1、 第 1 页（共 29 页） 2020 年江西省中考数学模拟试卷（年江西省中考数学模拟试卷（6） 一选择题（共一选择题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）计算： （2 +）02|1sin30|+（1 2） 1（ ） A2 B4 C3 D1 2 （3 分） 据统计， 今年 “五一” 小长假期间， 我市约有 26.8 万人次游览了植物园和动物园， 则数据 26.8 万用科学记数法表示正确的是（ ） A268103 B26.8104 C2.68105 D0.268106 3 （3 分）展开图可能是如图的几何体是（ ） A三棱柱 B圆柱 C四棱柱 D
2、圆锥 4 （3 分）小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了直方 图根据图中信息，下列说法错误的是（ ） A这栋居民楼共有居民 125 人 B每周使用手机支付次数为 2835 次的人数最多 C有的人每周使用手机支付的次数在 3542 次 D每周使用手机支付不超过 21 次的有 15 人 5 （3 分）若 ab，且 a24a+10，b24b+10，则 1 1:2 + 1 1:2的值为（ ） A1 4 B1 C.4 D3 6 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线 x1，则下列四 第 2 页（共 29 页） 个结论错误的是（ ） Ac0
3、 B2a+b0 Cab+c0 Db24ac0 二填空题（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 7 （3 分）若 m2+m10，n2+n10，且 mn，则 mn 8 （3 分）如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的点 G 处，点 D 落在点 H 处若162，则图中BEG 的度数为 9 （3 分）如图，小明从点 A 出发，前进 5m 后向右转 20，再前进 5m 后又向右转 20， 这样一直下直到他第一次回到出发点 A 为止，他所走的路径构成了一个多边形 （1）小明一共走了 米； （2）这个多边形的内角和是 度 1
4、0 （3 分）如图，数轴上线段 AB2，CD4，点 A 在数轴上的数是10，点 C 在数轴上 表示的数是 16若线段 AB 以 6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 CD 以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动， 点 P 是线段 AB 上一点， 当点 B 运动到线段 CD 上， 且 BD3PC+AP，则线段 PC 的长为 11 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB4，BC3，矩形在直线上绕其右下角的顶 点 B 向右旋转 90至图位置， 再绕右下角的顶点继续向右旋转 90至图位置， ， 以此类推，这样连续旋转 2015 次后，顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和 是
5、 第 3 页（共 29 页） 12 （3 分）已知菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则这个菱形的面积为 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 30 分）分） 13 （3 分）计算： 2;1 2;2:1 :1 ;1 + 1 ;1 14 （3 分）如图，已知四边形 ABCD 是菱形，点 E 是对角线 AC 上一点，连接 BE 并延长交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G，连接 DE （1）求证：ABEADE； （2）求证：EB2EFEG； （3）若菱形 ABCD 的边长为 4，ABC60，AE：EC1：3，求 BG 的长 15 （6 分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出
6、来，并写出最小整数解 2 73( 1) 5 1 2 ( + 4) 16 （6 分） 小明和小亮玩一个游戏： 取三张大小、 质地都相同的卡片， 上面分别标有数字 2、 3、4（背面完全相同） ，现将标有数字的一面朝下小明从中任意抽取一张，记下数字后 放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和 （1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为 6 的概率 （2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜你认为这个游戏规则对双方公 平吗？做出判断，并说明理由 17 （6 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的两个端点均在小正方形 第 4 页（共 29
