1、第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析内容提要内容提要1.拉普拉斯变换和反变换的计算方法及有关的一些性质。2.KCL、KVL、元件VCR的复频域形式及复频域模型。3.线性电路的复频域解法。4.网络函数的定义及其与冲激响应的关系。第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析 复频域分析法（运算法）：复频域分析法（运算法）：应用拉普拉斯变换把线性电路的微分方程转化为代数方程进行求解的方法。复频域分析法的优点：复频域分析法的优点：时域分析法的缺点：时域分析法的缺点：确定高阶微分方程积分常数的计算量大。当电路有多个储能元件时，建立微分方程及确定初始值都比较烦琐。在进行变换的开始阶段一并考虑了初始条件，所得结
2、果是响应的完全解。不需要确定积分常数。全响应直接体现零输入响应和零状态响应的叠加。第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析11.1 11.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一一 拉氏正变换定义拉氏正变换定义 设函数 当 时有定义，则其拉氏变换定义为()f t0t 0()()ddefstF sf t et原函数象函数js复变量（）ZH通常表示为：()L()F sf t第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析二二 拉氏反变换拉氏反变换 设已知象函数 ，则与它对应的原函数 为()F s()f tjj1()()d2jtsf tF s es 拉氏正变换拉氏正变换复变函数的广义积分通常表示为：1()L ()f tF
3、 s拉氏反变换拉氏反变换()()f tF s()()F sf t第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析三三 原函数与象函数之间的对应关系原函数与象函数之间的对应关系 拉氏变换的唯一性定理：原函数和它的象函数之间是一一对应关系。二者构成拉氏变换对。例：计算下列原函数的象函数：()()f tt（1）单位阶跃函数解：0001()L()()ddstststeF sf tt etetss第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析()atf te（2）指数函数()()0001()L()dd()s a tatsts a teF sf te etetsasa解解：()f tt（3）单位斜坡函数20001()L()
4、ddstststteeF sf ttettsss解解：()()f tt（4）单位冲激函数解解：000()L()()d()dststF sf tt ett et00000()d()d1t ettt()()(0)()f ttft 函数筛分性：第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析11.2 11.2 拉普拉斯变换的一些性质拉普拉斯变换的一些性质一一 线性组合定理线性组合定理 若：，11L()()f tF s22L()()f tF s1212L()()()()af tbf taF sbF s则 a,b为常数 设：，则L()()f tF sd()L()(0)df tsF sft二二 微分定理微分定理 1
5、2(1)L()()(0)(0)(0)nnnnnfts F ssfsffn阶时导数象函数：第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析三三 积分定理积分定理 设：，则L()()f tF s0()L()d tF sfs22111Lsin()()2jjjtsss例：利用 ，求 。1LatesaLsin()t解解：由于jj1sin()()2jtttee所以第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析例例：求图示函数的导数的拉氏变换。111d()L()(0)df tssF sftsa解解：ateate222d()L()(0)(0.2)0.2df tsssF sftsasa 值不同，值不同，结果不同结果不同。0第十一
6、章 线性电路过渡过程的复频域分析11.3 11.3 用部分分式法进行拉氏反变换用部分分式法进行拉氏反变换 拉氏反变换可以根据定义式求解；也可以查表，直接写出原函数。但多数情况下，象函数不能直接从表上查到。在集总参数电路中，响应的象函数往往是 s 的有理分式，若将其展开成部分分式的形式，就能比较容易地求出其象函数了，这种方法称为部分分式法部分分式法。11101110()()()mmmmnnnnb sbsbsbN sF sD sa sasa sa设象函数 F(s)为真分式：ab 、为实常数，mn 、为正整数。第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析因为一一 实数单根实数单根 11101110()()
7、()mmmmnnnnb sbsbsbN sF sD sa sasa sa设 D(s)=0 有n个单根，即：，于是1,2,np pp12()()()()()()()nnN sN sF sD saspspsp12112njnjnjkkkkspspspsp21111()()()()nnkkF s spkspspsp第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析所以121122()()()()()()(1,2,)jspspjjspksp F sksp F sksp F sjn 的另外一种求解方法：jk()()(1,2,)()()jjjjspN pN skjnD sD p第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析1
8、2112()()()njnjnjkkkkN sF sD sspspspsp121121()L()jnnp tp tp tp tnjjf tF sk ek ek ek e或展开定理展开定理或分解定理或分解定理于是，原函数为11()()L()()jnp tjjjN pf tF seD p第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析例例：求下面象函数的原函数。23235()6116ssF ssss解解：因为32()6116(1)(2)(3)D sssssss所以211222233351.5(2)(3)353(1)(3)352.5(1)(2)ssssskssssksssskss 312()123kkkF s
