如图的程序框图，那么输出的 S（ ） A402 B440 C441 D483 【解答】解：由框图可知，该程序求的是首项为 3，公差为 2 的等差数列前 20 项的和， 最后再加上 1 故20= 3 20 + 2019 2 2 =440 故输出的 SS20+1441 故选：C 8 （5 分）已知 si
14、n2cos， 2 ，kZ，则 cos2（ ） A3 4 B 3 4 C1 2 D 1 2 【解答】解：sin2cos， 2 ，kZ， 2sincoscos，cos0， sin= 1 2， cos212sin212（1 2） 2=1 2 故选：C 第 8 页（共 16 页） 9 （5 分）已知 ， 均为单位向量，若 ， 夹角为2 3 ，则| | =（ ） A7 B6 C5 D3 【解答】解：| | = | | = 1， ， = 2 3 ， ( )2= 2 2 + 2 = 1 2 1 1 ( 1 2) + 1 =3， | | = 3 故选：D 10（5 分） 已知双曲线 C： 2 2 2 2 =
15、1(0)的一条渐近线与直线 3x2y50 垂直， 则此双曲线的离心率为（ ） A 13 3 B 13 2 C 15 3 D 15 2 【解答】解：双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0)的一条渐近线：y= ，与直线 3x 2y50 垂直 可得： 3 2 = 1，可得 3a2b，所以 9a24b24c24a2，可得 13a24c2， 可得 e= 13 2 故选：B 11 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知 A120，a7， c5，则 = A8 5 B5 8 C5 3 D3 5 【解答】解：A120，a7，c5， 由余弦定理可得：72b2+522b5cos1
16、20，整理可得：b2+5b240， 解得：b3 或8（舍去） 由正弦定理及比例的性质可得： = = 3 5 故选：D 12 （5 分）已知抛物线 M：x212y 和椭圆 N： 2 2 + 2 2 =1（ab0） ，直线 l 与抛物线 M 相切，其倾斜角为 4，l 过椭圆 N 的右焦点 F，与椭圆相交于 A、B 两点，|AF|= 2|BF|， 则椭圆 N 的离心率为（ ） 第 9 页（共 16 页） A1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 【解答】解：设直线 l 与抛物线 M 相切于点 P（x0，y0） ，由 x212y 得= 1 6 ， 由已知得= 1 6 0= 4 = 1，得 x06，
17、y03，所以直线 l 为 y3x6， 即 yx3，得 F（3，0） ，得 c3， 由|AF|= 2|BF|，设 BF= 2，A 的横坐标：32t，B 的横坐标 3+t， 则 AF2t，所以 AFae（32t）2t，（利用焦半径公式求解的结果） BFae（3+t）= 2t， 消去 t， 2+ 22 = 1，可得2 = 2 2， 解得 e= 2 2 故选：B 二填空题（共二填空题（共 4 小题，满分小题，满分 20 分，每小题分，每小题 5 分）分） 13 （5 分）已知函数 f（x）lnx，0abc1，则() ，() ，() 的大小关系是 () () () 【解答】解：函数 f（x）lnx，0a
18、bc1， 设 g（x）= () = ， g（x）= 1 2 ， 可得 0xe 时，g（x）0，g（x）递增， 由 0abc1，可得 g（a）g（b）g（c） ， 即() () () 故答案为：() () () 14 （5 分）若数列an是正项数列，且1+2+ + = 2+ 3，则1 2 + 2 3 + 3 4 + + +1 = 2n2+6n 【解答】解：由1+2+ + = 2+ 3， 令 n1，得1= 4，a116 第 10 页（共 16 页） 当 n2 时，1+2+ + 1= ( 1)2+ 3( 1) 与已知递推式作差，得= (2+ 3) ( 1)2 3( 1) = 2 + 2 = 4( +
19、 1)2， 当 n1 时，a1适合上式， = 4( + 1)2， 则 +1 = 4 + 4 1 2 + 2 3 + 3 4 + + +1 =4（1+2+n）+4n4 (+1) 2 + 4 =2n2+6n 故答案为：2n2+6n 15 （5 分）已知 0x2，则 f（x）cos2x+2sinx1 的最大值为 1 【解答】解：f（x）1sin2x+2sinx1sin2x+2sinx，x0，2； 令 asinx，则 f（a）a2+2a，a1，1， 所以 f（a）2a+20，故 f（a）在1，1上单调递增， 所以当 a1 时 f（a）取最大值，则 f（a）maxf（1）1+21，即当 x= 2 时，f
