1、矩阵分析矩阵分析参考书矩阵分析引论罗家洪编参考书矩阵分析引论罗家洪编矩阵论程云鹏编矩阵论程云鹏编教材：矩阵分析史荣昌等编教材：矩阵分析史荣昌等编 矩阵理论是一门最有实用价值的数学矩阵理论是一门最有实用价值的数学 理论。理论。在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理，在现代工程技术中有广泛的应用。算法处理，系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化系统工程，优化方法，现代控制理论，自动化技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切技术，稳定性理论等，都与矩阵理论有着密切的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和的联系。矩阵理论在内容上也在不断的更新和发展。发展。本课程只介绍矩阵理论中最经典的一部分。本课程
2、只介绍矩阵理论中最经典的一部分。它是它是线性代数线性代数课程的继续和深化。为了学好这门课程的继续和深化。为了学好这门课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特课程，希望同学们好好复习一下线性代数，特别别向量、矩阵、二次型向量、矩阵、二次型的相关内容。的相关内容。第一节第一节 线性空间线性空间一：一：线性空间的定义与例子线性空间的定义与例子定义定义 设设 是一个是一个非空的集合非空的集合，是一是一个数域个数域，在集和在集和 中定义两种中定义两种代数运算代数运算,一种是加法运算一种是加法运算,用用 来表示来表示;另一种是数乘运算另一种是数乘运算,用用 来表示来表示,并且并且这两种运算满足下列这两种运
3、算满足下列八八条运算律：条运算律：VFV第一章第一章 线性空间和线性映射线性空间和线性映射实数域R复数域C运算的结果是V中的元素（1）加法交换律加法交换律（2）加法结合律加法结合律 ()()（3）零元素零元素 在在 中存在一个元素中存在一个元素 ，使得对，使得对于任意的于任意的 都有都有00VV（4）负元素负元素 对于对于 中的任意元素中的任意元素 都存都存在一个元素在一个元素 使得使得V01（5）记()()k lkl（6）（7）()klkl（8）()kkk称这样的称这样的 为数域为数域 上的上的线性空间线性空间。VF例例 1 全体实函数集合全体实函数集合 构成实数域构成实数域 上的上的线性空
4、间。线性空间。RRR例例 2 复数域复数域 上的全体上的全体 型矩阵构成型矩阵构成的集合的集合 为为 上的线性空间。上的线性空间。CmnCm nm mC按函数的加法和数乘函数按矩阵的加法和数乘矩阵V中的元素称为向量 例例 3 实数域实数域 上全体次数小于或等于上全体次数小于或等于 的多项的多项式集合式集合 构成实数域构成实数域 上的线性空间上的线性空间Rn nR xR例例 4 全体正的实数全体正的实数 在下面的加法与数乘的在下面的加法与数乘的定义下也构成线性空间：定义下也构成线性空间：R:,:,kababa bRkaaa kR 例例 5 表示实数域表示实数域 上的全体无限序列组成的上的全体无限
5、序列组成的的集合。即的集合。即RR123,1,2,3,iaFRa a ai在在 中定义加法与数乘：中定义加法与数乘：则则 为实数域为实数域 上的一个线性空间。上的一个线性空间。123123112233123123,a a ab b bab ab abk a a aka ka ka RRR例例 6 在在 中满足中满足Cauchy条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合也构成子集合也构成 上的线性空间。上的线性空间。Cauchy条件是：条件是：使得对于使得对于 都有都有0,0,N,m nNmnaaRR例例7 在在 中满足中满足Hilbert条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合子集合
6、不不构成构成 上的线性空间。上的线性空间。Hilbert条件是：条件是：级数级数 收敛收敛例例8 在在 中有界的无限序列组成的子集也构成中有界的无限序列组成的子集也构成 上的线性空间。一个无限序列上的线性空间。一个无限序列 称为有界的，如果存在一个实数称为有界的，如果存在一个实数 ，使得使得21nnaRR123,a a a r,1,2,iari RR定理1:线性空间有唯一的零元素线性空间有唯一的零元素,任一元素有唯一的任一元素有唯一的负元素负元素.121122:0 00000证 设，是两个零元素,则有 12,xx x设元素 有两个负元素120,0 xxxx110 xx12()xxx12()xx
7、x220 xx，组实数组实数，对于任何一，对于任何一给定向量组给定向量组mmkkkA,:2121 定义定义.,21个线性组合的系数个线性组合的系数称为这称为这，mkkk，称为向量组的一个称为向量组的一个向量向量 2211mmkkk 线性组合线性组合mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,:2121的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA二：二：线性空间的基本概念及其性质线性空间的基本概念及其性质0 ,:22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为
