1、奥林匹克物理竞赛电磁学若干问题第二讲l电流的若干问题l边界的若干问题l电路的若干问题l电像法的若干问题一、电流的若干问题QIt电流强度:电流密度:.0SIjn0S0I欧姆定律的两种形式:1【第第1 题题】磁场会影响电子的运动，从而使存在磁磁场会影响电子的运动，从而使存在磁场时的电流与电压关系偏离通常的欧姆定律。场时的电流与电压关系偏离通常的欧姆定律。设设XOY平面内有面密度为平面内有面密度为n的二维电子气，平面的二维电子气，平面沿沿X轴正方向存在均匀的电场轴正方向存在均匀的电场E=Eex,垂直于平面垂直于平面的的Z方向存在均匀磁场，方向存在均匀磁场，B=Bez,已知平面内电子已知平面内电子运动
2、受到的散射阻力与速度运动受到的散射阻力与速度v成正比，可以等效成正比，可以等效地用一时间参量地用一时间参量t描述为描述为-mv/t t,m为电子质量，为电子质量，试求在稳态时沿试求在稳态时沿x和和y方向的电流密度。方向的电流密度。（w w=eB/m)【解解】列出列出X和和Y方向的电子运动方程：方向的电子运动方程：xxyyxxmvmaeEev Bmvmaev Btt 电子处于稳态，电子处于稳态，ax=0，ay=0,则：则：yxvvwt22(1)xe Evmtw t 根据电流密度定义，根据电流密度定义，有：有：xxyyjnevjnev 2222222(1)(1)xyneEjmneEjmtw twt
3、w t可见在可见在Y方向亦产生电流。方向亦产生电流。【第第2题题】某些海洋动物能探测到离它一定距离的其它动物某些海洋动物能探测到离它一定距离的其它动物，因为这些动物会产生电流，某些捕食者利用这个特性来，因为这些动物会产生电流，某些捕食者利用这个特性来猎物。猎物。猎物的发电机制和捕食者的探测器可以用简图表示。猎物的发电机制和捕食者的探测器可以用简图表示。猎物体内电流在分别带有正负电位的两球体之间流动，设猎物体内电流在分别带有正负电位的两球体之间流动，设距离为距离为l,半径为半径为r(l)，海水的电阻率为，海水的电阻率为.设猎物的电阻率设猎物的电阻率与海水一样，因而它们没有边界。与海水一样，因而它
4、们没有边界。探测器可以类似地简化为探测器可以类似地简化为捕食者身上的两个球，并与捕食者身上的两个球，并与海水接触，和猎物的一对电海水接触，和猎物的一对电极相平行，两球距离为极相平行，两球距离为ld,每每个球半径为个球半径为rd(ld),设电场设电场强度在连接探测器的两球连强度在连接探测器的两球连线上位常数，因此探测器、线上位常数，因此探测器、猎物和海水以及捕食者构成猎物和海水以及捕食者构成一个闭合回路。一个闭合回路。V为猎物感应产生，等效于一个电动势，为猎物感应产生，等效于一个电动势，Rm是半径是半径为为rd的两球球被周围海水包围产生的电阻。的两球球被周围海水包围产生的电阻。Vd和和Rd分别是
5、捕食者体内两球的电势差和电阻。分别是捕食者体内两球的电势差和电阻。（1）确定探测器中点）确定探测器中点P的场强的场强Ep，设猎物体内的电流，设猎物体内的电流为为Is.(2)确定猎物体内两球间的电势差确定猎物体内两球间的电势差Vs.确定两源球之间确定两源球之间的电阻的电阻Rs和源产生的功率和源产生的功率Ps.(3)确定两探测器之间的电阻确定两探测器之间的电阻Rd.探测器之间的电势差探测器之间的电势差Vd和功率和功率Pd.(4)确定使探测器功率达到最大值的最佳电阻确定使探测器功率达到最大值的最佳电阻Rd,并确并确定最大功率。定最大功率。【解解】（1）（2）22114()()2211114242ss
6、sslxrSslxrsssssssssssssIVllxxIlrrrlrIIrr（3）（4）电阻为：）电阻为：导体外靠近其表面的地方的电场与表面导体外靠近其表面的地方的电场与表面垂直，其场强大小为垂直，其场强大小为/e/e0 0。0eE02eE静电平衡时，电荷只分布在导体的表面，导体静电平衡时，电荷只分布在导体的表面，导体内部体电荷密度处处为零。导体为等势体。导内部体电荷密度处处为零。导体为等势体。导体表面为等势面。体表面为等势面。把高斯定理应用于界把高斯定理应用于界面上的圆柱形封闭曲面：面上的圆柱形封闭曲面：d d是侧面的电位移矢量的通量。是侧面的电位移矢量的通量。h 0,d d 00rDE