7、 页） 的顶点上 （1）在图中画出以线段 AB 为一边的矩形 ABCD（不是正方形） ，且点 C 和点 D 均在小 正方形的顶点上； （2）在图中画出以线段 AB 为一腰，底边长为 22的等腰三角形 ABE，点 E 在小正方形 的顶点上连结 CE，则 CE 的长为 18 （6 分）如图，一次函数 ykx+b（b0）的图象与反比例函数 y= （m0）的图象交 于二、四象限内的 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（3，4） ，点 B 的坐标 为（6，n） （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接 OB，求AOB 的面积； （3）若 kx+b ，直接写出 x 的取值范围
8、 四解答题（共四解答题（共 3 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 8 分）分） 19 （8 分）为推进“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，某区对学校教师在“学习强国” APP 上的学习时间进行了抽样调查，过程如下 收集数据 从全区随机抽取 20 名教师，调查平均每天在“学习强国”APP 上的学习时间 （单位：min） ，数据如下 79 85 73 80 75 76 87 70 75 94 75 79 81 71 75 80 86 69 83 77 第 5 页（共 29 页） 整理数据按下表分段整理样本数据 学习时间 x/min 60x69 70x79 80x89 90x100
9、等级 D C B A 人数 1 a 7 1 分析数据 样本数据的平均数、众数及中位数如下表 （单位：min） 平均数 众数 中位数 78.5 b c 处理数据 （1）填空：a ，b ，c （2）若该区共有 3000 名教师，请估计该区教师平均每天在“学习强国” ”APP 上的学习 时间处于 B 等级及以上的人数 （3）假设在“学习强国”APP 上学习时间的三分之一是用来阅读文章的，平均阅读一篇 文章耗时 5min，请你选择样本中的一种统计量估计该区教师每人一年（按 365 天计算） 平均阅读文章的篇数 20 （8 分）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图 1 的滑板车或图 2 的自行
10、 车，已知前后车轮半径相同，ADBDDE30cm，CE40cm，车杆 AB 与 BC 所成的 ABC53，图 1 中 B、E、C 三点共线，图 2 中的座板 DE 与地面保持平行问变形 前后两轴心 BC 的长度有没有发生变化？若不变，请写出 BC 的长度；若变化，请求出变 化量？（参考数据：sin53 4 5，cos53 3 5，tan53 4 3） 21 （8 分）如图，在ABC 中，C90，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAD 交 AB 于点 E，以 AE 为直径作O （1）求证：直线 BC 是O 的切线； （2）若ABC30，O 的直径为 4，求阴影部分面积
11、 第 6 页（共 29 页） 五解答题（共五解答题（共 2 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 9 分）分） 22 （9 分）某数学兴趣小组在探究函数 y|x24x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过 程： （）列表（完成以下表格） x 2 1 0 1 2 3 4 5 6 y1x24x+3 15 8 0 0 3 15 y|x24x+3| 15 8 0 0 3 15 （）描点并画出函数图象草图（在备用图中描点并画图） （）根据图象解决以下问题： （1）观察图象：函数 y|x24x+3|的图象可由函数 y1x24x+3 的图象如何变化得到？ 答： （2） 数学小组探究发现直线 y8
12、 与函数 y|x24x+3|的图象交于点 E， F， E （1， 8） ， F（5，8） ，则不等式|x24x+3|8 的解集是 （3）设函数 y|x24x+3|的图象与 x 轴交于 A，B 两点（B 位于 A 的右侧） ，与 y 轴交于 点 C 求直线 BC 的解析式； 第 7 页（共 29 页） 探究应用：将直线 BC 沿 y 轴平移 m 个单位长度后与函数 y|x24x+3|的图象恰好有 3 个交点，求此时 m 的值 23 （9 分） 【阅读材料】 小明遇到这样一个问题： 如图 1， 点 P 在等边三角形 ABC 内， 且APC150， PA3， PC4，求 PB 的长 小明发现， 以