20、（x） 最大值为 1 故答案为：1 16 （5 分）在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为 4 的菱形，ABC60，AC BDO，AC1A1O，则三棱锥 A1ABD 的外接球的表面积为 72 【解答】解：如图，在底面菱形 ABCD 中，由 ABBC4，ABC60，可得 AB ACAD4， 则 C 为ABD 外接圆的圆心，CC1底面 ABD，取 CC1中点 Q，则 Q 为三棱锥 A1 ABD 外接球的球心， 由 AC1A1O，可得A1AC1C1AC， 设 AA1a，由A1AC1A1OA，得 tanA1AC1tanA1OA， 则4 = 2，即 a22 QC= 2，则三棱锥 A1ABD
21、 的外接球的半径满足2= 42+ (2)2= 18 三棱锥 A1ABD 的外接球的表面积为 4R272 故答案为：72 第 11 页（共 16 页） 三解答题（共三解答题（共 5 小题，满分小题，满分 60 分，每小题分，每小题 12 分）分） 17 （12 分）为了解某地区某种农产品的年产量 x（单位：吨）对价格 y（单位：千元/吨） 和利润 z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表： x 1 2 3 4 5 y 7 6 5 4 2 （1）求 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ ； （2）若每吨该农产品的成本为 2 千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少 时，年利润
22、z 取到最大值？（保留两位小数） 参考公式： = =1 ()() =1 ()2 = =1 =1 22 ， = 【解答】解： （1） = 1 5（1+2+3+4+5）3， = 1 5（7+6+5+4+2）4.8 5 =1 =60， 5 =1 2=55， = 60534.8 5559 = 1.2， =4.8+1.238.4 y 关于 x 的线性回归方程为 = 1.2x+8.4 （2）zx（1.2x+8.4）2x1.2x2+6.4x1.2（x 8 3） 2+128 15 ， 当 x= 8 3 2.67 时，利润 z 取得最大值 18 （12 分）设an是公比为正数的等比数列 a12，a3a2+4 （
23、）求an的通项公式； （）设 anbn= 2 2+，求证：数列bn的前 n 项和 Tn1 【解答】解： （）设an是公比为 q 的等比数列， （q0） ， a12，a3a2+4，可得 2q22q+4， 解得 q2，则 an22n 12n，nN； 第 12 页（共 16 页） （）证明：anbn= 2 2+ =2nbn， 则 bn= 1 2+ = 1 1 +1， 可得前 n 项和 Tn1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 1 +1 1 1 +1， 由 1 +1 0，可得 Tn1 19 （12 分）如图所示，在三棱锥 ABCD 中，ABD 与BCD 都是边长为 2 的等边三角 形，E、F、G
24、、H 分别是棱 AB、AD、CD、BC 的中点 （1）证明：四边形 EFGH 为矩形； （2）若平面 ABD平面 BCD，求点 B 到平面 EFGH 的距离 【解答】证明： （1）由于 E、F 为 AD，AB 的中点， 则 EFBD，EF= 1 2BD， 由于 G、H 为 CD，BC 的中点， 则 GHBD，GH= 1 2BD， 即有 EFGH，且 EFGH， 则四边形 EFGH 为平行四边形， 取 BD 的中点 M，连接 AM，CM， 由于三角形 ABD 和三角形 CBD 均为等边三角形， 则 AMBD，CMBD， 则 BD平面 ACM，则 BDAC， 则由 EFBD，EHAC， 则 EFE
25、H，则四边形 EFGH 为矩形 解： （2）以 M 为原点，MB，MC，MA 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（1，0，0） ，D（1，0，0） ，A（0，0，3） ，C（0，3，0） ， 第 13 页（共 16 页） E（1 2 ，0， 3 2 ） ，F（ 1 2 ，0， 3 2 ） ，H（1 2 ， 3 2 ，0） ， =（1 2 ，0， 3 2 ） ， =（1，0，0） ， =（0， 3 2 ， 3 2 ） ， 设平面 EFGH 的法向量 =（x，y，z） ， 则 = = 0 = 3 2 3 2 = 0 ，取 y1，得 =（0，1，1） ， 点 B 到平面 E
26、FGH 的距离 d= | | | | = 3 2 2 = 6 4 20 （12 分）过点（0，2）的直线 l 与抛物线 C：x22py（p0）交于 A，B 两点，且 OA OB（O 为坐标原点） （1）求抛物线 C 的方程； （2）在 y 轴上是否存在定点 M，使得OMAOMB？并说明理由 【解答】解： （1）设直线 l：ykx+2，A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立 = + 2 2= 2 得 x22pkx4p0， 则1 + 2= 2 12= 4 ，所以 y1y2（kx1+2） （kx2+2）k2x1x2+2k（x1+x2）+44， 由 OAOB 得 = 0，x1x2+y1y20，