7、e e又又所以：所以：或或若交界面上无自由电荷，则：若交界面上无自由电荷，则：012nnDD0220210rnrnEEe ee e2221rnrnEEee3.交界面电场线的折射定律 静电场为保守力场，因此：静电场为保守力场，因此：0El 一周112212()()ppQPSPSPPe SS 1212()pnnPPePP若第二种介质是真空，则若第二种介质是真空，则P2=0，由介质指向真空，由介质指向真空，这时这时cosPPnp极化电荷与自由电荷的关系第第3题题平板电容器内充满平板电容器内充满2层均匀介质，厚度分层均匀介质，厚度分别为别为d1和和d2，相对介电常数为相对介电常数为e e1和和e e2
8、，电容器所电容器所加电压为加电压为U，求求（1）电容器的电容；（电容器的电容；（2）介质）介质分界面的极化电荷面密度。分界面的极化电荷面密度。电容器相当于两个电容串联，则总电容为电容器相当于两个电容串联，则总电容为：2121CCCCC其中：其中：,22021101dSCdSCeeee代入，有：代入，有：001212effSSCdddeeee1212effdddee极板上所带自由电荷的电量极板上所带自由电荷的电量Q0为：为：221100eeeddU又，又，20022021001101eeeedCSEdCSE221100eeeddSUCUQ20221011CQdECQdE02020101 ,eeE
9、E电容器内电场强度也可以用总电荷来表示：电容器内电场强度也可以用总电荷来表示：可以解得：可以解得：两种介质的分界面的极化电荷密度为：两种介质的分界面的极化电荷密度为：【第4题】球形电容器充满两种介质，分界球形电容器充满两种介质，分界面半径为面半径为d,求电容以及介质分界面的求电容以及介质分界面的极化电荷密度。极化电荷密度。解解：分界面为等势面，分界面为等势面，自由电荷自由电荷q0产生的场强为产生的场强为：在介质中在介质中：所以，电容值为：所以，电容值为：)(,4)1()1()(,4)1()1(2222220212111101RrderEPdrRerEPrreeeeeeee极化强度：极化强度：极
10、化电荷面密度：极化电荷面密度：,4)1(,4)1(4)1(,4)1(22222 2222222111 121111121RPdPdPRPRrdrdrRreeeeeeee在两种介质交界面处，极化电荷面密度为：在两种介质交界面处，极化电荷面密度为：)(41212122 1eeeed第第5题题内壳层带有内壳层带有+q的电荷的电荷,求各区求各区域的电场强度和各界面的电荷域的电场强度和各界面的电荷.l 当电场平行于介质交界面时，所示，即电场当电场平行于介质交界面时，所示，即电场在交界面的法向方向在交界面的法向方向En=0，两种介质的分界，两种介质的分界面不可能有极化电荷存在面不可能有极化电荷存在.0kl
11、 由于导体表面为等势面由于导体表面为等势面,故存在极化电荷时故存在极化电荷时,由自由电荷和极化电荷共同来保证其等势面，由自由电荷和极化电荷共同来保证其等势面，即总面电荷为即总面电荷为:l电场与没有介质存在时的电场具有相同的构形。电场与没有介质存在时的电场具有相同的构形。0EkE0001200()2iiiSSkEdSkEqeee ee001201222()qkSEe eeee10110112202202122()2()enenDEDEe e eeee e eee10110112202202122(1)(1)()2(1)(1)()nnPEPEee eeeee eee 00000120122()()
12、2iiiQQESSeee eee ee101001111212122020022212121222(1)2()()()22(1)2()()()eee eeeeeeee eeeeeee在导体和绝缘体的交界面附近，由电场强在导体和绝缘体的交界面附近，由电场强度边界条件，即度边界条件，即：SSESESdEeSed02211101122)(eejjn代入欧姆定理代入欧姆定理,有有:两种导体的分界面出现电荷积累两种导体的分界面出现电荷积累,电流密度电流密度法线分量不连续法线分量不连续.0012211211()eIISSee 若电流和面积相等若电流和面积相等,则则:对于稳恒电流，电荷不可能在交界面堆积对于