13、AP 为边作等边三角形 APD， 连接 BD， 得到ABD； 由等边三角形的性质， 可证ACPABD，得 PCBD；由已知APC150，可知PDB 的大小，进而可 求得 PB 的长 （1）请回答：在图 1 中，PDB ，PB 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图 2，ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 在ABC 内，且 PA1，PB= 17， PC22，求 AB 的长 【灵活运用】 （3）如图 3，在 RtABC 中，ACB90，BAC，且 tan= 4 3，点 P 在ABC 外，且 PB3，PC1，直接写出 PA 长的最大值 六解答题（共六解答题（共 1 小
14、题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 12 分）分） 24 （12 分）抛物线 C1：yax2+bx+3 与 x 轴交于 A（3，0） 、B 两点，与 y 轴交于点 C， 点 M（2，3）是抛物线上一点 （1）求抛物线 C1的表达式 （2） 若抛物线 C2关于 C1关于 y 轴对称， 点 A、 B、 M 关于 y 轴的对称分别为 A、 B、 M过点 M作 MEx 轴于点 E，交直线 AC 于点 D，在 x 轴上是否存在点 P，使 得以 A、D、P 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存 第 8 页（共 29 页） 在，请说明理由 第 9 页（共 29 页）
15、 2020 年江西省中考数学模拟试卷（年江西省中考数学模拟试卷（6） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）计算： （2 +）02|1sin30|+（1 2） 1（ ） A2 B4 C3 D1 【解答】解：原式11+21， 故选：A 2 （3 分） 据统计， 今年 “五一” 小长假期间， 我市约有 26.8 万人次游览了植物园和动物园， 则数据 26.8 万用科学记数法表示正确的是（ ） A268103 B26.8104 C2.68105 D0.268106 【解答】解：将 26.8 万
16、用科学记数法表示为：2.68105 故选：C 3 （3 分）展开图可能是如图的几何体是（ ） A三棱柱 B圆柱 C四棱柱 D圆锥 【解答】解：三个长方形和两个等腰三角形折叠后，能围成的几何体是三棱柱 故选：A 4 （3 分）小文同学统计了某栋居民楼中全体居民每周使用手机支付的次数，并绘制了直方 图根据图中信息，下列说法错误的是（ ） 第 10 页（共 29 页） A这栋居民楼共有居民 125 人 B每周使用手机支付次数为 2835 次的人数最多 C有的人每周使用手机支付的次数在 3542 次 D每周使用手机支付不超过 21 次的有 15 人 【解答】解：A、这栋居民楼共有居民 3+10+15+
17、22+30+25+20125（人） ，此结论正确； B、每周使用手机支付次数为 2835 次的人数最多，此结论正确； C、有的人每周使用手机支付的次数在 3542 次，此结论正确； D每周使用手机支付不超过 21 次的有 3+10+1528 人，此结论错误； 故选：D 5 （3 分）若 ab，且 a24a+10，b24b+10，则 1 1:2 + 1 1:2的值为（ ） A1 4 B1 C.4 D3 【解答】解：由题意可知：a、b 是方程 x24x+10 的两个不同的实数根， 由根与系数的关系可知：ab1，a+b4， a2+14a，b2+14b， 原式= 1 4 + 1 4 = + 4 = 4
18、 41 1， 故选：B 6 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴是直线 x1，则下列四 个结论错误的是（ ） Ac0 B2a+b0 Cab+c0 Db24ac0 【解答】解：A 项，由抛物线的函数图象可知，该函数与 y 轴的交点位于 y 轴正半轴，故 c0，故 A 项表述正确 第 11 页（共 29 页） B 项，抛物线可得对称轴为 x= 2 =1，故 2a+b0，故 B 项表述正确 C 项，由抛物线可得当 x1 时，y0，故 ab+c0，故 C 项表述错误 D 项，根据函数图象可得抛物线与轴有两个交点，可知b24ac0，故 D 项表述正 确 故选：C 二填空题