27、 4p+40，p1， 所以抛物线 C 的方程为 x22y （2）假设存在满足条件的点 M（0，t） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 第 14 页（共 16 页） 由（1）知1 + 2= 2 12= 4 ，若OMAOMB，则 kMA+kMB0， 1 1 + 2 2 = (1)2+(2)1 12 = (1+2)2+(2+2)1 12 = 212+(2)(1+2) 12 = 8+2(2) 4 = (2+) 2 =0， 显然 k0， t2， 存在 M（0，2）满足条件 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxax22x （I）若函数 f（x）在 x1 4，2内单调递减，求实数 a 的
28、取值范围； （II）当 a= 1 4时，关于 x 的方程 f（x）= 1 2x+b 在1，4上恰有两个不相等的实数根， 求实数 b 的取值范围 【解答】解： （）f（x）= 1 2ax2= 222+1 （1 分） 由题意 f（x）0 在 x1 4，2时恒成立，即 2 12 2 = (1 1)2 1 在 x1 4，2时恒成立，即2 ( 1 1)2 1，（4 分） 当 x= 1 4时，( 1 1)2 1取最大值 8， 实数 a 的取值范围是 a4（6 分） （）当 a= 1 4时，() = 1 2 + 可变形为 1 4 2 3 2 + = 0 令() = 1 4 2 3 2 + (0)， 则()
29、= (2)(1) 2 （8 分） 列表如下： x 1 （1，2） 2 （2，4） 4 g（x） 0 + g（x） 5 4 极小值 2ln2b2 g（x）极小值g（2）ln2b2，(1) = 5 4，（10 分） 第 15 页（共 16 页） 又 g（4）2ln2b2， 方程 g（x）0 在1，4上恰有两个不相等的实数根， (1) 0 (2)0 (4) 0 ，（11 分） 得2 2 5 4（12 分） 四解答题（共四解答题（共 1 小题，满分小题，满分 10 分，每小题分，每小题 10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 = 1 + = （ 为参数） 以
30、坐 标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 1，直线 l 的极坐标方程为 = 4 ( ) （1）求：曲线 C1的普通方程； 曲线 C2与直线 l 交点的直角坐标； （2）设点 M 的极坐标为(6， 3)，点 N 是曲线 C1 上的点，求MON 面积的最大值 【解答】解： （1）因为 = 1 + = ，又 sin2+cos21，所以（x1）2+y21， 即曲线 C1的的普通方程为（x1）2+y21； 由 2x2+y2得曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y21，又直线 l 的直角坐标方程为 xy 0， 所以 2 + 2= 1 = 0 1= 2 2 1= 2 2
31、 或 2= 2 2 2= 2 2 ， 所以曲线 C2与直线 l 的交点的直角坐标为( 2 2 ， 2 2 )和( 2 2 ， 2 2 ) （2） 设 N （， ） ， 又由曲线 C1的普通方程为 （x1） 2+y21 得其极坐标方程 2cos MON的 面 积 = 1 2| | = 1 2 |6( 3 )| = |6( 3 )| = |3( 3 2) + 33 2 | = |3(2 + 6) + 33 2 | 所以当 = 23 12 或 = 11 12 时，()= 3 + 33 2 五解答题（共五解答题（共 1 小题）小题） 23已知函数 f（x）|x3|2|x| （1）求不等式 f（x）2
32、的解集； （2）若 f（x）的最大值为 m，正数 a，b，c 满足 a+b+cm，求证：a2+b2+c23 第 16 页（共 16 页） 【解答】解： （1）f（x）|x3|2|x|，f（x）2， 当 x0 时，f（x）|x3|2|x|（3x）+2xx+3， 由 f（x）2，得 x+32，解得 x1，此时1x0 当 0x3 时，f（x）|x3|2|x|（3x）2x33x， 由 f（x）2，得 33x2，解得 1 3，此时0 1 3； 当 x3 时，f（x）|x3|2|x|（x3）2xx36， 此时不等式 f（x）2 无解， 综上，不等式 f（x）2 的解集为1， 1 3 （2）由（1）可知，() = + 3， 0 3 3，03 3， 3 当 x0 时，f（x）x+33； 当 0x3 时，f（x）33x（6，3） ； 当 x3 时，f（x）x36 函数 yf（x）的最大值为 m3，则 a+b+c3 由柯西不等式可得（1+1+1） （a2+b2+c2）（a+b+c）2， 即 3（a2+b2+c2）32，即 a2+b2+c23， 当且仅当 abc1 时，等号成立 因此 a2+b2+c23