13、稳恒电流，电荷不可能在交界面堆积(单一材料单一材料)，否则电流不稳恒，因而电流，否则电流不稳恒，因而电流密度只能沿着交界面亦即在交界面上，电密度只能沿着交界面亦即在交界面上，电流密度流密度j只有切向分量，没有法向分量。只有切向分量，没有法向分量。nnEE21 ,0【第第6题题】1mA的电流流过一根导线，导线的的电流流过一根导线，导线的一段是铜，一段是铁，两部分以相同的截一段是铜，一段是铁，两部分以相同的截面积焊接起来，求在两种材料的分界面上面积焊接起来，求在两种材料的分界面上积累多少电荷？积累多少电荷？【解解】对本问题，对本问题，0220110rrEEe ee eLVIRISVIELS0021
14、21021()()5 10QSS EEICee这个电荷却只占基本电荷的这个电荷却只占基本电荷的1/30，这个奇怪的现，这个奇怪的现象说明经典电磁学不能很好地描述微观现象，只象说明经典电磁学不能很好地描述微观现象，只有用量子力学才能给出合理的解释。有用量子力学才能给出合理的解释。三、电路的若干问题0kkI0)(IRIrUe对对N个节点，个节点，P条支路条支路由第一和第二方程，一共可得到由第一和第二方程，一共可得到 个方程，由此可解出个方程，由此可解出P条支路上的电流。条支路上的电流。kijijkUN-,iI1-N-P1,2,i ,0 121 ,0)()(第第7题题】有缺陷的电阻有缺陷的电阻如图所
15、示，有一个圆柱形的如图所示，有一个圆柱形的 电阻，半径为电阻，半径为b，长度，长度为为L，电导率为，电导率为 1，在电阻的中心有一个小的球，在电阻的中心有一个小的球形缺陷，半径为形缺陷，半径为a，电导率为，电导率为 2,流入和流出电阻流入和流出电阻的电流在电阻的两端面上分布均匀。的电流在电阻的两端面上分布均匀。（1）若）若 1=2,电阻的阻值是多少？电阻的阻值是多少？（2）估算由缺陷带来的阻值变化。）估算由缺陷带来的阻值变化。【解解】（1）211LLRSb（2）把缺陷看成是半径为）把缺陷看成是半径为a，长度为，长度为a的圆柱体的圆柱体（注意不能使用小球形球心到球面之间的电阻值，（注意不能使用小
16、球形球心到球面之间的电阻值，因为电流流动是从一面到另一面，不是从中心到因为电流流动是从一面到另一面，不是从中心到外面）。它与实际电阻同轴，其中心位于实际电外面）。它与实际电阻同轴，其中心位于实际电阻中心。阻中心。等效电路为：等效电路为：32122211()()aLRbb 212222122()pdoLaRbaRaaRba 1112podRRRR321221()()aRb【第第8题题】如图所示的电路中，各电源的内阻均为零如图所示的电路中，各电源的内阻均为零，其中，其中B、C两点与其右方由两点与其右方由1.0的电阻和的电阻和2.0的的电阻构成的无穷组合电路相接求图中电阻构成的无穷组合电路相接求图中
17、10F的电容的电容器与器与E点相接的极板上的电荷量点相接的极板上的电荷量【解解】设设B、C右方无穷组合电路的等效电阻为右方无穷组合电路的等效电阻为RBC：CBCBBCRRR2210.2BCR AAI10.02183010241020 设电路中三个电容器的电容分别设电路中三个电容器的电容分别为为C1、C2和和C3，各电容器极板，各电容器极板上的电荷分别为上的电荷分别为Q1、Q2和和Q3，极性如图极性如图3所示由于电荷守恒所示由于电荷守恒，在虚线框内，三个极板上电荷，在虚线框内，三个极板上电荷的代数和应为零，即的代数和应为零，即0231QQQA、E两点间的电势差两点间的电势差3311CQCQUUE
18、AVVUUEA0.710.030103322CQCQUUEBV26V10.02024EBUU代入代入C1、C2和和C3之值后可得之值后可得C103.143Q即电容器即电容器C3与与E点相接的极板带负电，电荷量为点相接的极板带负电，电荷量为C103.14C103.14【第第10题题】两块导体嵌入两块导体嵌入电导率为电导率为,介电常数介电常数为为e e的无限大介质中的无限大介质中,已知两导体之间的电已知两导体之间的电阻为阻为R,求导体间的电求导体间的电容容.解解设导体分别带设导体分别带+Q,-Q,任取一高斯面包围任取一高斯面包围+Q导体导体,则则流出该导体的电流为流出该导体的电流为:eQSESES