8、零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组定义定义2 2则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A定理定理3 3 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m.,:,:121且表示式是唯一的且表示式是唯一的线性表示线性表示必能由向量组必能由向量组向量向量则则线性相关线性相关组组而向量而向量线性无关线性无关设向量组设向量组AbbBAmm 定理定理 4 4：0.它的秩为它的秩为有最大无关组，规定有最大
9、无关组，规定只含零向量的向量组没只含零向量的向量组没，满满足足个个向向量量中中能能选选出出，如如果果在在设设有有向向量量组组rArAA ,:210定义定义3 3线线性性无无关关；）向向量量组组（rA ,:1 210关关，个个向向量量的的话话）都都线线性性相相中中有有个个向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量组组（112 rArA.的的称称为为向向量量组组数数最最大大无无关关组组所所含含向向量量个个r;0）（简简称称的的一一个个向向量量组组是是那那末末称称向向量量组组AA最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组最大（线性）无关向量组最大（线性）无关向量组秩秩最最大大无无关关组组
10、即即其其自自身身！注注：线线性性无无关关向向量量组组的的基本性质：基本性质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关）整体无关 部分无关；部分相关部分无关；部分相关 整体相关；整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；不唯一；（5）如果向量组（）如果向量组（I）可以由向量组（）可以由向量组（I
11、I）线性表出，）线性表出，那么向量组（那么向量组（I）的秩）的秩 向量组（向量组（II）的秩；）的秩；（6）等价的向量组秩相同。）等价的向量组秩相同。例例 2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组RRR12,nxxxeee12,n RRR12,nxxx12,n RRR1,cos,cos2,cosxxnx也是线性无关的。也是线性无关的。例例 3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组组互不相同的实数。组互不相同的实数。是
12、一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一组互不相同的实数。组互不相同的实数。例例 4 实数域实数域 上的线性空间空间上的线性空间空间 中，函数组中，函数组RRR21,cos,cos2xx22sin,cos,sin,cos,sin,cos,4.nnxxxxxxn是线性相关的函数组。是线性相关的函数组。函数组函数组是线性相关是线性相关24212sin(1 cos2),cos22cos1xxxx2cos22cos1xx定义定义 设设 为数域为数域 上的一个线性空间。如果在上的一个线性空间。如果在 中存在中存在 个线性无关的向量个线性无关的向量 使得使得 中的任意一个向量中的任意一
13、个向量 都可以由都可以由 线性表出线性表出VFn12,n V12,n V1122nnkkk12,nV 称为 的一组基；12(,)Tnk kk12,n Vndim.Vn第二节线性空间的基底，维数与坐标变换第二节线性空间的基底，维数与坐标变换为向量为向量 在基底在基底 下的下的坐标坐标。此时我们。此时我们称称 为一个为一个 维线性空间，记为维线性空间，记为 向量的坐标是唯一的向量的相关性与坐标的相关性一致R3R(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中向量组中向量组与向量组与向量组 都是都是 的基。的基。是是3维线性空间。维线性空间。(0,1
14、,1),(1,0,1),(1,1,0)3R3R要验证：向量组无关任一向量可以由它们表示 例例 2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组与向量组与向量组 都是都是 的基。的基。是是4维线性空间。维线性空间。1011111 1,0000101 1 2 2R01101111,11110110 R2 2R2 2R 与向量组与向量组都是都是 的基底。的基底。的维数为的维数为 21,nx xx21,2,(2),(2)nxxx nR x nR x1.n 2 2R例例 3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组R nR x注意：注意：通过上面的例子可以看出线性空间