19、（共二填空题（共 6 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 7 （3 分）若 m2+m10，n2+n10，且 mn，则 mn 1 【解答】解：由题意可知：m、n 是方程 x2+x10 的两根， mn1 故答案为：1 8 （3 分）如图，将一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的点 G 处，点 D 落在点 H 处若162，则图中BEG 的度数为 56 【解答】解：ADBC， 1FEC62， 由翻折可得：FEGFEC62， BEG180626256， 故答案为：56 9 （3 分）如图，小明从点 A 出发，前进 5m 后向右转 20，再前进 5
20、m 后又向右转 20， 这样一直下直到他第一次回到出发点 A 为止，他所走的路径构成了一个多边形 （1）小明一共走了 90 米； （2）这个多边形的内角和是 2880 度 【解答】解：由题意知，该多边形为正多边形， 多边形的外角和恒为 360， 第 12 页（共 29 页） 3602018， 该正多边形为正 18 边形 （1）小明一共走了：51890（米） ； 故答案为：90 （2）这个多边形的内角和为： （182）180 2880 故答案为：2880 10 （3 分）如图，数轴上线段 AB2，CD4，点 A 在数轴上的数是10，点 C 在数轴上 表示的数是 16若线段 AB 以 6 个单位长
21、度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 CD 以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动， 点 P 是线段 AB 上一点， 当点 B 运动到线段 CD 上， 且 BD3PC+AP，则线段 PC 的长为 1 或 0.5 【解答】解：设线段 AB 未运动时点 P 所表示的数为 x，B 点运动时间为 t， 则此时 C 点表示的数为 162t，D 点表示的数为 202t，A 点表示的数为10+6t，B 点 表示的数为8+6t，P 点表示的数为 x+6t， BD202t（8+6t）288t， APx+6t（10+6t）10+x， PC|162t（x+6t）|168tx|， PD202t（x+6t）208tx2
22、0（8t+x） ， BD3PC+AP， BDAP3PC， 288t（10+x）3|168tx|， 即：188tx3|168tx|， 当 C 点在 P 点右侧时， 188tx3（168tx）4824t3x， x+8t15， PD20（8t+x）20155； 当 C 点在 P 点左侧时， 188tx3（168tx）48+24t+3x， 第 13 页（共 29 页） x+8t= 33 2 ， PD20（8t+x）20 33 2 =3.5 PD 的长有 2 种可能， 即 5 或 3.5， 则 PC 的长有 2 种可能， 即 541 或 43.50.5 或当 C 点在 P 点右侧时， 188tx3（16
23、8tx）4824t3x， x+8t15， PC|168tx|1615|1； 当 C 点在 P 点左侧时， 188tx3（168tx）48+24t+3x， x+8t= 33 2 ， PD20（8t+x）20 33 2 =3.5 PC|168tx|16 33 2 |0.5 综上所述，PC 的长为 1 或 0.5 故答案为：1 或 0.5 11 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB4，BC3，矩形在直线上绕其右下角的顶 点 B 向右旋转 90至图位置， 再绕右下角的顶点继续向右旋转 90至图位置， ， 以此类推，这样连续旋转 2015 次后，顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是
24、3024 【解答】解：AB4，BC3， ACBD5， 转动一次 A 的路线长是：904 180 =2， 转动第二次的路线长是：905 180 = 5 2， 转动第三次的路线长是：903 180 = 3 2， 转动第四次的路线长是：0， 第 14 页（共 29 页） 以此类推，每四次循环， 故顶点 A 转动四次经过的路线长为：5 2 + 3 2+26， 20154503 余 3， 顶点 A 转动四次经过的路线长为：65043024 故答案为：3024 12 （3 分）已知菱形的两条对角线长分别是 6 和 8，则这个菱形的面积为 24 【解答】解：菱形的两条对角线长分别是 6 和 8， 这个菱形的
25、面积为 68224 故答案为 24 三解答题（共三解答题（共 6 小题，满分小题，满分 30 分）分） 13 （3 分）计算： 2;1 2;2:1 :1 ;1 + 1 ;1 【解答】解：原式= (+1)(1) (1)2 ;1 :1 + 1 ;1 = 1 1 + 1 1 = 1 14 （3 分）如图，已知四边形 ABCD 是菱形，点 E 是对角线 AC 上一点，连接 BE 并延长交 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G，连接 DE （1）求证：ABEADE； （2）求证：EB2EFEG； （3）若菱形 ABCD 的边长为 4，ABC60，AE：EC1：3，求 BG 的长 【解答】解： （1