19、jISSSeQRIRURUQCe由欧姆定理由欧姆定理:故导体间的电容为故导体间的电容为:【第第11题题】一平行板电容器两极板的面积为一平行板电容器两极板的面积为S，两板两板间充满两层均匀介质，它们的厚度为间充满两层均匀介质，它们的厚度为d1和和d2，相相对介电常数为对介电常数为e e1和和e e2，电导率为电导率为 1和和 2，当两极板当两极板间加电势差间加电势差U时，略去边缘效应，试求时，略去边缘效应，试求（1）两介）两介质中的质中的E;（2）通过电容器中的电流）通过电容器中的电流；（；（3）介质介质分界面的电荷面密度分界面的电荷面密度.解解（1）两极板间的电阻为：）两极板间的电阻为：Sdd
20、SdSdR2121122211（2）通过电容器的电流为：）通过电容器的电流为：211221ddSURUI电场强度为：电场强度为：电流密度为：电流密度为：122112UIjSdd 0121011211202120222112(1)1(1)1UPEddUPEdde eeee eee（）（）交界面的极化电荷面密度为：交界面的极化电荷面密度为：12210122112(1)(1)UPPddeee交界面的总电荷面密度为：交界面的总电荷面密度为：0210122112()UEEddee交界面的自由电荷面密度为：交界面的自由电荷面密度为：0【第第12题题】求半径为求半径为a,b的同心球形导体的同心球形导体之间的
21、电阻之间的电阻,设导体之间充满电导率为设导体之间充满电导率为 的物质的物质.解解设在内外球之间加一电压设在内外球之间加一电压(内球电压高内球电压高),则有则有电流通过内球流到外球电流通过内球流到外球,设内球带电量为设内球带电量为Q,由高由高斯定理斯定理:rerQE24ererQj24e流出的总电流为流出的总电流为:ISjIrrQ2244eeIQ Ej24rIEer)11(4baIU)11(41baIUR【第第13题题】一对半径为一对半径为a和和b（a0区域的电场强度为：区域的电场强度为：x0区域的势为：区域的势为：232220 xnzyd2qdzy0EE/),(e2/322202zydqdEn
22、seqSqss导体表面的电场强度为：导体表面的电场强度为：导体表面的感应电荷面密度为：导体表面的感应电荷面密度为：导体表面的总感应电荷为：导体表面的总感应电荷为：点电荷所受的力点电荷所受的力 需计算需计算q0所在处所在处由感应电荷由感应电荷所产生的电场强度所产生的电场强度直角导体平面形成区域中点电荷的镜像直角导体平面形成区域中点电荷的镜像【第第14题题】一无限大金属平板上悬挂一弹簧一无限大金属平板上悬挂一弹簧振子振子,弹性系数为弹性系数为k,其质量为其质量为m,带电荷带电荷q.起始单簧振子处于平衡状态起始单簧振子处于平衡状态,若使振子向若使振子向下偏离一小位置下偏离一小位置x,求其振动周期求其
23、振动周期.解解弹簧平衡时长度为弹簧平衡时长度为:eFmgkx020220216)2(4hqhqFeee202016khqkmgxe当弹簧向下拉当弹簧向下拉x时时,其力为其力为:02020202)(16)()(16kxmgxhqkxxxkxhqmgFee20220()16(1/)qkxmgkxhx he 3028hqkke所以所以,振动周期为振动周期为:)8(22302hqkmkmTe222220016(1/)16qqkxhx hhee 2222002(1)1616qxqkxhhhee 2308q xkxk xhe 使用镜像法电荷做功问题讨论【例例】真空中有一点电荷真空中有一点电荷q，它到一接地
24、无限导体平它到一接地无限导体平面的距离为面的距离为a,试求试求：（1）将该电荷从该处移到无限处所做的功。）将该电荷从该处移到无限处所做的功。（2）q与像电荷之间的电势能。与像电荷之间的电势能。（3）当）当q是一个电子，是一个电子，a=1A,求所需功的数值。求所需功的数值。【解解】（1）感应电荷用镜像电荷表示）感应电荷用镜像电荷表示22016zqFeze 0FF外22200()1616zzaaaqdzqWFe dzF e dzzaee 外外222001616aqdzqWzaee 电场力所做的功电场力所做的功：（2）q在在a处，处，它与像电荷之间的电势能为：它与像电荷之间的电势能为：q在在处，处，