15、的基底并通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不不唯一唯一，但是维数是，但是维数是唯一唯一确定的。利用维数的定义线性确定的。利用维数的定义线性空间可以分为空间可以分为有限维线性空间有限维线性空间和和无限维线性空间无限维线性空间。目。目前，我们主要讨论前，我们主要讨论有限维的线性空间有限维的线性空间。例例 4 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组01101111,11110110 与向量组与向量组是其两组基，求向量是其两组基，求向量 在这两组基下的在这两组基下的坐标。坐标。解解：设向量：设向量 在第一组基下的坐标为在第一组基下的坐标为 1011111 1,0000101 1 1234
16、AA1234(,)Tx x x x解得解得123412011034111111110110 xxxx12347412,3333xxxx12341,1,1,4yyyy 于是可得于是可得同样可解出在第二组基下的坐标为同样可解出在第二组基下的坐标为设设 （旧的旧的）与）与 （新的新的）是是 维线性空间维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为的两组基底，它们之间的关系为 12,n 12,n Vn11221212,1,2,iiininiinniaaaaaina 由此可以看出：由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。同的。基变换与坐标变换基变换与坐标变换1112
17、121222121212,nnnnnnnaaaaaaaaa 将上式将上式矩阵化矩阵化可以得到下面的关系式：可以得到下面的关系式：n称称 阶方阵阶方阵记为111212122212nnnnnnaaaaaaPaaa是由旧的基底到新的基底的是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵过渡矩阵，那么上式可，那么上式可以写成以写成1212,nnP P提示只有零解定理定理：过渡矩阵：过渡矩阵 是可逆的。是可逆的。任取任取 ，设，设 在两组基下的坐标分别为在两组基下的坐标分别为 与与 ，那么我们有：，那么我们有：V12,Tnx xx12,Tny yy121211221212(,)(,)(,)nnnnnnxxxyyyyPy
18、y 1122nnxyxyPxy例例 1 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组2 2R称上式为称上式为坐标变换公式坐标变换公式。12340110,11111111,011012341011,0000111 1,101 1与向量组与向量组1234A为其两组基，求从基为其两组基，求从基 到基到基 的的过渡矩阵，过渡矩阵，并求向量并求向量 在这两组基下的坐标。在这两组基下的坐标。解解：容易计算出下面的矩阵表达式：容易计算出下面的矩阵表达式1234,1234,12341234,2110333111033312103331211333 12347412,3333xxxx向量向量 第一组基下的坐
19、标为第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为在第二组基下的坐标为AA11122334421103331111013331211033341211333yxyxyxyx2121,1,(),()nnnR xx xxxa xaxa例：在中,1,与为两组基，求前一组基到后一组基的过渡矩阵.2221123211 1()1 21()()1(1)()(1)(2)()2!nnnnnxaaxxaaa xxxaanaxnnaxx 解：21231()012(1)()(1)(2)001()2!01nnnaaaanannPa412341234,R 例：在中，求由基,到基的
20、过渡矩阵1234(1,2,1,0)(1,1,1,1)(1,2,1,1)(1,1,0,1)TTTT 1234(2,1,0,1)(0,1,2,2)(2,1,1,2)(1,3,1,2)TTTT 12341234,x xxx 并求（,）在基的坐标。1234123411112121)1110011120211113(,)02111222(,12341234(,)20211111111321210211111012220111PP(,1001110101110010P12341234,x xxx 并求（,）在基的坐标。112212343344(,xyxyxyxy )。1122334420211113021
21、11222xyxyxyxy。1112233442021111302111222yxyxyxyx。例例 1 对于任意一个有限维线性空间对于任意一个有限维线性空间 ，它，它必有两个必有两个平凡的子空间平凡的子空间，即由单个，即由单个零零向量构成向量构成的子空间的子空间定义定义 设设 为数域为数域 上的一个上的一个 维线性空间，维线性空间，为为 的一个非空子集合，如果对于任意的的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的以及任意的 都有都有FVnVW,W,k lFklWVWV第三节第三节线性空间的子空间线性空间的子空间子空间也是线性空间 0V以及线性空间以及线性空间 本身。本身。那么我们称那么我们称