26、）四边形 ABCD 是菱形， ABAD，BACDAC， 第 15 页（共 29 页） 又 AEAE， ABEADE（SAS） ； （2）ABCG， ABGEGD， 由（1）得ABEADE， EDEB，ABGADE， EGDADE， FEDDEG， EDFEGD， = ， 所以 ED2EFEG； EB2EFEG； （3）ABBC，ABC60， ABC 是等边三角形 ACAB4 连接 BD 交 AC 于 O，则 ACBD，OAOC2，OB23， AE：EC1：3， AEOE1 BE=(23)2+ 1 = 13 ADBC， = = 1 3， EF= 1 3BE= 13 3 由（2）得 EB2EFEG
27、， EG= (13)2 13 3 = 313， BGBE+EG413 第 16 页（共 29 页） 15 （6 分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出最小整数解 2 73( 1) 5 1 2 ( + 4) 【解答】解： 2 73( 1) 5 1 2 ( + 4) ， 由得，x4， 由得，x2， 在数轴上表示为： 此不等式组的解集为：4x2， 故最小整数解是3 16 （6 分） 小明和小亮玩一个游戏： 取三张大小、 质地都相同的卡片， 上面分别标有数字 2、 3、4（背面完全相同） ，现将标有数字的一面朝下小明从中任意抽取一张，记下数字后 放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和
28、小亮抽得的两个数字之和 （1）请你用画树状图或列表的方法，求出这两数和为 6 的概率 （2）如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜你认为这个游戏规则对双方公 平吗？做出判断，并说明理由 【解答】解： （1）列表如下： 2 3 4 2 2+24 2+35 2+46 第 17 页（共 29 页） 3 3+25 3+36 3+47 4 4+26 4+37 4+48 由表可知，总共有 9 种结果，其中和为 6 的有 3 种， 则这两数和为 6 的概率3 9 = 1 3； （2）这个游戏规则对双方不公平 理由：因为 P（和为奇数）= 4 9，P（和为偶数）= 5 9，而 4 9 5 9， 所以这个
29、游戏规则对双方是不公平的 17 （6 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为 1，线段 AB 的两个端点均在小正方形 的顶点上 （1）在图中画出以线段 AB 为一边的矩形 ABCD（不是正方形） ，且点 C 和点 D 均在小 正方形的顶点上； （2）在图中画出以线段 AB 为一腰，底边长为 22的等腰三角形 ABE，点 E 在小正方形 的顶点上连结 CE，则 CE 的长为 4 【解答】解： （1）如图所示，矩形 ABCD 即为所求； （2）如图所示，ABE 即为所求，CE4， 故答案为：4 18 （6 分）如图，一次函数 ykx+b（b0）的图象与反比例函数 y= （m0）的图象交 第 18
30、 页（共 29 页） 于二、四象限内的 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 A 的坐标为（3，4） ，点 B 的坐标 为（6，n） （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接 OB，求AOB 的面积； （3）若 kx+b ，直接写出 x 的取值范围 【解答】解： （1）把 A 点的坐标（3，4）代入 y= 得：m12， 即反比例函数的解析式是 y= 12 ， 把 B 点的坐标（6，n）代入 y= 12 得：n2， 即 B 点的坐标是（6，2） ， 把 A、B 的坐标代入 ykx+b 得：4 = 3 + 2 = 6 + ， 解得：k= 2 3，b2， 所以一次函数的解析式是 y=
31、2 3x+2； （2）设一次函数 y= 2 3x+2 与 x 轴的交点是 C， y= 2 3x+2，当 y0 时，x3， 第 19 页（共 29 页） 即 OC3， A（3，4） ，B（6，2） ， AOB 的面积 SSAOC+SBOC= 1 2 3 4 + 1 2 3 2 =9； （3）当 kx+b 时 x 的取值范围是 x6 或3x0 四解答题（共四解答题（共 3 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 8 分）分） 19 （8 分）为推进“不忘初心，牢记使命”主题教育活动，某区对学校教师在“学习强国” APP 上的学习时间进行了抽样调查，过程如下 收集数据 从全区随机抽取 20