25、它与像电荷之间的电势能为：它与像电荷之间的电势能为：0W1WWW21001428qqqWqUaaee 如果在像电荷处放置一如果在像电荷处放置一个不动的电荷个不动的电荷-q,则，则，这时静电场做功为：这时静电场做功为：22014()qFzae 2200111(0)022 4216qqqWqUq Uaaee 两个点电荷之间的电势能是电场充满整个空两个点电荷之间的电势能是电场充满整个空间的能量，而本题中导体中的电场为零，实际电间的能量，而本题中导体中的电场为零，实际电场只占据一半空间，因而电势能也只有一半！场只占据一半空间，因而电势能也只有一半！2WWW222004()8aqdzqWzaaee aW
26、WW正确的解法：正确的解法：219219121001.602 105.77 10)16168.85 10103.6qWJaeVe 外（）（2.点电荷对导体球面的镜像qqPARRrdda球面上：球面上：Us=0，设置镜像位置，设置镜像位置da区域的电势：区域的电势：ra区域的电场强度：区域的电场强度：导体表面的电荷密度导体表面的电荷密度 )cos2(4)(2/322220 addaaadqEnse感应电荷总量定于镜像电荷电量。感应电荷总量定于镜像电荷电量。inaqqd（1）点电荷所受到导体球的作用力？）点电荷所受到导体球的作用力？（2）点电荷放置在球内，问题又如何？）点电荷放置在球内，问题又如何
27、？（3）导体球不接地，如何处理该问题？）导体球不接地，如何处理该问题？其它问题：其它问题：(1)球既不带电，又不接地，球外有一点电荷q。像电荷：像电荷：q=-(a/d)q，位置为：位置为：x=a2/d 球面上另有一均匀分布电荷，球面上另有一均匀分布电荷，q=(a/d)q.既满足球面总电荷为零，也满足球面是等势既满足球面总电荷为零，也满足球面是等势面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠加而成。加而成。(2)球带电Q，但不接地，球外有一点电荷q。像电荷：像电荷：q=-(a/d)q，位置为：位置为：x=a2/d 球面上另有一均匀分布电荷，球面上另有一均匀
28、分布电荷，Q-q。这样既满足球面总电荷为这样既满足球面总电荷为Q，也满足球面是等也满足球面是等势面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠势面，由唯一性定理知，球外的电势由三个电荷叠加而成。加而成。球外点电荷球外点电荷q所受导体球所受导体球Q的作用力取决于导体的作用力取决于导体球球Q在该点的电场强度。于是，总电量为在该点的电场强度。于是，总电量为Q的导体的导体球在球外点电荷球在球外点电荷q处的电场强度为：处的电场强度为：为使导体球在静电平衡时受到q的作用力吸引，试确定q的取值范围。20204)(4dqQxdqEee点电荷点电荷q所受作用力为：所受作用力为：2200()4()4q qQq qFd
29、xdee把把x和和q 代入上式，得：代入上式，得：QaddqaaddqF22232220)()2(4e 当当F0时，为斥力；当时，为斥力；当F0时，为吸引力为时，为吸引力为使使F0，要求上式右边方括号中的量为正值，即要求上式右边方括号中的量为正值，即要求：要求：Qaadaddq322222)2()(3)球不带电,但却有一固定的电势U，球外有一点电荷q。像电荷：像电荷：q=-(a/d)q，位置为：，位置为：x=a2/d 球面上另有一均匀分布的电荷球面上另有一均匀分布的电荷:aq/d.球心处上另有一像电荷：球心处上另有一像电荷：Q=4ee0RU aq/d 这样满足球面是等势面，电势为这样满足球面是
30、等势面，电势为U，又不带电，又不带电，由唯一性定理知，球外的电势由四个电荷叠加而成。由唯一性定理知，球外的电势由四个电荷叠加而成。2222022222222142cos2cos2cos2cosqqUrdrdrdrdqqRRRRrrrrdbdde球面上的感应电荷量：球面上的感应电荷量：10022223/2223/2()114(2cos)(2cos)nUDErdRqRRdRdRdRdee/2222112202sin1dRqRdqdRd 导体平面上的导体平面上的感应电荷量：感应电荷量：200222 3/222 3/221112()()nUDErdqdrdrRRee2222222RdRqrdrqdRd