22、 为为 的一个的一个子空间子空间。例例 2 设设 ，那么线性方程组，那么线性方程组 的的全部解为全部解为 维线性空间维线性空间 的一个子空间，我们称的一个子空间，我们称其为其为齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间。m nAR0AX nnR121122,sssispankkkkF 12,s nV例例 3 设设 为为 维线性空间维线性空间 中的中的一组向量，那么非空子集合一组向量，那么非空子集合任一子空间都含零向量当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的当齐次线性方程组有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的
23、个数。所含向量的个数。解空间称为矩阵解空间称为矩阵A的核或的核或A的零空的零空间间,记为记为N(A).构成线性空间构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称生成子空间，称 为该子空间的生成元。为该子空间的生成元。V12,s 例例 4 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中全体中全体上三角上三角矩阵集合，全体矩阵集合，全体下三角下三角矩阵集合，全体矩阵集合，全体对称对称矩阵集合，全体矩阵集合，全体反对称反对称矩阵集合分别都构矩阵集合分别都构成成 的子空间，的子空间，n nRRn nR问题问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？：这几个子空间的基
24、底与维数分别时什么？为向量组为向量组 的秩。的秩。12,sspan 12,s 的维数即的维数即12,sspan 12,s 的极大线性无关组的极大线性无关组.的基底即为向量组的基底即为向量组N(A)为基础解系生成的空间123123aaaspan a aaTTT例：设=(1,2,-1,0)，=(0,1,2,3),=(2,3,-4,-3)求,的基与维数.12312,2a aaaa易知线性无关，子空间的交与和子空间的交与和121212121212,|V VVVVa aVaVVVVVVVV定义：设是线性空间 的两个子空间，令=且可以验证构成的子空间，称为 与的交空间。12121122|VVaaaaVaV
25、令 且和子空间和子空间12121122|VVaaaaVaV 且是子空间的证明121212,VV设，则111222,VV 111222,VV1212112212()()()()VV12121122,V VVV 设+，则121122,kkkkV kV12kVV,()()m np nACBCN BN A例：设，求0AxB的解空间()0()0N BBxN AAx是方程的解空间是方程的解空间是方程()()N BN A定理：设12121122121212,2aaVspan a aVspanVVVVTTTT设=(2,1,3,1)，=(-1,1,-3,1),=(4,5,3,1),=(1,5,-3,1),求1、
26、的基与维例：数.、的基与维数.112,sVspan a aa,212kVspan,121212,skVVspan a aa,则：121212,VVspan a a 解：,12112,3a aVV,是极大无关组，是 的基，维数为。1 1223142ak ak akk+12VV设12VV有且12434520,33kkk kk 2242455 55(,5,)33 33ak ak ak121212dimdimdim()dim()VVVVVV定理：（维数公式）112212dim,dimdim()VnVnVVm，证明设：12()VV取的基：12,ma aa,11121V,mnma aa扩充为 的基：,，2
27、2121V,mnma aa也扩充为的基：,，121212121,mnmnmVVspan a aa,，112212211221 10nmmmnmnmnmak ak apppqq1令：k112212211221 1()nmmmnmnmnmak ak apppqq 1令：=k1122122112211 12()nmmmnmnmnmak ak apppVqqV 1知：=k12VV所以：122mml al al a1可令：2221221 11()000nmnmmmnmml al al aqqllqq1111112211222100mmnmnmmnmak ak apppkkpp11=kk1212121,m
28、nmnma aa,，线性无关。1212121211212,()()mnmnmVVspan a aamnmnmnnm,，的维数为子空间的直和、补子空间12121212120VVVVVVVVVVV设，是线性空间的两个子空间，若，则称是直和，并用记定号表示义：。12121212121212121212121212();3,nnnnVVVVVdim VVdimVdimVaaaVVaaaVV：设，是线性空间 的两个子空间，下列命题等价：、是直和；、设,，分别是的基，则,，是定理的基。4 05、向量的分解是唯一的。、任一向量的分解唯一。1212121223();dim VVdimVdimVnn、显然、证明