9、sss1.532.5123sss故原函数为123()L ()1.532.5tttf tF seee第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析二二 共轭复根共轭复根 设 D(s)=0 的一对共轭复根为：，则*121j,jppp D(s)=0 含有共轭复根，复根也属于一种单根，可用上述方法计算。但由于D(s)是 s 的实系数多项式，所以其系数必然共轭成对。其中12()jjkkF sss1j11j(j)()sksF sk e1j*211j(j)()skksF sk e1k ：的模 1k ：的辐角 11k2k1k 是 的共轭复数第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析所以，拉氏反变换为11jj(j)(j)1
10、1()ttf tk eek ee11j()j()1tttk eee112cos()(0)tk ett11j()j()11cos()2tttee其中第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析例例：求下面象函数的原函数。2()5sF sss 解解：的根为 。2()50D sss121j2,1j2pp 121 j2(1j2)0.559 26.65ssksss *210.55926.6kk0.559 26.60.55926.6()1j21j2F sss 11()2cos()1.118cos(226.6)ttf tk etet12()jjkkF sss第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析本题还可先将分母配
11、方，再求原函数本题还可先将分母配方，再求原函数：2222222112()5(1)2(1)22(1)2sssF ssssss 根据表，可得1.118cos(226.6)tet1()cos2sin22ttf tetet1(2cos2sin2)2tett221112(1)cos(arctan)cos2sin(arctan)sin2 222tett 1.118cos26.6 cos2sin26.6 sin2 tett第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析三三 重根重根 设 D(s)=0 的二重根 ，即jp22()()()()()jN sN sF sD sa sp122()()jjjjkkF sspsp
12、则 F(s)的展开式可写成两个系数分别为2122d()()d()()jjjjspjjspkspF sskspF s第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析例例：求下面象函数的原函数。22()(1)(3)sF sss解解：F(s)的展开式为111222()1(1)3kkkF ssss111121223d2()0.25d320.5320.25(1)ssssks sskssks 20.250.50.251(1)3sss故原函数为13()L ()0.250.50.25tttf tF setee第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析四四 多项式是假分式多项式是假分式 3223271()1sssF sss
13、上式可以分解成 若分式是假分式时，可以先经过除法运算，分解成多项式与真分式之和。例如：32122232712023()(311)()()3232ssssF ssF sF sssss而 1()(311)F ss11()L 3113()11()f tstt222023()32sF sss12222023()L 31732ttsf teess所以 211()()()3()11()317ttf tf tf tttee第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析11.4 11.4 线性电路的复频域解法反变换线性电路的复频域解法反变换一一 用拉普拉斯变换求解过渡过程用拉普拉斯变换求解过渡过程 举例说明用拉氏变换
14、求解电路过渡过程。图示电路中，在 时闭合开关，已知 ，求 。0t(0)0i()i t解：时，列写电路方程为0t ddSiLRiUt相应的拉氏变换方程为()(0)()SL sI siRI sUs第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析代入初始条件 ，得(0)0i1()L ()(1)RtSLUi tI seR()(0)()SL sI siRI sUs()SUsI ssLR11()()SUI sRssR L因此响应的完全解上例是利用拉氏变换把微分方程变换为相应的代数方程的求解方法。实际上可以直接建立电路的复频域模型复频域模型（运算电路运算电路），并根据复频域形式的KCL和KVL及元件的VCR直接列写电
15、路的复频域代数方程，求出电压或电流的象函数，再经过拉氏反变换，求得电压或电流的时间函数式。第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析二二 R、L、C 元件元件 VCR 的复频域形式的复频域形式 电阻元件电阻元件当电阻的电压、电流关联参考方向下如图所示，有取拉氏变换()()RutRi t时域模型()()RUsRI s复频域模型第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析 电感元件电感元件当电感的电压、电流关联参考方向下如图所示，有取拉氏变换d()()dLi tutLt时域模型复频域模型()()(0)LUssLI sLid()L()(0)df tsF sft第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析 电容元件电