31、 12qqq 3.线电荷对导体圆柱面的镜像llPARRrdda ,ll dad2柱外任一点的电势为：柱外任一点的电势为：ln2ln200daRadRUelel导体柱表面的电势为零，即：导体柱表面的电势为零，即：)cos2(ln)cos2(ln2/1222/122daaddaadaddall满足任意满足任意 的解为：的解为：拓展题拓展题真空中两条圆柱型无限长平行直导线，真空中两条圆柱型无限长平行直导线，半径分别为半径分别为R1和和R2,相距为相距为d(dR1+R2),求它们单求它们单位长度的电容。位长度的电容。02222222121212122ln()122CdRRdRRR RR Re【第第15
32、题题】两个半径同为两个半径同为R的导体球相互接触，的导体球相互接触，形成孤立双导体系统。求此系统的电容值。形成孤立双导体系统。求此系统的电容值。解解孤立导体系统的电容等于系统带电量与其电势的比孤立导体系统的电容等于系统带电量与其电势的比 值值。当系统带电量给定后当系统带电量给定后,设法确定其电势设法确定其电势,便得到系统便得到系统的电容。或者的电容。或者,当系统电势给定后当系统电势给定后,设法确定其带电量设法确定其带电量,同样可得到系统的电容。同样可得到系统的电容。此此题题两个相互接触的导体球两个相互接触的导体球,存在相互感应的问题存在相互感应的问题,因此因此,不管采用何种方法不管采用何种方法
33、,均需连续使用镜像法均需连续使用镜像法,逐次逼逐次逼近。处理中利用的镜像法近。处理中利用的镜像法,涉及一个半径为涉及一个半径为R的接地导体的接地导体球球,以及球外离球心距离为以及球外离球心距离为d的一个带电量为的一个带电量为Q的点电荷的点电荷系统。在导体球电势为零的条件下系统。在导体球电势为零的条件下,导体球上感应电荷的导体球上感应电荷的效果可以等价于球内假想的像电荷的效果效果可以等价于球内假想的像电荷的效果,此像电荷带电此像电荷带电量和它在系统对称轴线上离球心距离分别为量和它在系统对称轴线上离球心距离分别为：04qRUe21,RRqqxdd RRRxqqRRq21221222112RxRRx
34、qqxRRq3223122231223RxRRxqqxRRq4324123241334 如此不断继续如此不断继续,直至每个导体球内引直至每个导体球内引入入n个点个点电荷电荷(n),以维持电势以维持电势U0不变。从上不变。从上面面几个几个像电荷电量表达式像电荷电量表达式,很容易联想到很容易联想到,当当n时时,qn0。从而得。从而得到到在系统电势保持在系统电势保持 U0 的条件下的条件下,系统系统(两球两球)的总带电量为的总带电量为:2ln82ln2q )4131211(2)(2001121RUqqqQe因此得到相互接触孤立等半径导体系统的电容为因此得到相互接触孤立等半径导体系统的电容为：2ln8
35、00RUQCe【第第16题题】半径为半径为R的接地导体球外有一电偶的接地导体球外有一电偶极子极子p=2ql,设偶极子的轴线通过球心设偶极子的轴线通过球心,距离距离为为L.求电偶极子产生的电场求电偶极子产生的电场.qlddepz2 ,),(:);,(:;:2221lLRqlLRqlLRqlLRq-q:L-llLq因因Ll:)1(11LlLlL2222222221 2 ;2LlRLRLRdqLRqLlRLRLRdqLRq位置：；位置：LRLadqpLReLlRqLRpz223322 :;2位置点电荷：电偶极子：等效于321EEEEA【第第17题题】半径为半径为R的导体球的导体球1.接地接地;2.电
36、电势为势为U下悬挂一弹簧振子下悬挂一弹簧振子,弹性系数为弹性系数为k,其质量为其质量为m,带电荷带电荷q.求振子在平衡点作微求振子在平衡点作微小振动的周期小振动的周期.【第第1818题题】如图所示，两块足够大的接地导体平面如图所示，两块足够大的接地导体平面A和和B平行竖直放置，相距平行竖直放置，相距2d，d10cm在两在两板之间的中央位置，用长板之间的中央位置，用长l1m的绝缘细线悬的绝缘细线悬挂一个质量挂一个质量m=0.1g；电量电量q=510-9C的小摆的小摆球，让小摆球稍稍偏离平衡位置后释放，使之球，让小摆球稍稍偏离平衡位置后释放，使之小角度摆动。忽略各种电磁阻尼和空气阻小角度摆动。忽略