29、：12121212,nnVVspan a aa,，1212121212(),nnnndim VVrank a aa,，12121212,nna aaVV,，线性无关是的基。1212121232,nna aaVV、,，是的基。121212121212121212,()dim,nnnnrank a aanndim VVspan a aann ,，,，1212dim(0VVVV)是直和。121211212VVVVVVVVVVVV若;称 与是 的一对互补空间。设 是V的子空间，一定存定在 的补空义：定理得：间使112121,.,rrrnVV 设设的的基基底底为为扩扩充充为为 的的基基底底21,rnVs
30、pan 则则还可以讨论多个子空间的交、和、直和1112112334341(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),TTTTVVaaVspan a aaaRspan aspan aV设 是V的子空间，的补空间不唯一。如：在中，都是例：的补空间。第四节：线性映射1.1.定义和例子：定义和例子：设F是一个数域，V和W是F上向量空间。定义定义1 1 设是V到W的一个映射，如果下列条件被满足，就称是V到W的一个线性映射：（1）对于任意,V=（2）对于任意,aFVaa()()abab (1)(2)(+)=1.对于R2 的每一向量21,xx 21211,xxxxxR3是R2到R3的一个
31、映射，可以证明，是一个线性映射。1:()()DnnD R xR xdDf xf xdx映射易证 是2：线性映射定义3):()(ijm nnmmnRRBRBbR 映射由下式确定易证 是：设线性映射:()VVVV 映射由下式确定易证 是线性映射,称为恒等映射4：设，记为E。1221:()050VVVV 映射由下式确定易证 是线性映射,称为零映设射，记为：。线性映射的简单性质线性映射的简单性质11121200()()(3)()()()nnllllllnnkk (1)()=(2)若：，线性相关，则，线性相关。反之，不成立。1212()()()nn 若：，线性无关，不一定线性无关。见书的例子线性映射的矩
32、阵表示线性映射的矩阵表示12121212,nma aaVVVV 设,，分别是，的基，是的线性映射，1()1 2)mjijiiaan则,(j=，1212(,)jjmmjaaa 121212111()(),(),()(,)mmmnniiiiiniiiiaaaaaaaaa记：，,，11121212221212121112121222121212()(,),()(,)AnnnmmmmnnnmmmnnmaaaaaaaaaaaaaaaaaaAaaaaaa 有：，记：则，称A为线性映射在相应基下的矩阵表示。1221:()()1,1,nnnnD R xR xdDf xf xdxx xxx xx求线性映射例：在
33、基与基下的矩阵。110100D(1)0(1,),()1(1,),00nnxxD xxx 解：21110020D()2(1,),()(1,),0nnnnxxxxD xnxxxn (1)01000020000nnAn22-101010020(1,)(1,)000nnDx xxx xxn121101B例：设3RB 2:R定义为（）TT121231,01,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)TTT求 在基（），（与基下的矩阵。111221231211()111,0010()32B 1212313(,)(,)1201 解：例：对于的每一向量12,Tx x 311212,Tx xx xxR
34、定义线性映射：2RTT121231,01,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)TTT求 在基（），（与基下的矩阵。解：1()1,1,1T 1231231(,)11 2()1,0,2T 1312312(,)02 1212311(,)(,)1012 1,()V 任给的坐标与 的坐标之间的关系：112121212,(,)()(,)nnmmVxxa aaxyyy 任给坐标之间的关系12(,)Am 1122121()(,)(),()nnnnxxxxa aaaaxx 12myyy12nxxx12nxxx=A1212()(,)mmyyy 1nxxx()y A12121212,AmnAnma a
35、aVVVV 设,，分别是，的基，是定矩阵，则存在唯一的的线性映射，使在这两基下：的矩阵是理。1V证明：1212(,)nnxxa aax12(,)Am 令：12nxxx12VV 令变换：（）则：的变换下证它是线性变换即可12(,)Am （）1122nnxxxxxx12(,)Am 12nxxx12(,)Am 12nxxx （）（）12(,)Am （）12nxxx12(,)Am 12nxxx（）112121000(,),(,)01nnnaa aaaa aa 1212(,)(),(),nna aaaaa（）)12(,)Am 10001000112(,)Am 下证唯一性：若还有112(,)na aa11
36、2(,)na aa12(,)na aa12(,)Am 1()()iiaa1V11221211211()(,)(,)()nnnnxxxxa aaa aaxx 在基给定以后，线性变换与矩阵是一一对应的还可以定义两个线性变换的和与积等等，它们分别对应于矩阵的和与积12:VV射定线性映理：1212112122,;,;,Qnnmma aa a aaVPV 是 的两组基，过渡阵为。是的两组基，过渡阵为。12121212,nmnma aaAa aaB 在与下的矩阵为在与下的矩阵为1BQ AP则1212(,),nma aaA 证明：（）1212,nma aaB（）（）1212,(,)nna aaa aa P（