32、 名教师，调查平均每天在“学习强国”APP 上的学习时间 （单位：min） ，数据如下 79 85 73 80 75 76 87 70 75 94 75 79 81 71 75 80 86 69 83 77 整理数据按下表分段整理样本数据 学习时间 x/min 60x69 70x79 80x89 90x100 等级 D C B A 人数 1 a 7 1 分析数据 样本数据的平均数、众数及中位数如下表 （单位：min） 平均数 众数 中位数 78.5 b c 处理数据 （1）填空：a 9 ，b 75 ，c 78 （2）若该区共有 3000 名教师，请估计该区教师平均每天在“学习强国” ”APP
33、上的学习 时间处于 B 等级及以上的人数 （3）假设在“学习强国”APP 上学习时间的三分之一是用来阅读文章的，平均阅读一篇 文章耗时 5min，请你选择样本中的一种统计量估计该区教师每人一年（按 365 天计算） 平均阅读文章的篇数 【解答】解： （1）由数据可得：a9，b75，c= 77+79 2 = 78； 第 20 页（共 29 页） （2）处于 B 等级及以上的人数为：7:1 20 300 = 120； （3）该区教师每人一年（按 365 天计算）平均阅读文章的篇数= 78.5 5 365 = 5730.5， 故答案为： （1）9；75；78 20 （8 分）某工厂生产某种多功能儿童
34、车，根据需要可变形为图 1 的滑板车或图 2 的自行 车，已知前后车轮半径相同，ADBDDE30cm，CE40cm，车杆 AB 与 BC 所成的 ABC53，图 1 中 B、E、C 三点共线，图 2 中的座板 DE 与地面保持平行问变形 前后两轴心 BC 的长度有没有发生变化？若不变，请写出 BC 的长度；若变化，请求出变 化量？（参考数据：sin53 4 5，cos53 3 5，tan53 4 3） 【解答】解：如图 1，过点 D 作 DFBE 于点 F， 由题意知 BDDE30cm， BFBDcosABC30 3 5 =18（cm） ， BE2BF36cm， 则 BCBE+CE76cm，
35、如图 2，过点 D 作 DMBC 于 M，过点 E 作 ENBC 于点 N， 由题意知四边形 DENM 是矩形， MNDE30cm， 在 RtDBM 中，BMBDcosABC30 3 5 =18（cm） ，ENDMBDsinABC 30 4 5 =24（cm） ， 在 RtCEN 中，CE40cm， 由勾股定理可得 CN32cm， 第 21 页（共 29 页） 则 BC18+30+3280（cm） ， 答：BC 的长度发生了改变，增加了 4cm 21 （8 分）如图，在ABC 中，C90，BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，过点 D 作 DEAD 交 AB 于点 E，以 AE 为直径作
36、O （1）求证：直线 BC 是O 的切线； （2）若ABC30，O 的直径为 4，求阴影部分面积 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图所示 在 RtADE 中，点 O 为 AE 的中心， DOAOEO= 1 2AE， 点 D 在O 上，且DAOADO AD 平分CAB， CADDAO， ADOCAD， ACDO， C90， ODB90，即 ODBC， OD 为半径， BC 是O 的切线； （2）解：O 的直径为 4， AE4，DOAOEO= 1 2AE2， ABC30， CADDAO30， CD= 1 2AD，DE= 1 2AE2，AD= 2 2 = 42 22=23， 第 22 页（共 2
37、9 页） CD= 3，AC= 2 2=(23)2 (3)2=3， tanABC= ， BC33， 阴影部分面积SABCS梯形ODCAS扇形ODE = 1 2ACBC 1 2（OD+AC） CD 602 360 = 1 2 333 1 2（2+3） 3 6022 360 23 2 3 五解答题（共五解答题（共 2 小题，满分小题，满分 18 分，每小题分，每小题 9 分）分） 22 （9 分）某数学兴趣小组在探究函数 y|x24x+3|的图象和性质时经历以下几个学习过 程： （）列表（完成以下表格） x 2 1 0 1 2 3 4 5 6 y1x24x+3 15 8 3 0 0 3 8 15 y