16、容元件当电容的电压、电流关联参考方向下如图所示，有取拉氏变换(0)1()()CCuUsI ssCsd()()dCuti tCt时域模型复频域模型()()(0)CCI ssCUsCu第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析三三 基尔霍夫定律的复频域形式基尔霍夫定律的复频域形式()0I s 对于任一结点对于任一回路()0U s 四四 欧姆定律的复频域形式欧姆定律的复频域形式(0)1()()(0)()CuRsLI sLiU ssCs第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析(0)1()()(0)()CuRsLI sLiU ssCs1()()()()()U sRsLI sZ s I ssC当没有初始储能时（
17、），方程为(0)0,(0)0Ciu即 或()()()U sZ s I s()()()I sY s U s 欧姆定律复频域形式或运算形式运算阻抗（）运算导纳（S）五五 线性电路的复频域解法举例线性电路的复频域解法举例 第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析 利用电路的复频域模型（运算电路）以及KCL、KVL和欧姆定律的复频域形式可以很方便地求解电路的过渡过程，如同正弦电流电路的相量法，即画出电路的运算电路图，应用以前学过的诸如结点分析法、网孔分析法、等效电源定理等求出待求的电压或电流的象函数，再经过拉氏反变换求出时域电压或电流。例例：电路如图(a)，已知恒定电压 ，1250V,40V,2HUUL
18、 。求开关接通后的 。123100,400RRR3()Rut第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析02200()/100/21002sZsRsLss用戴维宁定理求解，将R3电阻看成外电路，则有21240(0)A=0.2A100 100UiRR解解：画运算电路如图(b)。其中第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析3330()4006024()200()1002404001002OCRRUsUssRZssss所以403()24VtRute1250(0)(2 0.2)260()(0)2 0.210021002OCULisssUssLLiRsLss 第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析2222132
19、2 53()13265(1)(5)12CssUssssss解解：画运算电路图(b)，应用弥尔曼定理得例例：图(a)中，已知 ，求换路后的 。(0)1A,(0)0LCiu(),()CLut i t2()sin(5)V5tCutet作反变换，得第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析22()26CUsss23116()()3(26)LCIsUssss ss16(1j 5)(1j 5)ss ss 20.5482040.548 2041j 51j 5sss ()2 1.1sin(5114)AtLi tet作反变换，得第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析解解：画运算电路图(b)。电路运算阻抗为1()/1
20、RZ sRsCRCs例例：图(a)中，换路前电路处于零状态。设电流源 分别为单位阶跃电流和单位冲激电流，求 。(),()CCut it()Si t(1)当 ，则()(1A)()Si tt()1SIss1()()()11CSRRRUsZ s IsRCssssRC第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析(2)当 ，则()1SIs()(1C)()Si tt所以，得1()(1)()VtRCCutRet1()()1CCIssCUssRC而得电流为1()()()AtRCCitet111()()()11()CSRUsZ s IsRCsCsRC11()()()VtRCCutetC第十一章 线性电路过渡过程的复频
21、域分析电流1()()111CCsRCIssCUsssRCRC 11()()()AtRCCittetRC第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析11.5 11.5 网络函数网络函数一一 网络函数的定义网络函数的定义 ()e t 网络函数：在仅有一个激励源的线性网络复频域模网络函数：在仅有一个激励源的线性网络复频域模型中，若激励型中，若激励 的象函数为的象函数为 ；()E s 响应响应 的象函数为的象函数为 ；()r t()R s则零状态响应的象函数则零状态响应的象函数 与激励象函数与激励象函数 之比，即之比，即()R s()E s()()()defR sH sE s第十一章 线性电路过渡过程的复频
22、域分析策动点阻抗：激励、响应为同一端口电流、电压。()()()defR sH sE s111()()()U sZ sI s2211()()()iIsHsI s2211()()()UsZsI s2211()()()uUsHsU s传递阻抗：激励、响应为不同端口电流、电压。传递电压比：激励、响应为不同端口两电压比。传递电流比：激励、响应为不同端口两电流比。第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析二二 网络函数与单位冲激响应的关系网络函数与单位冲激响应的关系 即即11()L ()L()h tR sH s网络函数与单位冲激响应的关系：网络函数与单位冲激响应的关系：激励为激励为 ()()e tt1()L
23、()E st()()()()R sH s E sH s则响应为则响应为()L()H sh t()H s()h t()h t网络函数网络函数 在数值上就是单位冲激响应在数值上就是单位冲激响应 的象函数的象函数，或或，单位冲激响应单位冲激响应 在数值上是网络函数的原函数在数值上是网络函数的原函数。第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析111()()H sI sRsLL sR L解解：画运算电路图(b)，网络函数为11()()()ARtLi tLI setL例例：图(a)为单位冲激电压激励的RL电路。求冲激响应 。(),()CLut i t冲激响应为第十一章 线性电路过渡过程的复频域分析()()1LsLR LUsI s sLRsLsR L 1()()()()VRtLLLRutL UstetL求电感电压再见！再见！