37、）1212,mmQ （）（）1212(,),nna aa Pa aa（）12,mB=（）12,mQB=（）1212(,),nma aaA（）12,mAP（）12,mQB=（）1APQBBQ AP第五节、线性映射的值域、核12VV定义：设：的线性映射，令121|VVV（）（）1(),()VRdimR称（）为 的值域，记为称为 的秩。1V2注:（）是V的子空间。12VV定理：设：的线性映射，121212,nma aaV V 与分别为的基，A在这对基下的矩阵为。则：1121()(),(),()nRVspanaaa、（）2()()dimRrank A、。11()VV 证明：1、1 122)nnx ax
38、 ax a（）=(1122)()()nnxaxaxa=(112(),(),()nVspanaaa（）1122)dim()(),(),()ndimVRaaa、（为的最大无关组所含向量的个数。1212(),(),()(,)nnaaaa aa1212(,),nma aaA（）()()dimRrank A。向量的相关性与其坐标的因为：相关性一致12VV定义：设：的线性映射，令11()|0NV(0)=（）()dim()NN称为 的核，称为 的零度。1()NV易证，是 的子空间。121,()()VVdimVndimNdimRn定理：设：的线性映射，则：()dimNr证明：设12,ra aa为它的基，112
39、,rnVa aaa扩充成 的基,，112()(),(),()nRVspanaaa（）1(0,0,(),()rnspanaa1(),()rnspanaa1(),()rnaa只要证线性无关即可，设11()()0rrnnkaka1111()0()rrnnrrnnkak akak aN111 110rrnnrrrnkak ac ac akkdim()Rnr122,dimVVnVm1例：设：的线性映射，dimV121212,nma aaV V 与分别为的基，1nm n在这对基下的矩阵为 A=(,)。则：1212(,),nma aaA（）12(),ima i（）112()(),(),()nRVspanaa
40、a（）1212,mmnspan 1（）（）12,)mnspan 1（）(1122121()()(),)nnmnnxaxaxaxx 1（）(1()|()0,(A)|0,R nNxxxVNx Axx11221212112212(,),()()(,)0(,)00()nnnnnnnxxxxxxNxxxxxxxAAxN Axx 32:RR例：设线性映射在基：123121,1 1,(1,0,1),(0,1,1)1,1(0,2)TTTTT（，）与（）,下的矩阵为111012A求 的核子空间与值域。1()|0NV 解：（）112233xxx112233()()()0 xxx 112323(,)0 xxx 11
41、223(,)0 xA xx 1230,xA xx1110121230 xxx123321xxcx123(32)c112233xxx123()(32)Nspan123()(),(),()Rspan 12()(,)RspanA 1211212121110(,),2(,)12spanspanspan 第六节:线性变换的矩阵与线性变换的运算VVV定义(线性变换)：设：的线性映射，称 为 的线性变换。12,na aaV设为 的基，111212122212121212()(,)(,)nnnnnnnnna aaa aaaaaa aaa aaa aaA有：，A称为线性变换的矩阵1212,nna aax xxT
42、设 在基下的坐标为（)1212),nna aay yy T设(在基下的坐标为（)1122nnyxyxAyx33:A RR例：设线性变换把基：123101120111，123100113012 ，变为1231、求 在基，下的矩阵T12321,2 3、求（，）及（）在基，下的坐标T12331,2 3、求（，）及（）在基，下的坐标1111、求 在基，下的矩阵123123123123(,A 已知，)=，)，)123123(,(,A )101120111A 1001 13012 1101120111A 1001 13012 1111 12011T11121,2 3、求（，）及（）在基，下的坐标11232
43、3(,xxx )110121203111 123xxx112323()(,yyy )123yyAy123xxxT12331,2 3、求（，）及（）在基，下的坐标112323(,xxx )112323()(,yyy )112323(,zzz ):VV线性变换定理：1212,;,nna aa a aaVP是 的两组基，过渡阵为。1212,nna aaAa aaB在下的矩阵为在下的矩阵为1BP AP则线性变换的运算:()()()()()()VVVVkk ，：乘法：（）加法：（）数乘：（）1,E逆变换：记定理：线性变换12,na aaV是 的基，,AB矩阵矩阵。则：:VVVV，：1BAABkkAA乘法