38、|x24x+3| 15 8 3 0 0 3 8 15 （）描点并画出函数图象草图（在备用图中描点并画图） 第 23 页（共 29 页） （）根据图象解决以下问题： （1）观察图象：函数 y|x24x+3|的图象可由函数 y1x24x+3 的图象如何变化得到？ 答： x 轴下方图象关于 x 轴对称，x 轴上方图象不变 （2） 数学小组探究发现直线 y8 与函数 y|x24x+3|的图象交于点 E， F， E （1， 8） ， F（5，8） ，则不等式|x24x+3|8 的解集是 x5 或 x1 （3）设函数 y|x24x+3|的图象与 x 轴交于 A，B 两点（B 位于 A 的右侧） ，与 y
39、轴交于 点 C 求直线 BC 的解析式； 探究应用：将直线 BC 沿 y 轴平移 m 个单位长度后与函数 y|x24x+3|的图象恰好有 3 个交点，求此时 m 的值 【解答】I 解： （）列表（完成表格） x 2 1 0 1 2 3 4 5 6 y1x24x+3 15 8 3 0 1 0 3 8 15 y|x24x+3| 15 8 3 0 1 0 3 8 15 （）描点并画图 （） （1）y|x24x+3|的图象可由函数 y1x24x+3 将 x 轴下方图象关于 x 轴对称，x 轴上方图象不变得到； 故答案为 x 轴下方图象关于 x 轴对称，x 轴上方图象不变； （2）结合图象，|x24x+
40、3|8 时，y|x24x+3|图象在 y8 的上方， 解集是 x5 或 x1； 第 24 页（共 29 页） 故答案为 x5 或 x1 （3）令 x0，则 y|x24x+3|3， 令 y0，则 y|x24x+3|0，解得 x1 或 3， A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3） ， 设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0） ， 则0 = 3 + ， 3 = ， = 1， = 3， yx+3； 直线 BC 过（0，3） ， （2，1）和（3，0）三个点，如图所示， 此时，直线 BC 与 y|x24x+3|的图象只有 3 个交点， m0 设直线 BC 向上平移后的直线为 yx+3+m， 平
41、移后的直线与函数 y|x24x+3|的图象恰好有 3 个交点， 直线 BC 只能向上平移，且直线 yx+3+m 和 yx2+4x3 有且只有一个交点， 则 = + 3 + = 2+ 4 3只有一个解， 于是，消去 y 得 x25x+6+m0 有两个相等的实数根， 14m0， m= 1 4 综上所述，m0 或 m= 1 4时将直线 BC 沿 y 轴平移 m 个单位长度后与函数 y|x 24x+3| 的图象恰好有 3 个交点 第 25 页（共 29 页） 23 （9 分） 【阅读材料】 小明遇到这样一个问题： 如图 1， 点 P 在等边三角形 ABC 内， 且APC150， PA3， PC4，求
42、PB 的长 小明发现， 以 AP 为边作等边三角形 APD， 连接 BD， 得到ABD； 由等边三角形的性质， 可证ACPABD，得 PCBD；由已知APC150，可知PDB 的大小，进而可 求得 PB 的长 （1）请回答：在图 1 中，PDB 90 ，PB 5 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题： 如图 2，ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 在ABC 内，且 PA1，PB= 17， PC22，求 AB 的长 【灵活运用】 （3）如图 3，在 RtABC 中，ACB90，BAC，且 tan= 4 3，点 P 在ABC 外，且 PB3，PC1，直接写出 PA 长的最
43、大值 【解答】解： （1）如图 1 中， ACPABD， PDBAPC150，PCBD4，ADAP3， 第 26 页（共 29 页） ADP 为等边三角形， ADP60，DPAD3， BDP1506090， PB= 32+ 42=5 故答案为：90，5； （2）如图 2 中，把ACP 绕点 C 逆时针旋转 90得到BCD 由旋转性质可知；BDPA1，CDCP22，PCD90， PCD 是等腰直角三角形， PD= 2PC= 2 22 =4，CDP45， PD2+BD242+1217，PB2（17）217， PD2+BD2PB2， PDB90， BDC135， APCCDB135，CPD45， APC+CPD180， A，P，D 共线， ADAP+PD5， 在 RtADB 中，AB= 2+ 2= 52+ 12= 26 （3）如图 3 中，作 CDCP，使得 CD= 3 4PC= 3 4，则 PD= 2+ 2 = 5 4， 第 27 页（共 29 页） tanBAC= = 4 3， = ， ACBPCD90， ACDBCP， ACDBCP， = = 3 4， AD= 9 4， 9 4 5 4 PA 9 4 + 5 4， 1PA 7 2， PA 的最大值为7 2 六解答题（共六解答题（共 1 小题，满分小题，满分 12 分，每小题分，每小题 12 分）分） 24