37、各种电磁阻尼和空气阻尼试求小球的摆动周期尼试求小球的摆动周期T。解解 当带电摆球偏离中央位置时，也有相应的左、右当带电摆球偏离中央位置时，也有相应的左、右无限系列的镜像点电荷。取小球的中央位置为原点，无限系列的镜像点电荷。取小球的中央位置为原点，取水平向右为取水平向右为x轴则当带电摆球在轴则当带电摆球在x位置时，各镜像位置时，各镜像点电荷的位置如图所示。点电荷的位置如图所示。这些镜像点电荷对带电摆球静电作用力的合力为：这些镜像点电荷对带电摆球静电作用力的合力为：因，因，故：故：dx 34222221616)44(16)22(1)22(1dxddxxddxxdxd)8(1)26(1)4(1)22
38、(142222021dxddxdqFxe)8(1)26(1)4(1)22(12222dxddxd)26(1)26(1)22(1)22(14222202xdxdxdxdqe所以：所以：因为：因为：把有关数据代入，得：把有关数据代入，得：当摆球在当摆球在x位置时，所受摆线张力的水平分量为：位置时，所受摆线张力的水平分量为：12.367xFx3311(1)1.05235213330233304(3)(5)111435xqxxxFdddqxdee29.8 xxFmgxl 故摆球在故摆球在x位置时，所受沿位置时，所受沿x方向的合力为：方向的合力为：127.433 xxxFFFx 这是一个线性回复力，摆球
39、在它的作用下围绕中这是一个线性回复力，摆球在它的作用下围绕中央的平衡位置作简谐振动，其振动周期为：央的平衡位置作简谐振动，其振动周期为：kmT2得：得：sT3.2【第【第19题题】有有2个电量相同的点电荷相距为个电量相同的点电荷相距为2b,在在它们中间放置一个接地的导体球它们中间放置一个接地的导体球,为抵消两球之为抵消两球之间电荷斥力间电荷斥力,求导体球最小半径的近似值求导体球最小半径的近似值.(R=b/8)例例均匀外场中放入一半径为均匀外场中放入一半径为a,带电量为带电量为Q的导的导体球体球,求感应电荷在球外任一点产生的电势。求感应电荷在球外任一点产生的电势。0EEE00SSnEEEee唯一
40、性定理对唯一性定理对“电象电象”的要求是：的要求是：“电象在球面上的电势与电象在球面上的电势与E0在球面上在球面上的电势之和必为常数（因球面为等势面）的电势之和必为常数（因球面为等势面）电偶极子的电势为：电偶极子的电势为：304eprUre000(1cos)ABUUE aA、B两点由电偶极子产两点由电偶极子产生的电势差为：生的电势差为：外电场在外电场在A、B两点产生的电势差为：两点产生的电势差为：222000cos(1cos)444eeeABpppUUaaaeee A、B两点总电势差为：两点总电势差为：00020()()(1 cos)4ABABABeUUUUUUpE aae 3004epa E
41、e球面为等势面这个条件要求上式必为零，则：球面为等势面这个条件要求上式必为零，则：30320cos4epra EUrre故球外任一点的电势为：故球外任一点的电势为：4.点电荷对无限大介质平面的镜像qdxye e1e e2nPqqddrrxye e1e e1n区域区域1：镜像电荷：镜像电荷q全空间的介质为全空间的介质为e e1Pq+qdrxye e2e e2n区域区域2：镜像电荷：镜像电荷q全空间的介质为全空间的介质为e e2 区域区域1：电势和电位移矢量由：电势和电位移矢量由q和镜像电荷和镜像电荷q贡献：贡献：区域区域2：电势和电位移矢量由：电势和电位移矢量由q和镜像电荷和镜像电荷q贡献：贡献
42、：rreRqeRqDRqRqU2211114444eereRqqDRqqU2222 4 4 e 在边界面上有：在边界面上有：RRR代入边界条件有：代入边界条件有：21qqqqqqqqee 解出两个镜像电荷值为：解出两个镜像电荷值为：2121 eeeeqqq结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End感谢你的到来与聆听学习并没有结束，希望继续努力Thanks for listening,this course is expected to bring you value and help