44、：矩阵加法：矩阵 数乘：矩阵逆变换1212,nna aax xxT设 在基下的坐标为（)线性空间的同构12,nx xxT（)1212VVVV定义：设：的一对一的线性映射，称 为 到的同构映射。12,ny yyT（)1122,nnxy xyxyT（)12,nkkx kxkxT（)RVRnn任何N维空间都与则 与同构同构略任何两个n维空间都可以建立同构，两个空间同构的充要条件是它们的维数相同。同构保持所有线性运算性质不变。:(),WVVWVWW线性变换；是 的子空间，若称是 的不变定义：子空间。注：值域与核是不变子空间。,VVVV（）（）()()V 1()|0NV(0)=（）()()()NNN (
45、)|0()()WWWW 第九节:线性变换的不变子空间注：线性变换的不变子空间的和与交仍是不变子空间。注：设 则W是不变子空间的充要条件是 。12,sWspan()iW12WW121122,WW1122(),()WW 1212()()()WW 12121W,rrrna aaVa aaaa的基为的基为，121121213(,)(,)0rrnrrna aaaaAAa aaaaA，12121112(,)(,)(,)0rrrna aaa aaAAa aaa()WW121121(,)(,),(,)rrnrrna aaaaa aaaa，1(,)rnaa21213(,)rrnAa aaaaA，11221212
46、1W,W,rrrnrrna aaaaaVa aaaa的基为的基为则 的基为，1212VWWWW-直和，且，都是不变子空间12121112(,)(,)(,)0rrrna aaa aaAAa aaa11()WW112122(,)(,)0(,)rnrnrnaaaaAa aaaA22()WW12111212(,)0(,)0rrnrrna aaaaAa aaaaA，11.rrVWWWW-直和，都是不推广：变子空间1r则 对应的矩阵为AA=A对应的矩阵是对角型矩阵的充要条件是V可以分解成N个（一维的）不变子空间的直和12,na aa在基下的矩阵是对角型矩阵的充要条件是V可以分解成N个（一维的）不变子空间的
47、直和。11.nnVWWWW，都是即：不变子空间11,nnWW,分别且：为，的基。()iik 有：现在设现在设 是数域是数域 上的上的 维线性空间，维线性空间，中取定一个基中取定一个基 ，设线性变换，设线性变换 在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 ，向量，向量 在这组基下的坐在这组基下的坐标是标是 ，。那么我们有。那么我们有 定义定义 设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的一个线的一个线性变换，如果在数域性变换，如果在数域 中可找到数中可找到数 ，中都中都存在一个非零向量存在一个非零向量 ，使得，使得 那么称那么称 为为 的一个的一个特征值特征值，而，而 称为称为 的的属于特征值属于
48、特征值 的一个的一个特征向量特征向量。fFVF0V0()f 0ff0VFnV12,n fAX0F第八节第八节:矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量矩阵（或线性变换）的特征值与特征向量1212(,)(,)nnfA 1212(,)nnxxx 0()f 11221212(,)(,)nnnnxxxxfAxx 112212120(,)(,)nnnnxxxxAxx 11220nnxxxxAxx 是是 的特征值的特征值 是是 的特征值的特征值 是是 的属于的属于 的特征向量的特征向量 是是 的的属于属于 的特征向量的特征向量 00()fAXX 0f0Af0 XA0AfA0f0由此可得定理：由此可得定理：因此
49、，只要将因此，只要将 的全部特征值求出来，它们的全部特征值求出来，它们就是线性变换就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵的全部特征值；只要将矩阵 的的属于属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是标的向量就是 的属于的属于 的全部特征向量。的全部特征向量。例例 1 设设 是数域是数域 上的上的3维维线性空间，线性空间，是是 上上的一个线性变换，的一个线性变换，在在 的一个基的一个基 下的下的矩阵是矩阵是求求 的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。VKffV123,222214241A fVA解：解：的特征多项式为的特征多项式为22222
50、14241(3)(6)IA所以所以 的特征值是的特征值是 （二重）与（二重）与 。对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组A363(3)0IA X210,201TT得到一个基础解系：得到一个基础解系：于是于是 的属于的属于 的全部特征向量是的全部特征向量是 这里这里 为数域为数域 中不全为零的数对。中不全为零的数对。3f1122132,2 f31 12212,kkk kK12,k kK6(6)0IA X122T得到一个基础解系：得到一个基础解系：对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组从而从而 的属于的属于 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组
